Esiste un approccio non soggettivo e abbastanza matematico a questa domanda.

In primo luogo, abbiamo le semplici proporzionalità lineari che non sono realmente leggi fisiche ma solo definizioni di quantità fisiche. Perché sono diverse quantità misurabili sensibili di solito in proporzioni lineari o di legge di potenza sarà ulteriormente chiarito in seguito. Un esempio è $ F = ma $ (definisce semplicemente cos'è la forza - è conveniente definirla così) e tutte le formule di conversione delle unità ( essenzialmente, c'è solo un'unità: il tempo e lo spazio possono essere resi uguali da $ x = ct $, anche l'energia e la quantità di moto, quindi hai $ E = \ hbar \ omega $ dalla meccanica quantistica e così via).

La relazione lineare non è solo una cosa matematica. Linearità significa che vale il principio di sovrapposizione: che una somma di cause crea una somma di effetti. È quasi universale che quando l'effetto è piccolo, la teoria delle perturbazioni è valida e si ha la prima correzione come termine lineare. Immagina un'espansione di Taylor: è una serie di potenze, senza esponenti frazionari. Ciò significa anche che molte delle relazioni lineari di questo tipo sono approssimazioni per perturbazioni deboli. C'è la legge di Ohm, la conduzione del calore, la legge di Hooke e così via. Anche se lo espandi ulteriormente, è ancora una legge di potere. Tuttavia, questa potrebbe essere solo un'approssimazione di un risultato generale con una funzione non lineare (potrebbe essere esponenziale o qualcosa di peggio). Ma alcune di queste relazioni sono esatte: nell'elettrodinamica / ottica del vuoto, il principio di sovrapposizione è fondamentale. Ma questo ci porta al punto successivo:

Le leggi naturali sono locali (ok, possono essere espresse in modo variazionale, ma questa è un'altra discussione). Locale significa che le relazioni tra quantità obbediscono alle equazioni differenziali. E le equazioni differenziali sono lineari e quando vengono utilizzate sulle leggi di potenza, spostano semplicemente l'esponente di uno. Inoltre sono generalmente lineari (sovrapposizione), perché la non linearità molto probabilmente ha un'interpretazione fisica di un sistema che agisce su se stesso modificando il suo ambiente. La linearità nelle equazioni differenziali non produce necessariamente leggi di potenza: tutti i fenomeni esponenziali e oscillatori sono risultati di equazioni differenziali lineari. Qui, non linearità significa qualcosa di diverso: dipendenza dei fenomeni dall'ampiezza. Una legge differenziale lineare significa che il doppio della causa ha il doppio dell'effetto. Non lineare significa che il doppio della causa può avere un effetto completamente irriconoscibile. Ad esempio, un pendolo a piccole ampiezze ha una frequenza costante. Ma quando le ampiezze sono troppo grandi, la non linearità entra in gioco e puoi avere un comportamento piuttosto interessante.

Le leggi fondamentali sono generalmente lineari (le equazioni di Maxwell, per esempio), e sebbene vi sia una domanda intrinseca sul perché l'universo è così bello ed elegante , il fatto è che se ci sono quantità conservate in un sistema, la relazione tra loro sarà qualcosa di semplice.

Con le equazioni differenziali, ancora una volta non vediamo solo leggi ma anche semplici definizioni ... velocità come derivata della posizione, accelerazione come derivata della velocità, questa è solo la nostra decisione su cosa misurare. C'è anche $ dE = F \, dx $ per ottenere il lavoro (contributo energetico) causato dalla forza, che porta a tutte le leggi dell'energia quadratica (ovviamente: se le forze sono lineari, almeno in approssimazione, l'integrazione ti porta al quadratico ).

Un punto molto interessante è che le leggi fondamentali della natura non implicano derivate temporali maggiori di due (accelerazione). Questo è in qualche modo correlato alla conservazione dell'energia (funzionale Lagrangiano) e ti dice "quanto lontano può vedere un fenomeno" - quanto della storia influenza il presente. Ma anche con derivate superiori, avremmo comunque solo gli esponenti per 1.

Quindi, tutto sommato, non puoi davvero definire una legge differenziale sensata che ti darebbe esponenti costanti, ma non interi. Puoi ottenere esponenti razionali se esprimi quantità che hanno potenze diverse tra loro (da $ a ^ 3 = b ^ 2 $ otterrai $ a = \ sqrt [3] {b ^ 2} $), ma questo è solo un sviluppo algebrico.

Vedi strani esponenti nella relazione empirica: se non c'è una legge fisica teorica dietro, ma hai misurato una certa dipendenza e hai creato una funzione per disegnare una curva attraverso le misurazioni, una funzione di alimentazione è qualcosa di abbastanza semplice da consentire alle persone di provare se funziona. Questa è ancora un'approssimazione e probabilmente nasconde un risultato teorico più generale che non è una strana legge di potenza ma una funzione trascendentale o qualcosa che è semplicemente troppo complicato per essere scritto algebricamente. Questo è molto comune nella scienza dei materiali: la dipendenza della capacità termica, della conduttività, ... dalla temperatura o dalla corrente, sono funzioni molto strane. Gli spettri di trasmissione sono anche peggiori. Quando le cose si complicano, un mucchio di processi lineari e non lineari insieme producono un comportamento complesso che è meglio solo misurato o almeno simulato su un computer. Tuttavia, le leggi di base e che definiscono le formule delle quantità fondamentali da noi scelte sono per lo più lineari, o almeno qualcosa di gestibile. La sovrapposizione e la proporzionalità sono i fenomeni più naturali e anche al di fuori della fisica (economia, statistica generale), le cose stanno proprio così.

Penso che una risposta molto facile da capire sia che noi umani trucciamo il gioco per semplificarci le cose. Ad esempio, scegliamo di esprimere il volume di una sfera in funzione del suo raggio perché il raggio di una sfera è FACILE da misurare per noi. Siamo creature pigre:

$$ V_ {sphere} = \ frac {4} {3} \ pi {R ^ 3} $$

Ora supponiamo che nel corso dell'umano storia, abbiamo invece deciso di esprimere il volume di una sfera in funzione della sua superficie;

$$ A_ {sphere} = {4} \ pi {R ^ 2} $$$$ {R ^ 2 } = \ frac {A_ {sfera}} {{4} {\ pi}} $$$$ {R ^ 3} = \ frac {A_ {sfera} ^ {3/2}} {{8} {\ pi } ^ {3/2}} $$

Allora avremmo;

$$ V_ {sphere} = \ frac {1} {6} \ pi ^ {- 1/2} {A_ {sphere} ^ {3/2}} $$

L'esponente è ora più brutto perché abbiamo scelto una proprietà diversa per definire abitualmente la nostra sfera. Ma nessuno vorrà misurare fisicamente la sua superficie per determinarne il volume. Sarebbe sciocco.

Fornirò una risposta meno tecnica. In realtà, anche più dominante degli esponenti interi , è l'esponente 1, cioè la dipendenza lineare tra cause ed effetti. E spesso, l'esponente 2 deriva dall'integrazione di questo effetto (cioè l'energia cinetica), o dalla moltiplicazione di due effetti lineari in cui compare la stessa causa.

Perché linearità? Bene, questo è facile come 1 e 1 fa 2, direi! Questo è semplicemente il principio abbastanza generale che in assenza di un'interazione molto specifica, raddoppiando l'intensità di una causa che ha qualche effetto raddoppierà l'effetto, ad esempio il doppio dell'inerzia per il doppio della massa.

Modifica: l'eccellente e dettagliata risposta di Orion si sta espandendo su questo.

Una risposta più semplice sarebbe: unità. Ad esempio, in $ F = ma $ l'unità di misura della forza corrisponderebbe alle unità di misura della massa e dell'accelerazione. Per definizione, un Newton di forza è un chilogrammo di massa accelerato di un metro al secondo quadrato. Non è necessario ingombrare l'equazione definendo un'unità diversa per misurare la forza che richiede un moltiplicatore costante.

Nel caso di pi greco e altre costanti naturali, questi non sono numeri "scelti". Questi numeri si trovano in natura e hanno un significato reale in matematica, fisica e altre scienze.

Fai una domanda molto interessante. Le altre risposte qui indicano alcuni ottimi esempi e spiegazioni ragionevoli. Tuttavia, penso che tocchino solo la causa principale della tua osservazione: il fattore umano.

Ipotesi

• La maggior parte delle formule in fisica ha esponenti interi.

Nessun'altra risposta sfida davvero questa ipotesi. Per avere una prova inconfutabile di tale ipotesi, dovremmo enumerare completamente tutte le formule in fisica e dividerle in quelle con esponenti interi e in quelle con esponenti non interi. Noi, come cercatori collettivi e depositi di conoscenza, scopriamo continuamente nuova fisica. Ci sarà mai un'equazione finale? Ci sarà una fine a ciò che noi esseri mortali possiamo sapere? Non posso rispondere a queste domande.

Devierò invece la tua domanda con una dichiarazione vera su me stesso:

• La maggior parte delle formule che conosco hanno esponenti interi.

Tra l'intera popolazione di persone vive oggi, ho una conoscenza della fisica superiore alla media. Tra gli utenti registrati di questo sito, la mia comprensione della fisica è probabilmente molto al di sotto della media. Su una scala assoluta di tutto ciò che gli esseri umani sanno sulla fisica, la mia comprensione è ridicolmente incompleta. Indipendentemente da ciò che risulta essere l'esponente del conteggio assoluto intero e non intero delle leggi fisiche o naturali, penso che possiamo formulare una valida spiegazione della tua osservazione in questo modo:

Proposte

• Le cose facili da capire hanno rappresentazioni semplici.
• Gli esponenti interi sono più facili da capire per gli esseri umani rispetto agli esponenti frazionari, irrazionali e complessi.
• Formule che non hanno numeri interi esponenti saranno correlati o addirittura derivati ​​da formule che hanno esponenti interi.
• L'apprendimento umano (individualmente, che scala necessariamente all'apprendimento collettivo) inizia con la comprensione delle cose semplici.
• Tenta di comprendere il complesso senza comprendere le basi hanno meno successo.

• Le prime formule scoperte e registrate dagli esseri umani che descrivevano accuratamente il mondo naturale usavano esponenti interi. ¹
• Le prime formule che si imparerebbero studiando la fisica (come la intendono gli umani) avranno esponenti interi.

E QED, la maggior parte delle formule conosciute da un essere umano arbitrario avrà esponenti interi.

¹ : Inquisitive fa notare un eccellente esempio di questo con la sfera. Applicando queste proposizioni a questo esempio:

1. Un cerchio (bidimensionale) è più facile da capire di una sfera (tridimensionale).
2. Una linea (monodimensionale) è più facile da capire di un cerchio.
3. Iniziare la comprensione con un punto, poi una linea, poi un cerchio e una sfera, le equazioni per ciascuna si baserebbe sugli elementi più elementari e condivisi di ciascuno: il punto centrale e il raggio.
Pertanto , più persone conoscono la formula per un cerchio rispetto a una sfera, perché è più semplice, più facile da capire e fa parte della conoscenza umana da più tempo.

Ora questo apre la porta alla domanda, penso che tu stia davvero cercando una risposta: perché? O più propriamente dichiarato: Perché le leggi più elementari del mondo fisico coinvolgono esponenti interi?

Dipende, credo, principalmente da cosa intendi per base. Dal punto di vista umano, le leggi fondamentali sono quelle che abbiamo imparato per prime e comprendiamo meglio, il che rimette in gioco la mia tesi. Dalla prospettiva cosmica di cui le leggi sono coinvolte nella maggior parte delle relazioni che compongono l'universo, da cui dipende la visione macroscopica, le leggi più basilari sono la fisica delle particelle ad alta energia e la meccanica quantistica. (O almeno così suppongo; penso di aver già dichiarato a sufficienza di non sapere nulla in questo campo.)

Non so come siano le equazioni in questi campi. Come dimostra Inquisitive, potresti probabilmente trovare dei modi per esprimere alcune o tutte le equazioni in qualsiasi campo con esponenti non interi. Tuttavia, se e quando arriviamo alla `` teoria di tutto '', scommetterei sulla forma più popolare per le equazioni, la forma che viene registrata nei libri di testo e insegnata in classe, coinvolgerà quanti più esponenti interi possiamo adattare.

Un delizioso esempio di ciò è la formula di Eulero, che descrive le funzioni trigonometriche per mezzo di un esponente immaginario: e^ix = cos x + i sin x . Wikipedia lo riassume dicendo "Questa formula può essere interpretata nel senso che la funzione e^ix è un numero complesso unitario, cioè traccia il cerchio unitario nel piano complesso come x va dai numeri reali. " In altre parole, mentre il semplice cerchio reale è descritto con esponenti interi, esiste un altro cerchio descrivibile con numeri immaginari. Chi può dire quale sia più fondamentale? O che porta a più formule o una descrizione più ampia della fisica e della realtà?

Nella maggior parte dei casi, la risposta è: Perché il creatore della formula voleva esprimerla in modo semplice .

Ad es. in $ F = ma $ stiamo definendo la massa ($ F / a $), come la proprietà che la materia ha da offrire resistenza all'accelerazione quando viene applicata una particolare forza. In breve, Newton ha scelto di rappresentare questo modello il più semplice possibile.

Potremmo usare un valore diverso per $ m $, ma renderebbe le cose più complesse del necessario.

Gli esponenti strani iniziano a emergere quando combiniamo assiomi precedentemente assunti, come questo. Supponiamo che io faccia una nuova ipotesi basata su queste leggi. Non riesco più a definire cosa sia $ m $, quindi le mie espressioni saranno più complesse.

La matematica che usiamo per descrivere il comportamento del mondo che ci circonda ha due tipi di quantità: valori e unità. "3.4" è un valore. "Meter" è un'unità. Ci sono regole extra che le coppie valore-unità devono seguire affinché i risultati abbiano un significato fisico:

• Due coppie valore-unità devono avere lo stesso tipo di unità se vengono aggiunte o sottratto, cioè $ \ text {length} + \ text {length} $, $ \ text {force} + \ text {force} $, ecc. $ 1 \ text {meter} + 2 \ text {feet} $ ha senso . $ 5 \ text {gallons} + 4 \ text {acres} $ no.
• Le unità si moltiplicano e si dividono proprio come i valori. $ \ text {length} * \ text {length} = \ text {length} ^ 2 $. $ \ text {length} / \ text {time} = \ frac {\ text {length}} {\ text {time}} $ (che rinominiamo $ \ text {speed} $ per comodità).
• Le coppie valore-unità che vengono confrontate devono avere lo stesso tipo di unità. $ 5 \ text {secondi} < 1 \ text {ora} $ funziona. $ 5 \ text {seconds} < 1 \ text {inch} $ non lo fa (non portiamo relatività in questo).
• I valori senza unità hanno l'equivalente di $ 1 $ per unità, quindi $ 2 * (4 \ text {cm}) = 8 \ text {cm} $.

Queste sono le regole e anche le uniche operazioni consentite sulle coppie valore-unità. Ora, ogni misurazione fisica che puoi ottenere risulta in un insieme di coppie valore-unità. È possibile, secondo le regole precedenti, trovare un'espressione valida con esponenti non interi? No.

Le radici, inclusa la radice quadrata, a volte funzionano. La formula per il periodo di un pendolo è $$ T = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {L} {g}} $$ dove $ T $ è il periodo, $ L $ è il lunghezza del pendolo, e $ g $ è l'accelerazione dovuta alla gravità. Se calcoli le unità, allora stai prendendo la radice quadrata di $ \ text {time} ^ 2 $, che è $ \ text {time} $ (nota che $ \ pi $ è la circonferenza di un cerchio divisa per il suo diametro : $ \ frac {\ text {length}} {\ text {length}} = 1 $). Quindi, una regola parziale:

• Quadrato, cubo o qualsiasi altra radice va bene fintanto che il risultato è un prodotto o un quoziente di potenze intere di unità.

Nessuno è stato in grado di attribuire un significato a $ \ sqrt {\ text {2 miles}} $. Con "significato", intendo qualcosa come "trovare un modo per misurare quella quantità". Posso immaginare come misurare un miglio quadrato di terra o un miglio cubo di acqua, ma quale cosa nell'universo potrebbe avere una quantità di un miglio radice?

"Ma, aspetta", dici " Vedo molte altre funzioni nelle formule scientifiche come seni e log. Che ne dici di loro? " Hai ragione. Ad esempio, la quantità di materiale radioattivo rimasto in un campione è data da $$ N (t) = N_0 e ^ {- t / \ lambda} $$ dove $ N (t) $ è il numero di atomi non decomposti rimasti, $ N_0 $ è il numero originale al momento $ t = 0 $ e $ \ lambda $ è una costante che indica la durata media di un atomo non decaduto. Nota che $ t $ e $ \ lambda $ hanno entrambi unità di tempo, quindi l'esponente totale è senza unità. In questa equazione, l'esponente non solo non è un numero intero, non è nemmeno costante. È più negativo con il tempo.

Questo mi porta a un'altra regola sulle unità:

• L'input e l'output delle funzioni trascendentali (sin, cos, log, $ e ^ x $, ecc.) deve essere senza unità. Modifica: vedi nota di seguito.

Possiamo capire perché utilizzando la serie di Taylor della funzione esponenziale: $$ e ^ x = 1 + x + \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1} {6} x ^ 3 + \ cdots $$ Cosa succederebbe se $ x $ avesse un'unità $ X $? Il primo termine è senza unità; il secondo termine ha unità $ X $; il terzo termine ha l'unità $ X ^ 2 $. Queste quantità non possono essere sommate in base al primo insieme di regole a meno che $ x $ non fosse senza unità per iniziare (ovvero $ X = 1 $).

Nella scienza, ciò che vogliamo misurare e studiare sono aspetti dell'universo che ci circonda. Ciò significa che siamo interessati alle misurazioni fisiche: coppie valore-unità. Noi umani abbiamo inventato la matematica per lavorare con le coppie valore-unità e abbiamo elaborato le regole perché erano quelle che funzionavano. Non capiamo cosa possa significare $ \ text {length} + \ text {area} $, quindi creiamo regole per rendere impossibile quel calcolo. Il risultato è esponenti interi su quantità con unità.

Come sottolineato da Eli Rose nei commenti, non sono solo le funzioni trascendentali che devono avere ingressi e uscite senza unità. Considera il fattore di Lorentz dalla relatività: $$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}}. $$ Affinché questa formula abbia senso fisico, $ \ beta ^ 2 $ (e quindi $ \ beta $) deve essere senza unità perché $ 1 $ è senza unità. Infatti, in relatività, $$ \ beta = \ frac {v} {c} $$ dove $ v $ è la velocità di un oggetto e $ c $ è la velocità della luce. Ciò si traduce in un'unità di $ 1 $. La formula completa di Lorentz è scritta: $$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}. $$

Se pensi alla fisica come allo studio di come determinati operatori agiscono su determinati spazi di stato (una traduzione in matematica di "le cose accadono nel mondo" - gli operatori sono le "cose ​​che accadono" e lo spazio degli stati è il "Mondo ") e assumi ulteriormente che gli operatori siano analitici nelle loro azioni (questo è simile, ma una nozione più forte di" liscio "), cioè che esiste un $ \ epsilon>0 $ tale che per ogni $ x $ entro "distanza" $ \ epsilon $ da qualche punto $ x_0 $, possiamo descrivere l'azione dell'operatore come una serie di Taylor convergente, quindi le relazioni tra operatori possono essere espresse come relazioni date dal differenziale equazioni, che contengono solo coefficienti interi dell'operatore di differenziazione, cioè ci sono solo termini della forma $ D ^ n \, T $ dove $ D $ è la differenziazione e $ T $ l'operatore in domanda. Pertanto, nelle formule compaiono solo potenze intere.

Questo argomento è alquanto circolare nella misura in cui supporre che una serie di Taylor convergente sia solo un altro modo per dire in definitiva che si ottengono solo potenze intere. Tuttavia, anche le potenze non intere degli operatori, quando significative, possono spesso essere scritte in termini di serie infinite di Taylor, quindi si potrebbe sostenere che potremmo fare fisica prendendo termini sufficienti se le relazioni "reali" fossero potenze non intere, e quindi ottenere un serie finite che sarebbero sperimentalmente indistinguibili dall'operatore "reale".

Un altro modo di pensare è che le persone tendono a suddividere i problemi in blocchi facili da capire. Ad esempio, con la seconda legge di Newton non c'è alcun problema fondamentale nel definire la forza usando gli strani esponenti che hai citato, ma le derivazioni che seguono da quella definizione diventeranno disordinate molto rapidamente. È molto più conveniente definire la forza come $ ma $ nella direzione dell'accelerazione. Lo usiamo quindi come semplice elemento costitutivo per problemi più complicati. Il semplice oscillatore armonico o l'oscillatore smorzato pilotato, ad esempio, sono costruiti su $ F = ma $ ma non hanno un esponente semplice nelle loro equazioni del moto.

Come secondo esempio, prendi la legge di Coulomb. Prendendo come primo passo un problema sfericamente simmetrico (cioè una carica puntiforme), il campo elettrico risultante è sfericamente simmetrico e otteniamo $ r ^ 2 $ come esponente. Da quel semplice problema possiamo suddividere quelli più difficili in quelli più facili che hanno più senso per noi. Aggiungendo o integrando tutte le cariche puntuali in un sistema, possiamo ottenere campi molto più complicati che non assomigliano a un semplice esponente (vedi ad esempio espansioni multipolari generali).

Per esempi di i brutti esponenti della fisica, della meccanica quantistica e dell'ottica sono pieni di fattori di fase complessi e trasformate di Fourier in cui si integrano più di $ e ^ {ikx} $. Anche quei problemi hanno il filo conduttore di problemi complicati costruiti come una sovrapposizione di problemi semplici, proprio come la meccanica classica e l'elettrostatica menzionate sopra.

Ignoriamo i casi poco interessanti in cui gli esponenti frazionari derivano da cattive definizioni di quantità fisiche rilevanti.

In generale, la semplicità delle espressioni che governano molti fenomeni ha a che fare con l'esistenza di scale lunghezza / tempo uniche. In situazioni generali, dove sono presenti più scale di lunghezza o quando non ci sono scale di lunghezza, spesso si trovano esponenti frazionari. Puoi trovare molti esempi in meccanica dei fluidi dove spesso sono presenti più scale. Puoi trovare esponenti frazionari anche quando il sistema è scala invariante, ad esempio nelle transizioni di fase del secondo ordine.

La ragione di ciò non è solo la "semplicità", come altri hanno sottolineato. È anche dovuto al modo in cui queste espressioni vengono in esistenza.

Di solito, abbiamo una relazione semplice e lineare, ottenuta intuitivamente o grazie a definizioni; cioè $$ v = a * t $$

La velocità percorsa è l'accelerazione $ v $ moltiplicata per il tempo $ t $. Ora, se vogliamo ottenere la distanza percorsa a causa dell'accelerazione, integriamo questa espressione wrt time e ottieni $$ x = \ frac {1} {2} a * t ^ 2 $$ che dovrebbe sembrare familiare; come dovrebbe $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ per esempio, quale momento $ m * v $ integrato rispetto al tempo. Questo spiega immediatamente tutti gli stupidi $ \ frac {1} {2} $ che vedi nelle equazioni. Quindi, essenzialmente, a causa dell'integrazione, l'equazione lineare (cioè esponente 1) diventa quadratica.

La parte divertente è che molte (praticamente tutte) equazioni fisiche sono correlate l'una dall'altra per differenziazione e integrazione, che Ecco perché gli studenti di fisica sono tutti obbligati a prendere lezioni noiose di calcolo.

Nota che in molti casi, tuttavia, l'integrazione o la differenziazione viene presentata in modo più semplice (motivo per cui non usi il calcolo nella fisica delle scuole superiori); per esempio

$$ E = F * s $$

(L'energia è uguale alla forza moltiplicata per la lunghezza del percorso) è in realtà un modo più semplice per descrivere che l'energia è una forza integrata lungo il suo percorso.

La risposta alla tua domanda è triplice. In primo luogo, un numero di esponenti interi derivano dalla definizione stessa di "essere alla potenza di qualcosa". In secondo luogo, le leggi fisiche fondamentali sono (almeno effettivamente) regolari e locali, il che non consente esponenti non interi. E in terzo luogo, la non irrazionalità degli esponenti non è vera nella dinamica non lineare, nei fenomeni critici nella termodinamica e in alcune formulazioni della meccanica quantistica.

1) Potenze geometriche tautologiche

Nel ventunesimo secolo siamo viziati dalla matematica moderna che ci dà la sensazione che ogni operazione che facciamo sia in qualche modo supportata da alcuni assiomi di base. Ma questo non è stato il caso per millenni e la matematica del ventesimo secolo ha costruito solo un'impalcatura di assiomi attorno a una matematica ben compresa che era già lì.

Quindi permettimi di chiederti: " Cosa significa moltiplicare due numeri non interi? " Come lo capirebbe un matematico del diciannovesimo secolo? Bene, direbbe che una moltiplicazione di due numeri $ a $ e $ b $ denotati $ a \ cdot b $ è definita dall'operazione di disegnare un rettangolo con i lati $ a $ e $ b $ e poi contare il numero di quadrati unitari che ci stanno. Niente di più, niente di meno.

Relazioni come $ c ^ 2 = d ^ 3 $ hanno anche un significato ben definito: prendi un cubo di lato $ d $ e riorganizzalo in un rettangolare parallelepipedo con un lato uguale a $ 1 $ (in unità date) e se gli altri due lati sono uguali, allora sono uguali a $ c $ . L'iterazione formale di tali definizioni consente di raggiungere qualsiasi esponente razionale.

Dichiarazioni come $ A _ {\ rm {C} (r)} = \ pi r ^ 2 $ non parlano necessariamente dei numeri: parliamo della proporzionalità di due oggetti dello stesso tipo: Se posso inserire un certo numero $ N $ di quadrati unitari in un quadrato di lato $ r $, quale sarà il rapporto $ M / N $ dove $ M $ è il numero di quadrati unitari che posso inserire in un cerchio di raggio $ r $?

Quando dici che un cerchio ha un'area di $ 1,2 \ rm m ^ 2 $, stai parlando solo del numero di "unità-metro-quadrati" che possono essere inseriti in esso, ma di "unità-metro quadro" "è solo un oggetto di riferimento convenzionale.

Potresti anche decidere di chiedere quanti Wibbly-gaga-ton rientrano nel cerchio. Wibbly-gaga-tons possono essere frattali di dimensione frattale irrazionale $ 1< \ alpha<2 $ e un singolo parametro di lunghezza $ a $ in modo che l'area che copre sia $$ A _ {\ rm {Wgt} (a)} = K a ^ \ alpha $$ La tua formula di proporzionalità tra l'area di un cerchio di raggio $ a $ e un Wibbly-gaga-ton di lunghezza caratteristica $ a $ sarà $$ A _ {\ rm {C} (a)} = \ pi a ^ 2 = \ pi K ^ {- \ frac {2} {\ alpha}} A _ {\ rm {Wgt} (a)} ^ {2 / \ alpha} $$ Diciamo che ora stabiliamo un Wibbly-gaga- ton con $ a = 1 \ rm m $ come nuovo oggetto referenziale. Quindi esprimiamo l'area di un cerchio come ad esempio $ 1.2 \, \ rm Wgt (1m) ^ {2 / \ alpha} $. Cioè, la maggior parte degli esponenti interi in geometria sono convenzionali.

Stavo giusto scrivendo la mia risposta a questa domanda quando una risposta è stata accettata, quindi pubblicherò solo il prima parte e non finirà 2) e 3).

In effetti, porrei la domanda su un altro livello: Perché la maggior parte delle formule in matematica&science ha esponenti razionali?

Il fatto è - in un certo senso tutto gli esponenti sono razionali: l'operazione sulla potenza viene prima definita solo per interi (mediante moltiplicazione iterata). Quando poi riorganizziamo le equazioni, i razionali sorgono naturalmente come radici. Ma in questo modo non puoi mai arrivare a esponenti irrazionali. Beh ... certo che puoi, per interpolazione: postuli che $ x ^ y $ è una funzione continua di $ y $ (in realtà, devi prima provare che $ y \ mapsto x ^ y $ soddisfa il criterio $ \ epsilon $ - $ \ delta $ su $ \ mathbb {Q} $), e poiché i razionali sono densi in $ \ mathbb {R} $, ciò può essere utilizzato per fissare i valori per tutti i $ x \ in \ mathbb {R} $. Ma questa è più o meno una cosa ad hoc da fare, non è come la definizione di $ \ pi $ o $ \ sqrt {2} $ dove segue da una definizione che un valore deve essere irrazionale . Tali formule compaiono in alcune applicazioni fisiche (dove si presume solo che una relazione sia una legge di potenza e l'esponente è ottenuto dall'adattamento dei minimi quadrati), ma in realtà non creano modelli matematici molto eleganti.

Un modo molto più diretto in cui compaiono "esponenti irrazionali", che trovi sempre nella scienza, è come argomenti della funzione esponenziale $ \ exp $. In tal caso, è naturale usare numeri reali piuttosto che solo razionali, perché la funzione stessa è definita attraverso il calcolo piuttosto che l'algebra (come una soluzione all'equazione differenziale $ f '(x) = x $ con $ f (0) = 1 $. Se vuoi, $ \ exp $ non ha nemmeno senso come funzione sui razionali; succede solo che quando valutato sui razionali coincide con $ e ^ x $ dove $ e = 2.718 ... $. Ma la funzione esponenziale non è tuttavia una funzione di potenza, è solo una funzione elementare particolarmente importante. Se questa funzione viene scelta per qualche modello fisico, di solito non è così molto a causa delle sue proprietà algebriche (leggi di potenza), ma poiché alcune equazioni differenziali somigliano alla sua stessa definizione, o alcuni integrali sono facilmente risolvibili quando il kernel è ad esempio a forma di Gauss (che ha molto a che fare con le proprietà differenziali).

Usando un argomento simile a @Jason, dovremmo prima concentrarci sulla natura delle osservabili che usiamo e anche sulla geometria e sulle leggi di conservazione.

Sicuramente usiamo il tempo, lo spazio, la massa come riferimenti proprio perché le leggi della fisica mettono in relazione queste quantità in modo semplice. Questo è proprio per questo motivo che siamo stati in grado di scoprire le relazioni.

La scienza ha creato una cornice concettuale basata su queste unità e sul principio di misurazione: ci occupiamo di quantità misurabili ed esprimiamo i risultati in un sistema di unità. Il sistema di unità è assolutamente arbitrario. Qui arbitrario significa che può essere qualsiasi sistema, purché concordiamo sulla definizione di pochi valori di riferimento. Come conseguenza di questa arbitrarietà, possiamo eseguire analisi dimensionali .

Qualche parola sulle dimensioni. La geometria impone alcuni vincoli alle unità e all'analisi dimensionale. Le leggi di conservazione (conservazione della massa, conservazione dell'energia, ecc.) Sono governate dalla geometria. Il campo elettrico creato da una carica puntiforme varia come $ r ^ {- 2} $ perché siamo in tre dimensioni spaziali (in uno spazio di $ d $ dimensioni, diminuirebbe come $ r ^ {- (d-1)} $ secondo la legge di Gauss). Si possono trovare molti altri esempi. La geometria e le leggi di conservazione forniranno esponenti per lo più interi. Più in generale, la geometria impone semplici leggi di scala che sono governate da esponenti interi.

Supponiamo ora di cercare il risultato $ A $ di un esperimento fisico che coinvolge alcuni parametri $ p $, $ q $, $ r $. Se supponiamo che $ A $ sia proporzionale a una combinazione della forma $ p ^ xq ^ yr ^ z $ dove $ x $, $ y $ e $ z $ sono esponenti sconosciuti, l'analisi dimensionale fornirà ragionevolmente spesso un'unica soluzione. Ad esempio, un oggetto di massa $ m $ cade da un'altezza $ h $. Quanto dura la caduta. La soluzione è $ t \ propto m ^ xh ^ yg ^ z $ ($ g $ è l'accelerazione di gravità). Troviamo che $ x = 0 $ (non dipende dalla massa) $ y = 1/2 $ e $ z = -1 / 2 $. Abbiamo ottenuto numeri razionali perché abbiamo risolto un sistema lineare con coefficienti interi.

Nei problemi in cui ci sono più parametri, l'analisi dimensionale deve essere migliorata per mettere in relazione quantità adimensionali. Se nel mio esempio prendiamo in considerazione l'attrito durante la caduta, la quantità $ Q = (\ frac {\ alpha} {m}) ^ 2 \ frac hg $ (dove $ \ alpha $ è il coefficiente di attrito) è il parametro di un'equazione trascendentale per $ u = \ frac {\ alpha} mt $ che è $ \ mathrm e ^ {- u } + u = 1 + Q $. Le quantità adimensionali si formano con esponenti razionali per gli stessi motivi del primo caso.

In situazioni contenenti parametri senza dimensione, possono comparire esponenti non razionali. Ad esempio, si consideri un polimero formato da $ N $ monomeri di lunghezza $ a $. Quando questo polimero è in un buon solvente, la sua estensione è $ R = aN ^ \ nu $ dove $ \ nu = 0,588 ... $ è un numero non razionale. L'analisi dimensionale non può dire nulla al riguardo. Indica solo che l'esponente di $ a $ deve essere $ 1 $.

Questa risposta è iniziata come un commento all ' eccellente risposta di orion. Mi piacerebbe approfondirlo. Ci sono due diverse classi di misurazione che vengono affrontate qui: misurazioni geometriche e misurazioni di fenomeni fisici. Le affronterò separatamente.

Le misure geometriche come $ A = πr ^ 2 $ hanno esponenti razionali perché la relazione tra misurazioni della stessa dimensione sono lineari e le relazioni che variano di N dimensioni sono per la potenza N + 1.

Cioè, un quadrato che ha il doppio della lunghezza laterale di un quadrato unitario avrà anche il doppio della larghezza, poiché sia ​​la lunghezza che la larghezza hanno la stessa dimensione. Tuttavia, lo stesso quadrato avrà $ 2 ^ {(1 + 1)} = 4 $ volte l'area del quadrato unitario, perché l'area è una dimensione superiore alla lunghezza.

Il fisico le misurazioni dei fenomeni come $ F = ma $ hanno esponenti razionali quando la conservazione dell'energia è un vincolo.

La forza che un libro da 1 KG mette sul tavolo viene dal totale massa delle componenti barioniche del libro, su cui agisce la curvatura dello spaziotempo definita dalla gravità. Raddoppiare la quantità di particelle barioniche raddoppierà la quantità di energia su cui si agisce. Quando vedi misurazioni fisiche che hanno esponenti diversi da 1, come $ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $, (esponente -2 ) scoprirai che le relazioni di "da dove proviene l'energia" diventano piuttosto complessi. Qui ci sono due masse che "dicono allo spaziotempo come piegarsi", una relazione davvero complessa.

Bella domanda e non ho una buona risposta generale.

Tuttavia nell'esempio specifico che citi è perché la dimensione minima dello spazio che puoi inscrivere nel cerchio è una superficie di qualche tipo, ad es. un piano o la superficie di una sfera.

Allo stesso modo, con la formula per il volume di una sfera, l'esponente è tre, che si riferisce al fatto che un volume può essere inscritto solo in uno spazio tridimensionale.

Penso che quello che ha scritto symanzik138 sia il modo giusto di pensare a questo. Le leggi della fisica che conosciamo e usiamo, dovrebbero essere considerate leggi efficaci che si potrebbero in linea di principio derivare da leggi fondamentali integrando i gradi di libertà che le leggi effettive non descrivono. Che l'argomento sia la teoria quantistica dei campi, la dinamica dei fluidi o la meccanica classica, questa immagine è sempre valida (tranne, ovviamente, se si tratta di considerare i candidati per la teoria del tutto).

Ora, data un'efficace teoria che dovrebbe derivare da una teoria più fondamentale integrando i gradi di libertà che esistono su una scala di lunghezza inferiore a $ \ Lambda $, si dovrebbe essere in grado di integrare i gradi di libertà tra $ \ Lambda $ e $ \ Lambda (1+ \ epsilon) $ e quindi riscalare le lunghezze di un fattore $ 1- \ epsilon $, in modo che in termini di nuove variabili di lunghezza il cut-off venga ripristinato al vecchio valore. Questo ha quindi l'effetto di riscalare l'intero sistema. Quel sistema ridimensionato è buono quanto il sistema originale, quindi dovrebbe essere descritto dallo stesso modello, tranne per il fatto che i parametri che lo definiscono saranno cambiati. Questo porta ad equazioni differenziali per i parametri del modello in termini di scala delle lunghezze (cambiare la scala delle lunghezze equivale a mantenerla invariata ma invece modificare i parametri in un certo modo).

Queste equazioni per le trasformazioni di scala sono chiamate "trasformazioni del gruppo di rinormalizzazione". Nei casi in cui non vi è integrazione non banale sui gradi di libertà da fare, si finisce con semplici relazioni di ridimensionamento che coinvolgono esponenti interi o frazionari, ma tali esponenti possono sorgere anche in casi non banali.

Penso che tutti abbiano perso la risposta ovvia: perché le equazioni della fisica usano semplicemente la matematica per modellare il modo in cui funziona l'universo. Inserisci un esponente frazionario nel tuo F = ma e le risposte vengono fuori sbagliate.

Ora, se stai chiedendo perché l'universo sembra essere in quel modo ... Beh, non lo so, ma Penso che sia più una questione di filosofia che di fisica.