Non riesco a credere che nessuno abbia menzionato il libro di Arnol'd "Metodi matematici per la meccanica classica" - copre tutto ciò che chiedi nel primo paragrafo in modo abbastanza elegante (anche se a volte in modo un po 'conciso).

Struttura e interpretazione della meccanica classica ( sommario) merita sicuramente una menzione. Potrebbe non avere la geometria differenziale che desideri, anche se contengono un articolo successivo intitolato Geometria differenziale funzionale.

Il mio preferito per la meccanica classica pura è generalmente il libro di Goldstein che include i metodi Lagrangiano e Hamiltoniano (anche se non sono sicuro dei fondamenti geometrici e matematici simplettici).

Se vuoi dare uno sguardo fermo alle varietà spazio-temporali curve (per vettori, forme uno, fasci tangenti ecc.), Consiglierei Lo spazio-tempo e la geometria di Carroll ma si occupa del supporto matematico per la Relatività meccanica classica, ma su uno spaziotempo curvo.

Oro puro battuto, qualsiasi edizione, tascabile. Non ti lascia mai. Approccio lagrangiano.
Vedi le recensioni su Amazon LD Landau (Autore), EM Lifshitz (Autore) http://www.amazon.com/Mechanics-Third-Course-Theoretical-Physics/dp/0750628960

Come già accennato, i libri introduttivi standard alla meccanica geometrica (punti) hamiltoniana sono Foundations of Mechanics di Abraham e Marsden e Arnolds Mathematical Methods of Classical Mechanics. Un altro libro standard è: "Classical Mathematical Physics" di Walter Thirring.

Puoi anche dare un'occhiata a "Symmetry in Mechanics: a gentle, modern Introduction" di Stefanie Frank Singer, che colma il divario tra gli standard corsi universitari sulla meccanica classica dei punti e libri come quelli menzionati sopra.

Un altro libro interessante per la meccanica geometrica hamilton è "Introduzione alla simmetria e alla meccanica" di J. Marsden, che offre una bella panoramica introduttiva a questo argomento.

Per ulteriori esempi da un punto di vista geometrico puoi anche consultare "Aspetti globali dei sistemi classici integrabili" di Cushman e Bates.

Si potrebbe anche menzionare "Aspetti matematici dei sistemi classici e Celestical Mechanics "di Arnold, Kozlov e Neishtadt.

Per un approccio meno avanzato (e meno rigoroso) con moltissimi esempi puoi dare un'occhiata al libro tedesco" Klassische Mechanik "di F. Kuypers.

Non si tratta esplicitamente solo di meccanica in quanto cerca di colpire molte aree diverse della fisica, ma copre il materiale che stai chiedendo:

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Ti fornirà assolutamente una base solida nelle considerazioni geometriche che hai menzionato nella tua domanda (tangent bundle, cotangent bundle, 1-form, 2-form, ecc.).

Sebbene non risponda specificamente alle esigenze di Cedric H. (geometria simplettica), trovo che l'Introduzione alla dinamica di Percival & Richards sia una delle migliori (e più semplici) introduzioni alle dinamiche lagrangiane e hamiltoniane, in particolare alle trasformazioni canoniche e così via. Indico questo libro perché probabilmente non è molto conosciuto.

Forse nessuna geometria o forme simplettiche qui, ma questo libro ha MOLTO da offrire:

http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/book.html

Meccanica classica: Sistemi di particelle e dinamiche hamiltoniane di Walter Greiner.

Questo è un ottimo libro per le stesse ragioni per cui sono buoni tutti i libri appartenenti alla serie di libri scritti da Greiner.Sono chiari, non si allontanano dalla matematica (sono scritti per persone che vogliono dedicarsi alla fisica teorica) e hanno molti esempi.