Questa è in realtà una domanda molto complicata, matematicamente. I fisici potrebbero pensare che questa domanda sia banale. Ma mi ci vuole un'ora in una scuola estiva di matematica per spiegare la nozione di hamiltoniano con gap.

Per capire perché è complicato, consideriamo le seguenti affermazioni. Ogni sistema fisico ha un numero finito di gradi di libertà (assumendo che l'universo sia finito). Tale sistema fisico è descritto da una matrice hamiltoniana con una dimensione finita. Qualsiasi matrice hamiltoniana con una dimensione finita ha uno spettro discreto, quindi tutti i sistemi fisici (o tutti gli hamiltoniani) sono separati.

Certamente, quanto sopra non è ciò che intendiamo per "hamiltoniano con gap" in fisica. Ma cosa significa per un hamiltoniano essere con gap?

Dato che un sistema con gap può avere eccitazioni senza gap al confine, per definire Hamiltoniano con gap, abbiamo bisogno mettere l'Hamiltoniano su uno spazio senza confine. Inoltre, il sistema con determinate dimensioni può contenere eccitazioni non banali (come lo stato liquido di spin di spin-1/2 su un reticolo con un numero DISPARI di siti), quindi dobbiamo specificare che il sistema ha una certa sequenza di dimensioni poiché prendiamo il limite termodinamico.

Quindi ecco una definizione di "hamiltoniana con gap" in fisica: si consideri un sistema su uno spazio chiuso, se esiste una sequenza di dimensioni del sistema $ L_i $, $ L_i \ to \ infty $ come $ i \ to \ infty $, in modo tale che il sistema size- $ L_i $ in uno spazio chiuso abbia la seguente "proprietà gap", quindi si dice che il sistema è gapped. Si noti che la nozione di "hamiltoniano con spaziatura" non può essere definita nemmeno per un singolo hamiltoniano. È una proprietà di una sequenza di Hamiltonian nel limite delle grandi dimensioni.

Ecco la definizione della "proprietà gap": C'è una $ \ Delta $ fissa (cioè indipendente da $ L_i $) tale che l'Hamiltoniano di dimensione $ L_i $ non ha autovalori in una finestra di energia di dimensione $ \ Delta $. Il numero di autostati sotto la finestra di energia non dipende da $ L_i $, la divisione dell'energia di quegli autostati sotto la finestra di energia si avvicina a zero come $ L_i \ a \ infty $.

Il numero di autostati sotto la finestra di energia diventa la degenerazione dello stato fondamentale del sistema con gap. Questo è il modo in cui la degenerazione dello stato fondamentale di uno stato ordinato topologico è definito. Mi chiedo, se qualcuno avesse considerato la definizione di sistema a molti corpi con gap molto attentamente, potrebbe scoprire matematicamente la nozione sull'ordine topologico.

Gapped o gapless è una distinzione tra spettri continui e discreti di eccitazioni a bassa energia. Per un hamiltoniano $ H $ con spettro diviso, il primo stato eccitato ha un autovalore di energia $ E_1 $ che è separato da uno spazio $ \ Delta > 0 $ dallo stato fondamentale $ E_0 $. Ad esempio, una relazione di dispersione della forma $ E = | k | $ è un esempio di uno spettro gapless (continuo), mentre $ E = \ sqrt {k ^ 2 + m ^ 2} $ è un esempio di uno spettro gap . $ k $ denota il vettore d'onda e può essere qualsiasi numero reale. $ m $ è la massa che in questo caso è la causa del divario.

Questa distinzione porta a una differenza qualitativa nel comportamento fisico dei sistemi con gap e non sfruttati - soprattutto determina se un materiale è un conduttore o isolante. Esistono processi piuttosto affascinanti che possono dare origine a un divario come le interazioni (esempi interessanti sono il divario di massa nella teoria di Yang-Mills o il divario nella superconduttività BCS).

Gapped e gapless sono di solito attributi per Hamiltoniani a molti corpi. Un hamiltoniano con gap è semplicemente quello per il quale esiste un divario diverso da zero tra lo stato fondamentale e il primo stato eccitato.

Una breve osservazione per la parte "modificata" della tua domanda (se c'è o meno un divario nella catena XX). La catena di spin XX in un campo magnetico, cioè il modello definito dall'Hamiltoniano

$$ H = \ sum_i (\ sigma ^ {x} _i \ sigma ^ {x} _ {i + 1} + \ sigma ^ {y} _i \ sigma ^ {y} _ {i + 1} + h \ sigma ^ {z} _i) $$

è gappato quando $ | h | > 1 $. Questo non è un risultato molto difficile, viene subito fuori se fai il solito Jordan-Wigner e una trasformazione di Fourier alla famosa carta di Lieb, Schultz e Mattis (Ann. Phys.16, 407, (1961)) lì i termini $ \ sigma ^ {z} _i $ mancano, ma non sono difficili da incorporare).

Vorrei solo aggiungere un po 'a queste risposte alla luce dell'Edit alla domanda che introduce "XX Spin Chains" come contesto per questa domanda. Ho trovato un tutorial su Spin Chains qui. Fondamentalmente sono N giri su una linea. Ecco l'Hamiltoniano di quel documento dove N = 2.

$ H_ {12} = J / 4 (\ sigma_1 ^ x \ sigma_2 ^ x + \ sigma_1 ^ y \ sigma_2 ^ y + \ sigma_1 ^ z \ sigma_2 ^ z - I \ times I) $

A seconda del segno di J, questo ha 3 soluzioni terra degeneri, più una soluzione eccitata o una soluzione terra. Questo è un modello base di stati ferromagnetici / antiferromagnetici. In questo caso le soluzioni presentano una lacuna. Avranno ancora un divario per il generale N.

Tuttavia molti sviluppi di questo modello ampiamente integrabile sono avvenuti in articoli recenti, ad esempio con un campo magnetico continuo applicato. In alcuni di questi casi il modello può essere senza gap. C'è anche la questione di cosa implichi il modello nel limite termodinamico $ N \ rightarrow \ infty $.