Per simmetrie globali continue, il teorema di Noether fornisce una densità di carica conservata localmente (e una corrente associata), il cui integrale su tutto lo spazio è conservato (cioè indipendente dal tempo).

Per simmetrie discrete globali, bisogna distinguere tra i casi in cui la carica conservata è continua o discreta. Per simmetrie infinite come le traslazioni reticolari, la quantità conservata è continua, sebbene periodica. Quindi, in tal caso, la quantità di moto è conservata modulo vettori nel reticolo reciproco. La conservazione è locale proprio come nel caso delle simmetrie continue.

Nel caso di un gruppo di simmetrie finito la quantità conservata è essa stessa discreta. Quindi non hai leggi di conservazione locali perché la quantità conservata non può variare continuamente nello spazio. Tuttavia, per tali simmetrie hai ancora una carica conservata che fornisce vincoli (regole di selezione) sui processi consentiti. Ad esempio, per le teorie invarianti di parità puoi dare a ogni stato di una particella una "carica di parità" che è semplicemente un segno, e la carica totale deve essere conservata per qualsiasi processo, altrimenti l'ampiezza è zero.

In una frase, il primo teorema di Noether afferma che una simmetria continua, globale e fuori dal guscio di un'azione $ S $ implica una legge di conservazione locale sulla shell. Con le parole on-shell e off-shell si intende se le equazioni del moto di Eulero-Lagrange sono soddisfatte o meno.

Ora la domanda chiede se continuo può essere sostituito da discrete?

Va ​​subito sottolineato che il Teorema di Noether è una macchina che per ogni input in forma di simmetria appropriata produce un output in forma di legge di conservazione. Per affermare che c'è dietro un teorema di Noether, non è sufficiente elencare solo un paio di coppie (simmetria, legge di conservazione).

Ora, dove potrebbe vivere una versione discreta del teorema di Noether? Una buona scommessa è in un mondo reticolare discreto, se si utilizzano differenze finite invece della differenziazione. Cerchiamo di indagare sulla situazione.

La nostra idea intuitiva è che le simmetrie finite, ad esempio la simmetria di inversione temporale, ecc., non possono essere utilizzate in un teorema di Noether in un mondo reticolare perché non funzionano in un mondo continuo. Invece, puntiamo le nostre speranze su quelle simmetrie infinite discrete che diventano simmetrie continue quando le spaziature reticolari vanno a zero, possono essere utilizzate.

Immagina per semplicità una particella punto 1D che può essere solo in posizioni discrete $ q_t \ in \ mathbb {Z} a $ su un reticolo 1D $ \ mathbb {Z} a $ con spaziatura reticolare $ a $, e anche quel tempo $ t \ in \ mathbb {Z} $ è discreto. (Questo è stato, ad esempio, studiato in JC Baez e JM Gilliam, Lett. Math. Phys. 31 (1994) 205; punta del cappello: Edward.) La velocità è la differenza finita

$$ v_ {t + \ frac {1} {2}}: = q_ {t + 1} -q_t \ in \ mathbb {Z} a, $$

ed è anch'esso discreto. L'azione $ S $ è

$$ S [q] = \ sum_t L_t $$

con la lagrangiana $ L_t $ nel modulo

$$ L_t = L_t (q_t, v_ {t + \ frac {1} {2}}). $$

Definisci quantità di moto $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $ come

$$ p_ {t + \ frac {1} {2}}: = \ frac {\ partial L_t} {\ partial v_ {t + \ frac {1} {2}}}. $$

Ingenuamente, l'azione $ S $ dovrebbe essere estremizzata rispetto a. percorsi virtuali discreti adiacenti $ q: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} a $ per trovare l'equazione del moto. Tuttavia, non sembra fattibile estrarre un'equazione di Eulero-Lagrange discreta in questo modo, fondamentalmente perché non è sufficiente che Taylor si espanda al primo ordine nella variazione $ \ Delta q $ quando la variazione $ \ Delta q \ in \ mathbb {Z} a $ non è infinitesimale. A questo punto, alziamo le mani in aria e dichiariamo che il percorso virtuale $ q + \ Delta q $ (al contrario del percorso stazionario $ q $) non deve trovarsi nel reticolo , ma che è libero di prendere valori continui in $ \ mathbb {R} $. Ora possiamo eseguire una variazione infinitesimale senza preoccuparci dei contributi di ordine superiore,

$$ 0 = \ delta S: = S [q + \ delta q] - S [q] = \ sum_t \ left [\ frac { \ partial L_t} {\ partial q_t} \ delta q_t + p_ {t + \ frac {1} {2}} \ delta v_ {t + \ frac {1} {2}} \ right] $$ $$ = \ sum_t \ sinistra [\ frac {\ partial L_t} {\ partial q_t} \ delta q_ {t} + p_ {t + \ frac {1} {2}} (\ delta q_ {t + 1} - \ delta q_t) \ right] $$$$ = \ sum_t \ left [\ frac {\ partial L_t} {\ partial q_t} - p_ {t + \ frac {1} {2}} + p_ {t- \ frac {1} {2}} \ destra] \ delta q_t + \ sum_t \ sinistra [p_ {t + \ frac {1} {2}} \ delta q_ {t + 1} -p_ {t- \ frac {1} {2}} \ delta q_t \ right ]. $$

Nota che l'ultima somma è telescopica. Ciò implica (con opportune condizioni al contorno) l'equazione discreta di Eulero-Lagrange

$$ \ frac {\ partial L_t} {\ partial q_t} = p_ {t + \ frac {1} {2}} - p_ {t- \ frac {1} {2}}. $$

Questa è l'equazione dell'evoluzione. A questo punto non è chiaro se una soluzione per $ q: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {R} $ rimarrà sul reticolo $ \ mathbb {Z} a $ se specifichiamo due valori iniziali sul reticolo. D'ora in poi limiteremo le nostre considerazioni a tali sistemi per coerenza.

Ad esempio, si può immaginare che $ q_t $ sia una variabile ciclica, cioè che $ L_t $ non dipenda da $ q_t $. Abbiamo quindi una simmetria di traduzione globale discreta $ \ Delta q_t = a $. La corrente di Noether è la quantità di moto $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $, e la legge di conservazione di Noether è che la quantità di moto $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $ è conservata. Questa è sicuramente una bella osservazione. Ma questo non significa necessariamente che ci sia un teorema di Noether.

Immagina che il nemico ci abbia fornito una simmetria verticale globale $ \ Delta q_t = Y (q_t) \ in \ mathbb {Z} a $, dove $ Y $ è una funzione arbitraria. (Le parole verticale e orizzontale si riferiscono rispettivamente alla traduzione nella direzione $ q $ e nella direzione $ t $. Per semplicità non discuteremo le simmetrie con i componenti orizzontali.) Il candidato ovvio per la pura corrente Noether è

$$ j_t = p_ {t- \ frac {1} {2}} Y (q_t). $$

Ma lo è improbabile che saremmo in grado di dimostrare che $ j_t $ è conservato semplicemente dalla simmetria $ 0 = S [q + \ Delta q] - S [q] $, che ora implicherebbe inevitabilmente contributi di ordine superiore. Quindi, sebbene ci fermiamo prima di dichiarare un teorema di divieto, certamente non sembra promettente.

Forse, avremmo più successo se discretizzassimo solo il tempo e lasciassimo lo spazio delle coordinate continuo? Potrei tornare con un aggiornamento su questo in futuro.

Un esempio dal mondo continuo che potrebbe essere utile tenere a mente: considera un pendolo gravitazionale semplice con lagrangiano

$$ L (\ varphi, \ dot {\ varphi}) = \ frac {m} {2} \ ell ^ 2 \ dot {\ varphi} ^ 2 + mg \ ell \ cos (\ varphi) . $$

Ha una simmetria periodica discreta globale $ \ varphi \ a \ varphi + 2 \ pi $, ma il momento (angolare) $ p _ {\ varphi}: = \ frac {\ partial L } {\ partial \ dot {\ varphi}} = m \ ell ^ 2 \ dot {\ varphi} $ non è conservato se $ g \ neq 0 $.

Hai menzionato le simmetrie dei cristalli. I cristalli hanno un'invarianza di traslazione discreta: non è invariante per una traduzione infinitesimale, ma invariante per traslazione da un vettore reticolare. Il risultato di ciò è la conservazione della quantità di moto fino a un vettore reticolare reciproco .

C'è un ulteriore risultato: supponiamo che l'Hamiltoniano stesso sia indipendente dal tempo, e supponiamo che la simmetria sia correlata a un operatore $ \ hat S $. Un esempio potrebbe essere l'operatore di parità $ \ hat P | x \ rangle = | -x \ rangle $. Se questo operatore è una simmetria, allora $ [H, P] = 0 $. Ma poiché il commutatore di un operatore con hamiltoniano ti dà anche la derivata, hai $ \ dot P = 0 $.

In realtà ci sono analogie o generalizzazioni di risultati che si riducono ai teoremi di Noether nei casi usuali e che valgono per discreti (e non necessariamente discretizzati ) simmetrie (comprese simmetrie simili a CPT)

Ad esempio, vedere: Anthony CL Ashton (2008) Conservation Laws and Non-Lie Symmetries for Linear PDEs, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 15: 3, 316-332, DOI: 10.2991 / jnmp.2008.15.3.5

Abstract We introdurre un metodo per costruire leggi di conservazione per un'ampia classe di equazioni alle derivate parziali lineari. Contrariamente al risultato classico di Noether, le correnti conservate sono generate da qualsiasi simmetria dell'operatore, comprese quelle di tipo non di Lie. Viene fatto un esempio esplicito dell'equazione di Dirac dove usiamo la nostra costruzione per trovare una classe di leggi di conservazione associate ad un'algebra di Lie a 64 dimensioni di simmetrie discrete che include CPT.

Il modo seguito è un successivo allentamento delle condizioni del teorema di Noether sulle simmetrie continue (Lie), che generalizzano il risultato in altri casi.

Ad esempio (dall'alto), enfasi, aggiunte mie:

La connessione tra simmetria e leggi di conservazione è stata inerente a tutta la fisica matematica da quando Emmy Noether pubblicò, nel 1918, il suo lavoro estremamente influente che collegava i due. .. [M] qualcuno ha proposto approcci per studiare le leggi di conservazione, attraverso una varietà di mezzi diversi. In ogni caso, una legge di conservazione è definita come segue.

Definizione 1. Sia $ \ Delta [u] = 0 $ un sistema di equazioni dipendente dalle variabili indipendenti $ x = (x_1, \ dots, x_n) $, le variabili dipendenti $ u = (u_1, \ dots, u_m) $ e le loro derivate. Quindi una legge di conservazione per $ \ Delta $ è definita da $ P = P [u] $ tale che: $$ {\ operatorname {Div} P \; \ Big |} _ {\ Delta = 0} = 0 \ tag {1.1} $$

dove $ [u] $ denota le coordinate sul $ N $ -esimo getto di $ u $, con $ N $ arbitrario.

Il teorema [originale] di Noether è applicabile nello [speciale] caso in cui $ \ Delta [u] = 0 $ deriva come equazione di Eulero-Lagrange a un problema variazionale associato. È noto che una PDE ha una formulazione variazionale se e solo se ha derivato di Frechet autoaggiunto. Vale a dire: se il sistema di equazioni $ \ Delta [u] = 0 $ è tale che $ D _ {\ Delta} = {D _ {\ Delta}} ^ * $, allora è applicabile il seguente risultato.

Teorema (Noether). Per un problema variazionale non degenere con $ L [u] = \ int _ {\ Omega} \ mathfrak {L} dx $, la corrispondenza tra classi di equivalenza non banali di le simmetrie variazionali di $ L [u] $ e le classi di equivalenza non banali delle leggi di conservazione sono uno a uno.

[..] Dato che [l'insieme generale di simmetrie] è molto più grande di quelli considerati in il lavoro classico di Noether, esiste potenzialmente una corrispondenza ancora più forte tra simmetria e leggi di conservazione per le PDE [..]

Definizione 2. Diciamo che l'operatore $ \ Gamma $ è una simmetria della PDE lineare $ \ Delta [u] \ equiv L [u] = 0 $ se esiste un operatore $ \ alpha _ {\ Gamma} $ tale che: $$ [L, \ Gamma] = \ alpha _ {\ Gamma} L $$ dove $ [\ cdot, \ cdot] $ denota il commutatore per composizione di operatori quindi $ L \ Gamma = L \ ci rc \ Gamma $. Indichiamo l'insieme di tutte queste simmetrie con $ sym (\ Delta) $.

Corollario 1. Se $ L $ è autoaggiunto o skew-adjoint, allora ogni $ \ Gamma \ in sym (L) $ genera una legge di conservazione.

In particolare, per l ' Equazione di Dirac e CPT simmetria è derivata la seguente legge di conservazione ( ibid. ):

No, perché le simmetrie discrete non hanno una forma infinitesimale che darebbe origine alla (caratteristica della) legge di conservazione. Vedi anche questo articolo per una discussione più dettagliata.

Pensieri che fanno riflettere:

le leggi di conservazione non sono correlate ad alcuna simmetria , a dire il vero. Per un sistema meccanico con N gradi di libertà ci sono sempre N quantità conservate. Sono combinazioni complicate delle variabili dinamiche. La loro esistenza è fornita con l'esistenza delle soluzioni del problema.

Quando c'è una simmetria, le quantità conservate assumono solo un aspetto più semplice.

EDIT: non so come ti insegnano ma le leggi di conservazione non sono legate al teorema di Noether. Quest'ultimo mostra solo come costruire alcune delle quantità conservate dal problema lagrangiano e le soluzioni del problema. Qualsiasi combinazione di quantità conservate è anche una quantità conservata. Quindi ciò che offre Noether non è affatto unico.

Come detto prima, questo dipende dal tipo di simmetria 'discreta' che hai: se hai una simmetria bona fide discreta, come ad es. $ \ mathbb {Z} _n $, allora la risposta è negativa nel contesto del teorema di Nöther, anche se ci sono conclusioni che puoi trarre, come ha spiegato Moshe R. .

Tuttavia, se stai parlando di una simmetria discretizzata, cioè una simmetria continua (globale o locale) che è stata in qualche modo discretizzata, allora hai un analogo al teorema (i) di Nöther à la Regge calcolo. Un buon discorso che introduce alcuni di questi concetti è Forme differenziali discrete, teoria di Gauge e calcolo di Regge (PDF): la conclusione è che devi trovare uno schema a differenze finite che preserva il tuo differenziale (e / o gauge).

Esiste una vasta letteratura sugli schemi alle differenze finite per le equazioni differenziali (ordinarie e parziali).

Forse,

http://www.technologyreview.com/blog/arxiv/26580/

Non sono affatto un esperto, ma l'ho letto qualche settimana fa. In quel documento considerano un reticolo 2d e costruiscono un analogo dell'energia. Mostrano che si comporta come dovrebbe l'energia, e quindi concludono che per conservare questa energia lo spazio-tempo dovrebbe essere invariante.

Vedi:

• John David Logan, " First Integrals in the Discrete Variational Calculus," Æquationes Mathematicæ 9, no.2 (1 giugno 1973): 210-20.DOI: 10.1007 / BF01832628.

  L'intento di questo articolo è mostrare che i primi integrali dell'equazione di Eulero discreta possono essere determinati esplicitamente investigando le proprietà di invarianza della Lagrangiana discreta.Il risultato ottenuto è un analogo discreto del teorema classico di E. Noether nel calcolo delle variazioni.

La conservazione della carica elettrica è una simmetria "discreta". Quark e anti-quark hanno cariche elettriche frazionarie discrete (± 1/3, ± 2/3), gli elettroni, i positroni e i protoni hanno cariche intere.