Supponi di lanciare la palla verso l'alto a una certa velocità $ v $. Quindi il tempo che trascorre in volo è semplicemente:

$$ t _ {\ text {air}} = 2 \ frac {v} {g} $$

dove $ g $ è l'accelerazione dovuta alla gravità. Quando prendi la palla, l'hai in mano per un po 'di tempo $ t _ {\ text {hand}} $ e durante questo periodo devi applicarle un'accelerazione sufficiente per rallentare la palla dalla sua velocità di discesa di $ v $ verso il basso e rilanciarlo con una velocità $ v $ verso l'alto:

$$ t _ {\ text {hand}} = 2 \ frac {v} {a - g} $$

Nota che ho scritto l'accelerazione come $ a - g $ perché devi applicare almeno un'accelerazione di $ g $ per impedire alla pallina di accelerare verso il basso. L'accelerazione $ a $ che devi applicare è $ g $ più l'accelerazione extra per accelerare la palla verso l'alto.

Vuoi che il tempo nella mano sia il più lungo possibile in modo da poter usare la minore accelerazione possibile. Tuttavia $ t _ {\ text {hand}} $ non può essere maggiore di $ t _ {\ text {air}} $ altrimenti ci sarebbe stato un po 'di tempo durante il quale avresti tenuto entrambe le palle. Se vuoi assicurarti di tenere sempre e solo una palla alla volta, il meglio che puoi fare è guadagnare $ t _ {\ text {hand}} $ = $ t _ {\ text {air}} $. Se sostituiamo le espressioni per $ t _ {\ text {hand}} $ e $ t _ {\ text {air}} $ dall'alto e le mettiamo uguali otteniamo:

$$ 2 \ frac {v } {g} = 2 \ frac {v} {a - g} $$

che semplifica in:

$$ a = 2g $$

Quindi, mentre stai tenendo una palla da 3 kg, applichi un'accelerazione di $ 2 g $ ad essa, e quindi la forza che stai applicando alla palla è $ 2 \ volte 3 = 6 $ kg.

In altri dice che la forza sul ponte quando fai il giocoliere tra le due palle (con la minima forza possibile) è esattamente la stessa come se avessi appena attraversato il ponte tenendo le due palle e probabilmente ti bagnerai!

Amo questa classe di problemi come un fantastico esempio fisico del teorema del valore medio. Consentitemi di descrivere un caso specifico che si adatta alle seguenti condizioni:

• L'uomo più le palline ha un peso totale di $ m $
• L'intero sistema (uomo + palline ) inizia a riposo e finisce a riposo

Da questi presupposti relativamente semplici, affermerò che la forza normale media (la forza che il suolo esercita verso l'alto) è uguale al peso del sistema . In altre parole, per un dato periodo di tempo di lunghezza $ T $ abbiamo questo:

$$ mg = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T \ vec {F} (t) \ cdot \ vec {n} dt $$

Questa è un'affermazione spettacolare in realtà. Per semplificare la notazione, si consideri che $ \ vec {F} (t) \ cdot \ vec {n} $ è proprio uguale al peso che leggerebbe una bilancia (questa non è una cattiva supposizione, a seconda della bilancia). Immagina che l'uomo stia facendo il giocoliere, in piedi su una bilancia, e la bilancia legge un valore che dipende dal tempo, $ w (t) $. Il valore medio letto dalla bilancia sarà uguale alla gravità moltiplicata per la sua massa, compreso tutto ciò che tiene in mano o indossa.

Nella storia dell'uomo che cammina sul ponte e gioca con le palle, il peso totale è di $ 201 lb $. Per ogni secondo che pesa $ 200 lb $, trascorre un secondo del peso di $ 202 lb $ o qualcosa di simile. Il punto è che il valore medio è lo stesso .

Metti giù una pallina. Cammina con l'altro. Torna indietro, prendi la seconda palla.

Oppure fai rotolare le due palle, poi corri dietro di loro.

Oppure, il giocoliere si toglie le scarpe e cammina a piedi nudi.

Questo è risolto come un problema di "pensiero non lineare", non con "la giocoleria è anti-gravità". Il sistema ball-man deve essere accelerato verso il basso con una forza media di 1 libbra o il ponte si romperà. Altrimenti potresti costruire una macchina a moto perpetuo da due giocolieri su un'altalena che a turno fanno i giocolieri.

(Inoltre, correre è come fare il giocoliere in quanto il peso è nell'aria per la maggior parte del tempo-- se questo potesse funzionare, potresti anche solo tenere le palle e correre.)

Immagina per semplicità che il giocoliere in qualche istante si ripeta, cioè che il giocoliere e le palle (con masse $ M $ e $ 2m $, rispettivamente) siano nello stesso preciso stato cinematico a volte $ t_1 $ e $ t_2 $ .

Considera l'uomo + 2 palle come il sistema, e il bridge, ecc., come l'ambiente.

Sia $ p (t) $ (la componente verticale) la quantità di moto totale del sistema.

La seconda legge di Newton applicata al sistema produce:

$$ \ tag {1} \ dot {p} (t) ~ = ~ F_n (t) - F_g, $$

dove

$$ \ tag {2} F_g ~ = ~ (M + 2m) g, $$

e dove $ F_n (t) $ è la forza normale dal ponte, che può variare nel tempo $ t $ mentre il giocoliere esegue la sua routine. $ ^ 1 $

A causa della nostra ipotesi semplificativa di ripetizione degli stati, abbiamo

$$ \ tag {3} 0 ~ = ~ p (t_2) -p (t_1) ~ = ~ \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt - (t_2-t_1) F_g, $$

o

$$ \ tag {4} F_g ~ = ~ \ frac {1} {t_2-t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt ~ = ~ \ langle F_n \ rangle. $$

Ma se la media $ \ langle F_n \ rangle $ è $ F_g $, allora chiaramente almeno un'istanza $ t_3 \ in [t_1, t_2] $, una deve avere $ ^ 2 $

$$ \ tag {5} F_n (t_3) \ geq F_g. $$

In altre parole, il ponte crolla.

$ ^ 1 $ Il giocoliere è autorizzato a fare qualsiasi movimento ritenga possa giovare al suo caso. Se vuole saltare con entrambi i piedi lasciando il ponte, o abbassare il centro di massa, o cadere, dipende da lui. Sembra fisicamente ragionevole presumere che la forza normale $ F_n (t) $ sia una funzione continua a tratti del tempo $ t \ in [t_1, t_2] $, con solo un numero finito di punti di discontinuità. In tal caso l ' integrale $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt $ può essere definito utilizzando l' integrale di Riemann senza coinvolgere il tecnicamente più complicato Integrale di Lebesgue. (Si noti inoltre che il teorema del valore medio non si applica alle funzioni discontinue e, da un punto di vista matematico purista, il teorema del valore medio non è necessario, ovvero il ineq. cruciale (5) può essere stabilito con considerazioni ancora più elementari.)

$ ^ 2 $ Prova indiretta dell'equazione (5): Supponiamo

$$ \ tag {6} \ forall t \ in [t_1, t_2]: ~ F_n (t) ~ < ~ F_g. $$

Quindi

$$ \ tag {7} \ int_ {t_1} ^ {t_2} F_n (t) dt ~ < ~ (t_2-t_1) F_g, $$

se assumiamo continuità a tratti $ t \ mapsto F_n (t) $. Ma l'equazione (7) non è coerente con l'equazione (3). QED.

Dipende da quanto sono lunghe le sue braccia !! (e quanto è lungo il ponte) Se parte in prima posizione, con le braccia alzate e impartisce -0.17G alle palle durante l'attraversamento, ce la farà. Ho sbagliato i calcoli nel mio commento.

Inoltre, può fare un trucco da giocoliere e! Abbassare gradualmente il suo centro di gravità! mentre attraversa il ponte. La giocoleria è facoltativa, una distrazione da ciò che stanno realmente facendo. Deve solo accelerare in G * (1/201) per far pendere il ponte, non 201 libbre (195 + 6), ma 200 libbre. Se riesce ad accovacciarsi fino a 2 piedi, ho 5 secondi per attraversare il ponte.

  1/2 (0.16 ft / s ^ 2) t ^ 2 = 2 ftt = sqrt [4ft / (0,16 piedi) sec ^ 2]  

Pensa che sia ragionevole presumere: "L'intero sistema (uomo + palle) inizia a riposo e finisce a riposo". Quindi possiamo evitare completamente gli integrali e occuparci del tempo. Per il momento, consideriamo solo la velocità delle palle e facciamo finta che le sue braccia abbiano una lunghezza illimitata. Possiamo fornire solo 5 libbre di forza al secondo => un'accelerazione di 5/3 g , sebbene questa possa essere divisa tra due palline. Le palline subiscono un'accelerazione verso il basso di g ciascuna o di 2g in generale. Pertanto l'accelerazione totale verso il basso (eventualmente divisa tra le due palline) è g / 3 e non possiamo ritrovarci entrambe a riposo. L'unico modo in cui potremmo ritrovarci entrambi a riposo è se ci permettessero 6 libbre di peso invece di 5 libbre (cioè lo stesso del trasporto)

Penso che sarebbe possibile se l'uomo lanciasse una delle palline in aria prima di salire sul ponte. In quel caso l'uomo potrebbe applicare inizialmente 4 libbre di forza verso l'alto su una palla, quindi salire sul ponte. A quel punto il ponte avrebbe tenuto 198 libbre. L'uomo può quindi accelerare l'altra palla verso l'alto con 4 libbre di forza prima che l'altra palla atterri. Ciò significherebbe che il ponte avrebbe tenuto 199 libbre a quel punto. Quando entrambe le palle sono in aria, il ponte potrebbe contenere 195 libbre. Quindi la prima palla sarebbe atterrata nella mano dell'uomo e l'uomo avrebbe bisogno di applicare 4 libbre di forza per decelerarla fino a fermarsi. Durante la decelerazione il ponte potrebbe reggere 199 libbre. Dopo la decelerazione il ponte avrebbe una tenuta di 198 libbre. Quindi l'uomo può ripetere accelerando la palla verso l'alto con 4 libbre di forza mentre attraversa il ponte.

Potrebbe anche essere possibile farlo se le palle avevano un grande volume e hai contato la resistenza dell'aria, in cui caso l'aria aiuterebbe a decelerare le palline mentre cadevano, ma l'uomo avrebbe comunque dovuto lanciare una delle palline in aria prima di salire sul ponte.