Se dividiamo il contenitore in due, non c'è effettivamente la metà del numero di molecole che colpiscono il muro su ciascun lato, quindi anche la pressione dovrebbe essere dimezzata?La pressione non dovrebbe dipendere dal numero di molecole?

Hai ragione che se dimezzassimo solo il numero di particelle avremmo una pressione minore.Ma hai anche dimezzato il volume del contenitore.Il minor numero di particelle colpisce le pareti più frequentemente a causa del volume minore.In altre parole, il numero di particelle diminuisce, ma il numero di collisioni per particella aumenta.I due effetti si annullano, portando alla stessa pressione di prima di inserire la partizione.

Ma se dividiamo il contenitore in due, non c'è effettivamente la metà del numero di molecole che colpiscono il muro su ciascun lato, quindi anche la pressione dovrebbe essere dimezzata?La pressione non dovrebbe dipendere dal numero di molecole?

La pressione non dipende solo dal numero di molecole.Puoi semplicemente esaminare la legge dei gas ideali: $ PV = nRT $ .Se la temperatura è costante, la riduzione di $ n $ e $ V $ della metà lascia la pressione invariata.

Ancora un altro modo di pensarlo: se usiamo al posto di $ V $ e $ n $ span > la densità molare $ \ rho_n = \ frac {n} {V} $ , otteniamo

$$ P = \ rho_n RT $$

oa livello molecolare, la densità molecolare (anche densità numerica ) $ \ rho_N = \ frac {N} { V} $ dando

$$ P = \ rho_N k_B T $$

che mostra che la pressione è una proprietà intensiva, poiché il volume ( $ V $ ) non viene visualizzato. Questa $ \ rho_n $ è essa stessa una proprietà intensiva per lo stesso motivo per cui la densità di massa ordinaria è una proprietà intensiva.

Pensandoci più fisicamente, poiché la pressione è una forza su area e la forza è proporzionale al numero di molecole che la colpiscono, che a sua volta è proporzionale a quante si trovano in prossimità, allora possiamo pensarci in questo modo: la quantità di molecole che ogni minuscolo pezzo di superficie "vede" rimane la stessa in ogni caso nonostante abbiamo tagliato un'altra metà della scatola, e quindi sente la stessa forza. Pensa a una scatola di palline macroscopiche ordinarie (ragionevolmente piccole): se inserisco una partizione (sottile) a metà tra le palline spostandone il minor numero possibile, qualsiasi piccola parte dell'area della superficie della scatola improvvisamente avrà molto meno affollato rispetto a prima? La stessa cosa accade qui.

Come risposta complementare alla risposta di Aaron Stevens; quando parliamo di termodinamica e delle sue proprietà macroscopiche le consideriamo nel limite termodinamico. In altre parole, il sistema si troverà nello stato che ha la più alta probabilità di accadere. Per un sistema con un'enorme quantità di particelle questo stato avrà una probabilità molto più alta rispetto agli altri.

Ciò significa che le quantità globali come la pressione possono essere utilizzate per il sistema nel suo insieme così come per le suddivisioni "non microscopiche" del sistema. Qui "non microscopico" significa che la suddivisione contiene ancora abbastanza particelle per soddisfare il limite statistico.

Nella tua domanda stai cercando di mettere in relazione una quantità estesa (il numero di particelle nel sistema) con la pressione che è una quantità intensiva. Puoi provare questo invece:

1. Nel limite termodinamico ci aspettiamo che la densità del gas (particle density) sia uniforme in tutto il sistema. Se dividiamo il sistema in una somma di caselle, ciascuna casella dovrebbe avere ancora la stessa densità di gas.

   2. La pressione ha due componenti: la forza di ciascuna particella e la quantità di collisioni per unità di area. La quantità di collisioni dipende dalla densità delle particelle e non solo dal numero di particelle nella scatola. Altrimenti ti aspetteresti lo stesso numero di collisioni da una casella (10.000 particelle, 1 $ m ^ 3 $ ) come una casella (10.000 particelle, 10 $ m ^ 3 $ ).

   3. Pdensità delle particelle è una quantità intensiva in contrasto con "Numero di particelle" che è ampio. Se dividi il sistema in molte parti, ti aspetti che la densità delle particelle rimanga la stessa in ogni nuova casella.

   4. Come con le altre risposte;questo è facilmente visibile ad es.nella legge $ PV = nRT $ .Riscrivilo come $ P = \ left (\ frac {n} {V} \ right) RT $ .L'espressione nella parentesi è immediatamente vista come la densità delle particelle.Trasporta la parte di pressione "quantità di collisioni".La parte $ RT $ trasporta l'energia prevista, o la forza, di ogni collisione.

Come nella risposta di Aaron.Non stai solo dimezzando il numero di particelle $ n $ ;stai anche dimezzando il volume $ V $ e quei due insieme finiscono per produrre la densità delle particelle $ \ left (\ frac{n} {V} \ right) $ rimane lo stesso.Utilizzando la densità delle particelle come lente per vedere il problema, spero che diventi chiaro.

Alla fine è stata una risposta piuttosto lunga.Si spera che non sia troppo prepotente.:)

Ancora un altro modo di vederlo: se il contenitore è in equilibrio, allora in aggregato le particelle su un lato la partizione sono le stesse di quelle sull'altro lato.Ogni lato di una particella colpisce la partizione sul lato A, quella particella rimane sul lato A, ma si sarebbe spostata sul lato B se non fosse stato per la partizione.Ma c'è un'altra particella sul lato B che si sarebbe spostata sul lato A. Quindi quelle particelle "si annullano" (di nuovo, nell'aggregato).Le particelle "mancanti" che non si trovano sul lato B a causa delle partizioni vengono sostituite da particelle che rimangono sul lato B. Se il contenitore è in equilibrio, allora per definizione, tutte le regioni del contenitore contengono essenzialmente le stesse particelle, quindinon importa se scambia le sue particelle con le regioni vicine (che è ciò che accade senza una partizione), o mantiene le proprie particelle (che è ciò che accade con una partizione).L'inserimento di una partizione non influisce sul macrostato (a parte la partizione stessa).

Potrebbe essere interessante fornire una risposta basata sulla meccanica statistica. Considera la situazione in cui il sistema è un cilindro di lunghezza $ L $ con un pistone di superficie $ S $ . Sono sicuro che hai visto immagini che descrivono questo. In questo caso la pressione sul pistone viene calcolata tramite

$$ P = \ frac {1} {S} \ left \ langle \ frac {\ partial H} {\ partial x} \ right \ rangle = \ frac {1} {S} \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left \ langle H \ right \ rangle $$

dove $ H $ è l'hamiltoniano di sistema, $ x $ la coordinata del pistone e le parentesi descrivono la media statistica. $ \ left \ langle H \ right \ rangle $ è l'energia del sistema.

Ora immagina di tagliare in due il cilindro. Possiamo ottenere ciò tramite la trasformazione di ridimensionamento che invia $ x \ mapsto \ alpha x $ (con $ \ alpha = 1 / 2 $ , ma lo terremo più generale), in modo tale che la lunghezza del cilindro diventi $ L \ mapsto \ alpha L $ . Sotto questa trasformazione il volume viene inviato a $ V \ mapsto \ alpha V $ e l'energia a

$$ \ sinistra \ langle H \ destra \ rangle \ mapsto \ alpha \ sinistra \ langle H \ destra \ rangle \ \ \ \ \ (1) $$

(termini modulo superficie) poiché l'energia è ampia. La superficie del pistone è chiaramente costante $ S \ mapsto S $ , mentre $ \ partial / \ partial x \ mapsto ( 1 / \ alpha) \ partial / \ partial x $ . Tutto sommato abbiamo ridotto il volume di un fattore $ \ alpha $ ma la pressione

$$ P \ mapsto P $$

rimane invariante, in altre parole è intensivo.

Nota 1 Questa dimostrazione è valida anche per sistemi interagenti, e non solo per il gas ideale in cui le interazioni vengono scartate.

Nota 2 La presenza del pistone ovviamente non è necessaria.È lì solo per consentire di visualizzare le cose o per misurare la forza.Inoltre la dimostrazione può essere chiaramente adattata ad altre geometrie.Poi ci si accorge che

$$ S dx = d V $$

rappresenta la variazione del volume.La formula per la pressione diventa quindi

$$ P = \ frac {\ partial E} {\ partial V} $$

familiare dalla termodinamica ( $ E = \ langle H \ rangle $ ).Da quest'ultima espressione è ancora più ovvio che la pressione è intensa (inviando $ V \ mapsto \ alpha V $ si ha $E \ mapsto \ alpha E $ ).