L'ultimo libro che ho letto sul "background in matematica per fisici" è stato "Mathematics for Physics" di Stone e Goldbart, e mi è piaciuto un po '. (Da allora ho avuto la tendenza a dedicarmi ai libri di matematica pura, ma questa è una storia diversa).

Ancora meglio, una versione del libro è disponibile online sulla pagina web di Paul Goldbart . * Se l'URL sopra non funziona; prova questo: http://goldbart.gatech.edu/PG_MS_MfP.htm *

Ecco un elenco di argomenti:

  * Calcolo di variazioni * Spazi funzionali * Equazioni differenziali lineari ordinarie * Operatori differenziali lineari * Funzioni verdi * Equazioni differenziali parziali * La matematica delle onde reali * Funzioni speciali * Equazioni integrali * Vettori e tensori * Calcolo differenziale su varietà * Integrazione su varietà * Introduzione a Topologia differenziale * Gruppi e rappresentazioni di gruppi * Gruppi di Lie * La geometria dei fasci di fibre * Analisi complessa I * Analisi complessa II * Funzioni speciali e variabili complesse o Appendice A: Revisione dell'algebra lineare o Appendice B: Serie di Fourier e integrali  

Le Lecture Notes on General Relativity di Sean Carroll contengono una superba introduzione alla matematica della GR (geometria differenziale sulle varietà di Riemann). Anche questi sono stati pubblicati in forma modificata nel suo libro Spacetime and Geometry.

Il Calculus on Manifolds di Spivak è un gioiello.

Bishop's Tensor Analysis su Manifolds è un'ottima introduzione all'argomento e, pubblicata da Dover, è molto economica (meno di $ 10 su amazon).

Lie Algebras In Particle Physics di Georgi è divertente e veloce, ma probabilmente salta troppo per essere usato come prima esposizione adeguata.

Metodi geometrici di fisica matematica di Shutz e Un primo corso di Relatività generale.

Nonostante il titolo incredibilmente pomposo, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe di Penrose offre una piacevole visione di alto livello una vasta distesa di fisica matematica.

Come accennato da Cedric, sono un grande fan di Sussman e Wisdom's Structure and Interpretation of Classical Mechanics e del relativo memo Functional Differential Geometry. Le citazioni in quelle pubblicazioni indicheranno anche un sacco di buon materiale e ci sono più chicche se cerchi nel codice sorgente.

Per un approccio generale alla matematica coinvolta sia nella fisica classica che in quella quantistica, uno dei miei libri preferiti è:

- "Matematica della fisica classica e quantistica", Byron & Fuller.

Nel lato più geometrico, oltre ai libri già citati, puoi provare:

- "La geometria della fisica. Un'introduzione", Theodore Frankel.

E, come un riferimento generale, il testo usuale è "Metodi matematici per fisici" di Arfken.

Ma, IMHO, se vuoi comprendere a fondo gli strumenti matematici della fisica, dovresti usare "Metodi di fisica teorica", di Morse & Feshbach. È un vecchio libro, ma essenziale se vuoi capire l'elettrodinamica classica di Jackson o la meccanica quantistica di Messiah.

Ho trovato Metodi matematici nelle scienze fisiche di Mary Boas un ottimo libro ampio che copre le basi. Ovviamente avrai bisogno di altri libri, ma se stai cercando un libro per una solida revisione delle basi, questo libro è eccellente.

Ecco i titoli dei capitoli:

1. Serie infinite, serie di potenze
2. Numeri complessi
3. Algebra lineare
4. Differenziazione parziale
5. Integrali multipli
6. Vettore analisi
7. Serie e trasformate di Fourier
8. Equazioni differenziali ordinarie
9. Calcolo delle variazioni
10. Analisi tensoriale
11. Funzioni speciali
12. Soluzioni in serie di equazioni differenziali, funzioni legendre, bessel, hermite e laguerre
13. Equazioni differenziali parziali
14. Funzioni di una variabile complessa
15. Probabilità e statistiche

Ho anche secondo The Road to Reality di Roger Penrose come un buon libro con un ampio ambito di matematica con un taglio più teorico.

Bella domanda. Non so molto né sulla geometria differenziale né sulla topologia algebrica, ma avendo studiato un po 'i gruppi, penso di poter fornire alcuni riferimenti per i gruppi di Lie. Quindi ecco i libri che ho trovato utili

• Samelson, Notes on Lie Algebras scritti in uno stile Definizione, Teorema, Dimostrazione , quindi è un po 'difficile da capire (consiglio una rilettura multipla) ma fornisce una buona panoramica della struttura, della classificazione (sistemi di root e diagrammi di Dynkin) e delle rappresentazioni (teoria del peso massimo) delle algebre di Lie.

• Humphreys, Introduzione alle algebre di Lie e teoria della rappresentazione meno pesante di teoremi e più loquace di Samelson e contiene un numero enorme di ottimi esercizi.

• Fulton, Harris, Representation Theory A First Course discute più o meno tutto ciò che un fisico deve sapere sui gruppi (menziona anche alcuni gruppi finiti). Manca l'approccio basato sul teorema sistematico dei due libri sopra, ma vanta ottime spiegazioni e belle immagini. Lo suggerirei come una bella prima lettura sui gruppi se non fosse per la sua lunghezza.

• Goodman, Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups questa è una bibbia definitiva sui gruppi. Gli autori adottano un approccio geometrico algebrico ai gruppi di Lie (invece del solito geometrico differenziale) che rende il libro un po 'difficile da leggere per un fisico regolare. Ma oltre a questo il libro fornisce uno sguardo approfondito a molte rappresentazioni concrete (ad es. Rappresentazioni tensoriali e connessione con un gruppo simmetrico; questo è spesso omesso altrove), discute la teoria del peso massimo a lungo, fornisce una bella introduzione agli spinori e menziona anche regole di ramificazione. E molte altre cose. Decisamente consigliato.

• Un libro piuttosto simpatico, ma classico sulle varietà di Riemannain è: Semi-Riemannian Geometry di O'Neill.

• Alcune note avvicinabili di Lie Algebra sono disponibili qui, sono progettate per richiedere poco background: Lecture Notes on Lie Algebra.

• Il mio libro preferito personale sulla topologia algebrica / differenziale è: Calculus to Cohomology. Questo libro è estremamente accessibile, richiede solo calcolo multivariabile e algebra lineare per comprenderlo completamente. Non posso raccomandarlo abbastanza, in particolare per la fisica.

Anche io terzo Road to Reality. È un libro molto divertente / interessante!

• Geometria differenziale funzionale , Gerald Jay Sussman e Jack Wisdom. Dal MIT, sulla geometria differenziale funzionale.

Che libro affascinante e insolito! Geometria differenziale spiegata come algoritmi informatici.

- WetSavannaAnimal aka Rod Vance

Il campo delle algebre degli operatori ha una forte connessione con la teoria quantistica e certamente è un requisito necessario per lo studio di molte letterature nella fisica moderna. Elencherò alcuni dei libri che riguardano le algebre degli operatori e la fisica nel seguito:

S. Attal, A. Joye, C.A. Pillet, Editors, Open Quantum systems 1, l'approccio hamiltoniano. Springer, Dispense in matematica, vol. 1880, (2006).

B. Blackadar, algebre degli operatori. Springer, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 122, (2006).

O. Bratteli, D. W. Robinson, Operatore algebre e meccanica statistica quantistica 1, $ C ^ * $ - e $ W ^ * $ - algebre, gruppi di simmetria, decomposizione di stati. Springer, Testi e monografie in fisica, 2a edizione, 2a ristampa, (2002).

Connes, A., Geometria non commutativa. Academic press, Inc. (1994).

Garcia-Bondia, J.M., Varilly, J.C., Figueroa, H., Elements of noncommutative geometry. Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser, (2000).

N. P. Landsman, Argomenti matematici tra meccanica classica e quantistica. Springer, Monographs in matematica, (1998).

M. Takesaki, Teoria delle algebre degli operatori I, II, II. Springer, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 124, (2002).

N. Weaver, Quantizzazione matematica. Studi in matematica avanzata, Chapman e Hall / CRC, (2001).

Oltre ai libri di cui sopra, per un elenco più completo di riferimenti generali su $ C ^ * $ - algebre e anche algebre di operatori per quanto riguarda una lettura facile per i principianti, vedere le mie note di lezione su $ C ^ * $ - algebre qui.

Il miglior libro di matematica che abbia mai letto riguardo all'utilità per la fisica è

• Calcolo vettoriale, algebra lineare e forme differenziali: un approccio unificato (2a edizione), di Hubbard e Hubbard .

È un vero gioiello. Ti fa passare attraverso l'algebra lineare e le forme differenziali partendo dal quadrato, assumendo che tu conosca solo l'algebra e il calcolo. Le prove sono legittime e in alcuni casi davvero creative. La parte migliore è che è rivolto a persone che vogliono usare la matematica per le applicazioni. L'estremizzazione delle funzioni sulle varietà è sviluppata molto bene e gli autori danno informazioni approfondite su come affrontare numericamente gli argomenti analitici presentati nel libro. Cose veramente utili come trovare serie di Taylor per funzioni implicite sono fatte bene. Non posso davvero dare abbastanza sostegno a questo libro.

Dopo aver letto che ho letto

• Analysis On Manifolds di Munkres

Questo libro fa l'integrazione di forme differenziali formalmente. Tuttavia, è straordinariamente leggibile e non ho mai trovato un solo errore in tutto il libro. Questa è stata un'ottima lettura e ha rafforzato la mia comprensione, ma non era direttamente rilevante per la fisica.

Poi in seguito ho letto

• Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, di Sean Carroll

che è un'eccellente introduzione ai collettori curvi. È carino perché spiega chiaramente la differenza tra vettori e co-vettori (indici "su" e "giù") e la mette in relazione con la vita reale (cioè la fisica).

Stai chiedendo un libro di livello introduttivo o un libro più avanzato per qualcuno che ha già un background in questi argomenti?

Per un livello introduttivo, secondo Schutz e Spivak raccomandati sopra. Penrose e Frankel sono adatti solo se hai già fatto un corso introduttivo a quelle materie, secondo me. L'introduzione di Frankel alle varietà è molto condensata e Penrose sta davvero fornendo una vista a volo d'uccello mentre salta molti dettagli che i principianti dovrebbero costruire intuizioni di base.

Le migliori note introduttive che ho trovato per le varietà usate in GR sono di David Malament, che puoi scaricare qui.

"Modern Mathematical Physics" di Peter Szekeres è il miglior libro che ho trovato per i fondamenti della fisica matematica. È estremamente chiaro e trasmette una profonda comprensione alla prima lettura.

C'è un'anteprima di Amazon qui: http://www.amazon.com/Course-Modern-Mathematical-Physics-Differential/dp/0521829607

Titoli dei capitoli:

1. Insiemi e strutture

2. Gruppi

3. Spazi vettoriali

4. Operatori lineari e matrici

5. Spazi interni del prodotto

6. Algebre

7. Tensori

8. Algebra esteriore

9. Relatività speciale

10. Topologia

11. Teoria della misura e integrazione

12. Distribuzioni (trasformate di Fourier, funzioni)

13. Spazi di Hilbert

14. Meccanica quantistica

15. Geometria differenziale

16. Forme differenziabili

17. Integrazione su varietà

18. Connessioni e curvatura

19. Gruppi di bugia e algebra di bugia

Questa risposta contiene alcune risorse aggiuntive che potrebbero essere utili. Tieni presente che le risposte che elencano semplicemente le risorse ma non forniscono dettagli sono fortemente scoraggiate dalle norme del sito sulle domande relative ai consigli sulle risorse . Questa risposta viene lasciata qui per contenere link aggiuntivi che non hanno ancora commenti.

• Matematica per la fisica , Michael Stone Paul Goldbart
• Fisica matematica moderna , Peter Szekeres
• Geometria per la fisica , T. Frankel
• Introduzione a Manifold s, Loring W. Tu
• The Road to Reality , Roger Penrose
• Lie Group for Pedestrians , H. Lipkin, una buona introduzione ai gruppi di Lie da un punto di vista fisico.
• Physics Reports 66: Gravitation, Gauge Theories, and Geometry , Eguchi, Gilkey e Hanson.

Il libro di Lee, Introduction to Smooth Manifolds è molto buono e affronta l'argomento in modo piacevole e motivato. Per quanto ricordo, non collega questo alla fisica in modo naturale.

Gauge Fields, Knots & Gravity di Baez e Munian è anche molto leggibile e copre la teoria dei fasci e delle forme differenziali in fisica in modo semplice e di facile comprensione. Una caratteristica ammirevole del libro è che gli esercizi sono proprio quegli esercizi, cioè insegnano a comprendere il materiale.

Una controparte più rigorosa di questo materiale sono le prime cento pagine di Michors Natural Operations in Differential Geometry , questo trattamento è altamente matematico e molto rigoroso.

Per quanto riguarda la topologia algebrica, ancora una volta il libro di Lee è un buon inizio, Un'introduzione alle varietà topologiche , e poi per la teoria più avanzata, il libro di Bott & Tu, Differential Forme nella topologia algebrica .