Gli argomenti rigorosi sono molto simili alla programmazione del computer: è necessario scrivere una prova che può (in linea di principio) essere eseguita in ultima analisi in un sistema formale. Ciò non è facile e richiede la definizione di molte strutture di dati (definizioni) e la scrittura di molte subroutine (lemmi), che si utilizzano ripetutamente. Quindi dimostri molti risultati lungo il percorso, solo alcuni dei quali sono di utilità generale.

Questa attività è estremamente illuminante, ma richiede tempo, è noiosa e richiede molto tempo e attenzione. Argomenti rigorosi introducono anche molte distinzioni pedanti che sono estremamente importanti per la matematica , ma non così importanti nei casi di cui si tratta di fisica.

In fisica, non si ha mai abbastanza tempo, e dobbiamo sempre avere una comprensione appena abbastanza precisa della matematica che può essere trasmessa al massimo rapidamente alla generazione successiva. Spesso questo significa rinunciare al pieno rigore e introdurre scorciatoie notazionali e terminologia imprecisa che rende difficile trasformare l'argomento in modo rigoroso.

Alcuni degli argomenti in fisica, però, sono pura magia. Per me, il trucco della replica è il miglior esempio. Se mai riuscirà a ottenere una versione rigorosa, rimarrò sbalordito.

1) Quali sono le intuizioni (nozioni, risultati) più importanti e più antiche della fisica a cui mancano ancora formulazioni / prove matematiche rigorose .

Ecco i vecchi problemi che potrebbero trarre vantaggio da un'analisi rigorosa:

• Relazioni di doppia dispersione di Mandelstam: l'ampiezza di dispersione per lo scattering da 2 particelle a 2 particelle può essere espansa analiticamente come un integrale sulla discontinuità immaginaria $ \ rho (s) $ nel parametro s, e quindi questa discontinuità $ \ rho ( s) $ può essere scritto come un integrale sul parametro t, dando una doppia discontinuità $ \ rho (s, t) $ Se vai dall'altra parte, espandi la discontinuità prima in t poi in s, ottieni la stessa funzione . Perché? È stato discusso dalla teoria delle perturbazioni di Mandelstam, e c'è stato del lavoro negli anni '60 e all'inizio degli anni '70, ma non è mai stato risolto per quanto ne so.
• Il più antico, risalente a secoli fa: è , senza comete e asteroidi) sistema solare stabile per sempre? Questo è famoso. Limiti rigorosi su dove l'integrabilità fallisce aiuterà. Il teorema KAM potrebbe essere la migliore risposta possibile, ma non risponde veramente alla domanda, dal momento che non sai se le perturbazioni planetarie sono abbastanza grandi da portare all'instabilità per 8 pianeti, alcune grandi lune, più il sole.
• Meccanica statistica del continuo: cos'è un insieme termodinamico per un campo continuo? Qual è il limite del continuo di una distribuzione statistica? Quali sono le teorie dei campi statistici continui qui?
• Quali sono le soluzioni solitoniche topologiche generiche alle equazioni di campo non lineari classiche? Data un'equazione classica, come trovi i possibili solitoni topologici? Possono tutti essere generati continuamente dai dati iniziali forniti? Per un esempio specifico, considera il plasma solare --- ci sono solitoni magneto-idrodinamici localizzati?

Ci sono un miliardo di problemi qui, ma la mia immaginazione fallisce.

2) Lo sforzo di rigorose spiegazioni matematiche, formulazioni e dimostrazioni per nozioni e risultati dalla fisica è preso principalmente dai matematici. Quali sono gli esempi che dimostrano che questo sforzo è stato vantaggioso per la fisica stessa.

Ci sono alcuni esempi, ma penso che siano rari:

• La prova rigorosa di Penrose dell'esistenza di singolarità in una superficie chiusa e intrappolata è l'esempio canonico: era un argomento rigoroso, derivato dalle idee della geometria Riemanniana, ed era estremamente importante per chiarire cosa sta succedendo nei buchi neri.
• Le piastrellature quasi periodiche, associate anche a Penrose, sono nate per la prima volta nel lavoro di Hao e Wang in logica pura , dove sono stati in grado di dimostrare che una piastrellatura appropriata con complicati bordi corrispondenti potrebbe fare il calcolo completo . Il numero di tessere fu ridotto fino a quando Penrose non ne fornì solo 2, e alla fine i fisici scoprirono i quasicristalli. Questo è spettacolare, perché qui inizi nella parte non fisica più esoterica della matematica pura e finisci nel più pratico dei sistemi sperimentali.
• Algebre di Kac-Moody: queste sono emerse in metà matematica, metà prima teoria delle stringhe. I risultati sono diventati fisici negli anni '80, quando le persone hanno iniziato a interessarsi ai modelli collettivi di gruppo.
• La classificazione ADE dalla teoria dei gruppi di Lie (e tutta la teoria dei gruppi di Lie) in matematica è essenziale nella fisica moderna. Guardando più indietro, Gell-Mann ha ottenuto la simmetria dei quark SU (3) generalizzando isospin nella matematica pura.
• La teoria dell'ostruzione era essenziale per comprendere come formulare teorie dei campi topologici 3d (questo è stato oggetto di un recente domanda interessante), che trovano applicazione nell'effetto hall quantistico frazionario. Questa è matematica molto astratta collegata alla fisica di laboratorio, ma vengono utilizzate solo alcune parti più semplici della macchina matematica generale.

3) Quali sono gli esempi che insistono sul rigore hanno ritardato il progresso della fisica .

Questo è successo più volte, sfortunatamente.

• Meccanica statistica: la mancanza di una prova rigorosa dell'ergodicità di Boltzmann ha ritardato l'accettazione dell'idea di equilibrio statistico. Gli argomenti rigorosi erano errati --- per esempio, è facile dimostrare che non ci sono transizioni di fase in volume finito (poiché la distribuzione di Boltzmann è analitica), quindi questo è stato considerato un attacco contro la teoria di Boltzmann, dal momento che vediamo transizioni di fase. Potresti anche provare ogni sorta di assurdità sulla miscelazione dell'entropia (che è stata risolta trattando correttamente l'indistinguibilità classica). Poiché non c'era alcuna prova che i campi sarebbero arrivati ​​all'equilibrio termico, alcune persone credevano che la luce del corpo nero non fosse termica. Ciò ritardò l'accettazione della teoria di Planck e di quella di Einstein. La meccanica statistica non fu completamente accettata fino alla soluzione del modello Ising di Onsager nel 1941.
• Integrali di percorso: questo è l'esempio più noto. Questi furono accettati da alcuni fisici immediatamente negli anni '50, sebbene = il formalismo non fosse affatto vicino al completamento fino a quando Candlin formulò le variabili Grassman nel 1956. Oltre questo punto, avrebbero potuto diventare standard, ma non lo fecero. Il formalismo aveva una cattiva reputazione per aver dato risultati sbagliati, soprattutto perché le persone erano a disagio con la mancanza di rigore, quindi non potevano fidarsi del metodo. Ho sentito un notevole fisico lamentarsi negli anni '90 che l'integrale del percorso spazio-fase (con peq) non poteva essere corretto perché peq non commutano, e nell'integrale del percorso lo fanno perché sono numeri classici ( no, in realtà non lo fanno --- il loro valore in un inserimento dipende in modo discontinuo dal loro ordine temporale nel modo corretto). Fu solo all'inizio degli anni '70 che i fisici si sentirono completamente a proprio agio con il metodo e ci vollero molte vendite per superare la resistenza.
• Costruzione della teoria quantistica dei campi: i metodi rigorosi degli anni '60 hanno costruito una cassetta degli attrezzi di complicati metodi distribuzionali e riassunti di serie di perturbazioni che risulta essere il modo meno utile di guardare la cosa. Ora sono le algebre C * e le distribuzioni valutate dagli operatori. Il percorso corretto è attraverso il percorso integrale della via wilsoniana, e questo è più vicino al punto di vista originale di Feynman e Schwinger. Ma una scuola di fisici rigorosi negli anni '60 ha eretto grandi barriere all'ingresso nel lavoro di teoria dei campi, e il progresso nella teoria dei campi è stato interrotto per un decennio, fino a quando il rigore è stato nuovamente respinto negli anni '70. Ma manca ancora una formulazione corretta e rigorosa dei campi quantistici.

Oltre a questo, ci sono innumerevoli teoremi che hanno ritardato la scoperta di cose interessanti:

• Il tempo non può essere un operatore (Pauli): questo ha ritardato l'emergere della formulazione di particelle integrali di percorso a causa di Feynman e Schwinger. Qui, la variabile tempo sul percorso delle particelle è integrata nel percorso proprio come qualsiasi altra cosa.
• La dimostrazione di Von-Neumann delle variabili non nascoste: questa ha un discendente moderno nel teorema di Kochen Sprecher sugli insiemi entangled di qubit. Ciò ha ritardato la teoria di Bohm, che inizialmente ha dovuto affrontare una massiccia resistenza.
• Nessuna carica che si trasforma in modo non banale sotto il gruppo di Lorentz (Coleman-Mandula): questo teorema ha implicazioni sia positive che negative. Ha ucciso le teorie SU (6) (buono), ma ha fatto perdere alle persone la supersimmetria (cattiva).
• L'ordine dei quasicristalli è impossibile: questo teorema del "no go" è la prova standard che l'ordine periodico (la definizione generale di cristalli) è limitato ai gruppi spaziali standard. Questo ha reso i quasicristalli a castello. Il presupposto che viene violato è il presupposto di una rigorosa periodicità.
• Nessuna compattazione di supergravità con fermioni chirali (Witten): questo teorema presupponeva compattificazione molteplice e mancavano orbifold di 11d SUGRA, che danno origine alle stringhe eterotiche (anche Witten, con Horava, quindi Witten ha risolto il problema).

4) Quali sono esempi che una solida comprensione matematica di alcuni problemi della fisica è derivata da ulteriori sviluppi della fisica stessa. (In particolare, mi interessano i casi in cui la rigorosa comprensione matematica di problemi della meccanica classica richiedeva la meccanica quantistica, e anche nei casi in cui il progresso in fisica era cruciale per rigorose soluzioni matematiche di domande in matematica non originate dalla fisica.)

Ci sono diversi esempi qui:

• La comprensione del teorema adiabatico nella meccanica classica (che l'azione è un invariante adiabatico) proveniva dalla meccanica quantistica, poiché era chiaro che era l'azione che doveva essere quantizzata, e questo non avrebbe senso senza che fosse invariante adiabatica. Non sono sicuro di chi abbia dimostrato il teorema adiabatico, ma questo è esattamente quello che stavi chiedendo: un teorema classico intuitivo che proveniva dalla meccanica quantistica (sebbene alcuni decenni prima della meccanica quantistica moderna)
• La comprensione della le anomalie quantistiche provenivano direttamente da un'osservazione fisica (l'alto tasso di decadimento del pione neutro a due fotoni). Chiarire come ciò avvenga attraverso i diagrammi di Feynman, anche se un argomento ingenuo dice che è proibito, ha portato alla completa comprensione di tutti i termini anomali in termini di topologia. Questo a sua volta ha portato allo sviluppo della teoria di Chern-Simons e alla connessione con i polinomi di Knot, scoperti da Witten, e che gli hanno fatto guadagnare una medaglia Fields.
• La teoria della distribuzione ha avuto origine nel lavoro di Dirac per cercare di fornire una buona base per la meccanica quantistica. La natura distributiva dei campi quantistici fu compresa da Bohr e Rosenfeld negli anni '30, e la teoria matematica fu essenzialmente presa dalla fisica alla matematica. Dirac ha già definito le distribuzioni usando le funzioni di test, anche se non credo fosse pedante riguardo alle proprietà spaziali delle funzioni di test.

5) Il ruolo del rigore è discusso intensamente in popular libri e blog. Fornisci riferimenti (o riferimenti meglio annotati) a studi accademici sul ruolo del rigore matematico nella fisica moderna.

Non posso farlo, perché non ne conosco nessuno. Ma per quel che vale, penso che sia una cattiva idea cercare di fare troppo rigore in fisica (o anche in alcune parti della matematica). La ragione fondamentale è che le formulazioni rigorose devono essere completamente standardizzate affinché le dimostrazioni di autori diversi possano combaciare senza cuciture, e questo è possibile solo con il senno di poi, quando le migliori definizioni diventano evidenti . Nel presente, stiamo sempre confondendo nella nebbia. Quindi c'è sempre un periodo in cui persone diverse hanno definizioni leggermente diverse di ciò che significano, e le prove non funzionano del tutto e possono verificarsi errori. Non è così terribile, a patto che i metodi siano perspicaci.

Il vero problema è l'enorme barriera all'ingresso presentata da definizioni rigorose. Gli argomenti effettivi sono sempre molto meno scoraggianti dell'impressione superficiale che si ottiene dalla lettura della dimostrazione, perché la maggior parte della dimostrazione consiste nel predisporre un meccanismo per far passare l'idea principale. Enfatizzare il rigore può porre un'enfasi eccessiva sui macchinari piuttosto che sull'idea.

In fisica, stai cercando di descrivere ciò che fa un sistema naturale e non c'è tempo da perdere nello studio della sociologia. Quindi non puoi imparare tutti i meccanismi su cui i matematici standardizzano in qualsiasi momento, impari solo le idee. Le idee sono sufficienti per andare avanti, ma non sono sufficienti per convincere i matematici che sai di cosa stai parlando (dato che hai difficoltà a seguire le convenzioni). Questo è migliorato da Internet, poiché le barriere all'ingresso sono cadute drasticamente e potrebbe esserci un modo per unire pensiero rigoroso e non rigoroso oggi in modi che non erano possibili in passato.

Il rigore è la chiarezza dei concetti e la precisione degli argomenti. Quindi alla fine non c'è dubbio che vogliamo rigore.

Per arrivarci abbiamo bisogno di libertà di speculazione, in primo luogo, ma per una buona speculazione abbiamo bisogno ...

... terreno solido, che è l'unico terreno che funge da buon punto di partenza per ulteriori speculazioni.

nelle parole della nostra recensione, che è tutto su questo problema.

A volte i fisici si comportano se il rigore consiste nel sostituire un argomento ovvio ma non preciso con una prova noiosa e noiosa. Ma il più delle volte il rigore consiste nell'identificare le definizioni precise e chiare in modo tale che anche l'argomento ovvio diventi indubbiamente corretto.

Ci sono molti esempi storici.

Ad esempio la semplice nozione di forme differenziali e derivate esterne. Alla fine non è un grosso problema, ma quando sono stati introdotti in fisica non solo hanno fornito rigore per una moltitudine di vaghi argomenti sulla variazione infinitesimale e sulla quantità estesa. Forse ancora più importante, hanno chiarito la struttura. Maxwell riempiva ancora due pagine con le equazioni dell'elettromagnetismo in un momento in cui anche i concetti di algebra lineare erano un mistero arcano. Oggi diciamo solo $ d \ star d A = j_ {el} $ e vediamo molto oltre, per esempio deriviamo rigorosamente la legge di quantizzazione della carica con la facilità del bambino. Il concetto chiaro e preciso è ciò che fa questo per noi.

E mentre probabilmente gli ingegneri avrebbero potuto (e forse fare?) lavorare usando i concetti originali di Maxwell, i teorici sarebbero rimasti bloccati. Non si possono vedere le sottigliezze della teoria di scartamento superiore auto-duale, per esempio, senza il concetto rigoroso della teoria di de Rham.

Ci sono molti altri esempi come questo. Eccone un altro: il CFT razionale è stato "pienamente compreso" e dichiarato risolto a un livello non rigoroso per molto tempo. Quando è stata stabilita la rigorosa classificazione FRS del CFT razionale completo, non si è scoperto che alcune delle presunte costruzioni CFT razionali in letteratura non esistevano effettivamente, mentre esistevano altre che erano state perse, altro l'importante era: all'improvviso è stato molto chiaro il motivo e quale di questi esempi esiste. Sulla base del solido terreno di questo nuovo rigore, è ora molto più facile fondare nuovi argomenti non rigorosi che vanno molto più in là di quanto si potesse fare prima. Ad esempio, sul comportamento della CFT razionale nell'olografia.

Il rigore riguarda la chiarezza e la precisione, necessarie per vedere oltre. Come Ellis Cooper ha appena detto altrove:

Rigor pulisce la finestra attraverso la quale traspare l'intuizione.

Penso ancora che non sia il posto giusto per questo tipo di domande. Tuttavia, l'argomento in sé è interessante e ci proverò anche. Dato che non sono né un filosofo della scienza, né uno storico (e probabilmente ci sono pochissime persone di questo tipo su questo sito, uno dei motivi per cui questa domanda potrebbe non essere adatta), mi concentrerò sul mio campo ristretto , fisica statistica .

1) Ce ne sono molti. Ad esempio, una derivazione rigorosa soddisfacente dell'equazione di Boltzmann, il miglior risultato fino ad oggi rimanendo il celebre teorema di Lanford dimostrato alla fine degli anni '70. Nella meccanica statistica dell'equilibrio, uno dei principali problemi aperti è la prova che i modelli $ O (N) $ bidimensionali hanno correlazioni in decadimento esponenziale a tutte le temperature quando $ N>2 $ (presumibilmente esiste una stretta relazione tra tali modelli e quattro modelli di gauge dimensionali e questo problema potrebbe far luce sulla questione della libertà asintotica nella QCD, vedere questo documento per una discussione critica di questi problemi). Naturalmente, ce ne sono molti altri, come cercare di capire perché la rinormalizzazione ingenua nello spazio reale (diciamo, la decimazione) dei sistemi di spin reticolare fornisce risultati ragionevolmente accurati (anche se si sa che tali trasformazioni sono generalmente malate -definito matematicamente); ma mi sembra improbabile che accada, il che non significa che la filosofia del gruppo di rinormalizzazione non possa trovare impieghi nella fisica matematica (ha già portato a diversi risultati profondi).

2) Bene, un esempio importante è stato il rigoroso calcolo di Onsager dell'energia libera del modello 2d di Ising, che ha mostrato che tutti gli schemi di approssimazione usati dai fisici a quel tempo davano previsioni completamente sbagliate. Risultati rigorosi possono anche portare a (i) nuovi approcci a vecchi problemi (questo è il caso di recente con SLE), (ii) nuovi risultati che non erano noti ai fisici (questo è il caso, ad esempio, dei risultati di Johansson e altri sui modelli di crescita), (iii) una migliore comprensione di alcuni fenomeni complicati (ad esempio, le proprietà di equilibrio dei modelli di Ising a magnetizzazione fissa), (iv) la risoluzione di controversie nella letteratura fisica (un famoso esempio era il problema di determinare il livello critico inferiore dimensione del modello Ising a campo casuale, che è stato oggetto di accesi dibattiti negli anni '80 ed è stato rigorosamente stabilito da Bricmont e Kupiainen).

3) Nessuno che io sappia. Tuttavia, si potrebbe dire che i "paradossi" sollevati contro la teoria di Boltzmann da Zermelo e Loschmidt erano entrambi di natura matematica (e quindi criticavano l'apparente mancanza di rigore dell'approccio di Boltzmann), e ritardarono l'accettazione delle sue idee.

4) Non sono sicuro di questo punto. Certamente le numerose congetture provenienti dalla fisica, in particolare previsioni sorprendenti, forniscono sia la motivazione, che a volte un certo grado di intuizione ai matematici ... Ma non sono sicuro che sia quello che stai chiedendo.

5 ) Ci sono molti articoli che discutono di tali questioni, ad esempio:

• "Teorica matematica '': Verso una sintesi culturale della matematica e della fisica teorica, di Arthur Jaffe e Frank Quinn , Bull.Am.Math.Soc.29 (1993) 1-13.
• Il rigore matematico è necessario in fisica?, di Kevin Davey, The British Journal for the Philosophy of Science (2003), Volume: 54, Numero: 3, Pagine: 439-463.

e riferimenti ivi contenuti.

Non posso in alcun modo affermare di dare una risposta completa a questa domanda, ma forse una risposta parziale è meglio di nessuna risposta.

Per quanto riguarda (1) forse l'esempio più famoso è il Equazione di Navier-Stokes. Sappiamo che produce risultati estremamente buoni per la modellazione del flusso del fluido, ma non possiamo nemmeno dimostrare che esiste sempre una soluzione. In effetti, c'è un premio Clay per aver dimostrato l'esistenza di soluzioni fluide su $ \ mathbb {R} ^ 3 $ (dichiarazione del problema qui).

Un esempio di (2 ) è che lo studio della teoria quantistica topologica dei campi è stato motivato almeno in parte dalla matematica.

Per quanto riguarda (3) non credo che sia mai successo. Tuttavia, con questo, non intendo dire che un rigore esigente non impedirebbe o rallenterebbe il progresso della fisica, ma piuttosto che sembra estremamente difficile trovare un esempio di un caso in cui una comunità relativamente ampia non abbia semplicemente ignorato tale richiesta. Certamente è vero che le formulazioni matematicamente rigorose spesso seguono molto indietro l'attuale stato dell'arte in fisica, ma non c'è nulla di inaspettato in questo.

Al momento non ho buone risposte per quanto riguarda il resto del tuo domanda.

C'è un saggio relativamente interessante su questo (C. Vafa - Sul futuro dell'interazione matematica / fisica) in Mathematics: Frontiers and Perspectives, che menziona anche il TQFT esempio.