Domanda:
Può la matematica pura creare nuove teorie in fisica o l '"idea" viene SEMPRE prima della matematica?
andrewfd
2011-02-09 16:03:37 UTC
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Sono in una discussione con un amico sul valore della teoria delle stringhe in fisica. È preoccupato che stiamo sprecando preziose risorse intellettuali e finanziarie in un percorso che è fantasioso e non può mai sperare di essere verificato da esperimenti e prove (11-20 dimensioni ecc.).

Il mio punto non è di essere d'accordo con la teoria delle stringhe, ma di sostenere che la matematica è potente e in grado di produrre nuove idee che possono essere verificate.

La sua domanda per me è "La matematica può fornire idee nuove e praticabili senza un'idea originale basata sul mondo naturale o attraverso l'osservazione"

Non riesco a pensare a nessun buon esempio in cui lo studio della matematica ha prodotto una nuova teoria sulla fisica. Qualcuno può?

Storicamente, può accadere in entrambi i casi, ma per la maggior parte delle scoperte in fisica, i concetti fisici vengono prima, con la matematica in ritardo.
"con la matematica in ritardo" non è la situazione tipica. Fino a poco tempo fa, i fisici capivano spesso che esistevano da tempo "strumenti matematici" appropriati. EG Riemanns molte volte o calcoli matriciali per Heisenberg. Penso / presumo che solo una percentuale di tutta la matematica sia realmente utilizzata in fisica.
Georg: quindi, "fino a poco tempo fa" significa qualcosa come 100 anni fa? Perché ad es. La QFT (che ha circa 80 anni nelle prime formulazioni) non è ancora definita matematicamente. Per non parlare dei metodi impiegati in esso ...
Appoggiato il sentimento di chiudere questa domanda, non ha una risposta giusta o sbagliata.
Geometria Riemanniana => Relatività Generale. Questo è un esempio in cui la matematica ha preceduto la teoria di circa 70 anni. Il divario di dieci anni tra il 1905 e il 1915, quando Einstein svelò il GR, fu in gran parte speso da lui nell'apprendimento della geometria Riemanniana.
Perché chiudere? La domanda è: la matematica ha portato a una nuova fisica? È una chiara domanda sì / no.
La domanda è vaga e richiede un'opinione, non una serie di fatti noti. Penso anche che non sia ben definito: la fisica teorica è parlata in matematese, non ha senso separare l '"idea" dalla lingua in cui è parlata.
Non ero sicuro se metterlo o meno nei commenti o nelle risposte.
Chiedo scusa a coloro che hanno ritenuto che la mia domanda non fosse appropriata per questo forum. Penso ancora che ci sia una domanda importante che molte persone di seguito hanno fornito a me (e ad altri che potrebbero leggere) preziosi riferimenti per ulteriori studi. Questo di per sé promuove l'apprendimento tra tutti noi.
Questa è una domanda chiara con risposte precise, sta chiedendo esempi per gridare ad alta voce, ci sono molte domande che chiedono esempi su questo sito!
Sedici risposte:
#1
+21
pho
2011-02-09 21:20:39 UTC
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È implicito nella formulazione della domanda che la teoria delle stringhe sia un esempio di matematica che viene prima, ma questo è falso. La teoria delle stringhe è nata dalla teoria di Regge che era ed è una teoria fenomenologica delle interazioni forti che si applica ai processi di scattering ad alte energie ma con un piccolo trasferimento di quantità di moto. Questo a sua volta è connesso alle traiettorie di Regge osservate nello spettro della QCD, cioè mesoni e barioni tendono a giacere su linee rette in un grafico di momento angolare $ J $ vs massa al quadrato $ M ^ 2 $. Questo è lo stesso dello spettro di una stringa relativistica. È da qui che proviene la teoria delle stringhe, un modello fenomenologico delle interazioni forti, non dalla matematica.

Nessuna fisica è derivata esclusivamente dalla matematica, tuttavia la teoria delle stringhe è chiaramente un esempio di derivazioni matematiche che portano a previsioni di nuovi fenomeni non osservati
Esistono in natura "stringhe relativistiche" di piccole dimensioni?
#2
+18
anna v
2011-02-09 18:28:39 UTC
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Questa domanda è analoga a: Romeo e Giulietta sono il risultato della grammatica e della sintassi o è necessario un input esterno? Secondo me la matematica, per quanto riguarda la fisica, è uno strumento. Uno strumento bellissimo, gli strumenti sono molto importanti per creare cose, ma la fisica è comunque un meta livello per la matematica. La matematica è necessaria per una fisica rigorosa ma non sufficiente.

Ovviamente c'è la scuola di Pitagora, "tutto è musica delle sfere" può essere sostituito da "tutto può essere descritto con la matematica", e in questo punto di vista matematico viene prima di tutto. In questa visione tutto esiste in potentia come un concetto matematico che aspetta di nascere.

Se si trova la Teoria del Tutto, forse quest'ultima sarà vera. Fino ad allora, voto che la fisica usi la matematica come strumento necessario. Sospetto che il teorema di Godel (può esserci un TOE?) In una forma o nell'altra in qualche modo metterà ancora la matematica in una posizione di strumento, necessaria ma non sufficiente.

Vorrei poter votare questo 10 volte, se non altro per l'immagine che ora ho di grammatici altezzosi che scherniscono "Ah, ma Romeo e Giulietta sono semplicemente * applicati * alla grammatica e alla sintassi!"
I teoremi di Godel non hanno nulla a che fare con la domanda "può esserci un TOE?"
@johannes Bene, come esempio usando il modulo l'ho imparato, 50 anni fa. Era "il set di tutti i set è aperto". Se abbiamo un TOE, l'insieme delle sue soluzioni sarebbe chiuso, poiché è Tutto. Quindi contraddice che "l'insieme di tutti gli insiemi è aperto".
qui salti a una conclusione sbagliata. Questo ragionamento dovrebbe portarti alla conclusione che possiamo avere un TOE (le leggi fondamentali della natura), ma non possiamo trasformare questo TOE in una sfera di cristallo. In altre parole, l'incompatibilità limiterà l'applicazione di un TOE.
#3
+10
TROLLHUNTER
2011-02-09 16:17:57 UTC
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Gli sviluppi matematici possono portare a una nuova fisica, questo è il modo in cui le anti-particelle sono state previste da Dirac. Vedi anche Perché la bellezza è una buona guida per la fisica?

No, i buchi nel mare di Dirac dovevano essere inizialmente protoni. Ci sono voluti sforzi per ricostruire la teoria per avere positroni. E la QED è ancora una teoria con difficoltà concettuali e matematiche.
Vlad ha effettivamente ragione, all'inizio, [Dirac non sapeva cosa fare con le particelle caricate positivamente e supponeva che fossero protoni] (http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation#History). Tuttavia, la teoria non funziona bene in questo modo, poiché implicherebbe che i protoni abbiano la stessa massa degli elettroni. Quindi, penso che ci sia voluto molto meno sforzo per trasformarlo in una teoria dei positroni e degli elettroni di quanto non fosse come una teoria dei protoni e degli elettroni.
Era necessario utilizzare la seconda quantizzazione che non era così semplice. Senza che qualsiasi soluzione "una particella" dell'equazione di Dirac conteneva un positrone.
#4
+8
Gordon
2011-02-10 01:31:04 UTC
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Beh, spesso porta in entrambe le direzioni. Con Ed Witten, la fisica ha portato a una nuova matematica e a una medaglia Fields per lui. E viceversa, Galois e la teoria dei gruppi hanno portato a ogni sorta di chicche in fisica con la teoria di gauge ecc. Avevo votato per la chiusura, ma ora mi scuso :) Recentemente, Andrew Hodges, un matematico di Oxford e scrittore di un'eccellente biografia di Alan Turing, chiamata Enigma, ha scritto un articolo con Nima Arkani-Hamed-- Twistors, e Alain Connes, un altro matematico della medaglia Fields, ha usato geometria non commutativa per interessanti speculazioni sulla fisica (anche se ha ammesso problemi con la teoria --- grande uomo). Poi, c'è Mad Max Tegmark e la sua teoria che tutte le strutture matematiche avere una realtà fisica che è il massimo del platonismo :)

#5
+5
Pratik Deoghare
2011-02-09 16:21:02 UTC
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La fisica senza la matematica è cieca e la matematica senza la fisica è zoppa.

Per lo più matematica e fisica vanno di pari passo.

  1. Teoria dei gruppi
  2. Calcolo tensoriale
  3. Teorema di Stokes nel calcolo vettoriale

Queste teorie matematiche sono arrivate per prime e poi utilizzato in seguito dai fisici.

To Machine: la teoria dei gruppi e il calcolo tensoriale hanno aiutato a risolvere il problema delle soluzioni incontrollate nell'elettrodinamica classica?
@Vladimir Non ti ho capito, signore. Tutto quello che voglio dire le cose menzionate in questa risposta sono state inventate per scopi di pura matematica. Quindi utilizzato dai fisici. per esempio. Galois ha utilizzato i gruppi per dimostrare che le equazioni algebriche di grado> 4 non hanno soluzioni in termini di coefficienti di termini. E ora è utile per la fisica. Lo stesso è il caso dei numeri immaginari che sono stati inventati per risolvere equazioni come $ x ^ 2 = -1 $.
Quindi, Macchina, sei d'accordo sul fatto che le invenzioni matematiche aiutano a fare calcoli matematici, non a trovare nuove leggi fisiche.
0,5 | SI> + 0,5 | NO>: D Questa è un'area scivolosa. Non sono sicuro. Perché la matematica potrebbe aiutare a trovare nuove leggi fisiche. Ma finora non ho un contro esempio alla tua affermazione. :)
@Vladimir: dalla mia comprensione storica, la teoria di Yang-Mills è stata sviluppata e alla fine è stata attaccata alle interazioni deboli e forti solo con la forza.
È una domanda interessante: se l'invarianza di gauge locale è un principio fisico? Ho sempre pensato che non lo fosse. Ci sono altri modi per costruire teorie.
To Machine: qualsiasi teoria è difficile da sviluppare, questo è un dato di fatto. Devi soddisfare i dati sperimentali, non la logica formale. La maggior parte delle teorie ha difficoltà nonostante un attento trattamento matematico. La radice delle difficoltà è nella mancanza di idee fisiche, nozioni, costruzioni.
#6
+5
Daniel Grumiller
2011-02-09 20:44:02 UTC
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Forse il concetto matematico più drastico che è stato sviluppato senza alcun riferimento alla fisica è l'idea dei numeri immaginari, che sono giunti alla loro piena gloria in fisica solo attraverso la meccanica quantistica. Questo è uno dei motivi per cui Feynman ha chiamato l'identità di Eulero $ e ^ {i \ pi} + 1 = 0 $ "la formula più notevole in matematica". Vedi anche il popolare libro di Feynman "QED: The Strange Theory of Light and Matter", che pone l'accento sui numeri complessi e sulla loro importanza fisica nella meccanica quantistica.

Un esempio più recente sarebbe il teorema dell'indice di Atiyah-Singer , che è iniziato come matematica pura e ora è uno strumento prezioso in fisica (vedi anche la domanda Dov'è il teorema dell'indice di Atiyah-Singer usato in fisica?).

#7
+4
Tim van Beek
2011-02-09 17:22:06 UTC
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La domanda è dove tracci la linea che separa l '"idea originale del mondo naturale" dalla matematica che ne deriva.

Ma penso che un esempio particolarmente valido sia la geometria non euclidea e Gauss: dopo che Gauss ha capito che l'assioma delle parallele è davvero un assioma che può essere sostituito da altri assiomi, e non segue dagli altri assiomi, ha cercato di misurare gli angoli di grandi triangoli durante i suoi lavori di rilevamento del terreno. Voleva scoprire se lo spazio fisico è euclideo o se non lo è, motivato dalla pura intuizione matematica che altre geometrie sono possibili Dal nostro punto di vista la domanda era incompleta, ovviamente Riemann e Gauss avrebbero dovuto pensare alla geometria dello spaziotempo invece di quello del solo spazio, ma penso sia giusto dire che questa linea di ragionamento puramente matematicamente motivata ha aperto la strada a Einstein.

Un altro esempio è la previsione di Maxwell delle onde elettromagnetiche e della loro velocità, che egli ottenuto dall'analisi delle sue equazioni, ma in questo caso potresti ovviamente sostenere che le sue equazioni sono state estratte dalla ricerca osservativa condotta da Faraday e altri.

#8
+4
Roy Simpson
2011-02-10 00:32:33 UTC
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La relazione storica di successo tra matematica e fisica sembra esserci quando esiste una teoria matematica M preesistente (ad esempio Teoria dei gruppi, topologia, geometria non euclidea - o casi speciali di questi) e una teoria fisica in evoluzione P. P potrebbe essere espresso in un diverso tipo di matematica, se non del tutto. Quindi viene trovata una mappatura che mappa P su M, tranne per il fatto che M ha più equazioni o componenti di quanto questa mappatura includa. Quindi la domanda diventa:

"I componenti mancanti di M sono mappati su alcune proprietà (finora) non osservate di P?"

Quando questo ha successo (come in molti altri esempi citati) quindi gli storici affermano che la matematica si è dimostrata preziosa per la fisica (ancora una volta).

Un altro esempio di questo fenomeno potrebbe essere la classificazione SU (3) di alcune particelle che avevano una lacuna nella rappresentazione quando mappate su particelle note; il divario mappato sulla particella $ \ Omega $. Gell-Mann non ha ottenuto un premio Nobel per quello?

La teoria delle stringhe sembra un po 'diversa da questo scenario classico (ma non è l'unico) in cui c'è un deliberato tentativo di sviluppare la matematica per modellare Fisica nota (e forse sconosciuta). Questo potrebbe essere visto come una forma di anticipazione.

Alcuni matematici hanno una visione più forte del racconto qui fornito, in quanto credono che l'universo fisico sia fondamentalmente di carattere matematico. Spesso, come Penrose, possono avere in mente specifici tipi di matematica con questa affermazione. Quindi da questa prospettiva lo sviluppo di quella matematica è prezioso al di là di qualsiasi dato sperimentale corrente. Una credenza simile sembra essere alla base degli sforzi della teoria delle stringhe.

#9
+3
user1355
2011-02-09 21:41:44 UTC
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Penso che questa domanda sia troppo filosofica e non sono sicuro se rientri o meno nell'ambito di questo sito. Tuttavia, penso che la domanda che hai posto sia molto importante e meriti una discussione seria.

Tradizionalmente la matematica ha sempre svolto il ruolo di uno strumento. Poiché la natura è scritta nel linguaggio della matematica, ogni idea fisica trovava in essa la sua espressione naturale. Si è anche reso conto che nessuna idea pura (idee matematiche pure nel caso della fisica), per quanto bella, di per sé può portare a una verità fisica reale. Occorre avere una conoscenza empirica del mondo. La scienza dovrebbe iniziare con l'osservazione, seguirla e infine suggerirci / condurci a un nuovo regno di esperienze. Poiché una teoria scientifica è essenzialmente un'ipotesi, la verifica sperimentale dovrebbe sempre essere il giudice finale di una teoria scientifica. È così che la scienza è sempre progredita.

Tuttavia, non si può fare a meno di osservare una caratteristica fondamentale del rapporto tra matematica e fisica. Più la fisica è progredita, la possibile portata della manipolazione matematica è diventata sempre più limitata. Le teorie divennero sempre più rigide e uniche. Cerchi solo di armeggiare con un elemento minore di una teoria e l'intera struttura crolla immediatamente. Questo ha portato una nuova intuizione. L'intuizione che in uno stadio avanzato della scienza si può fare affidamento con molta più fiducia sulla natura puramente formale dell'indagine rispetto a quando era primitiva. La coerenza matematica può diventare essa stessa una potente guida nella ricerca delle leggi della natura. La verifica sperimentale delle idee è ancora il giudice finale, ma la matematica può svolgere il ruolo di un giudice molto severo nei controlli iniziali di convalida delle idee fisiche.

#10
+3
Gordon
2011-02-10 01:27:05 UTC
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Beh, spesso porta in entrambe le direzioni. Con Ed Witten, la fisica ha portato a una nuova matematica e a una medaglia Fields per lui. E viceversa, Galois e la teoria dei gruppi hanno portato a ogni sorta di chicche in fisica con la teoria di gauge ecc. Avevo votato per la chiusura, ma ora mi scuso :) Recentemente, Andrew Hodges, un matematico di Oxford e scrittore di un'eccellente biografia di Alan Turing, chiamata Enigma, ha scritto un articolo con Nima Arkani-Hamed-- Twistors, e Alain Connes, un altro matematico della medaglia Fields, ha usato geometria non commutativa per interessanti speculazioni sulla fisica (anche se ha ammesso problemi con la teoria --- grande uomo). Poi, c'è Mad Max Tegmark e la sua teoria che tutte le strutture matematiche avere una realtà fisica che è il massimo del platonismo :)

#11
+2
QGR
2011-02-09 16:40:20 UTC
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Parlando di Dirac, ha anche inventato l'equazione di Dirac, gli operatori di creazione e annichilazione, i monopoli magnetici e la teoria dei vincoli, in particolare i vincoli di seconda classe e la parentesi di Dirac.

Anche P. Dirac ha insistito per cercare altri Hamiltoniani migliori perché secondo lui quello QED era sbagliato.
È triste, perché è stato fondamentalmente la prima persona a inventare QED.
@Vladimir: sì, perché era impegnato a sperimentare, e i positroni dovevano ancora essere scoperti.
Non solo è stato commesso, ma anche il buco nel mare aveva un aspetto diverso prima di un elettrone libero nel vuoto. Confronta un movimento di pietra in aria e un movimento di bulbo in acqua ;-).
#12
+2
Kostya
2013-04-08 01:13:08 UTC
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Aggiungerò la citazione al rumore.

La teoria del calcolo è stata tradizionalmente studiata quasi interamente in astratto, come argomento di matematica pura. Questo è per perdere il punto. I computer sono oggetti fisici e i calcoli sono processi fisici. Ciò che i computer possono o non possono calcolare è determinato dalle sole leggi della fisica e non dalla matematica pura.

David Deutsch . " The Fabric of Reality "

Ne ho parlato perché Deutsch sostiene nel suo libro che il cervello è un computer (e un oggetto fisico). E, facendo qualsiasi tipo di matematica, stiamo studiando una sorta di "realtà virtuale" che abbiamo creato dal nostro cervello. Pertanto, sostiene, l'idea che la matematica sia in qualche modo "scollegata" da una realtà fisica è ingenua e non esiste affatto una tale separazione.

Bella citazione, ma potresti per favore chiarire come la tua risposta (o calcolo) si riferisce alla domanda?
@Gugg Temo che leggere il libro sia l'unica linea di condotta che potrebbe (in linea di principio) chiarirti tutto. Ma ho provato a chiarire al test l'idea generale.
Grazie per il chiarimento. (NB: ho letto il libro.)
#13
+1
joseph f. johnson
2012-01-06 06:40:10 UTC
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Riemann ha sviluppato la geometria Riemanniana per ragioni puramente matematiche, geometriche e logiche. Ma dopo averlo fatto, è andato in stampa a fare speculazioni di fisica teorica. (Per essere precisi, che la curvatura dello spazio era causata dalla materia che lo occupava.) Non erano molto compresi all'epoca, ma il lavoro di Einstein verificò quelle speculazioni e le riempì anche considerevolmente, dando loro maggiore specificità, estendendole a quattro dimensioni invece di tre, una metrica indefinita invece di una definita, e altri sviluppi e alterazioni. Weyl ne dà conto nel suo libro Spazio-Tempo-Materia .

Sebbene Maxwell usasse la fisica precedente di Faraday e altri, mancava una piccola parte che egli stesso fornì puramente per analogia matematica con il loro lavoro, dopo aver matematizzato il loro lavoro. In piccolo, quindi, anche questo è un esempio. Ma ancora più importante, sebbene i primi scienziati avessero davvero l'idea del campo e della corrente, fu l'esame di matematica di Maxwell che lo portò all'idea fisica di un'onda elettromagnetica. Questo è enorme: un'onda senza niente di materiale di cui è un'onda di . (Ci è voluto molto tempo prima che i fisici lo accettassero.) La nostra nozione fisica moderna di un'onda deriva da questa matematica.

Meno chiaro è l'esame puramente matematico di Hamilton della relazione tra l'ottica geometrica e la teoria ondulatoria della luce, che ha poi esteso alla Meccanica newtoniana. Ma penso che anche questo conti: la struttura matematica della Meccanica Hamiltoniana e la sua dualità tra teoria ondulatoria e teoria delle particelle newtoniane è abbastanza consapevolmente ciò che ha portato Schroedinger a scoprire la Meccanica Onda (nella Teoria Quantistica) e per un paio d'anni nessuno sapeva cosa la fisica della funzione d'onda era: hanno lavorato con $ \ psi (x, y, z, t) $ basandosi esclusivamente sulla matematica hamiltoniana, e solo in seguito Born ha scoperto il significato fisico accettato di questa onda. Quindi penso che questa sia di nuovo un'idea della matematica, la funzione d'onda, che portò alla scoperta di una nuova fisica in seguito, da parte di Schroedinger e Born.

Ancora meno chiara è la scoperta di Hilbert degli operatori lineari e dei loro spettri. Ha chiamato lo "spettro" di un operatore lineare lo spettro deliberatamente perché sembrava che gli spettri atomici venissero studiati, ma ha aggiunto in una nota che ovviamente questa era solo una figura retorica, un'analogia. Più tardi, Born (un fisico che non era esattamente un suo studente, ma qualcuno che aveva lavorato con lui) fece notare ad Heisenberg che questa era la matematica che descriveva la meccanica quantistica di Heisenberg. Ma questa non è esattamente la fisica (nel senso delle idee di fisica) che nasce dalla pura matematica. Sono piuttosto i matematici che hanno inventato, in anticipo e puramente per le loro ragioni, esattamente la matematica necessaria ai fisici per formulare la legge fisica.

Questo è successo più e più volte, come sottolineato in alcuni degli altri post, ma potrebbe non essere esattamente ciò di cui l'OP stava chiedendo, che sembra essere se qualcuno, per ragioni puramente matematiche, scopre un'idea fisica, un concetto di fisica. Hilbert non ne aveva, né Levi-Civita. Ma Riemann l'ha fatto.

#14
  0
Xaqron
2013-04-07 14:48:47 UTC
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Forse una buona discussione è in questa domanda.

Ciò che è interessante di Universal Sequence è che, dopo un po 'di matematica / natura viaggi di andata e ritorno nella teoria del caos questo modello è stato trovato e, successivamente, la matematica ha ispirato ciò che dovrebbe essere curato in natura. Questa sequenza è il prodotto dell'applicazione ripetitiva dell'output di una semplice funzione matematica a se stessa e, secondo il professore da cui ho imparato, per la prima volta la matematica ispira l'esperimento.

Personalmente sono d'accordo con anna v. Che dire dell ' estensionalità quando si pensa all' interpretazione di molti mondi o alla teoria delle stringhe.

La relazione tra matematica e realtà è come nei film qualcuno va alla stazione di polizia e gli viene mostrato un album di criminali. Se avesse visto il criminale in carica può identificare la foto, ma in caso contrario e ancora più tardi da qualche altra parte vedendo uno di quei cattivi, gli ricorda qualcosa di sospetto.

#15
-1
Vladimir Kalitvianski
2011-02-09 16:18:57 UTC
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Le idee matematiche servono per fare matematica. Spesso alcune idee matematiche sono correlate a quelle che si usano in fisica; poi si tratta della "fisica matematica". La vera teoria che descrive alcuni fatti sperimentali dovrebbe essere basata su di essi. In altre parole, qualsiasi teoria fisica dovrebbe essere prima di tutto fenomenologica. Altrimenti è un ramo della fisica matematica.

Questa domanda è piuttosto pratica. Coloro che pensano di essere in grado di inventare una Teoria del Nostro Tutto (TOE) sono coinvolti in una folle corsa alla fama e al premio Nobel e fanno troppe promesse infondate. È diventato difficile alzare la voce della ragione. Anche i fallimenti evidenti sono ora rappresentati come "risultati" o "intuizioni".

#16
-2
Carl Brannen
2011-02-10 08:13:14 UTC
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La matematica ha una dimensione infinita, quindi dato un numero finito di punti dati che ciascuno viene considerato con una precisione finita, deve esserci un numero infinito di teorie coerenti con i dati. Un altro modo per dire la stessa cosa è che ci sono teorie della fisica molto più belle, ma sbagliate, della fisica corretta.

Tutti, tranne pochissimi, non sono belli, ma sono piuttosto brutti. "adattamento della curva" o adattamento dei dati non porta mai a qualcosa di bello.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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