Domanda:
Qual è il significato fisico del prodotto punto e incrociato dei vettori? Perché la divisione non è definita per i vettori?
claws
2011-08-29 01:58:15 UTC
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Capisco il significato fisico della sottrazione di & addizione vettoriale. Ma non capisco cosa significano i prodotti incrociati dot &?

Più specificamente,

  • Perché quel prodotto puntuale di vettori $ \ vec {A} $ e $ \ vec {B} $ è definito come $ AB \ cos \ theta $ ?
  • Perché questo prodotto incrociato di vettori $ \ vec {A} $ e $ \ vec {B} $ è definito come $ AB \ sin \ theta $ , moltiplicato per un vettore unitario determinato dalla regola della mano destra?

A me, entrambe queste formule sembrano essere definite arbitrariamente (anche se, so che sicuramente non sarebbe il caso).

Se il prodotto incrociato potesse essere definito arbitrariamente, perché non possiamo definire la divisione dei vettori? Cosa c'è che non va? Perché i vettori non possono essere divisi?

La divisione è l'inverso della moltiplicazione. Uno spazio vettoriale in cui puoi anche moltiplicare due vettori è chiamato algebra (su un campo). Il prodotto incrociato non è un tipo di moltiplicazione in quanto non è associativo. Inoltre, il prodotto scalare non conta come moltiplicazione poiché mappa due vettori in uno scalare. I quaternioni sono un esempio di uno spazio vettoriale che è anche un'algebra.
Otto risposte:
#1
+56
nibot
2011-08-29 02:07:04 UTC
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Ottengo il significato fisico della sottrazione di & addizione vettoriale. Ma non capisco cosa significano i prodotti incrociati dot &?

Forse troveresti più intuitive le interpretazioni geometriche dei prodotti punto e croce:

Il punto il prodotto di A e B è la lunghezza della proiezione di A su B moltiplicata per la lunghezza di B (o viceversa - è commutativa).

L'ampiezza di il prodotto incrociato è l ' area del parallelogramma con due lati A e B . L'orientamento del prodotto incrociato è ortogonale al piano contenente questo parallelogramma.

Perché i vettori non possono essere divisi?

Come definiresti l'inverso di un vettore tale che $ \ mathbf {v} \ times \ mathbf {v} ^ {- 1} = \ mathbf {1} $? Quale sarebbe il "vettore identità" $ \ mathbf {1} $?

In effetti, la risposta è a volte puoi . In particolare, in due dimensioni, puoi fare una corrispondenza tra vettori e numeri complessi, dove le parti reale e immaginaria del numero complesso danno le coordinate (x, y) del vettore. La divisione è ben definita per i numeri complessi.

Il prodotto incrociato esiste solo in 3D.

La divisione è definita anche in alcuni spazi di dimensioni superiori (come quaternioni), ma solo se rinunci alla commutatività e / o all'associatività.


Ecco un'illustrazione dei significati geometrici di punto e prodotto incrociato, dall'articolo di wikipedia per prodotto dot e articolo di wikipedia per prodotti incrociati:

enter image description here enter image description here

Il prodotto incrociato esiste solo in 3D e 7D.
Se dici che la direzione del prodotto incrociato è la direzione ortogonale dell'area del parallelogramma, allora come cambia la direzione del vettore quando commutiamo i vettori.
Perché qualcuno dovrebbe dare una risposta che è quasi completamente irrilevante per la domanda, mi chiedo.Questa era esattamente la domanda nella mia mente mentre la stavo cercando su Google, ma questa sicuramente non è una risposta.Vorrei poter votare per difetto.
@renormalizedQuanta Oh sì, continuo a dimenticarmi della 7D.Dovrò guardare me stesso e stare più attento perché mi piace dire che il prodotto incrociato produce solo un vettore a causa di una coincidenza 3D.Il che è vero, ma si dovrebbero menzionare anche altre dimensioni speciali.
E per quanto ne so, è piuttosto divertente (e, l'ultima volta che ho controllato, non molto semplice) perché funziona solo nelle dimensioni 3 e 7 ... Sono sicuro che qui c'è un filo conduttore.
Il prodotto incrociato esiste in 3D e 7D a causa dell'esistenza di quaternioni e ottonioni (in 4D e 8D) risp https://en.wikipedia.org/wiki/Octonion#Commutator_and_cross_product
#2
+44
Ron Maimon
2011-08-29 04:40:34 UTC
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Il modo migliore è ignorare la spazzatura che gli autori inseriscono nei libri di fisica elementare e definirla con tensori. Un tensore è un oggetto che si trasforma come prodotto di vettori sotto rotazioni. Allo stesso modo, può essere definito da funzioni lineari di (insiemi di vettori) e (funzioni lineari di insiemi di vettori), tutto questo è descritto su Wikipedia.

Ci sono esattamente due tensori invarianti rispetto alle rotazioni:

$\delta_{ij}$and$\epsilon_{ijk}$

Tutti gli altri tensori invarianti rispetto alle rotazioni sono prodotti e tracce tensoriali di questi. Questi tensori definiscono il "prodotto punto" e il "prodotto incrociato", nessuno dei quali è una buona nozione di prodotto:

$ V \ cdot U = V ^ i U ^ j \ delta_ {ij} $

e prodotto incrociato

$ (V \ times U) _k = V ^ i U ^ j \ epsilon_ {ijk} $

È inutile provare a pensa al prodotto incrociato come un "prodotto", poiché non è associativo, $ (A \ times B) \ times C $ non è uguale a $ A \ times (B \ times C) $. È anche meno che utile pensare al prodotto scalare come un prodotto nel senso comune del termine, perché porta coppie di vettori a numeri e $ (A \ cdot B) C $ non è uguale a $ A (B \ cdot C ) $, perché il primo punta nella direzione C e il secondo punta nella direzione A.

Il modo migliore è abituarsi ai tensori invarianti. Questi si generalizzano a dimensioni arbitrarie, sono molto più chiari e non richiedono una regola della mano destra (questa è curata dalla convenzione sull'ordine dell'indice). Non troverai un solo articolo di fisica che utilizzi il prodotto incrociato, con la sola eccezione dell'articolo di Feynman del 1981 "il comportamento qualitativo della teoria di Yang-Mills in 2 + 1 dimensioni", e anche se lo fai, è banale da tradurre.

#3
+16
Muphrid
2013-01-16 05:55:48 UTC
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Puoi dividere i vettori con l'algebra clifford ("geometrica").

Il prodotto geometrico dei vettori è associativo:

$$ abc = ( ab) c = a (bc) $$

E il prodotto geometrico di un vettore con se stesso è uno scalare.

$$ aa = | a | ^ 2 $$

Queste sono tutte le proprietà richieste per definire un prodotto unico di vettori. Tutte le altre proprietà possono essere derivate. Li riassumerò, tuttavia: per due vettori, il prodotto geometrico sposa i prodotti punto e croce.

$$ ab = a \ cdot b + a \ wedge b $$

Usiamo cunei invece di croci perché questo secondo termine non è un vettore. Lo chiamiamo un bivettore e rappresenta un piano orientato. Può essere istruttivo introdurre una base per vederlo. $ e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1 $ e $ e_1 e_2 = -e_2 e_1 $ acquisiscono le proprietà del prodotto geometrico per questi vettori di base ortonormali. Il prodotto geometrico è quindi,

$$ ab = (a ^ 1 e_1 + a ^ 2 e_2) (b ^ 1 e_1 + b ^ 2 e_2) = (a ^ 1 b ^ 1 + a ^ 2 b ^ 2) + (a ^ 1 b ^ 2 - a ^ 2 b ^ 1) e_1 e_2 $$

Come ho detto, il prodotto geometrico di due vettori è invertibile nello spazio euclideo. Questo è ovvio dalla proprietà dell'associatività: $ a b b ^ {- 1} = a (b b ^ {- 1}) = a $. Che $ bb ^ {- 1} = 1 $ implica che

$$ b ^ {- 1} = b / | b | ^ 2 $$

È informativo da guardare la quantità $ a = (ab) b ^ {- 1} $, utilizzando il raggruppamento per scomporla in modo diverso.

$$ a = (ab) b ^ {- 1} = (a \ cdot b) b ^ {- 1} + (a \ wedge b) \ cdot b ^ {- 1} $$

Il primo termine è nella direzione di $ b $, il secondo è ortogonale a $ b $. Questo scompone $ a $ in $ a_ \ parallel $ e $ a_ \ perp $.

Ciò che altri hanno detto è corretto, non puoi definire solo il prodotto incrociato vettoriale per essere invertibile. Questa scomposizione dovrebbe convincerti: non puoi ricostruire completamente un vettore senza informazioni da entrambi i prodotti punto e croce. E come è stato detto, questo prodotto non è commutativo.

questa è un'ottima risposta, eccetto l'uso di apici per cose che non sono esponenziali.
#4
+8
Jerry Schirmer
2011-08-29 02:15:14 UTC
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Se intendi definire la divisione dei vettori, dovrai definire su quale campo di moltiplicazione definire la divisione: per i numeri ordinari, penso a $ \ frac {x} {y } $ come numero che, moltiplicato per $ y $, restituisce $ x $. Quindi, $ \ frac {\ vec x} {\ vec y} $ dovrebbe essere il vettore che, quando "moltiplicato" per $ \ vec y $, dà $ \ vec x $. Se il nostro campo di moltiplicazione è il prodotto scalare, siamo già nei guai, perché il prodotto scalare di due vettori è uno scalare, e la definizione sopra richiederebbe quindi $ \ frac {\ vec x} {\ vec y} $ per simultaneamente essere un vettore e uno scalare.

Allo stesso modo, se la nostra operazione è il prodotto incrociato, allora sappiamo che, per qualsiasi vettore $ \ vec x $ e $ \ vec y $ e ogni $ c $ scalare, abbiamo $ {\ vec x} \ times {\ vec y} = {\ vec x} \ times \ left ({\ vec y} + c {\ vec x} \ right) $, quindi questo significa che ci sono un un numero infinito di vettori che soddisfano la proprietà "quando prodotto in modo incrociato da $ \ vec y $, dà $ \ vec x $". Pertanto, la divisione sul prodotto incrociato non è univoca.

#5
+4
Vladimir Kalitvianski
2011-08-29 02:15:47 UTC
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Oltre alla risposta di nibot: divisione qualcosa è trovare una parte di qualcosa. Nel caso di un vettore, la sua parte ha la stessa direzione ma una lunghezza minore. Quindi è naturale dividere i vettori per numeri, non per vettori.

Quei prodotti punto e croce non sono prodotti semplici perché dipendono non solo dalle lunghezze ma anche dagli orientamenti. Sono chiamate corrispondenze tra un paio di vettori e numeri o vettori.

#6
+4
iSeeker
2018-05-23 17:15:39 UTC
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Un altro approccio più intuitivo alla tua domanda (matematici: distogli lo sguardo) è pensare ai prodotti punto (AB = ABcosθ) e croce (AxB = ABsinθ) semplicemente come modi per misurare i gradi di parallelismo dei vettori rispetto alla perpendicolarità (ortogonalità) di vectors, nel senso che:

  • Il prodotto scalare di vettori unitari paralleli, UU restituisce un numero UU cos 0 = 1 (o un numero di valore A * B per vettori di lunghezze vettoriali arbitrarie) mentre di vettori ortogonali (perpendicolari) è sempre zero, come cos 90 ° = 0

  • Al contrario, il prodotto incrociato di vettori unitari paralleli è di grandezza 0 (come sin 0 ° = 0) mentre di vettori unitari ortogonali è 1 (o grandezza AxB per lunghezze arbitrarie); ma in questo caso il risultato è mappato in un vettore , che deve essere perpendicolare al piano definito dai vettori di input A e B (non c'è un modo ovvio per assegnargli una direzione all'interno di il piano definito da A e B). E riconoscere anche che il prodotto incrociato acquisisce in tal modo un senso di manualità come AxB = -BxA, che risulta essere utile (esempio sotto).

Naturalmente, è l'uso di sin e cos che determina il modo in cui queste misure vanno da 0 a 1 per i vettori unitari; immagina solo i valori dei prodotti che cambiano mentre pensi ai vettori A e B che ruotano l'uno verso l'altro o in allontanamento per ogni tipo di prodotto.

Per quanto riguarda il significato fisico di (e ignorando le intuizioni più profonde disponibili tramite Clifford Algebra ecc.), questi "prodotti" si rivelano utili in così tante situazioni che il loro significato fisico è spesso dato per scontato, piuttosto che essere sottolineato (e forse questo è alla base della tua domanda).

Per il prodotto dot : ad es. in meccanica, il valore scalare di Potenza è il prodotto scalare dei vettori Forza e Velocità (come sopra, se i vettori sono paralleli, la forza sta contribuendo pienamente alla potenza; se perpendicolare alla direzione del moto, la forza non sta contribuendo alla potenza, ed è la funzione cos che varia al variare della lunghezza della proiezione del vettore forza sul vettore velocità; quindi non è affatto definito arbitrariamente ).

Per il prodotto incrociato: ad es. momento angolare, L = rxp (tutti i vettori), quindi sembra perfettamente intuitivo che il vettore risultante dal prodotto incrociato si allinei con l'asse di rotazione coinvolto, perpendicolare al piano definito dai vettori del raggio e della quantità di moto (che in questo esempio sarà di solito sono perpendicolari tra loro, quindi la grandezza di rp * sin90 ° = rp). E se il senso di rotazione cambia, il segno del vettore della quantità di moto viene invertito e quindi anche il vettore del prodotto incrociato L cambia segno (da qui l'utilità di mappare il prodotto incrociato in un vettore).

Nota, tuttavia, puoi anche calcolare il numero risultante da AB * sinθ (invece di mapparlo in un vettore perpendicolare). È solo l'area del parallelogramma definita dai vettori A e B nel prodotto incrociato.

Per inciso, non c'è nulla che ti impedisca di mappare il prodotto scalare in un vettore perpendicolare, se lo desideri, ma probabilmente non è spesso utile farlo in fisica.

Per quanto riguarda la divisione, questo è un po 'più tecnico e trattato bene dalle risposte precedenti. C'è anche qualche discussione accessibile su https://www.quora.com/Can-we-divide-a-vector-by-a-vector-and-why

Spero che questo sia di aiuto per i membri meno esperti.

#7
+3
Misha
2011-08-29 10:46:33 UTC
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Per i prodotti hai le risposte. Per la divisione ti consiglio di leggere di più sui quaternioni. L'interpretazione dei vettori in termini di quaternioni consente più algebra di copertura rispetto allo spazio vettoriale stesso.

Un po 'di matematica qui. Per una definizione naturale di divisione è necessario almeno un anello di divisione (si può commentare che l'algebra della divisione è sufficiente, quindi aggiungere ottonioni alla mia risposta). Esiste un teorema secondo cui gli unici anelli di divisione di dimensione finita sono reali, complessi e quaternioni. I vettori sono lo spazio vettoriale in tre dimensioni. Quindi, qualsiasi divisione per i vettori tridimensionali sarà "innaturale".

#8
  0
Abhimanyu Pallavi Sudhir
2018-06-10 17:03:08 UTC
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La domanda "cosa è uguale a $ \ vec {a} / \ vec {b} $?"equivale a chiedere "Cosa moltiplichi per $ \ vec b $ per ottenere $ \ vec a $?"- la risposta è una matrice, supponendo che la moltiplicazione comporti una contrazione in seguito.In modo equivalente, si moltiplica e si contrae un (1, 0) tensore $ b ^ \ mu $ con un (1,1) tensore $ A_ \ mu ^ \ nu $ per ottenere un (0,1) tensore $ b ^ \ nu $.

Ma ci sono più matrici che puoi moltiplicare $ \ vec b $ per per ottenere $ \ vec a $.In due dimensioni, hai bisogno di due serie di "questa mappatura a questo" (e la consapevolezza che la mappatura è lineare) per definire cosa sia la mappatura lineare.In generale, nelle dimensioni $ n $, hai bisogno di $ n $ tali vettori, quindi invece di dividere i vettori, dividi insiemi di vettori - questi sono chiamati matrici.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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