La risposta di Lubos Motl è completamente corretta, ma aggiungerò comunque la mia prospettiva.

Per molte unità composte, non dovresti provare a "visualizzare" il significato dell'unità, ma dovresti pensare come ricordarti delle relazioni tra quella quantità e gli altri. Perché le unità della costante di Newton $ G $ $ {\ rm N \ m ^ 2 / kg ^ 2} $? È perché lo "scopo nella vita" di $ G $ deve essere moltiplicato per un paio di masse e diviso per una distanza al quadrato, lasciandoti con una forza.

A proposito, questo a volte significa che, almeno quando sei nuovo in una quantità, spesso è bello non ridurre le sue unità alla forma più semplice. L'esempio di Lubos è probabilmente il migliore qui: Il significato di $ {\ rm m / s ^ 2} $ è oscuro per alcuni studenti principianti di fisica, mentre $ \ rm (m / s) / s $ o $$ {\ rm m / s} \ over {\ rm s} $$ è un promemoria più chiaro del significato. (Se lo scrivi nella prima forma, usa le parentesi. Libri più vecchi usavano scrivere m / s / s potenzialmente ambigui.) Allo stesso modo, ho scritto le unità di $ G $ nella forma che ho fatto perché è così facile da ricordare. È equivalente a $ \ rm m ^ 3 / (kg \ s ^ 2) $, ma il "significato" di questo è più difficile da vedere a colpo d'occhio.

Non c'è motivo per cui dovresti "immaginare" un secondo al quadrato. La maggior parte delle quantità in fisica non ha alcuna visualizzazione "geometrica" ​​canonica e non c'è motivo per cui dovrebbero averla. Ciò che conta è che dovresti essere in grado di calcolarlo.

Ad esempio, l'accelerazione gravitazionale sulla Terra è $ 9,81 \, \, {\ rm m / s} ^ 2 $. Questo significa semplicemente che l'accelerazione è $$ g = \ frac {9.81 \, \, {\ rm m / s}} {{\ rm s}} $$ Ogni secondo, la velocità aumenta di $ 9.81 \, \, {\ rm m / s} $ verso il basso. L'accelerazione è di 9,81 metri al secondo al secondo. Se dividi l'unità $ {\ rm m / s} $ per un altro $ {\ rm s} $, ottieni $ {\ rm m / s / s} $ che è la stessa cosa di $ {\ rm m / s } ^ 2 $.

Un secondo quadrato sarebbe comunque molto semplice da immaginare: immagina un quadrato in uno spaziotempo fittizio con due coordinate temporali il cui lato è un secondo. Non c'è problema con il fatto che questo spaziotempo non è reale: stai solo cercando di immaginare qualcosa che non dovrebbe essere immaginato, quindi non sorprende che l'immaginazione non sia fisica.

Esistono molto di più "bizzarro "unità per quantità apparentemente semplici. Ad esempio, l'unità di carica elettrica nel sistema CGSE è uno statcoulomb

http://en.wikipedia.org/wiki/Statcoulomb

che è solo un modo diverso di dire $$ 1 {\ rm g} ^ {1/2} {\ rm cm} ^ {3/2} {\ rm s} ^ {- 1} $ $ che contiene potenze frazionarie. Non si possono immaginare forme i cui "volumi" siano potenze frazionarie dei lati. Tuttavia, non vi è alcuna difficoltà con il calcolo con queste unità. Ci sono molte formule in fisica che sono "non lineari" - in cui una quantità deve essere invertita, al quadrato, al cubo o esponenziata a un'altra potenza (possibilmente frazionaria) - per ottenere un'altra quantità. Anche le unità devono essere esponenziate di conseguenza.

Ogni tanto mi imbatto in questa domanda degli studenti. L'approccio come segue:

Nel calcolare la quantità di vernice necessaria per coprire un muro, è naturale pensare in termini di metri quadrati $ m ^ 2 $. Gli studenti sembrano accettarlo intuitivamente. Il problema sorge quando devi pensare a cose come il tempo al quadrato.

(1) Quando usi unità di metri quadrati devi riconoscere che questa è già un'unità derivata. Non usi un metro quadrato per misurare metri quadrati. Usi un metro e poi usi un po 'di matematica. Quindi hai già perso la verginità in metri quadrati, secondi quadrati è solo un altro passo sul percorso.

(2) Quando scendi per acquistare un'auto (negli Stati Uniti), uno degli attributi venderti l'auto, in termini di misurazione della sua accelerazione, è quanti secondi ci vogliono per raggiungere una velocità, tipicamente 60 mph. Quindi un'auto potrebbe impiegare 10 secondi per raggiungere le 60 miglia all'ora. Supponendo che l'accelerazione sia costante, si tratta di 6 miglia all'ora al secondo. Scriviamo questo come $$ \ frac {\ textrm {60 miglia all'ora}} {\ textrm {10 secondi}} = \ frac {\ textrm {6 miglia all'ora}} {\ textrm {second}}. $$ E questo può essere riscritto come: $$ \ frac {\ textrm {6 miglia / ora}} {\ textrm {second}} = \ frac {\ textrm {6 miglia / ora}} {\ textrm {second / 1}} $ $$$ = \ frac {\ textrm {6 miglia}} {\ textrm {ora}} \ frac {\ textrm {1}} {\ textrm {second}} $$$$ = \ frac {\ textrm {6 miglia }} {\ textrm {ora-secondo}} $$ e quindi ci resta l'unità "ora-secondo" che in effetti è il tempo al quadrato, ed è facilmente visibile come uguale al minuto $ ^ 2 $.

In breve, dobbiamo sempre ricordare che le unità che usiamo servono solo per permetterci di fare calcoli. Li abbiamo definiti, li usiamo, la natura li rispetta, ma non li contiene.