Questa è una domanda piuttosto sottile, che ha confuso persino Newton. È molto allettante pensare che un universo newtoniano inizialmente statico con densità di massa perfettamente uniforme non collasserà, perché la forza gravitazionale si annulla ovunque per simmetria. TQuesto è sbagliato.

Ecco una domanda analoga: supponiamo che una funzione $ f $ obbedisca $$ f '' (x) = 1 $$ e vogliamo risolvere per $ f (x) $ . Poiché ogni punto sulla linea reale è uguale a ogni altro punto, potremmo pensare che per simmetria, $$ f (x) = \ text {constant}. $$ Ma questo è completamente sbagliato, perché la derivata seconda di una costante è zero. E facendo un passo indietro, l'intera domanda non ha alcun senso, perché non ci sono abbastanza informazioni. Per risolvere un'equazione differenziale generale, sono necessarie condizioni al contorno.

Una possibile condizione al contorno è che la soluzione sembri approssimativamente anche all'infinito. È sufficiente per specificare la soluzione ovunque, come $$ f (x) = \ frac {x ^ 2} {2} + \ text {constant}. $$ Ma ora la simmetria traslazionale è stata interrotta: non tutti i punti sono più equivalenti, perché abbiamo un minimo a $ x = 0 $ . Questo è inevitabile. Non è possibile risolvere l'equazione differenziale senza condizioni al contorno e Qualsiasi scelta di condizioni al contorno rompe la simmetria.

Allo stesso modo nell'universo infinito di Newton abbiamo $$ \ nabla ^ 2 \ phi = \ rho $$ dove $ \ rho $ è la densità di massa costante e $ \ phi $ è il potenziale gravitazionale, corrispondente a $ f $ nell'esempio precedente. Proprio come in quell'esempio, "ovviamente" abbiamo per simmetria $$ \ phi (x) = \ text {constant} $$ che indica che la forza svanisce ovunque. Ma questo è sbagliato. Senza condizioni al contorno, l'evoluzione successiva non è definita; è come chiedere di risolvere $ x $ dato solo che $ x $ è pari. Con l'insieme di condizioni al contorno any, avrai un punto verso il quale tutto crolla. Quindi la risposta alla tua domanda è che sia l'universo newtoniano e quello relativistico iniziano immediatamente a collassare; l'argomento della simmetria non funziona in nessuno dei due, quindi non c'è niente di strano da spiegare.

Il motivo per cui questo punto non viene menzionato nella maggior parte dei corsi è che spesso assumiamo che il potenziale gravitazionale vada a zero all'infinito (nella gravità newtoniana) o che la metrica sia asintoticamente piatta (nella relatività). Ma questa condizione al contorno non funziona quando la distribuzione della massa si estende anche all'infinito, il che porta alla trappola qui. Lo stesso punto può portare a sorprese in elettrostatica.

Abbiamo ragionato sopra in termini di potenziali. Un modo leggermente diverso, ma fisicamente equivalente per giungere alla stessa conclusione è quello di utilizzare direttamente i campi, integrando il campo gravitazionale dovuto a ciascuna massa. In questo caso, il problema è che il campo in qualsiasi punto non è ben definito perché gli integrali non convergono. L'unico modo per garantire la convergenza è introdurre un "regolatore", che fa sì che le masse distanti contribuiscano meno per via fiat. Ma un tale regolatore, sostituendo efficacemente la distribuzione infinita con una finita, introduce un centro verso il quale tutto collassa; proprio come le condizioni al contorno, qualsiasi regolatore rompe la simmetria. Quindi, di nuovo, il collasso inizia immediatamente.

Alla fine, sia l'universo newtoniano e quello relativistico iniziano immediatamente a collassare, e in entrambi i casi ciò può essere evitato aggiungendo una costante cosmologica.Nel caso newtoniano, questa è semplicemente l'affermazione banale che $ \ nabla ^ 2 \ phi = \ rho - \ Lambda $ ha soluzioni costanti per $ \ phi $ quando $ \ rho = \ Lambda $ .Tuttavia, in entrambi i casi la soluzione è instabile: il collasso inizierà all'introduzione di eventuali perturbazioni.

L'equazione che regola la curvatura dello spaziotempo nella relatività generale è $$ R _ {\ mu \ nu} - \ frac12Rg _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} $$ Oppure, in realtà, sono $ 16 $ equazioni in una: $ \ mu $ e $ \ nu $ può assumere valori da $ 0 $ a $ 3 $ , che rappresenta i quattro componenti di un dato sistema di coordinate, e per ciascuna di queste scelte ottieni una nuova equazione (con la piccola avvertenza che è simmetrica in $ \ mu $ e $ \ nu $ , quindi in realtà sono solo $ 10 $ equazioni distinte) .

I simboli $ R _ {\ mu \ nu} $ , $ R $ , $ g _ {\ mu \ nu} $ e $ T _ {\ mu \ nu} $ sono i cosiddetti tensori , che per ora puoi pensare a funzioni a valori reali nello spaziotempo. (I valori effettivi che ottieni dipenderanno dalla tua scelta del sistema di coordinate, ma se fissi un sistema di coordinate per la regione che ti interessa, diventano solo funzioni. $ R $ è una singola funzione mentre le restanti tre, ancora una volta, sono raccolte di $ 16 $ funzioni: una per ogni $ \ mu, \ nu $ coppia.)

Il lato sinistro rappresenta la curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo piatto abbiamo $ R _ {\ mu \ nu} = 0 $ per qualsiasi $ \ mu, \ nu $ e otteniamo anche $ R = 0 $ , quindi il lato sinistro sarà $ 0 $ span>.

Il lato destro è una grande costante moltiplicata per $ T _ {\ mu \ nu} $ , che rappresenta l'energia in ogni punto nello spazio. In un sistema di coordinate "sensato" (dove il componente $ 0 $ rappresenta il tempo e le tre coordinate rimanenti rappresentano lo spazio), $ T_ {00} $ rappresenterà la densità di energia (inclusa la densità di massa; gli altri componenti di $ T _ {\ mu \ nu} $ rappresentano cose come pressione e densità di momento). Se c'è una massa uniforme diversa da zero ovunque, allora $ T_ {00} $ sarà diverso da zero. Ciò significa che $ R_ {00} - \ frac12Rg_ {00} $ sarà anche diverso da zero, il che significa che non abbiamo uno spaziotempo piatto come $ R_ {00} $ o $ R $ deve essere diverso da zero.

Per riguadagnare lo spaziotempo piatto in questo caso, e consentire sia $ R _ {\ mu \ nu} $ e $ R $ per essere zero, è necessario aggiungere un terzo termine a sinistra: la costante cosmologica $ \ Lambda $ , dandoci $$ R _ {\ mu \ nu} - \ frac12Rg _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} $$

Bella domanda!

Ecco una possibile dichiarazione della logica nel caso newtoniano. (1) Nella meccanica newtoniana, assumiamo che esistano sistemi di riferimento inerziali (questo è un modo moderno e popolare di riaffermare la prima legge di Newton), assumiamo che tali sistemi siano globali e assumiamo che possiamo sempre trovare un tale sistema osservando un particella di prova su cui non agisce alcuna forza. (2) Nella cosmologia omogenea newtoniana, potremmo presumere che la forza su una particella di prova P scelta possa essere trovata mediante un processo limitante e che il risultato sia unico. (Questo è fondamentalmente un presupposto fasullo, ma non credo che questo finisca per essere il problema qui.) (3) Dato che il risultato è unico, deve essere zero per simmetria. (4) In base alle ipotesi 1 e 2, P definisce una struttura inerziale e, in base all'ipotesi 1, quella struttura può essere estesa per coprire l'intero universo. Pertanto tutte le altre particelle nell'universo devono avere accelerazione zero rispetto a P.

Nella relatività generale, l'ipotesi 1 fallisce. Le particelle di prova P e Q possono essere entrambe inerziali (cioè, nessuna forza non gravitazionale agisce su di esse), ma può essere falso che non siano accelerate l'una rispetto all'altra. Ad esempio, possiamo creare una cosmologia FRW in cui, in un momento iniziale, $ \ dot {a} = 0 $ , ma poi avrà $ \ ddot {a} \ ne0 $ (per soddisfare le equazioni di campo di Einstein per una polvere uniforme). (In questa situazione, le equazioni di campo di Einstein possono essere ridotte alle equazioni di Friedmann, una delle quali è $ \ ddot {a} / a = - (4 \ pi / 3) \ rho $ .)

Questo mostra che l'argomento newtoniano (o almeno una sua versione) fallisce.Non prova che non ci siano altri argomenti di plausibilità semi-newtoniani che spieghino perché un universo inizialmente statico crolla.Tuttavia, non sono sicuro di quali criteri saremmo in grado di concordare su ciò che costituisce un argomento di plausibilità semi-newtoniano accettabile.Alcune persone hanno sviluppato a lungo queste descrizioni semi-newtoniane della cosmologia, ma a me sembrano prive di basi logiche che permettano di distinguere un argomento corretto da uno errato.

La tua domanda è piuttosto profonda e le altre risposte arrivano al cuore di "cosa sta realmente succedendo", ma volevo semplicemente fare un passo indietro e chiarire qualcosa di semplice che non credo che nessun altro abbia ancora esplicitamente indicato:

Nella gravità newtoniana, un volume infinito riempito con una distribuzione uniforme della massa sarebbe in perfetto equilibrio. In ogni punto, le forze gravitazionali fornite dalle masse in una direzione sarebbero esattamente controbilanciate da quelle nella direzione opposta.

Come altre persone hanno sottolineato, questo non è corretto, per ragioni concettuali piuttosto sottili che coinvolgono la natura del limite dello spazio infinito. Ma c'è un modo estremamente semplice per vedere matematicamente perché una densità di massa uniforme $ \ rho $ non può produrre un campo gravitazionale identicamente zero $ {\ bf g} \ equiv {\ bf 0} $ : la legge di gravità di Gauss dice che $ {\ bf \ nabla} \ cdot {\ bf g} = - 4 \ pi G \ rho $ , o equivalentemente $ \ iint _ {\ partial V} {\ bf g} \ cdot d {\ bf A} = -4 \ pi G \, M_ \ text {incluso} $ . È molto chiaro che $ {\ bf g} \ equiv {\ bf 0}, \ \ rho = $ (costante diversa da zero) non soddisfa queste equazioni.

In termini qualitativi, mi sembra che le sollecitazioni gravitazionali che le masse imporrebbero allo spaziotempo dovrebbero tutte annullarsi, e allo stesso modo, che lo spaziotempo piatto risultante non dovrebbe avere alcun effetto sul moto delle masse.

Penso che qui ci sia un sottile malinteso.

Nella relatività generale, un universo uniformemente riempito di massa (o davvero di energia) vedrà annullarsi tutte le forze che agiscono su un oggetto massiccio, come nel caso newtoniano. Ciò è dovuto alle simmetrie di un universo uniforme.

Tuttavia, questo non significa che l'universo sia piatto.

Nella meccanica newtoniana, le forze che si annullano a vicenda implicano un movimento che segue una linea retta. Quindi intuitivamente sembra che un oggetto non possa assolutamente seguire una linea retta in uno spazio-tempo curvo. Ma ecco il problema: nel contesto della relatività generale, il concetto di linea retta non ha molto senso.

Per capire il motivo, dobbiamo chiederci cosa sia una linea retta. Nella meccanica newtoniana è facile: è il percorso seguito da un oggetto inerziale, cioè un oggetto sul quale possiamo definire un sistema di riferimento tale che questo oggetto in questo frame sembra essere statico e non soggetto a forze.

Il principio di equivalenza della relatività generale, tuttavia, ci dice che un tale frame può in effetti essere definito per qualsiasi oggetto in caduta libera (oggetto influenzato solo dalle forze gravitazionali). Le traiettorie di tali oggetti sono chiamate geodetiche e questo è il meglio che possiamo fare per estendere il concetto newtoniano di linea retta. In altre parole, nella relatività generale la "linearità" è un effetto del sistema di riferimento.

Quindi, non a caso, in un universo in cui consideriamo solo la gravitazione, tutti gli oggetti seguono la geodetica e quindi si muovono seguendo "linee rette generalizzate".

Ciò che tutto ciò indica è che le considerazioni sul movimento degli oggetti non ci danno (per quanto ne so) alcuna informazione sulla struttura dello spazio e del tempo.Sfortunatamente questa risposta non spiega la necessità di un universo in espansione, basta sottolineare che l'argomento newtoniano è limitato.Il motivo è che per quanto ne so non esiste una spiegazione semplice e intuitiva del motivo dietro l'espansione dell'universo.

In Principia Newton introduce il Teorema della Sfera di Ferro , che dice che puoi ignorare gli effetti gravitazionali di una distribuzione sfericamente simmetrica della materia al di fuori di una data sfera. Ciò implica che una distribuzione uniforme della materia dovrebbe crollare fino a un certo punto. Ma qui c'è un problema: Newton pensava in termini di spazio assoluto, quindi non c'è motivo per cui dovrebbe collassare in un punto piuttosto che in un altro.

L'idea dell'annullamento della gravità in una distribuzione uniforme è stata discussa in corrispondenza con Richard Bentley, che faceva parte dell'establishment religioso. La mia impressione è che Newton fosse felice di sembrare piacevole qui. Principia stava bene, ma non voleva che la Chiesa indagasse troppo da vicino sulle sue altre opere. L'argomento "cancellazione" spinge il problema all'infinito (quindi dà a Dio qualcosa da fare)

Tuttavia non fu particolarmente soddisfacente e nel 1759 Roger Boscovich propose una forza repulsiva per mantenere la materia in equilibrio, essenzialmente una prima versione della costante cosmologica (questa fu successivamente sviluppata da William Herschel)

Per Einstein, tuttavia, non era possibile spingere il problema all'infinito, poiché la relatività deve essere locale . Da qui la costante cosmologica. (Ma E. A Milne ha usato una versione dell'argomento "annullamento" per il suo universo che si stava espandendo ma ignorava la gravità su larga scala)