Le risposte precedenti riaffermano tutte il problema come "Il lavoro è forza punto / volte distanza". Ma questo non è davvero soddisfacente, perché potresti chiedere "Perché la forza lavoro è a distanza di un punto?" e il mistero è lo stesso.

L'unico modo per rispondere a domande come questa è affidarsi ai principi di simmetria, poiché questi sono più fondamentali delle leggi del moto. Usando l'invarianza galileiana, la simmetria che dice che le leggi della fisica ti sembrano le stesse su un treno in movimento, puoi spiegare perché l'energia deve essere proporzionale alla massa moltiplicata per la velocità al quadrato.

Innanzitutto, devi per definire l'energia cinetica. La definirò come segue: l'energia cinetica $ E (m, v) $ di una palla di argilla di massa $ m $ che si muove con velocità $ v $ è la quantità di calorie di calore che produce quando sbatte contro un muro . Questa definizione non fa riferimento ad alcuna grandezza meccanica e può essere determinata utilizzando termometri. Mostrerò che, assumendo l'invarianza galileiana, $ E (v) $ deve essere il quadrato della velocità.

$ E (m, v) $, se è invariante, deve essere proporzionale alla massa , perché puoi schiacciare due palline di argilla una accanto all'altra e ottenere il doppio del riscaldamento, quindi

$$ E (m, v) = m E (v) $$

Inoltre, se sbatti due palle di argilla identiche di massa $ m $ che si muovono con velocità $ v $ frontalmente l'una nell'altra, entrambe le palle si fermano, per simmetria. Il risultato è che ciascuno funge da muro per l'altro e devi ottenere una quantità di riscaldamento pari a $ 2m E (v) $.

Ma ora guarda questo in un treno che si muove con una delle palline prima della collisione. In questo quadro di riferimento, la prima palla inizia ferma, la seconda la colpisce a $ 2v $ e il sistema a due palle bloccate finisce per muoversi con velocità $ v $.

L'energia cinetica della seconda palla è $ mE (2v) $ all'inizio e dopo la collisione, hai $ 2mE (v) $ di energia cinetica immagazzinata nella palla combinata. Ma il riscaldamento generato dalla collisione è lo stesso del caso precedente. Quindi ora ci sono due termini da $ 2mE (v) $ da considerare: uno che rappresenta il calore generato dalla collisione, che abbiamo visto prima era $ 2mE (v) $, e l'altro che rappresenta l'energia immagazzinata nella doppia massa in movimento palla, che è anche $ 2mE (v) $. A causa della conservazione dell'energia, questi due termini devono sommarsi all'energia cinetica della seconda palla prima della collisione:

$$ mE (2v) = 2mE (v) + 2mE (v) $$

$$ E (2v) = 4 E (v) $$

che implica che $ E $ è quadratico.

Forza-volte non circolare -distanza

Ecco la versione non circolare dell'argomento forza-tempo-distanza che tutti sembrano amare così tanto, ma non viene mai eseguita correttamente. Per sostenere che l'energia è quadratica in velocità, è sufficiente stabilire due cose:

• L'energia potenziale sulla superficie terrestre è lineare in altezza
• Gli oggetti che cadono sul La superficie terrestre ha un'accelerazione costante

Il risultato quindi segue.

Che l'energia in un campo gravitazionale costante sia proporzionale all'altezza è stabilito dalla statica. Se credi alla legge della leva, un oggetto sarà in equilibrio con un altro oggetto su una leva quando le distanze sono inversamente proporzionali alle masse (ci sono semplici dimostrazioni geometriche di ciò che non richiedono altro che il fatto che oggetti di uguale massa si bilanciano a distanze uguali dal centro di massa). Quindi, se inclini leggermente la leva, la massa-volte-altezza guadagnata di 1 è uguale alla massa-volte-altezza guadagnata dall'altro. Ciò consente di sollevare oggetti e abbassarli con uno sforzo minimo, a condizione che la massa-volte-altezza aggiunta su tutti gli oggetti sia costante prima e dopo. Questo è il principio di Archimede.

Un altro modo per dire la stessa cosa utilizza un elevatore, costituito da due piattaforme collegate da una catena tramite una carrucola, in modo che quando una sale, l'altra scende. È possibile sollevare un oggetto se si abbassa una quantità uguale di massa della stessa quantità. Puoi sollevare due oggetti di una certa distanza in due passaggi, se fai cadere un oggetto il doppio.

Questo stabilisce che per tutti i movimenti reversibili dell'ascensore, quelli che non richiedono di fare alcun lavoro (sia nel senso colloquiale che in quello fisico - le due nozioni qui coincidono), la massa-volte-altezza sommata su tutti gli oggetti è conservata. L '"energia" può ora essere definita come quella quantità di movimento che si conserva quando questi oggetti possono muoversi con una velocità non infinitesimale. Questa è la versione di Archimede di Feynman.

Quindi la massa-volte-altezza è una misura dello sforzo richiesto per sollevare qualcosa, ed è una quantità conservata in statica. Questa quantità va conservata anche in presenza di dinamiche in stadi intermedi. Con questo intendo che se lasci cadere due pesi mentre sono sospesi su una corda, lasci che facciano una collisione elastica e afferri i due oggetti quando smettono di muoversi di nuovo, non hai fatto nulla. Gli oggetti dovrebbero quindi raggiungere la stessa massa-volte-altezza totale.

Questa è la dimostrazione originale delle leggi delle collisioni elastiche di Christian Huygens, il quale sosteneva che se si rilasciano due masse sui pendoli, e lasciateli entrare in collisione, il loro baricentro deve salire alla stessa altezza, se afferrate le palline nel loro punto massimo. Da questo, Huygens ha generalizzato la legge di conservazione dell'energia potenziale implicita in Archimede per derivare la legge di conservazione della velocità quadrata nelle collisioni elastiche. Il suo principio secondo cui il centro di massa non può essere sollevato da collisioni dinamiche è la prima dichiarazione di conservazione dell'energia.

Per completezza, il fatto che un oggetto acceleri in un campo gravitazionale costante con un'accelerazione uniforme è una conseguenza dell'invarianza galileiana e l'ipotesi che un campo gravitazionale sia invariante rispetto ai movimenti uniformi su e giù con una velocità costante. Una volta che sai che il movimento in gravità costante è un'accelerazione costante, sai che

$$ mv ^ 2/2 + mgh = C $$

in modo che la quantità dinamica di Huygens sia additiva conservata insieme alla massa di Archimede per l'altezza è la velocità al quadrato.

La domanda è particolarmente rilevante da un punto di vista didattico perché si deve imparare a distinguere tra energia (lavoro) e quantità di moto (quantità di movimento).

La proprietà cinematica che è proporzionale a $ v $ è oggi chiamata quantità di moto, è la "quantità di movimento" che risiede in un oggetto in movimento, la sua definizione è $ p: = mv $.

La variazione della quantità di moto è proporzionale all'impulso: l'impulso è il prodotto di una forza $ F $ e del periodo di tempo $ \ Delta t $ che viene applicato. Questa relazione è anche nota come seconda legge di Newton: $ F \ Delta t = \ Delta p $ o $ F dt = dp $. Quando si sostituisce $ mv $ con $ p $ si ottiene la sua forma più comune: $ F = m \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = ma $.

Ora per una spiegazione intuitiva che un oggetto con doppia velocità ha quattro volte più energia cinetica.
Supponiamo che A abbia velocità $ v $ e B sia un oggetto identico con velocità $ 2v $.
B ha una quantità doppia di movimento (quantità di moto) - cioè se la tua intuizione è corretta!
Ora applichiamo una forza costante $ F $ per rallentare entrambi gli oggetti fino all'arresto. Da $ F \ Delta t = \ Delta p $ segue che il tempo $ \ Delta t $ necessario a B per rallentare è il doppio (applichiamo la stessa forza ad A e B). Quindi lo spazio di frenata di B sarà di un fattore 4 maggiore dello spazio di frenata di A (la sua velocità iniziale, e quindi anche la sua velocità media, essendo il doppio, e il suo tempo $ \ Delta t $ essendo il doppio, quindi la distanza, $ s = \ bar {v} \ Delta t $, aumenta di 2 x 2 = 4 volte).
Il lavoro $ W $ necessario per rallentare A e B è calcolato come prodotto della forza e spazio di frenata $ W = Fs $, quindi anche questo è quattro volte tanto. L'energia cinetica è definita come questa quantità di lavoro, quindi ci siamo.

Vorrei solo inserire una spiegazione intuitiva. Potresti riformulare la tua domanda come:

Perché la velocità aumenta solo come radice quadrata dell'energia cinetica, non linearmente?

Bene, lascia cadere una palla da un'altezza di 1 metro e ha velocità v quando colpisce il suolo.

Ora, lasciala cadere da un'altezza di 2 metri. Avrà una velocità di 2v quando toccherà il suolo?

No, perché percorre il secondo metro in molto meno tempo (perché è già in movimento), quindi ha meno tempo per guadagnare velocità.

L'unico vero motivo fisico (che non è davvero una risposta completamente soddisfacente) è che $ E \ sim v ^ 2 $ è ciò che ci dicono gli esperimenti. Ad esempio, l'energia potenziale gravitazionale sulla superficie terrestre è proporzionale all'altezza e se lasci cadere un oggetto, puoi misurare che l'altezza in cui cade è proporzionale al quadrato della sua velocità. Quindi, se l'energia deve essere conservata, l'energia cinetica deve essere proporzionale a $ v ^ 2 $.

Ovviamente, potresti chiederti perché l'energia potenziale gravitazionale è proporzionale all'altezza, e una volta risolto , chiedersi perché un altro tipo di energia è proporzionale a qualcos'altro, e così via. Ad un certo punto diventa una questione filosofica. La conclusione è che definire l'energia cinetica proporzionale al quadrato della velocità si è rivelato una teoria utile. Ecco perché lo facciamo.

D'altra parte, potresti sempre dire che se fosse lineare in velocità, si chiamerebbe momentum ;-)

P.S. Può valere la pena ricordare che l'energia cinetica non è esattamente proporzionale a $ v ^ 2 $. La relatività speciale ci fornisce la seguente formula:

$ K = mc ^ 2 \ left (1 / \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} - 1 \ right) $

Per velocità basse, questo è essenzialmente uguale a $ mv ^ 2/2 $.

Solo per pubblicare un'altra versione, più matematica, di questo che non dipende dalla termodinamica, ma piuttosto solo dal calcolo vettoriale e dalle leggi di Newton, consideriamo la seconda legge di Newton:

$$ \ sum {\ vec F} = m {\ vec a} $$

Ora, applica la definizione di lavoro, $ W = \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $

Abbiamo, supponendo che $ s $ sia il percorso effettivo percorso dalla particella, e utilizzando alcune modifiche intelligenti delle variabili:

$$ \ begin {align} \ sum W & = m \ int d {\ vec s (t)} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \ frac {d {\ vec s}} {dt} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot \ frac {d {\ vec v}} {dt} \\ & = m \ int {\ vec v} \ cdot d {\ vec v} \\ & = \ frac {1} {2} m \ left (v_ {f} ^ {2} - v_ {i} ^ {2} \ right ) \\ & = \ Delta {\ rm KE} \ end {align} $$

Quindi, vediamo che la definizione di lavoro è sinonimo di dipendenza quadratica dalla velocità. Che importa? Bene, ora, fissiamo alcuni requisiti sulla forza. Vale a dire, supponiamo che le nostre forze siano conservatrici. Cosa significa questo? Bene, significa che la nostra forza è senza arricciature $ \ rightarrow {\ vec \ nabla} \ times {\ vec F} = 0 $. Questo è matematicamente equivalente a molte cose, ma le due più importanti sono che $ \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $ non dipende dal percorso su cui si integra, ma solo dai punti finali della curva e in secondo luogo, che $ {\ vec F} = - {\ vec \ nabla} \ phi $ per qualche funzione $ \ phi (x, y, z, t) $. Una volta che lo sai, è relativamente facile mostrare che $ \ int {\ vec ds} \ cdot {\ vec F} = \ phi_ {0} - \ phi_ {f} $

Quindi, hai :

$$ 0 = \ Delta {\ rm KE} + \ sum \ Delta {\ rm PE} _ {i} $$

dove la somma è al di sopra dei potenziali delle varie forze (e ho sostituito subdolamente PE con $ \ phi $, dato che stiamo ovviamente parlando di energia potenziale ora.) Ora abbiamo dimostrato che l'energia totale non cambia. Pertanto, la definizione standard di lavoro ci dà una quantità conservata, che possiamo chiamare energia (fintanto che assumiamo l'assenza di forze non conservatrici, ma in presenza di queste l'energia non viene conservata e iniziamo a preoccuparci di perdite per calore e irraggiamento).

Come suggerito da Piotr, accettando la definizione di lavoro $ W = \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} $, segue che l'energia cinetica aumenta quadraticamente. Perché? Perché la forza e l'intervallo infinitesimale dipendono linearmente dalla velocità. Pertanto, è naturale pensare che se moltiplichi entrambe le quantità, devi finire con qualcosa come $ K v ^ {2} $, dove $ K $ è una costante "arbitraria".

A Domanda molto più interessante è perché la lagrangiana dipende dalla velocità al quadrato. Data l'omogeneità dello spazio, non può contenere esplicitamente $ \ mathbf {r} $ e data l'omogeneità del tempo non può dipendere dal tempo. Inoltre, poiché lo spazio è isotropo, la lagrangiana non può contenere la velocità $ \ mathbf {v} $. Pertanto, la prossima scelta più semplice dovrebbe essere che la lagrangiana contenga la velocità al quadrato. Penso che la lagrangiana sia di natura più fondamentale rispetto alle altre quantità, tuttavia la sua derivazione implica la definizione di lavoro o, equivalentemente, di energia. Quindi probabilmente non comprerai l'idea che quest'ultima spiegazione sia la vera causa dell'aumento quadratico dell'energia cinetica, anche se penso che sia molto più soddisfacente della prima spiegazione.

In si riduce alle definizioni.

Momentum è definito come $ p = mv $. La quantità di moto cresce linearmente con la velocità, rendendo la quantità di moto intuitiva da comprendere (maggiore è la quantità di moto, più difficile è fermare un oggetto). L'energia cinetica è una quantità meno intuitiva associata a un oggetto in movimento. KE è assegnato in modo tale che il cambiamento istantaneo nel KE produca la quantità di moto di quell'oggetto in un dato momento:

$ \ frac {dKE} {dv} = p $

Un separato la domanda che ci si potrebbe chiedere è perché ci preoccupiamo di questa quantità? La risposta è che in un sistema senza attrito si conserva la somma delle energie cinetiche e potenziali di un oggetto:

$ \ frac {d (KE + PE)} {dt} = 0 $

Per ogni aumento relativamente uguale (in percentuale) della velocità, la forza applicata deve essere presente su una distanza di percorrenza sempre maggiore (quadraticamente). F = m * a. Allo stesso tempo forza * distanza = lavoro, dove lavoro = energia.

La forma generale dell'energia cinetica include correzioni di ordine superiore dovute alla relatività. Il termine quadratico è solo un'approssimazione newtoniana valida quando le velocità sono basse rispetto alla velocità della luce c.

C'è un'altra ragione fondamentale per cui l'energia cinetica non può dipendere linearmente con la velocità. L'energia cinetica è uno scalare, la velocità è un vettore. Inoltre, se la dipendenza fosse lineare questo significherebbe che l'energia cinetica varierebbe sostituendo $ \ mathbf {v} $ con $ - \ mathbf {v} $. Cioè l'energia cinetica dipenderebbe dall'orientamento, il che di nuovo non ha senso. La dipendenza quadratica newtoniana e le correzioni relativistiche $ v ^ 4 $, $ v ^ 6 $ ... soddisfano entrambi i requisiti: l'energia cinetica è uno scalare e invariante alla sostituzione di $ \ mathbf {v} $ con $ - \ mathbf {v} $.

Penso che derivi dalla prima legge della termodinamica. Trasforma la tua definizione di lavoro in una proprietà conservata chiamata energia. Se definisci il lavoro nello stile $ Fdx $ (come fece James Joule), l'espressione quadratica per l'energia cinetica seguirà con gli argomenti di simmetria.

Nella sua eccellente risposta, Ron Maimon suggerisce abilmente di usare il calore per evitare un riferimento al lavoro. Per determinare il numero di calorie usa un termometro. Un termometro perfetto misurerà $ \ partial {E} / \ partial {S} $ quindi quando ha finito di definire l'entropia, ha ancora bisogno di una definizione non meccanica del lavoro. (In effetti, credo che sia il contributo di Joule a dimostrare che la caloria è una misura superflua di energia.) Il punto debole nella risposta di Ron è che ha anche bisogno della seconda legge della termodinamica per rispondere alla domanda.

Per vederlo esplicitamente, scrivi la prima legge in termini dell'equazione di Gibbs: $$ dE = TdS + vdp + Fdx $$ Questa equazione definisce $ v = \ partial {E} / \ partial {p} $. Per un sistema conservativo impostare $ dE = 0 $ e per seguire Huygens, impostare $ dS = 0 $ per ottenere $ vdp = - Fdx $ e per seguire Maimon impostare $ dx = 0 $ per ottenere $ vdp = -TdS $. Questi sono due modi per misurare l'energia cinetica.

Ora per integrare. Huygens assume che $ p $ sia solo una funzione di $ v $. Per piccoli cambiamenti in $ v $ facciamo l'approssimazione lineare $ p = mv $, dove $ m \ equiv dp / dv $. Collegalo, integra e ottieni la dipendenza quadratica. In effetti, non è troppo difficile vedere che se usi la gravità per la forza che $ F = mg $ che porta a $$ \ frac {1} {2} mv ^ 2 + mgh = C. $$ Raimon deve anche assumere l'indipendenza di $ p $ su $ S $. Per integrarsi dovrà valutare $ T $ in funzione di $ S $ (ed eventualmente $ p $) oppure utilizzare la capacità termica.

Ora nota che abbiamo richiesto che le modifiche in $ v $ fossero piccole. Infatti, l'energia cinetica non è sempre proporzionale a $ v ^ 2 $. Se ti avvicini alla velocità della luce, l'intera cosa si rompe e per la luce stessa non c'è massa, ma i fotoni hanno un'energia cinetica pari a $ c p $ dove $ c $ è la velocità della luce. Pertanto, è meglio pensare all'energia cinetica come $$ E_ {kin} = \ int v dp $$ ed eseguire semplicemente l'integrazione per trovare la vera dipendenza da $ v $.

Quindi, in sintesi , Suggerisco che il "perché" della domanda sia lo stesso del "perché" della prima legge.

Fondamentalmente, la quantità di moto è correlata alla forza per il tempo e KE è correlata alla forza per la distanza. È tutto una questione di quadro di riferimento, tempo o distanza. La relazione tra tempo e distanza per una velocità iniziale pari a zero è $ d = \ frac {at ^ 2} {2} = \ frac {tV} {2} $. Inseriscilo nelle equazioni che ottieni KE $ = \ frac {pV} {2} = \ frac {p ^ 2} {2m} $

Woolah - magia!

Ho una risposta quantitativa che è un esperimento mentale che evita tutte le equazioni tranne le più semplici.

Un oggetto che va dalla velocità v = 0 av = 1 deve essere spinto o tirato in qualche modo. Nella mia spiegazione userò lo stesso metodo per spingere l'oggetto da v = 0 a v = 1 quindi da v = 1 a v = 2, quindi v = 2 a v = 3, ecc. Mostrerò come l'energia del movimento incarnato nell'oggetto va da 0 a 1 a 4 a 9, ecc.

Inizia con due palline identiche, m1 e m2. Tra le due sfere c'è una molla, s1, che viene tenuta in compressione. Supponiamo che la massa della molla sia molto piccola. L'energia potenziale in primavera è PE = 2 e tutti e 3 gli attori hanno velocità v = 0.

A. v = 0. Tutti gli oggetti hanno velocità 0, quindi l'energia cinetica KE = 0.

B. v = 1. Rilascia la molla e m1 scatta a sinistra con velocità v = 1. m2 va nella direzione opposta con v = -1. L'energia cinetica di entrambe le sfere è la stessa ed è KE = 1 perché tutta l'energia potenziale della molla è stata trasferita simmetricamente alle sfere.

C. v = 2. Ora posiziona un'altra palla identica, m3, appena a destra di m1 e che viaggia anche in v = 1 e con una molla compressa, s2, tra di loro. Nulla è cambiato su m1, viaggia ancora felicemente a v = 1. Allora qual è l'energia totale del sistema m1, s2 e m3? È 1 + 2 + 1 = 4 è KE di m1, PE di s2 e KE di m3.

Ora rilascia la molla e m1 scatta a sinistra con v = 2 e la velocità di m3 va da v = 1 a v = 0 rendendo il suo KE = 0. Perché abbiamo detto che la massa della molla è molto piccola, quindi il suo KE è quasi zero, quindi tutta l'energia che era nel sistema prima che la molla fosse rilasciata è ora in m1. Quindi il KE di m1 è KE = 4. Uff, KE è proporzionale a v al quadrato!

D. v = 3. Ripeti semplicemente il processo per far passare m1 da v = 2 a v = 3 spingendo via un'altra palla identica, m4. Innanzitutto, calcola l'energia totale delle due sfere e del sistema di molle prima che la molla venga rilasciata. È 4 + 2 + 4 = 10. Dopo che la molla è stata rilasciata, m4 ha v = 1 che abbiamo stabilito è equivalente a KE = 1. Quindi m1 ha l'energia rimanente del sistema che è KE = 9.

E. v = 4. Ripeti il ​​processo. Energia del sistema prima del rilascio della molla, 9 + 2 + 9 = 20. KE di m1 dopo che la molla è stata rilasciata, KE = 20-4 = 16.

Non sono contento di assumere la massa della molla, quindi una spiegazione più ordinata ha una molla attaccata a ciascuna palla e alle palle interagiscono tramite le loro molle che sono in contatto.

L'energia cinetica è definita come $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ (almeno nella meccanica classica).

Quando il movimento di un oggetto è sottoposto a una legge fisica costante nel tempo (ad esempio $ \ ddot {r} = - \ frac {GM} {r ^ 2} $ dove GM è una costante), quindi quando si integrano entrambi i lati rispetto alla distanza e moltiplicare per la massa $ m $ dell'oggetto che si ottiene:

$$ \ frac {1} {2} mv_2 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_2} = \ frac {1} {2 } mv_1 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_1} $$

Supponendo che la legge sia costante nel tempo, allora tra gli stati iniziale e finale la quantità dell'oggetto $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 - \ frac {GMm} {r} $ si conserva anche nel tempo.

Se invece di $ - \ frac {GM} {r ^ 2} $ la legge fisica è un'altra funzione $ f (r) $ costante nel tempo, quindi la quantità dell'oggetto $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 - F (r) $ dove F è una primitiva di f viene conservata anche nel tempo.

Questa quantità si chiama energia. Quindi diamo un nome ai due termini: il termine che dipende dalla velocità ($ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $) è indicato come energia cinetica, e il termine che dipende dalla distanza ($ -F ( r) $) è indicata come energia potenziale.

È utile definire queste quantità, perché se assumiamo che l'accelerazione di un oggetto sia una funzione della distanza costante nel tempo (come nel caso di la legge di gravitazione, la legge di Coulomb, la legge di Hooke, ...), e se conosciamo il valore di $ F (r) $ e il valore della velocità a una data distanza $ r_1 $ (che sono entrambi derivati ​​da misurazioni) , quindi possiamo dedurre direttamente la velocità dell'oggetto a qualsiasi altra distanza senza dover calcolare ogni volta l'integrale di $ f (r) $.

Poiché l'energia cinetica è una quantità definita, non ha senso chiedere perché aumenta quadraticamente con la velocità, lo fa perché è definito in quel modo. L'argomento di cui sopra fornisce una ragione sul motivo per cui è definito in questo modo.

Perché ci vuole così tanta più energia per passare da 1 m / sa 2 m / s di quanto non ne faccia per andare da 0 m / sa 1 m / s?

Non è più difficile accelerare qualcosa da 1 m / sa 2 m / s che da 0 m / sa 1 m / s, ad un'accelerazione costante ci vuole lo stesso tempo, tuttavia ci vuole 3 volte più distanza (quindi ci vuole una distanza 4 volte maggiore per accelerare da 0 m / sa 2 m / s che da 0 m / sa 1 m / s).

Supponiamo che tu acceleri il tuo oggetto a una certa velocità costante cosicché ci vuole un po 'di tempo $ \ tau $ per passare da 0 m / sa 1 m / s. Poi ci vorrà lo stesso tempo $ \ tau $ per passare da 1 m / sa 2 m / s.

La sua velocità in funzione del tempo sarà $ v (t) = \ frac {1} {\ tau} t $. In particolare, $ v (\ tau) = 1 $ e $ v (2 \ tau) = 2 $. La sua distanza percorsa in funzione del tempo sarà $ d (t) = \ frac {1} {2 \ tau} t ^ 2 $

Ci vuole una distanza $ d (\ tau) = \ frac {\ tau} {2} $ per accelerarlo da 0 m / sa 1 m / s, mentre impiega una distanza $ d (2 \ tau) = 2 \ tau $ per accelerarlo da 0 m / sa 2 m /s.

Come puoi vedere, $ d (2 \ tau) = 4d (\ tau) $. In nessun momento è necessario invocare l'energia cinetica per spiegare questa osservazione, ci vuole 4 volte più distanza perché l'oggetto si muove più velocemente tra $ \ tau $ e $ 2 \ tau $ che tra $ 0 $ e $ \ tau $. Allo stesso modo, a un tasso di decelerazione costante ci vuole 4 volte più distanza per frenare fino a fermarsi alla velocità $ 2v $ che alla velocità $ v $, non perché l'energia cinetica rende in qualche modo più difficile frenare quando andiamo più veloci, ma semplicemente perché impiega due volte più tempo per frenare (il tempo per passare da $ 2v $ a $ v $ è lo stesso del tempo per passare da $ v $ a $ 0 $), e poiché ci stiamo muovendo più velocemente di $ v $ (quindi coprendo una distanza maggiore ) durante la metà del tempo di frenata.

La variazione quadratica dell'energia cinetica con la velocità può essere spiegata dalle proprietà di simmetria dello spazio e del tempo. La funzione lagrangiana è definita come $ \ mathcal {L} = TU $ , dove $ T $ è il energia cinetica e $ U $ è l'energia potenziale.

Sappiamo che lo spazio è omogeneo e isotropo e il tempo è omogeneo. Per una particella libera, ne consegue che la lagrangiana $ \ mathcal {L} $ dovrebbe avere le seguenti proprietà:

1. $ \ mathcal {L} $ non deve dipendere dalla coordinata della posizione.
2. $ \ mathcal {L} $ non dovrebbe dipendere dal vettore velocità. Piuttosto dovrebbe dipendere dall'entità della velocità, cioè da una certa potenza del vettore velocità.
3. $ \ mathcal {L} $ non deve dipendere dalla coordinata temporale.

Quindi la forma generale della lagrangiana per una particella libera è $$ \ mathcal {L} (x, v, t) = \ alpha v ^ n $$ span > dove $ \ alpha $ è una costante indipendente da coordinate, velocità e tempo. Ora, lo slancio può essere calcolato utilizzando la relazione $$ p = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial v} = \ alpha nv ^ {n-1 } $$ Tuttavia, la quantità di moto è sempre una funzione lineare della velocità che può essere facilmente dimostrata mediante analisi dimensionale. Ciò è possibile solo quando $ n = 2 $ nell'espressione precedente.

Poiché stiamo considerando una particella libera (che ha solo energia cinetica), la lagrangiana (scegliendo $ n = 2 $ ) è $$ \ mathcal {L} = T = \ alpha v ^ 2 $$ Pertanto, l'energia cinetica è proporzionale a $ v ^ 2 $ e non a qualsiasi altra potenza di $ v $ .

Un modo per esaminare questa tua domanda è il seguente:

$$ E (v) = \ frac {m v ^ 2} {2} \; . $$

Quindi, se moltiplichiamo la velocità per una certa quantità, cioè se scaliamo la velocità, otteniamo quanto segue,

$$ E (\ lambda v) = \ frac {m (\ lambda v) ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 \ frac {mv ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 E (v) \; . $$

Cioè, se riduci la tua velocità di un fattore $ \ lambda $, la tua energia viene scalata di un fattore $ \ lambda ^ 2 $ - questo dovrebbe rispondere alla tua domanda (basta collegare i numeri).

Il quadratico dell'energia cinetica ha perfettamente senso se la nostra realtà non è effettivamente del primo ordine nello spazio, ed è invece semplicemente una misura della velocità relativa con cui un oggetto sta attraversando il tempo. Lo spazio della nostra esistenza diventa quindi lo spazio del tempo simultaneo, in un dato momento, mentre procede.

In questo scenario, cambiare l'energia cinetica di un oggetto crea una spinta (pensa "forza" ) in un nuovo spazio di simultaneità mentre il tempo si sposta più velocemente o più lentamente per un oggetto.

Perché la prima legge di Newton funziona? È perché il tempo scorre a un ritmo costante, quando non cambia? E quando cambia, lo fa come una radice quadrata / quadrata perché il tempo viene sperimentato come passare in tutte le direzioni?

Il tempo sarebbe quindi considerato come un passaggio omnidirezionale, mentre il movimento ovviamente esiste linearmente. Combinali e avrai la radice quadrata dello spaziotempo! Proprio come il raggio in espansione o in contrazione di una sfera! (Mi sembra sempre di avere il cappello messicano di Higg davanti ai miei occhi quando penso che la forza vada in una particolare direzione per qualche motivo, anche se non è direttamente correlato qui per quanto posso dire lol).

Le simmetrie della SR e del risparmio energetico sono cose divertenti su cui riflettere in questo scenario.

La realtà deve esistere effettivamente in questo modo, come meglio posso dire. Non c'è margine di manovra perché sia ​​sbagliato poiché l'invarianza della velocità della luce si applica anche all'infinitesimale dell'accelerazione. L'infinitesimale può essere solo un riflesso della creazione di un nuovo spazio di simultaneità se l'oggetto in accelerazione deve mantenere la costanza della velocità della luce in tutti i casi.

L'energia cinetica non è realmente e veramente uno scalare che esiste nello spazio. E il tempo è in realtà una cosa reale che passa davvero. Il passare del tempo non è un'illusione.

L'energia cinetica richiede il passare del tempo perché è la dilatazione relativa quantitativa di quella stessa velocità con cui il tempo passa che definisce ciò che l'energia cinetica effettivamente e veramente è!

Il risultato è che il quadrato in energia cinetica si allinea perfettamente con l'invarianza di Lorentz per spiegare perfettamente la nostra realtà come la misuriamo, se solo accettiamo il tempo che passa è una cosa reale e dagli il primato nel nostro modo di pensare che merita di avere!