La velocità $ c $ costante è tale quando misurata localmente rispetto a un frame in caduta libera ( ie uno per il quale tutti i punti seguono la geodetica spaziale rispetto alla metrica $ g $). Locale significa che l'estensione del fotogramma deve essere "abbastanza piccola" da poter essere considerata piatta : pensala come uno zoom sulla varietà dello spaziotempo, che è un oggetto, con un ingrandimento tale da non poter vedere alcuna deviazione apprezzabile dallo spaziotempo di Minkowski (che è l'analogo dello spaziotempo dello spazio euclideo piatto, che probabilmente hai incontrato). Al contrario, la velocità della luce misurata da un osservatore distante può variare nello spaziotempo generalmente curvo.

La formulazione della tua domanda suggerisce che immagini di essere seduto in un punto all'interno dell'orizzonte, e poiché l'output del tuo puntatore laser deve schizzare fuori alla costante $ c $ e l'orizzonte è solo una distanza finita sopra di te, deve raggiungere l'orizzonte e partire.

Ma la geometria non è come questa immagine del pensiero quotidiano. Il punto su un orizzonte degli eventi è che non è nel futuro di qualsiasi evento all'interno dell'orizzonte. La distorsione dello spaziotempo dovuta alla piattezza è così grave che anche il futuro ramo delle geodetiche simili alla luce non la intersecherà. Puoi raggiungere l'orizzonte solo da un evento al suo interno viaggiando indietro nel tempo .

S Alcune domande e risposte dai commenti

L'utente PeterA.Schneider chiede:

"la velocità della luce misurata da un osservatore distante può variare nello spaziotempo generalmente curvo": è la prima volta che lo sento. Sei sicuro? (Considerando che essenzialmente tutto lo spazio-tempo è curvo.)

a quale domanda risponde in modo eloquente l'utente Jan Dvorak:

non preoccuparti, riprenderà la velocità di c una volta che ti sarà abbastanza vicino, se lo farà. Tuttavia, la sua lunghezza d'onda quando ti incontra potrebbe differire drasticamente dalla sua lunghezza d'onda quando ha lasciato la sua sorgente.

e vorrei spiegare la risposta di Jan in modo un po 'più completo. Puoi dedurre la velocità di qualcosa confrontando i cambiamenti nelle tue coordinate spaziali e temporali per quell'oggetto. Cominciamo dalla relatività speciale, dove inizialmente entrambi gli osservatori tracciano l'Universo secondo le coordinate di Minkowski. Il fatto che il tuo orologio e i tuoi righelli misurino gli stessi intervalli in modo diverso da quello che fa il lontano non porta nessuna sorpresa (almeno a qualcuno che ha studiato a fondo SR) perché c'è un unico, ben definito trasformazione che mapperà le tue coordinate per gli eventi alle coordinate dell'osservatore distante, e viceversa. Quella trasformazione è la trasformazione di Lorentz (propria, ortocrona), che ha la proprietà che $ c $ è misurata per essere la stessa dal punto di vista di entrambi gli osservatori.

In generale, lo spaziotempo curvo è impossibile definire una trasformazione unica tra due frame locali che ci consentirebbe di confrontare direttamente le velocità misurate delle cose in questo modo. Vediamo perché è così.

Reimmaginiamo il nostro scenario sopra: siamo ancora nello spaziotempo di Minkowski con la stessa fisica e facendo SR, ma con nuove coordinate. In ogni punto dello spaziotempo, ruotiamo e aumentiamo leggermente i fotogrammi di "riferimento" in modo che i punti vicini abbiano le loro direzioni di riferimento e gli intervalli di tempo leggermente diversi. Questo è del tutto analogo al tracciamento del 3-spazio euclideo mediante, diciamo, coordinate sferiche. A livello locale, le direzioni di riferimento (di aumento di $ r $, $ \ theta $ e $ \ phi $) vengono ruotate da quelle cartesiane, e tale rotazione varia uniformemente con la posizione. Ora c'è un'infinità molto grande di modi per eseguire una tale trasformazione gauge : possiamo scegliere direzioni e intervalli di tempo unitari in qualsiasi modo desideriamo purché la variazione sia regolare e che le trasformazioni limitanti come la distanza tra i punti si restringono è una trasformazione di Lorentz.

Quindi ora, in queste nuove coordinate, come confrontiamo le velocità misurate se ci venissero fornite solo queste coordinate? Bene, potremmo semplicemente muoverci nello spazio e nel tempo lungo un percorso regolare scelto, effettuando le piccole trasformazioni di Lorentz tra sistemi di riferimento vicini e moltiplicandoli tutti insieme per ottenere una trasformazione complessiva per questo percorso. Ma potremmo scegliere un'infinità di percorsi fluidi per farlo. Quindi, se ci vengono fornite solo queste coordinate, non è immediatamente ovvio che non otterremmo una risposta diversa da questa procedura se prendessimo un percorso fluido diverso tra i due punti.

Ma lo facciamo, perché questo è ciò che flat significa, per definizione .

Possiamo sempre trasformare le nostre strane coordinate nello spaziotempo di Minkowski se e solo se il risultato del nostro calcolo non dipende dal percorso. Il risultato del cosiddetto trasporto parallelo di un vettore attorno a un ciclo è sempre la trasformazione dell'identità. Un corollario di questo fatto è che esiste una trasformazione ben definita tra i due osservatori che ci consente di confrontare le velocità misurate: non importa se la calcoliamo lungo il percorso A o B tra due punti: la risposta deve essere la stessa poiché l'inverso di una trasformazione deve invertire l'altra per ottenere la trasformazione dell'identità attorno al ciclo. Quindi, in teoria, possiamo ancora calcolare ciò che l'altro osservatore osserverebbe localmente da lontano nelle nostre strane coordinate.

Se sei arrivato fino a qui con questa spiegazione, allora la Relatività Generale è ora solo un piccolo passo concettuale. Nello spaziotempo curvo , la trasformazione operata sui vettori dal trasporto parallelo attorno a un ciclo non è in generale la trasformazione dell'identità. Quindi non esiste un modo ben definito per confrontare le velocità da lontano, almeno dal proprio quadro di coordinate.

Questo è ciò che "curvo" significa, per definizione: "olonomia" non banale nel trasporto parallelo attorno a percorsi chiusi

E questo è ciò che le persone intendono quando dicono che "la velocità coordinata della luce può essere ottenuta con qualsiasi cosa in GR". Ma se un osservatore distante misura la velocità della luce continuamente, ripetutamente e a intervalli di tempo regolari misurata dal suo orologio in un laboratorio che portano con sé, e poi ti invia il risultato, tutti i loro rapporti a te saranno che la loro misurazione non ha non è cambiato, anche se l'intervallo tra i rapporti che vengono impostati regolarmente dal loro orologio può raggiungerci a intervalli estremamente variabili dal nostro orologio.

Un'altra analogia che potrebbe aiutarti è la $ 2 $ -sfera, quella che chiamiamo una "palla" nel linguaggio quotidiano, rispetto all'aereo. Sul piano, i piani tangenti al piano sono ovunque lo stesso spazio vettoriale: c'è un modo univoco per trasporto parallelo il piano tangente in qualsiasi punto a quello in qualsiasi altro punto. Sulla palla, non è così. I piani tangenti in punti diversi non sono lo stesso piano. Sono isomorfi come spazi vettoriali, ma non sono la stessa cosa. In particolare, non esiste un modo universale ben definito di confrontarli, o di assegnare basi di riferimento a tutti i punti in qualsiasi patch di estensione finita, perché, sulla sfera, il trasporto parallelo di vettori attorno ad anelli porta sempre ad un cambiamento del vettore quando torna al punto iniziale. Infatti, una sfera ha una curvatura costante, il che significa che la rotazione del vettore determinata dal trasporto parallelo del loop è proporzionale all'area racchiusa dal loop.

Supponi di stare galleggiando in un fiume e di avere con te un modello di barca, chiamato SS Lightray , che può percorrere 3 m / sec attraverso l'acqua. Quando si imposta la barca che viaggia a monte per quanto ti riguarda, sta facendo 3 m / sec. Ma sono in piedi sulla riva a guardare il fiume che scorre a 1 m / sec, quindi quando guardo la tua barca la vedo viaggiare a una velocità netta di 2 m / sec e non di 3 m / sec.

Ora il fiume si restringe e accelera fino a 4 m / sec. Per quanto ti riguarda sei seduto immobile in acqua e quando rimandi la barca a monte sta ancora viaggiando a 3 m / sec. Tuttavia dalla riva del fiume vedo che la barca sta viaggiando a valle, cioè la sua velocità a monte è di -1 m / sec. La barca non può viaggiare abbastanza veloce da avanzare contro il flusso del fiume.

Piuttosto sorprendentemente un argomento molto simile a questo si applica al movimento della luce lontano da un buco nero. Si chiama River Model e ecco un link a un documento scientifico che fornisce i dettagli. Più formalmente questa tecnica è un'analisi del movimento della luce utilizzando le coordinate Gullstrand – Painlevé. Ho usato questa tecnica per spiegare perché la luce non può sfuggire da un buco nero nella mia risposta a Perché un buco nero è nero?.

La velocità locale della luce è sempre $ c $, ma se utilizzi le coordinate Gullstrand – Painlevé per analizzare cosa accade all'orizzonte degli eventi, scopri che:

1. all'orizzonte stai cadendo verso l'interno alla velocità della luce

2. Rispetto a te la luce viaggia verso l'esterno alla velocità della luce

3. quindi la velocità netta della luce lontano dall'orizzonte degli eventi è zero

Ed è per questo che la luce non può sfuggire dal buco nero.

Per spiegarlo in parole povere, senza utilizzare concetti avanzati:

Lo spazio è talmente deformato nell '"interno" del buco nero (cioè sotto l'orizzonte degli eventi) che si comporta in modo completamente diverso da quello che percepiamo di sentire sulla Terra.La "direzione verso l'esterno" semplicemente non esiste.

Ad esempio, qui sulla Terra, possiamo andare nelle tre dimensioni spaziali in entrambe le direzioni, ma nel tempo possiamo muoverci solo in avanti.Immagina che sulla "superficie" del buco nero, ovvero all'orizzonte degli eventi, le dimensioni spaziali abbiano una sola direzione: verso l'interno. Quest'ultimo paragrafo non vuole essere una descrizione accurata di come funzionano i buchi neri.È solo per concettualizzare come ci sono casi in cui esiste una sola direzione di una coordinata.

La spiegazione che mi piace è così:

In GR, tutte le cose, dai pianeti ai fotoni, viaggiano in linea retta attraverso lo spazio curvo piegato dalla massa. I buchi neri piegano e distorcono lo spaziotempo in modo così grave che la curvatura cattura il fotone.

Scala le cose e si comporta più o meno allo stesso modo in cui gli asteroidi che passano possono essere catturati da una stella. Per noi, la velocità dell'asteroide (fotone) è rilevante solo fino al punto in cui oltrepassa la soglia di cattura, il punto di non ritorno e finisce nel pozzo gravitazionale della stella (buco nero). L'asteroide (fotone) non scapperà mai, le "pareti" del pozzo sono troppo alte. Ha importanza se siamo io o il miglior saltatore in alto del mondo ad essere intrappolato in fondo a una fossa, se i muri sono alti 15 metri? Nessuno dei due ha alcuna possibilità di scappare, il fatto che uno di noi possa saltare più in alto che una persona può saltare è irrilevante.

Il fatto che la luce vada il più velocemente possibile è una falsa pista simile. Ciò che conta è che sia entrato in una situazione da cui non c'è scampo. La velocità della luce non è una carta per uscire gratis di prigione più dei saltatori in alto.

L'immagine che mi è sempre piaciuta è quella di un osservatore in caduta libera nel buco nero, quando è appena fuori dall'orizzonte degli eventi, sembra che l'orizzonte degli eventi si stia propagando verso l'esterno quasi alla velocità della luce.Dopo che l'osservatore è caduto appena dentro, l'orizzonte degli eventi ora sembra che si stia propagando verso l'esterno a una velocità maggiore rispetto alla velocità della luce.

La risposta è che non ha nulla a che fare con luce, c, buchi neri, orizzonti degli eventi o relatività.È semplicemente velocità di fuga.Sappiamo che due corpi si attraggono con una forza $ f = G \ frac {M m} {d ^ 2} $ e sappiamo che qualcosa è in un'orbita stabile quando la sua energia potenziale $ PE = -GMm / d $ corrispondela sua energia cinetica $ KE = m {v ^ 2} / 2 $.Risolvete questi due per la velocità e otterrete che la velocità necessaria per un'orbita è $ {V_o} = \ sqrt {\ frac {2GM} {r_o}} $.Quindi qualsiasi velocità maggiore di $ V_o $ lo farà lasciare l'orbita e allontanarsi.L'attrazione dalla gravità lo rallenterà ma non lo fermerà mai, quindi in effetti è "sfuggito" ed è per questo che a volte viene chiamato $ V_ {esc} $.Tuttavia, qualsiasi velocità inferiore a $ V_o $ significa che alla fine tornerà.

Man mano che la distanza $ d $ si riduce o la massa $ M $ aumenta, il valore $ V_o $ aumenta. Per un corpo che parte dalla superficie della terra, per scendere (e rimanere fuori) dalla superficie, $ V_o $ è di circa 11 chilometri al secondo. Sulla superficie del nostro sole sono circa 620 km / s. Se tutta la massa del nostro sole fosse compressa a metà della sua dimensione attuale, $ V_o $ raddoppierebbe. Se continuassi a comprimere il sole fino a quando il suo raggio era di circa 3 km, $ V_ {esc} $ raggiungerebbe e supererebbe la velocità della luce (noto come raggio di Schwarzschild ). Se tu fossi sulla superficie di un tale corpo e avessi puntato una luce al tuo amico che era al di fuori di questo limite, vedresti il ​​raggio allontanarsi da te alla velocità della luce verso di loro ma la luce non viaggia abbastanza veloce da sfuggire alla gravità non potrebbe mai raggiungere il tuo amico. Allora come può essere? Come hai sottolineato, $ c $ è costante per tutti gli osservatori e la velocità è solo la distanza nel tempo e non puoi fare nulla per modificare la distanza. Questo lascia solo tempo. Affinché $ c $ rimanga costante nel tuo quadro di riferimento, il tuo tempo dovrebbe rallentare fino al punto in cui si ferma effettivamente. Senza tempo, non ci può essere distanza, e senza distanza, non ci possono essere dimensioni ed è per questo che la chiamiamo singolarità.

La risposta breve è che la velocità della luce è costante finché non lo è.È costante finché non si scontra con un muro ed è costante finché non viene influenzato dalla gravità.L'estrema gravità di un buco nero devierà sempre di più il percorso dei fotoni fino a quando finalmente all'orizzonte degli eventi tutta la deflessione sarà verso il buco nero.

Non è il detto "La velocità della luce è costante 'in un vuoto'"?

La parte "nel vuoto" viene comunemente persa (allo stesso modo, "'The il denaro di ' è la radice di tutti i mali", viene spesso citata erroneamente).

Se un buco nero non è un vuoto (perché a un certo punto le particelle sono abbastanza vicine tra loro non è più un vuoto), la velocità della luce rallenta.Ad esempio, la velocità della luce nell'aria è di circa 90 km / s più lenta di un'aspirapolvere (non molto, ma è così).