Legge dei grandi numeri

Questa legge afferma semplicemente che se ripeti una prova molte volte, il risultato tende ad essere il valore atteso.Ad esempio, se tiri un dado a 6 facce, potresti ottenere uno dei sei risultati 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ma la media dei sei risultati è 3,5 e se tiri il dado a 6 facceun milione di volte e considerando la media di tutte, è estremamente probabile che si ottenga una media di circa 3,5.

Ma tu 1) potresti non ottenere un numero vicino a 3,5, infatti c'è una probabilità diversa da zero che tu ottenga una media, ad esempio, 2 o 1 e 2) non puoi ancora prevedere quale risultato otterraiquando tiri un solo dado.

Allo stesso modo, potresti non essere in grado di prevedere quando un singolo atomo decadrà (cioè quando tiri un singolo dado), ma puoi fare previsioni molto buone quando hai molti atomi (cioè l'equivalente di rotolare ilmorire milioni di volte).

A titolo illustrativo, possiamo simulare il decadimento radioattivo, utilizzando vari numeri iniziali di atomi.Otteniamo qualcosa del genere:

I due grafici mostrano la proporzione degli atomi rimanenti in funzione del tempo.Il pannello inferiore utilizza una scala logaritmica per vedere meglio cosa sta succedendo.Ciascuna curva mostra una simulazione con una data popolazione iniziale (da 1 a 1000 atomi). Come puoi vedere, aumentando il numero di atomi le curve convergono rapidamente alla curva limite (in blu).Poiché il numero di atomi in molti problemi è molto maggiore di 1000, ha senso utilizzare la curva limite per modellare la popolazione atomica.

Il decadimento radioattivo è del tutto casuale ed è impossibile prevedere quando un atomo specifico decadrà. Tuttavia, in qualsiasi momento, ogni atomo radioattivo in un campione ha la stessa probabilità di decadere. Pertanto, il numero di eventi di decadimento (o riduzione del numero di atomi) $ - dN $ in un breve intervallo di tempo $ dt $ è proporzionale al numero di atomi $ N $ .

Quindi $ - \ frac {dN} {dt} = kN $ . La soluzione a questa equazione differenziale è $ N (t) = N (0) e ^ {- kt} $ .

Quindi, quando c'è un numero sufficientemente grande di atomi in un campione, il loro numero può essere trattato come continuo e si può usare un'equazione differenziale per risolvere la quantità di campione.

In altre parole, dopo un'emivita non sempre rimane esattamente la metà degli atomi a causa della casualità del processo. Ma quando ci sono molti atomi identici in decomposizione, è una buona approssimazione dire che la metà degli atomi rimane dopo un'emivita (per un numero sufficiente di atomi è improbabile che si verifichino grandi fluttuazioni).

In parole povere, un numero casuale è sempre distribuito a Poisson, se abbiamo un numero "elevato" di eventi possibili, ognuno dei quali è "raro" e indipendente l'uno dall'altro. Questo può essere mostrato matematicamente (cerca il processo di Poisson). Poiché questo vale per il numero di messaggi di spam ricevuti all'ora e per il decadimento di un isotopo radioattivo, entrambi vengono distribuiti come $$ Pr (X = k) = \ frac {\ lambda ^ k e ^ {- \ lambda}} {k!} $$ dove $ \ lambda $ è la costante di velocità (adimensionale) del processo di Poisson, che è uguale al valore medio, $ E [X] = \ lambda $ così come alla varianza, $ Var [X] = \ lambda $ . In Fisica di solito sostituiamo $ \ lambda \ con \ tilde \ lambda \ cdot t $ , dove $ \ tilde \ lambda $ ha dimensione $ s ^ {- 1} $ .

Per semplificare l'argomento precedente, si potrebbe dire che la $ e ^ {- \ tilde \ lambda t} $ legge degli isotopi radioattivi è dovuta a un effetto medio .

La ragione di fondo è dovuta alla natura probabilistica degli eventi quantistici.A livello quantistico, dopo un determinato periodo di tempo ogni evento ha una particolare probabilità di accadere.Proprio come tirare un dado, non sai mai quando tirerai un sei ma sai che ne uscirà uno.Se tiri centinaia o migliaia di volte, la matematica della probabilità ti darà una buona idea di quale sarà la distribuzione dei sei.

Così è con la radioattività.Non si sa mai quando un dato atomo "rotola un sei" e decade.Ma sai quale sarà la distribuzione degli eventi di decadimento in un blocco di atomi.

Potresti ancora voler sapere, perché gli eventi quantistici sono probabilistici?Augh!È uno dei misteri più profondi della vita.La matematica funziona, questo è tutto ciò che possiamo dire con certezza.

Il motivo alla base di questo è il modo in cui definiamo il problema.

Se ho 100 singole particelle radioattive identificabili, la mia capacità di prevedere se una di esse decade o meno non è migliore del caso casuale. Tuttavia, nelle situazioni che descrivi non le trattiamo come 100 singole particelle radioattive identificabili. Qualsiasi decadimento viene trattato come se qualsiasi altro decadesse.

È qui che entra in gioco il teorema del limite centrale. Poiché stiamo osservando la somma di tutte le particelle che sono decadute, e ogni decadimento è uguale a qualsiasi altro, il comportamento inizia a diventare più prevedibile. Non sappiamo quali particelle decadranno, ma possiamo essere più certi di quante decadranno in qualsiasi periodo di tempo.

Raggiungi un numero abbastanza grande (ad esempio, qualche milione di atomi) e scopri che il numero di decadimenti in qualsiasi intervallo di tempo è estremamente prevedibile. Non è perché la radioattività è diventata più prevedibile, ma piuttosto perché stai scegliendo di misurare qualcosa che è più prevedibile.

Perché un valore medio è unico ("deterministico"), contrariamente a un singolo risultato.

Penso che ciò che ti confonde sia il modo in cui usiamo parole come "casuale" e "imprevedibile". Pensa a un dado a sei facce. Lo stampo ha una struttura molto specifica. È altamente simmetrico. Per questo motivo, possiamo dire con grande certezza che se tiri quel dado 10.000 volte, circa 1/6 delle volte mostrerà un 2.

Il processo di decadimento radioattivo per miliardi di atomi identici è come lanciare miliardi di dadi strutturati in modo uniforme. Ogni atomo ha la stessa struttura e proprietà. Quindi possiamo dire con grande certezza quale frazione decadrà nel tempo. Non sai nulla su cosa farà un singolo tiro di dado, ma grazie alla struttura del dado puoi dire qualcosa su cosa ti aspetti dai risultati di diecimila lanci. Gli atomi stanno "facendo l'esperimento di decadimento" (o, in un certo senso, "lanciando il dado e decidendo in base a quel tiro se decadere o meno) miliardi di volte. Quindi ottieni risultati piacevoli e uniformi perché vengono eseguiti così tanti esperimenti identici .

Può sembrare una contraddizione avere qualcosa di così prevedibile (tasso di decadimento complessivo) derivante da qualcosa in cui ogni singola azione è "imprevedibile". Ma la "prevedibilità" nel caso del dado deriva dal fatto che il dado stesso non è una cosa casuale - è strutturato in modo molto simmetrico. Allo stesso modo, le proprietà di un particolare tipo di atomo sono sempre le stesse. Ecco da dove viene la prevedibilità: riflette l'uniformità di quel particolare tipo di proprietà dell'atomo, proprio come l'1,2,3,4,5,6 dello stampo uniformemente distribuito è un riflesso della struttura uniforme dello stampo.

Nella nostra testa potremmo mappare "casuale" e "imprevedibile" nello stesso posto, ma questo è un po 'fuorviante.Per molte, molte cose in cui il singolo esperimento ha un risultato "casuale", c'è una struttura o proprietà sottostante che viene mostrata quando lo ripeti abbastanza.Da qui l'apparente contraddizione di ottenere risultati altamente prevedibili da un processo "casuale".

È un principio comune in fisica avere una quantità emergente dalle proprietà collettive della materia. Ad esempio, si consideri la "temperatura", nella teoria cinetica dei gas, la temperatura è l'energia cinetica media di tutte le molecole di gas. Ma ora nota che ogni gas in sé non ha una temperatura.

Ecco un altro modo di pensarla, ad esempio immagina di andare in un aeroporto. Se vai all'aeroporto e poi vai da persone a caso e chiedi "Perché sei qui?" quindi una ragionevole percentuale di persone sul totale delle persone interpellate risponderebbe "viaggiare in aereo". Ma ci sono anche persone che vanno all'aeroporto solo per vedere i loro amici e la famiglia partire. Nota che questa osservazione della maggior parte delle persone in un aeroporto che volano in aereo è il risultato diretto del tipo di luogo in cui si trova un aeroporto

Quindi, qui non abbiamo idea che la particella decadrà o meno nell'immediato futuro. Il modo in cui "chiediamo" è che prendiamo letture sperimentali di quante particelle vengono tralasciate alla fine. E queste letture dipenderebbero completamente dal tipo di particella che è (disegnando un'analogia con gli aeroporti)

Spero che questo ti abbia aiutato a capire meglio l'idea :) Per favore lascia un commento se c'era una parte che non era chiara