Anche se le altre risposte sono corrette, non risolvono il tuo problema specifico. Sembra che tu stia trattando la seconda legge di Newton come se definisse una singola funzione, quando non lo fa.

Ad esempio, in algebra se dico che una funzione è $ f (x) = x ^ 2 + 3 $ , allora posso "collegarmi" a questa funzione qualcosa come $ sx $ in modo che $ f (sx) = (sx) ^ 2 + 3 $ di come abbiamo definito la funzione.

Questo non è ciò che sta facendo la seconda legge di Newton. $ F (x) = m \ ddot x $ non è una funzione che dice "qualunque cosa inserisco nella funzione $ F $ Prendo la sua derivata seconda rispetto al tempo e la moltiplico per $ m $ ." Quindi, la tua dichiarazione di $ F (sx) = ms \ ddot x $ non è corretta. La legge di Newton è una equazione differenziale , non una definizione di funzione. $ F (x) $ è definito dalle forze che agiscono sul nostro sistema e la seconda legge di Newton afferma quindi che l'accelerazione è proporzionale a questa forza.

Per affrontare il tipo di analisi che vuoi fare, devi stare attento.È un po 'imbarazzante scrivere $ F (\ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} $ in primo luogo ma puoi scriverlopurché tu capisca cosa significa.Significa che stai considerando la forza e l'accelerazione entrambi come campi perché stai considerando la legge di Newton in ogni punto dello spazio.Quindi, un modo più chiaro per scriverlo è $$ F (\ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} (\ vec {x}) $$ span>

Edit $ 1 $ : Permettetemi di chiarire un po 'più chiaramente il significato di questa espressione. Come ho detto, sto considerando una particella in ogni punto dello spazio. Quindi, $ \ ddot {x} (x) $ significa semplicemente l'accelerazione della particella che si trova in $ x $ . $ x $ è la parentesi è un'etichetta. Ad esempio, se stessi scrivendo la seconda legge di Newton per le particelle $ N $ , scriverei $ F (x_i ) = \ ddot {x} _i $ per $ i = 1,2, ..., N $ . Ora, metto una particella in ogni punto delle coordinate e l'etichetta $ i $ viene sostituita con l'etichetta delle coordinate $ x $ . Quindi, sostituire semplicemente $ i $ con $ x $ otterrei $ F (x (x)) = \ ddot {x} (x) $ dove $ x $ è un'etichetta proprio come $ i $ . Ora, nota che $ F (x (x)) $ significa la forza nella posizione $ x $ di una particella etichettata con $ x $ . Ma il significato dell'etichettatura delle coordinate $ x $ , per definizione, implica che la posizione $ x $ di una particella etichettata con $ x $ sarebbe semplicemente $ x $ . Pertanto, adotto una notazione succinta per $ F (x (x)) $ e scrivo semplicemente $ F (x) $ . Pertanto, $ F (x (x)) = \ ddot {x} (x) $ diventa $ F (x) = \ ddot {x} (x) $ , che è l'espressione scritta sopra, tranne che nella notazione vettoriale.

Ora puoi fare il gioco di ridimensionamento e scrivere $$ F (s \ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec { x}) $$

Ora, vedi che non c'è motivo di credere che $$ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec {x}} (\ vec {x}) $$ in generale. Tuttavia, quello che puoi fare è provare a vedere quando questo sarebbe vero. E se lo fai, puoi vedere che sarebbe vero se e solo se $$ F (s \ vec {x}) = sF (\ vec {x}) $$ span >

Questo è ciò che alla fine hai ottenuto. Ma questo significa semplicemente che hai capito la condizione in cui $ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec { x}} (\ vec {x}) $ sarebbe valido. Il tuo errore è stato quello di presumere che $ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec {x}} (\ vec { x}) $ è genericamente vero (probabilmente a causa della tua notazione confusa) e quindi ha concluso che $ F (s \ vec {x}) = sF (\ vec {x }) $ dovrebbe essere vero genericamente, il che non è vero perché la tua assunzione implicita non è genericamente vera.

Edit $ 2 $

Sto considerando la trasformazione $ x \ in sx $ per indicare che ci porta dal punto $ x $ per puntare $ sx $ nelle stesse unità. Quindi, se sto scrivendo la legge di Newton per la particella nella posizione $ x = 1 $ come $ F_1 = a_1 $ , la trasformazione significa che ora sto scrivendo la legge di Newton per una particella diversa, una che si trova a $ x = s $ , e scriverei $ F_s = a_s $ . Quindi qui non sta accadendo nulla di non banale. Il presupposto dell'OP era che $ a_s = sa_1 $ che è un'affermazione molto non banale in quanto stabilisce una relazione tra le accelerazioni di particelle in punti diversi. Sottolineo semplicemente l'ovvio che questo non è vero a meno che le forze in quelle posizioni non siano correlate in modo tale da stabilire tale relazione, cioè, a meno che $ F_s = sF_1 $ span >.

Ciò che hai trovato qui non è un'incoerenza della meccanica di Newton, ma una simmetria dell'oscillatore armonico. Considera per semplicità una particella puntiforme in $ \ mathbb {R} ^ n $ . La forza può essere considerata come una funzione $ F: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ che prende la posizione della particella come argomento . La legge di Newton afferma che una traiettoria fisica $$ \ gamma: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $$ di una particella puntiforme di massa $ m $ soddisfa l'equazione $$ F (\ gamma (t)) = \ ddot \ gamma (t) $$ per tutte le volte $ t \ in \ mathbb {R} $ .

Ora riguardo alla tua domanda, hai osservato che se prendiamo una traiettoria fisica $ \ gamma $ e la scaliamo in base a un numero reale $ s \ in \ mathbb {R} $ , questo soddisfa la legge di Newton solo se $ F $ è lineare. Tuttavia, questa non è un'incongruenza della meccanica di Newton, dal momento che scaling di una traiettoria fisica in generale non ti dà una nuova traiettoria fisica . Invece, la corretta interpretazione di ciò che hai trovato qui è che questo tipo di simmetria in scala è una caratteristica dell'oscillatore armonico (potenziale quadratico).

Come conclusione, hai assunto, che il ridimensionamento di una traiettoria fisica dia una nuova traiettoria fisica, il che non è vero in generale. Quello che hai scoperto è che questa simmetria è una proprietà delle forze lineari / potenziali quadratici. Spero che questo possa aiutarti! Salute!

Per $ \ vec x $ ridimensionato da una costante arbitraria $$ , otteniamo: $$ F (s \ vec {x}) = ms \ vec {\ ddot {x}} \ Longleftrightarrow \ frac {F (s \ vec {x})} {s} = m \ vec {\ ddot {x}} $$

Questo non è vero. Ricorda che $ \ vec x $ e $ \ vec F (\ vec x) $ rappresentano qualcosa di fisico; $ \ vec x $ rappresenta la posizione e $ \ vec F (\ vec x) $ rappresenta la rete forza in funzione della posizione. Dopo aver moltiplicato $ \ vec x $ per $ s $ , non ha più quel significato, quindi $ \ vec F (s \ vec x) $ non rappresenta più la forza netta in funzione della posizione, a meno che $ \ vec F $ sembra essere lineare (nel qual caso è proporzionale alla forza). Qui, assumi implicitamente che $ \ vec F $ sia lineare, e quindi mostri che ciò è coerente con il fatto che sia lineare; questa è la tua discrepanza.

Mi sembra che tu abbia tentato una modifica illegale delle variabili. Non puoi semplicemente sostituire $ s \ vec {x} $ con $ \ vec {x} $ .

Ricorda che l'equazione $ F (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} $ non dovrebbe valere per tutte le quantità possibili variabili nel tempo $ \ vec {x} $ . È un'affermazione particolare su $ \ vec {x} $ , che è vera per alcune quantità variabili nel tempo $ \ vec {x} $ e false per altre quantità variabili nel tempo $ \ vec {x} $ . La seconda legge di Newton afferma che l'equazione è vera se $ \ vec {x} $ è la posizione di una particella in un campo di forza definito dalla funzione $ F $ .

Quindi, se vuoi fare un cambio di variabili simile a quello che hai fatto, dovrai definire una nuova quantità $ \ vec {y} = \ frac { \ vec {x}} {s} $ , quindi puoi sostituire $ s \ vec {y} $ con $ \ vec {x} $ .

Da lì, puoi concludere che

$$ F (s \ vec {y}) = ms \ vec {\ ddot {y}} \ Longleftrightarrow \ frac {F (s \ vec {y})} {s} = m \ vec {\ ddot {y}} = \ frac {m} {s} \ vec {\ ddot {x}}, $$

e l'espressione più a destra qui è chiaramente solo $ \ frac {F (\ vec {x})} {s} $ . Pertanto:

$$ \ frac {F (\ vec {x})} {s} = \ frac {F (s \ vec {y})} {s}. $$

Ovviamente questa non è affatto una contraddizione. È una tautologia, poiché $ \ vec {x} = s \ vec {y} $ secondo la definizione di $ \ vec {y} $ .

La seconda legge di Newton non lo afferma $$ \ vec F (\ vec x) = m \ ddot {\ vec x} \. $$ Afferma $$ \ vec F = m \ ddot {\ vec x} \. $$ Cioè, la forza $ \ vec F $ , in generale, non è una funzione della posizione.(Nota che la posizione non appare nemmeno sul lato destro!) Se vuoi, per una data traiettoria $ \ vec x (t) $ , è unfunzione della funzione $ \ vec x (t) $ (da allora, puoi calcolare $ \ ddot {\ vec x} (t) $ ).

Ma in generale, semplicemente non puoi scrivere $ \ vec F (\ vec x) $ sul lato sinistro, e quindi, qualunque cosa tu derivi dal tuola prima equazione soffre di questo punto di partenza errato.

Penso che la maggior parte delle risposte non riesca a trasmettere correttamente cosa sta succedendo. L'equazione che scrivi è quasi vera, l'unico "peccato" che hai commesso è presumere che la forza $ F $ non sia influenzata dal ridimensionamento della variabile $ \ vec {x} $ .

Quando dici " $ \ vec {x} $ scalato da una costante arbitraria", in realtà intendi: "definire la variabile $ \ vec {y} $ per essere $ \ vec {x} / s $ ." Quindi $ \ vec {x} $ potrebbe essere la posizione della particella che misuro in chilometri e $ \ vec {y } $ la posizione misurata in miglia. E, di conseguenza, abbiamo due diverse funzioni per la forza: la forza espressa in chilometri e quella espressa in miglia.

Quindi, se applicassimo la legge di Newton negli Stati Uniti, avremmo ( $ \ vec {y} $ è in miglia) $$ F _ {\ mathrm {mi}} (\ vec {y}) = m \ vec {\ ddot {y}} \ ,. $$ Considerando che se lo applichiamo in qualsiasi altro paese che ha adottato il sistema metrico ( $ \ vec {x} $ è in chilometri) $$ F _ {\ mathrm {km}} (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} \ ,. $$ Di nuovo: nota che $ F _ {\ mathrm {mi}} $ e $ F _ {\ mathrm {km}} $ non deve necessariamente essere la stessa funzione. Quindi l'equazione dovrebbe essere dichiarata come $$ F _ {\ mathrm {km}} (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} \ quad \ Longrightarrow \ quad F _ {\ mathrm {km}} (s \ vec {y}) = ms \ vec {\ ddot {y}} \ ,. $$

Questo insieme alla prima equazione equivale alla seguente uguaglianza $$ F _ {\ mathrm {km}} (s \ vec {y}) = s \, F _ {\ mathrm {mi}} (\ vec {y}) \ ,. $$ Quindi hai appena scoperto che, sotto un cambio di scala, la forza non è una quantità scalare, ma è una quantità che si trasforma con un peso di uno. Questo accade in molti molti altri casi in fisica ed è importante perché ti dice che tipo di oggetto è la forza. Il momento angolare, ad esempio, si trasformerebbe in modo diverso.

I problemi che ho con le altre risposte sono

• È vero che generalmente $ F $ non è una funzione della posizione, ma potrebbe esserlo. E non è certamente vero che quando $ F $ è una funzione della posizione, allora deve essere lineare.

• Non importa che esista una derivata, se $ s $ è una costante, passa. L'argomento non funzionerebbe per $ s $ in funzione del tempo, ma non lo stiamo chiedendo.

• È ovviamente vero che $ \ ddot {x} \ to s \ ddot {x} $ sotto un ridimensionamento. Questa è una proprietà delle derivate: le derivate sono lineari. Non confondiamoci qui.

• $ \ ddot {x} (sx) $ non ha alcun significato. $ \ ddot {x} $ non dipende dalla posizione. O almeno lo fa, ma in modo circolare perché stiamo usando l'equazione differenziale $ F = m \ ddot {x} $ per dire qual è il valore di $ \ ddot {x} $ in un dato punto. Pertanto $ F (x) = \ ddot {x} (x) $ sarebbe un'istruzione vuota.

• È sempre necessario fare una distinzione tra i $ F $ prima e dopo la trasformazione. E la trasformazione non è una tautologia ma è una proprietà importante della forza.

• La risposta accettata è abbastanza corretta ma confusa: qual è la differenza tra un'equazione e una definizione?Il segno di uguale dovrebbe comportarsi correttamente in entrambi i casi.

Ovviamente sono d'accordo con la risposta sull'oscillatore armonico.Là il punto di vista è diverso, quindi lasciatemi affrontare questo.@Johnny Longsom sta effettuando un ridimensionamento delle variabili senza modificare le unità!Quindi non sta guardando lo stesso sistema con imperiale o metrico.Sta esaminando diversi sistemi che sono correlati tra loro perché uno è la versione ingrandita dell'altro.La conclusione del post è corretta: questa è una simmetria del sistema!

E vedi: per scoprire che si trattava di una simmetria, dovevamo sapere come si è trasformato $ F $ .Quindi, ogni volta che vedi un nuovo animale in fisica, chiedigli come si trasforma.

Nella parte destra dell'equazione $ a $ è una funzione del tempo: $$ a = a (t) = \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} $$ Quindi lo stesso vale per il lato sinistro. $ F = F (t) $

È perfettamente possibile, ad esempio, avere diversi valori di accelerazione (e forza) per lo stesso $ x $ in tempi diversi, come un'auto in un circuito da corsa.Quindi in generale non può essere una funzione di $ x $ .

E se vogliamo sapere $ \ mathbf F (st) = m \ mathbf a (st) $ , ovviamente $ \ mathbf a (st) \ ne s \ mathbf a (t) $ in generale.

L'affermazione è essenzialmente che la seconda legge di Newton cambierà se cambiamo le unità in cui misuriamo la distanza.Tuttavia, in questo caso cambieranno anche le unità di forza.In altre parole, il riscalaggio corretto è $ \ mathbf {x} \ rightarrow s \ mathbf {x}, \ mathbf {F} \ rightarrow s \ mathbf {F} $ span>, in modo che, la regressione di $ s $ : $$ m \ ddot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {F}. $$

Dal momento che in retrospettiva mi rendo conto che questa domanda può essere presa in molti modi diversi, sto postando un'altra risposta io stesso, che combina alcune delle migliori risposte finora e, si spera, possa aiutare qualcun altro a capire perché questo ragionamento fisico ovviamente sbagliato si verifica matematicamente.

Come è chiaro a questo punto, il problema originale era una cattiva notazione e ci sono almeno quattro modi diversi in cui questa domanda può essere compresa (e risolta). D'ora in poi mi riferirò alla posizione corrente come $ \ vec {x} _0 $ e alla traiettoria in funzione di questa posizione iniziale e del tempo come $ \ vec {x} (t) $ , in modo tale che $ \ vec {x} (0) = \ vec {x} _0 $ , per evitare confusione. In tutti i casi l'altra condizione iniziale $ \ vec {\ dot {x}} (0) = \ vec {v} _0 $ non sarà presa in considerazione molto, ma dobbiamo ancora esserne consapevoli.

1. Primo scenario: come correttamente sottolineato, la seconda legge di Newton non implica che la forza provenga da un potenziale e / o sia una funzione della posizione attuale. In questo caso la forza è semplicemente una definizione e la domanda non vale più, poiché la forza non deve essere una funzione della traiettoria:

$$ \ vec {F} (t) = m \ vec {\ ddot {x}} (t) $$

2. Secondo scenario: la forza proviene da un potenziale, tale che $ \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = - \ left. \ frac {\ partial U (\ vec {x} ')} {\ partial \ vec {x}'} \ right | _ {\ vec {x} '= \ vec {x} (t)} $ e facciamo una trasformazione delle coordinate dell'intera traiettoria $ \ vec {x} (t) = s \ vec {y} (t) $ per qualche fattore di scala $ s $ . In questo caso: $$ \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = m \ vec {\ ddot {x}} (t) \ Leftrightarrow \ vec { F} (s \ vec {y} (t)) = ms \ vec {\ ddot {y}} (t), \ qquad \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = \ vec {F } (s \ vec {y} (t)) $$ Questo è un semplice cambiamento nelle variabili e non c'è molto altro da trovare qui - di certo comunque nessuna contraddizione.

3. Terzo scenario: la forza proviene da un potenziale e ridimensioniamo la condizione iniziale dell'equazione differenziale, in modo che $ \ vec {\ tilde {x}} (0 ) = s \ vec {x} _0 $ . In generale, questa traiettoria sarà completamente diversa da $ \ vec {x} (t) $ e dall'unico modo $ \ vec {\ tilde {x}} (t) = s \ vec {x} (t) $ è se la forza corrisponde a un potenziale quadratico.

4. Quarto scenario: la forza proviene da un potenziale e ridimensioniamo la soluzione $ x (t) $ dell'equazione differenziale, in modo tale che $ \ vec {\ tilde {x}} (t) = s \ vec {x} (t) $ . In generale, questa funzione ridimensionata non soddisfa più l'equazione differenziale originale e non si può dire nient'altro. L'unico modo in cui la nuova traiettoria riscalata soddisfa l'equazione differenziale originale è se avessimo un potenziale armonico.

Nota che la differenza tra 3. e 4. è sottile: la nuova traiettoria $ \ vec {\ tilde {x}} (t) $ in 3. soddisfa la seconda legge di Newton ma la sua forma è in generale diversa da $ \ vec {x} (t) $ , mentre $ \ vec {\ tilde {x}} (t) $ in 4. in generale non soddisfa la seconda legge di Newton (e non è obbligato a farlo) e la sua forma è la stessa di $ \ vec {x} (t) $ . Sia in 3. che in 4. le traiettorie possono degenerare solo per un potenziale armonico (anche se per ottenerlo potrebbe essere necessario giocherellare con la condizione iniziale di velocità), che è ciò che il mio post originale "ha dimostrato", anche se certamente non è chiaro se ho dimostrato 3. o 4. (forse nessuno dei due) a causa della mia cattiva notazione!

Non sono sicuro di dove pensi che ci sia un'incoerenza?Tutto quello che stai dicendo con la tua equazione finale è che Force @ position $ \ vec {x} $ , = Force @ scaled position $ s \ vec {x} $ diviso per il ridimensionamento, che è completamente vero?Nello stesso modo $$ sF (\ vec {x}) = F (s \ vec {x}) \ tag {1} $$ se $ F $ è lineare.

L'uso di $ F $ è solo per indicare il tuo calcolo della Forza, $ F (\ vec {x}) \ neq F (s \ vec {x}) $

Forse ti è più chiaro indicare la forza sulla posizione $ \ vec {x} $ come $ F_x $ e la forza sulla posizione scalata $ s \ vec {x} $ come $ F_ {sx} $ span>.