Il margine di errore per la posizione prevista dal GPS è $ 15 \ text {m} $. Quindi il sistema GPS deve tenere il tempo con una precisione di almeno $ 15 \ text {m} / c $ che è circa $ 50 \ text {ns} $.

Quindi $ 50 \ text {ns} $ errore nel cronometraggio corrisponde a $ 15 \ text {m} $ errore nella previsione della distanza.
Quindi, per $ 38 \ text {μs} $ errore nel cronometraggio corrisponde a $ 11 \ text {km} $ errore nella previsione della distanza.

Se non applichiamo correzioni utilizzando GR al GPS, viene introdotto un errore $ 38 \ text {μs} $ nel cronometraggio al giorno .

Puoi verificarlo tu stesso utilizzando le seguenti formule

$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} $ ... il clock gira relativamente più lentamente se si muove ad alta velocità.

$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}}} $ ... l'orologio gira relativamente più velocemente a causa della debole gravità.

$ T_1 $ = 7 microsecondi / giorno

$ T_2 $ = 45 microsecondi / giorno

$ T_2 - T_1 $ = 38 microsecondi / giorno

utilizza i valori forniti in questo ottimo articolo.

E per le equazioni fai riferimento a HyperPhysics.

Quindi Stephen Hawking ha ragione ! :-)

C'è l'articolo della Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html che spiega abbastanza bene perché gli orologi su un I satelliti GPS sono più veloci di circa 38 microsecondi ogni giorno. L'articolo afferma quindi che la mancata compensazione per questi 38 microsecondi al giorno causerebbe uno spegnimento del GPS di circa 11 km al giorno, chiaramente inutilizzabile, e afferma che questo (il fatto che dobbiamo compensare i 38 microsecondi per far funzionare il GPS ) è la prova della relatività generale.

Il problema è che mentre gli orologi sono effettivamente fuori di 38 microsecondi al giorno e la Relatività Generale va bene, non dovremmo effettivamente compensarlo. Il GPS della tua auto o del tuo telefono non ha un orologio atomico. Non ha un orologio abbastanza preciso per aiutare con il GPS. Non misura il tempo impiegato dal segnale per passare dal satellite A al GPS. Misura la differenza tra il segnale del satellite A e il segnale del satellite B (e altri due satelliti). Questo funziona se gli orologi sono veloci: fintanto che sono tutti veloci della stessa identica quantità, ancora otteniamo i risultati giusti.

Cioè, quasi. I satelliti non stanno fermi. Quindi, se ci affidiamo a un orologio che è veloce di 38 microsecondi al giorno, facciamo i calcoli in base alla posizione di un satellite che è fuori di 38 microsecondi al giorno. Quindi l'errore non è (velocità della luce volte 38 microsecondi volte giorni), è (velocità del satellite volte 38 microsecondi volte giorno). Questo è di circa 15 cm al giorno. Bene, le posizioni dei satelliti vengono corrette una volta alla settimana. Spero che nessuno pensi che potremmo prevedere a lungo la posizione di un satellite senza errori.

Tornando al presupposto originale, che senza compensazione l'errore sarebbe di 11 km al giorno: gli orologi satellitari vengono moltiplicati per un fattore appena inferiore a 1 in modo che vadano alla velocità corretta. Ma non funzionerebbe. L'effetto che produce 38 microsecondi al giorno non è costante. Quando il satellite sorvola un oceano, la gravità è inferiore. La velocità del satellite cambia continuamente perché il satellite non vola su un cerchio perfetto attorno a una terra perfettamente rotonda fatta di materiale perfettamente omogeneo. Se GR creava un errore di 11 km al giorno non compensato, allora è del tutto inconcepibile che una semplice moltiplicazione della velocità di clock sarebbe sufficiente per ridurlo per rendere utilizzabile il GPS.

Puoi scoprirlo in dettaglio nell'eccellente riepilogo qui: Cosa ci dice il sistema di posizionamento globale sulla relatività?

In poche parole:

1. La Relatività Generale prevede che gli orologi andranno più lenti in un campo gravitazionale più alto. Questo è l'orologio a bordo dei satelliti GPS "scatta" più velocemente dell'orologio sulla Terra.
2. Inoltre, la Relatività Speciale prevede che un orologio in movimento è più lento di quello fermo. Quindi questo effetto rallenterà l'orologio rispetto a quello sulla Terra.

Come vedi, in questo caso i due effetti agiscono in direzione opposta ma il loro la magnitudine non è uguale, quindi non cancellatevi a vicenda.

Ora scoprite la vostra posizione confrontando il segnale orario di un certo numero di satelliti. Sono a una distanza diversa da te e quindi il segnale impiega un tempo diverso per raggiungerti. Quindi il segnale del "Satellite A dice che in questo momento sono 22:31:12" sarà diverso da quello che sentirai dal Satellite B nello stesso momento ). Dalla differenza di orario del segnale e conoscendo le posizioni dei satelliti (il tuo GPS lo sa) puoi triangolare la tua posizione al suolo.

Se non si compensano le diverse velocità di clock, la misurazione della distanza sarebbe sbagliato e la stima della posizione potrebbe essere di centinaia o migliaia di metri o più, rendendo il sistema GPS sostanzialmente inutile.

L'effetto della dilatazione del tempo gravitazionale può anche essere misurato se passi dalla superficie terrestre a un'orbita attorno alla terra. Pertanto, poiché i satelliti GPS misurano il tempo impiegato dai messaggi per raggiungerti e tornare indietro, è importante tenere conto del tempo reale impiegato dal segnale per raggiungere l'obiettivo.

Non credo che il GPS "dipenda dalla relatività" nel senso che una civiltà tecnologica che non ha mai scoperto la relatività speciale / generale non sarebbe in grado di realizzare un sistema GPS funzionante. Puoi sempre confrontare l'orologio di un satellite con gli orologi a terra e regolare la velocità fino a quando non si discostano dalla sincronizzazione, indipendentemente dal fatto che tu capisca o meno perché non sono sincronizzati. In effetti, li sincronizzano empiricamente, non fidandosi ciecamente di un calcolo teorico.

Chiedere cosa accadrebbe se gli orologi andassero alla deriva di 38 μs / giorno (per qualsiasi motivo) è uno strano controfattuale perché suggerisce che nessuno sta effettuando la manutenzione del sistema, nel qual caso presumibilmente soccomberebbe rapidamente a vari altri problemi di non -origine relativistica. Se qualcuno sta mantenendo sincronizzate alcune parti del sistema, probabilmente dovresti specificare quali parti. Ad esempio, se i satelliti conoscono accuratamente la loro posizione rispetto a un telaio inerziale che si muove con il centro della terra, ma l'orientamento della terra è calcolato dall'ora del giorno, allora avresti un errore di posizione cumulativo di 38 μs di rotazione terrestre, o un paio di centimetri all'equatore, al giorno. Ma se i satelliti conoscono accuratamente la loro posizione rispetto a un sistema di riferimento rotante, l'errore sarebbe molto più piccolo.