Domanda:
Trasformazione di Fourier in natura / fisica naturale?
Justin L.
2010-11-04 12:25:26 UTC
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Sono appena uscito da un corso sulle trasformazioni di Fourier applicate all'elaborazione del segnale e al suono. Mi sembra tutto abbastanza astratto, quindi mi chiedevo se esistessero sistemi fisici che si sarebbero comportati come una trasformazione di Fourier.

Cioè, se fosse data un'onda, un processo puramente fisico che "ritornerebbe" la trasformata di Fourier in qualche modo significativo. Ad esempio, gli hai dato un'onda sonora e vedresti: "Oh, ci sono molti componenti di frequenza 1kHz ... alcuni di frequenza 10kHz ... alcuni di 500Hz ..."

Ho visto accadere cose in cui, se metti della sabbia su un altoparlante, la sabbia inizierebbe a formare degli schemi sugli altoparlanti che sono correlati alle lunghezze d'onda dominanti / frequenze fondamentali del suono. È una sorta di trasformata di Fourier fisica e naturale?

Sembra che tu ti stia riferendo a [Chladni figures] (http://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Chladni#Chladni_plates).
Ho aggiunto alcune osservazioni al tuo ultimo paragrafo in cui i fenomeni non sono solo legati a un approccio di Fourier. Saluti.
Otto risposte:
Mark Eichenlaub
2010-11-04 12:34:39 UTC
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Il tuo orecchio è un efficace trasformatore di Fourier.

Un orecchio contiene molte piccole cellule ciliate. Le cellule ciliate differiscono per lunghezza, tensione e spessore e quindi rispondono a frequenze diverse. Diverse cellule ciliate sono collegate meccanicamente ai canali ionici in diversi neuroni, quindi diversi neuroni nel cervello si attivano a seconda della trasformata di Fourier del suono che stai ascoltando.

Un pianoforte è un analizzatore di Fourier per un simile motivo.

Un prisma o reticolo di diffrazione sarebbe un analizzatore di Fourier per la luce. Diffonde la luce di diverse frequenze, permettendoci di analizzare quanta parte di ciascuna frequenza è presente in una data sorgente.

Non ho nemmeno pensato a prismi / luce! È piuttosto interessante. Puoi spiegarci come un pianoforte è un analizzatore di Fourier? Come lo "leggeresti"?
fare un suono vicino al pianoforte. alcune corde vibreranno di più e altre meno. più una corda vibra, più la sua frequenza fondamentale è nel suono.
Per elaborare la parte del reticolo di diffrazione, una volta ottenuta la trasformata di Fourier 2D di un raggio facendolo passare attraverso un reticolo, è possibile tagliare parti del raggio trasformato e passarlo attraverso un secondo reticolo per filtrare parti dello spettro del fascio. L'ho visto fare una volta usando una vecchia diapositiva da 35 mm come reticolo di diffrazione per un raggio laser, e potresti far sparire i dettagli sulla diapositiva tagliando i componenti ad alta frequenza del raggio trasformato.
Penso che sia più corretto dire che l'orecchio è una sorta di xilofono. Per essere pedante, penso che il "dominio della frequenza" sia un concetto distinto dalla "trasformata di Fourier".
ptomato
2010-11-04 21:42:57 UTC
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Vedo che sono stati menzionati due esempi in ottica, un reticolo di diffrazione di Mark Eichenlaub e una lente di sigoldberg1. Vorrei elaborare un po ', perché c'è una sottile differenza tra i due.

Da un lato, un reticolo di diffrazione separa la luce di diverse frequenze, cioè i colori, trasformandoli in posizioni diverse. Questo è analogo a come funziona la trasformata di Fourier 1-D su un segnale acustico o elettrico.

D'altra parte, una lente prende la trasformata di Fourier 2-D di un monocromatico fascio di luce. Monocromatico significa che c'è solo una frequenza o colore. Potresti chiederti perché la trasformata di Fourier non è un singolo picco, se c'è solo una frequenza nella luce. Questo perché una lente trasforma le frequenze spaziali (più o meno equivalenti agli angoli, ma le spiegherò di seguito) in posizioni. Matematicamente, questa è la stessa trasformata di Fourier, ma trasforma una proprietà completamente diversa della luce.

Mi ci è voluto molto tempo per capire esattamente quali fossero le frequenze spaziali. Un giorno finalmente l'ho capito, leggendo il capitolo 4, "Fourier Optics", dei Fundamentals of Photonics di Saleh e Teich, che consiglio vivamente se non capisci la mia spiegazione qui.

Probabilmente hai imparato nella tua classe che puoi scrivere qualsiasi segnale come una serie di Fourier, che è la somma delle componenti di frequenza, ciascuna con la propria ampiezza e fase. La trasformata di Fourier è una sorta di versione continua di questo. Bene, puoi esprimere qualsiasi raggio di luce monocromatico come la somma di molte onde piane che viaggiano ad angoli diversi, tutte con la stessa frequenza, ma ciascuna con la propria ampiezza e fase. Comincia a suonare familiare? Ciascuna di queste onde piane è una frequenza spaziale . Proprio come con il passaggio dalla serie di Fourier alla trasformata di Fourier, è possibile passare dalle frequenze spaziali discrete alla trasformata di Fourier 2-D.

Una lente positiva focalizza ciascuna di queste frequenze spaziali in un punto separato. Ad esempio, ecco le illustrazioni di due diverse onde piane messe a fuoco da una lente.

Plane wave hitting a lens face on

Quando un'onda piana colpisce la faccia di una lente, la lente la focalizza su un punto sull'asse ottico, alla distanza focale dell'obiettivo.

Plane wave hitting a lens at an angle

Tuttavia, quando l'onda piana è incidente in un angolo, la messa a fuoco è ancora alla focale distanza, ma spostato dall'asse ottico. Questo è il modo in cui una lente trasforma "angolo" in posizione.

1-D Fourier transform using a lens

Quindi, se hai un raggio più complicato composto da molte frequenze spaziali (che, come ho detto, sono solo onde piane), sono tutte focalizzate su punti separati sullo stesso piano sull'altro lato dell'obiettivo, a una distanza focale. Questo è il motivo per cui diciamo che calcola la trasformata di Fourier 2-D di un fascio di luce monocromatico. In effetti, negli anni '70, quando i computer non erano così veloci, le persone sperimentavano effettivamente l'utilizzo di lenti per calcolare le trasformate di Fourier istantaneamente!

Interessante. Una volta sono stato brevemente coinvolto in un progetto che doveva eseguire un preciso rilevamento del fronte d'onda (per l'ottica adattiva). Non ho mai pensato all'approccio di Fourier perché avevamo invece una serie di obiettivi, ciascuno incentrato sul proprio CCD. Ciò ha consentito il campionamento spaziale del fronte d'onda piuttosto che il campionamento di Fourier. Col senno di poi, pensai, avevamo un rilevatore di "primo ordine" collegato a uno specchio inclinabile che, suppongo, trovasse la componente di Fourier più forte.
Qualche tempo fa (fine degli anni '90), ho sentito alcuni interessanti discorsi sull'uso di queste proprietà di Fourier delle lenti per fare la crittografia. Mettendo una maschera di fase nel piano focale di una lente che guarda un'immagine o un oggetto di interesse, puoi trasformare l'immagine formata da quella lente in quella che sembra statica casuale, perché cambi il modo in cui si sommano tutte quelle componenti spaziali di Fourier. È possibile annullare la crittografia eseguendo la stessa operazione al contrario: inviando l'immagine crittografata attraverso una lente e applicando la maschera di fase corretta si ripristina l'immagine originale. È stato bello, ma non so se è andato da qualche parte.
Non ho mai sentito parlare di queste chiamate "frequenze spaziali" - è una specie di nome fuorviante, IMO, ma penso di capire a cosa stai arrivando. Se ti capisco bene, è fondamentalmente una trasformazione di Fourier dallo spazio di quantità di moto 2D allo spazio di posizione 2D.
@David Zaslavsky, esattamente. Le chiamo "frequenze spaziali" perché è così che le chiamano Saleh e Teich ed è lì che le ho imparate per la prima volta ;-)
nibot
2010-11-05 04:11:24 UTC
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Ricordi l ' esperimento della doppia fenditura? Lo schema di interferenza è la trasformata di Fourier dei fori . Questo mi ha sbalordito quando l'ho imparato per la prima volta. Nel limite in cui lo schermo è lontano dalla maschera, i raggi di luce calcolano fisicamente la trasformata di Fourier (vedi diffrazione di Fraunhofer).

Anche questo è davvero fantastico! Non l'ho toccato nella mia risposta, ma come dici tu, la propagazione su lunghe distanze calcola anche la trasformata di Fourier. Questo è il motivo per cui i raggi laser sono spesso di forma gaussiana, perché la gaussiana è la propria trasformata di Fourier, quindi rimane la stessa su lunghe distanze di propagazione!
Hmm, non ci avevo pensato! Questo significa che anche l'ordine superiore (Hermite-Gauss, Laguerre-Gauss, ecc.) Sono le loro trasformate di Fourier?
Ottimo esempio, e forse sto pignolando qui, ma non è completamente preciso.Lo schema di interferenza è dato dalla distribuzione spaziale del campo illuminante moltiplicato per la funzione di trasferimento dei fori e poi trasformato di Fourier.Questo spiega perché la spaziatura dei margini cambia con la lunghezza d'onda e anche perché il modello di diffrazione è diverso per lo stesso insieme di fori se la distribuzione del campo illuminante viene modificata in intensità e / o fase.
sigoldberg1
2010-11-04 20:07:41 UTC
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Questo si riferisce a uno degli esempi più interessanti in assoluto: le lenti e il modo in cui vedi.

Molto, molto, approssimativamente, quando la luce interagisce con un oggetto macroscopico il risultato è la trasformata di Fourier della forma dell'oggetto, contenuta nella luce diffusa. Una lente fondamentalmente calcola la trasformata di Fourier di parte della luce diffusa. La trasformata di Fourier è la sua stessa inversa, cioè applicata due volte otteniamo l'identità. Quindi, usando l'obiettivo nei tuoi occhi, la tua retina vede la forma dell'oggetto! Lo stesso per le telecamere, ovviamente. Cercherò di trovare alcuni riferimenti e di modificarli in seguito per includerli.

Steve
2010-11-04 13:22:11 UTC
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Nella microscopia per immagini la Trasformata di Fourier 2D è uno strumento utile per analizzare le immagini e migliorare il rapporto S / N.

Avevo la tua stessa opinione all'inizio ma poi il mio capo, che in realtà è un entusiasta della FTT, è riuscito a convincermi dell ' effettiva utilità (comica) della tecnica!

La microscopia per immagini e le trasformate di Fourier 2D avvengono naturalmente?
Justin: Sì. Ad esempio, nella cristallografia, è comune esporre un cristallo a un fascio di elettroni e misurare il modello di diffrazione, che è la trasformata di Fourier del modello di densità del cristallo. Un problema è che, quando il modello di diffrazione viene catturato dalla pellicola fotografica, vengono registrate solo le informazioni di ampiezza ma le informazioni di fase vengono perse. (Esistono algoritmi per aggirare questo problema.)
Robert Filter
2010-12-13 03:50:17 UTC
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Voglio aggiungere qualcosa al problema dell'oratore e mostrare che la trasformazione di Fourier non è sufficiente per spiegarlo (come forse affermato implicitamente dalle risposte fornite finora) .

In una prima approssimazione puoi descrivere le autofunzioni di una piastra soggetta ad alcune sollecitazioni meccaniche (es. eccitazione acustica) mediante l ' equazione di Helmholtz

$ \ Delta \ psi (x, y) + \ mathbf {k} ^ 2 \ psi (x, y) = 0 $ per $ {x, y} \ in \ Omega = {(x, y) \ in (-L_x ... L_x, -L_y ... L_y)} $

Le soluzioni a questa equazione sono le onde piane se, e ora arriva il punto che non è stato discusso finora, ne hai alcune confine rettangolare con condizioni di Dirichlet, ad esempio

$ \ psi \ equiv 0 $ per $ (x, y) \ in \ partial \ Omega $

Quindi , hai davvero (il m'th) risonanze / frequenze proprie ad alcune $ k_x * L_x = m $ e analogamente a $ y $.

Ma se i confini sono in qualche modo diversi , ottieni altre autofunzioni come Funzioni di Bessel per una sfera sistema ical. La situazione diventa totalmente confusa se hai una forma che non è integrabile come per il biliardo dinamico. Quindi puoi osservare le autofunzioni caotiche .

Quindi, per riassumere, non è sufficiente conoscere la trasformazione di Fourier per spiegare tali fenomeni ondulatori.

Cordiali saluti

Robert

Demis
2016-01-30 15:51:08 UTC
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Expounding on the 1st part of @Einchenlaub's answer (and describing my favourite example),

The Cochlea in the ear (in which the hair follicles are present) is a beautiful example of how the fourier transform is carried out physically.
The changing diameter of the cochlea's tube causes different frequencies to resonate in different parts of the cochlea, so hair follicles in those regions are thus most sensitive to a particular frequency. The signals coming out of all the hair cells are the fourier transform of the incoming sound (if you organize the signals by position in the cochlea).

sbhusal123
2019-01-26 00:12:06 UTC
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Un esempio perfetto è il prisma.Se si passa la luce bianca al prisma, la luce bianca si trasforma in segnali luminosi rosso arancio giallo, ecc.È come trovare le singole componenti di frequenza nella luce bianca.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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