Immagina un anello chiuso a forma di nodo trifoglio ( https://en.wikipedia.org/wiki/Trefoil_knot). Come si calcola il flusso attraverso questo ciclo? Normalmente definiamo una superficie liscia arbitraria, ad esempio $ \ mathcal {S} $ il cui confine $ \ partial {\ mathcal { S}} $ è il ciclo dato e calcola il flusso usando la sua definizione integrale come $$ \ Phi_B = \ int _ {{\ mathcal {S}}} \ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf {S} \ tag {1} \ label {1} $ $ È chiaro come usare $ \ eqref {1} $ quando il loop è un loop semplice e la superficie è anche un semplice , ma come si può stendere una superficie su un trifoglio ed è pur vero che per tali superfici il flusso è sempre lo stesso perché $ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 $ , in altre parole come vale il teorema di Gauss per superfici il cui bordo è un trifoglio?
In alternativa, si potrebbe introdurre il potenziale vettoriale $ \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} $ e utilizzando il teorema di Stokes derivare dal definizione di flusso $ \ eqref {1} $ che $$ \ Phi_A = \ int _ {{\ mathcal {S}}} \ nabla \ times \ mathbf {A} \ cdot d \ mathbf {S} \\ = \ oint _ {\ partial \ mathbf {S}} \ mathbf {A} \ cdot d \ ell \ tag {2} \ label {2} $$ Quindi, ogni volta che possiamo usare il teorema di Stokes abbiamo anche $ \ Phi_A = \ Phi_B $ . Come regge il teorema di Stokes se il ciclo è un trifoglio?
Se in effetti l'applicazione del teorema di Gauss o di Stokes ha un problema, allora il fatto che l'integrale di linea tramite $ \ eqref {2} $ può essere sempre usato per definire il flusso $ \ Phi_A $ significa che almeno in questo senso $ \ mathbf {A} $ è più fondamentale di $ \ mathbf {B} $ ?