Domanda:
Interpretazione dell'operatore di Laplace
Džuris
2012-02-08 21:54:01 UTC
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Qual è la tua interpretazione dell'operatore di Laplace? Quando si valuta il laplaciano di un campo scalare in un dato punto, si può ottenere un valore. Cosa ci dice questo valore del campo o del suo comportamento in un dato punto?

Riesco a cogliere il significato di gradiente e divergenza. Ma vedere l'operatore di Laplace come una divergenza del gradiente mi dà un'interpretazione "sorgenti del gradiente" che ad essere onesti non ha senso per me.

Sembra un po 'più facile interpretare il Laplaciano in certe situazioni fisiche o interpretare L'equazione di Laplace, potrebbe essere un buon punto di partenza. O fuorviante. Cerco un'interpretazione che sia universale come mi sembra l'interpretazione dei gradienti: applicabile, corretta e comprensibile su qualsiasi campo scalare.

La taglia istituita ieri propone che "le risposte attuali non contengono abbastanza dettagli". La domanda, tuttavia, è di per sé abbastanza vaga che le risposte (compresa quella dell'autore della taglia, Nick Kidman) sembrano appropriate o migliori. Suppongo che la mia domanda qui sia: cosa vuoi di più? Sospetto che sarebbe stato meglio fare una domanda completa da solo invece di mettere una taglia qui.
@PeterMorgan: Poiché il numero di utenti di physics.SE è gestibile, i punti di credito sembrano una risorsa inutile o almeno inutilizzata. Anche il numero di thread in primo piano è stranamente piccolo qui, rispetto a dire il tabellone di matematica in cui hanno sempre 5-15 domande in primo piano. Posso sedermi su 3500 punti, o li userò per superare un thread interessante. Il tasso di ottenimento dei punti è prevedibile e ne avrò 500 una volta che ne avrò effettivamente bisogno. Inoltre, speravo che qualcuno iniziasse a lamentarsi di codifferenziali e amici. Infine, voglio sapere se posso inserire * torta di marmo anche il gioco * sulle pagine degli utenti.
D'Alembertian sarebbe lo stesso di un laplaciano suppongo, eccetto per la dimensione del tempo extra.Non è vero?
Sette risposte:
#1
+41
joseph f. johnson
2012-02-08 23:08:18 UTC
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Il laplaciano misura ciò che potresti chiamare la "curvatura" o sollecitazione del campo. Ti dice quanto il valore del campo differisce dal suo valore medio preso sui punti circostanti. Questo perché è la divergenza del gradiente .. ti dice quanto la velocità di variazione del campo differisce dal tipo di variazione costante che ti aspetti in un flusso privo di divergenza.

Guardane uno dimensione: il laplaciano è semplicemente $ \ parziale ^ 2 \ sopra \ parziale x ^ 2 $, cioè la curvatura. Quando è zero, la funzione è lineare quindi il suo valore al centro di ogni intervallo è la media degli estremi. In tre dimensioni, se il laplaciano è zero, la funzione è armonica e soddisfa il principio della media. Vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function#The_mean_value_property. In caso contrario, il laplaciano misura la sua deviazione da questo.

Sì, l'interpretazione della curvatura sembra naturale se guardi il laplaciano 1D. Posso anche guardare il caso 2D o 3D? Se prendo una qualsiasi delle funzioni armoniche wikimentate e la trama, ottengo questo: http: //www.wolframalpha.com/input/? I = log% 28x% 5E2 +% 2B + y% 5E2% 29 L'armonicità di una funzione significa che è laplaciano è uguale a zero quasi ovunque. Tuttavia, non mi sembra che la curvatura (o stress) di questo campo sia uguale a zero. Non sembra nemmeno essere costante, in realtà.
Può essere pensato come una sorta di curvatura. La nostra intuizione euclidea di piatto o diritto è, risalendo a Euclide stesso o prima, «che giace uniformemente tra i suoi estremi». (Certo, dare un senso a questo in generale era un problema di Hilbert ...) Una funzione armonica obbedisce alla proprietà di media, quindi si trova in modo uniforme tra i suoi estremi ...
Parli di 1D e 3D, che dire del 2D?
#2
+31
Nikolaj-K
2012-02-09 01:20:32 UTC
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joseph f. johnson ha già fornito una motivazione per il caso unidimensionale.

Penso che l'esempio fisico equazione di diffusione

$$ \ frac {\ partial} {\ partial t} n (x) = D \ frac { \ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} n (x) $$

è il modo migliore per illustrarlo:

enter image description here

Se la funzione assomiglia a $ x ^ 2 $ (curvatura positiva), come sinistra e destra, nel passaggio temporale successivo la funzione $ n (x) $ crescerà lì. Se la funzione assomiglia a $ -x ^ 2 $ (curvatura negativa), come nel mezzo, nel passaggio temporale successivo la funzione $ n (x) $ diminuirà.


Per quanto riguarda la tua domanda nel commento, hai ragione in un certo senso. Se guardi qui nella seconda sezione intitolata "Le armoniche sferiche di Laplace",

http://desmond.imageshack.us/Himg542/scaled.php?server= 542&filename = unbenannt2sq.png&res = medium

allora vedi che per questo tipo comune di funzione i gradi di libertà radiale e rotazionale in 3D sono effettivamente tali che la loro curvatura è costante $ \ lambda $ rispettivamente, ma insieme soddisfano $ \ Delta f = 0 $.


Per avere un'altra comprensione del concetto piuttosto "curvatura di funzione" potresti dare un'occhiata al calcolo delle variazioni. Lì, invece del laplaciano in $ - \ phi \ Delta \ phi $, potresti voler pensare all'espressione esplicitamente quadratica $ \ nabla \ phi \ nabla \ phi $. Analogamente a come si sommano sulle curvature nell ' azione di Einstein Hilbert, sommano su questa espressione nel formalismo lagrangiano per campi o funzioni.


Inoltre, voglio dire che se comprendi già il gradiente e la divergenza, ha senso considerare il laplaciano $ \ Delta = \ nabla ^ 2 $ come la divergenza del gradiente. Anche la quasi soluzione, ovvero la funzione dei Verdi che hai rimarcato nel commento, va in questa direzione. Per l'interpretazione fisica di questi, nelle equazioni che coinvolgono il laplaciano e per gli operatori ellittici in generale, puoi prima pensare all'intera equazione di Poisson in elettrostatica

$$ \ nabla ^ 2 \ phi (\ vec x) = \ rho (\ vec x), $$

dove $ \ phi (\ vec x) $ è il potenziale elettrico. Qui $ \ rho (\ vec x) $ è la densità di carica, che puoi pensare essere composta da cariche puntuali localizzate nelle posizioni $ \ vec y $ con densità descritte da $ \ delta (\ vec x- \ vec y) $. Questo pensiero può essere in qualche modo tautologicamente rappresentato da

$$ \ rho (\ vec x) = \ int \ rho (\ vec y) \ delta (\ vec x- \ vec y) d \ vec y. $$

Ora dal principio di sovrapposizione, che vale per le equazioni di Mawell (o matematicamente dal fatto che il tuo operatore differenziale è lineare), se conosci il potenziale $ G (\ vec x) $ di una particella puntiforme

$$ \ nabla ^ 2G (\ vec x) = \ delta (\ vec x), $$

conosci già la soluzione al problema completo. Con

$$ \ phi (\ vec x) = \ int G (\ vec x- \ vec y) \ rho (\ vec y) d \ vec y, $$

che assomiglia alla somma di tutti i potenziali puntiformi, trovi che le equazioni di Poissons sono risolte:

$$ \ nabla ^ 2 \ phi (\ vec x) = \ int \ nabla ^ 2G (\ vec x- \ vec y) \ rho (\ vec y) d \ vec y = \ int \ delta (\ vec x- \ vec y) \ rho (\ vec y) d \ vec y = \ rho (\ vec x) . $$

Ora qual è il potenziale della particella puntiforme? A questo punto è utile pensare a $ \ nabla ^ 2 $ come alla divergenza del gradiente

$$ \ text {div} (\ vec \ nabla G (\ vec x)) = \ delta (\ vec x). $$

Il gradiente del potenziale è il campo elettrico, che è proporzionale alla forza imposta su altre cariche puntuali. Qual è il campo di forza delle particelle puntiformi che ha divergenza zero ma è singolare per $ \ vec x = 0 $? In tre dimensioni, la superficie $ A $ di una sfera va come $ A \ propto r ^ 2 $, quindi se la divergenza dovesse essere zero, la soluzione radiale dovrebbe essere $ \ frac 1 {r ^ 2} $, che è solo la legge di Coulomb. Integrando il gradiente rimanente, troviamo $$ G (\ vec r- \ vec r_0) = \ frac {c} {| r-r_0 |}. $$ Allo stesso modo, se sei in due dimensioni, la superficie va con $ r $, il campo deve essere inverso a quello e l'integrale, cioè la funzione Greens diventa $ log (r) $. Questa è la soluzione dell'equazione di Laplace che hai rappresentato graficamente nel commento. Beh, ovviamente è solo una soluzione nel caso in cui elimini il centro. Là è divergente.

Molto spesso pensi a quel picco delta come fonte di una pertubazione di qualche campo. L'operatore differenziale deriva da una certa densità lagrangiana che codifica per le leggi di conservazione e la funzione Verdi associata descrive come l'informazione si allontana dalla sorgente. Il campo decade spazialmente e (a differenza dell'equazione di Poisson con un cambiamento di densità $ \ rho (\ vec x) $) l'equazione di Laplace $ \ nabla ^ 2 \ phi (\ vec x) = 0 $ rimanente descrive la libera dispersione / propagazione del potenziale / onda. Quindi sui punti sorgente, c'è una certa interazione e il campo viene perturbato e quindi le informazioni viaggiano via da lì. Su questi punti, dove non avviene alcuna interazione, il campo riempie l'equazione libera che hai chiesto. In questo spirito, ti consiglio di avvolgere il tuo cervello intorno a ciò che ora, dipendente dal tempo, la soluzione dell'equazione delle onde fa lo spazio-tempo. Quindi puoi ancora impostare $ \ rho $ indipendentemente da $ t $ e tornare all'equazione di Poisson.

enter image description here

Come nota a margine, tutta questa attività di propagazione è un tema fondamentale nelle Teorie sui Campi (o "le sue applicazioni" come l'elaborazione del segnale), dove gli Operatori implicano derivati ​​temporali. Nelle teorie quantistiche, queste sono "solo" onde di propensione. Fondamentalmente, se conosci i tuoi propagatori gratuiti e come unirli insieme usando i diagrammi di Feynman, hai tutta la teoria. Un esempio grafico e quindi illustrativo è la funzione dei Verdi dell'equazione del calore, in cui puoi letteralmente guardare la densità che si dissolve.

@RuchitRami: [Haha, grazie] (http://tadhgsbesteffort.files.wordpress.com/2011/02/at-least-you-tried.jpg%3Fw%3D640).
troppa fatica per spiegare qualcosa di così semplice .. che spreco!
@mcodesmart: non ti preoccupare .. è stato divertente!
Ciao, sembra che il secondo collegamento dell'immagine si sia interrotto.
@jinawee: Sì, lo so, non ricordo bene cosa fosse, probabilmente solo uno screencap di quella seconda sezione di Wikipedia di cui parlo.
#3
+15
twistor59
2012-02-09 02:47:15 UTC
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Niente di veramente nuovo da aggiungere alle due ottime risposte già fornite - solo un esempio particolare che mi ha aiutato.

Quando si esamina la versione alle differenze finite dell'equazione di Laplace in 2 dimensioni, si scopre che $ \ phi $ discretizzato soddisfa l'equazione di Laplace se, in questa immagine di parte della griglia, $ \ phi_ {i , j} $ al centro è la media dei 4 valori circostanti, cioè $$ \ phi_ {i, j} = {1 \ over4} (\ phi_ {i + 1, j} + \ phi_ {i-1, j} + \ phi_ {i, j + 1} + \ phi_ {i, j-1}) $$

enter image description here

Quindi l'importo di cui $ \ nabla ^ 2 \ phi $ non riesce a essere zero è l'importo di cui il valore al centro differisce dalla media dei valori circostanti.

Come ho detto, niente di nuovo, ma questo era l'esempio concreto in cui ho primo pensiero - aha questo è ciò che significa il laplaciano!

Per aggiungere, potresti immaginare una persona in piedi su ciascun nodo in un grafico che inizia inizialmente con un pezzo di torta. Quindi ogni persona prende una percentuale fissa della sua torta, la divide e dà una parte uguale a ciascuno dei suoi vicini. Allo stesso tempo, ricevono anche la torta che i loro vicini stanno dando. La distribuzione della torta allo stato stazionario tra le persone è la soluzione alla versione discretizzata dell'equazione di Laplace. La distribuzione della torta in cui tutti danno esattamente quanto ricevono.
@NickAlger Piace! Le analogie con il cibo sono sempre le migliori ...
All'utente anonimo che ha proposto una modifica: non volevo il termine aggiuntivo $ -4 \ phi_ {i, j} $ sull'RHS perché la mia espressione non è per l'operatore di Laplace, ma fornisce la relazione che deve essere soddisfatto se l'operatore di Laplace è zero.
+1 ben fatto. Questo spiega succintamente il suo utilizzo nelle applicazioni di visione artificiale.
#4
+4
Terry Bollinger
2012-07-09 08:02:54 UTC
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... vedere l'operatore di Laplace come una divergenza di gradiente mi dà un'interpretazione di "sorgenti di gradiente" che ad essere sincero non ha senso per me ... interpretare il laplaciano in certe situazioni fisiche .. .potrebbe essere un buon punto di partenza ... Cerco un'interpretazione che sia universale come i gradienti ... applicabile, corretta e comprensibile su qualsiasi campo scalare.

Ecco un approccio diverso : Smetti di pensare al campo potenziale come alla rappresentazione più fondamentale.

Invece, supponi che almeno per una certa gamma di situazioni fisicamente interessanti e non banali, siano i campi vettoriali più vicini alla realtà fisica sottostante . Un modo semplice per ottenere questo risultato è assumere due cose: (1) i campi vettoriali rappresentano sempre flussi letterali di "qualcosa" attraverso punti nello spazio, e (2) che "qualcosa" è sia incomprimibile che conservato (es. Acqua) come si muove attraverso lo spazio.

Il secondo vincolo è importante perché assicura che un campo potenziale scalare autoconsistente possa essere definito come il campo delle velocità (magnitudini di velocità) del fluido in ogni punto dello spazio. Questo campo potenziale è utile sia perché è piacevolmente semplice (scalare), ma cattura anche tutti quei presupposti di proprietà non banali in un unico pacchetto.

L'esempio più semplice del motivo per cui potresti decidere di prendere il vettore campi come più fondamentale è l'idrodinamica, poiché in quel caso il campo vettoriale rappresenta flussi abbastanza letterali di una sostanza fisica reale.

Tuttavia, funziona bene anche - probabilmente anche meglio - per l'elettrodinamica, che può sorprendere chiunque sia abituato solo all'approccio potenziale. Il modello di flusso iniziale di Maxwell presupponeva un flusso letterale o un flusso di "qualcosa" (non carica) da "+" a "-" (o viceversa). Assunse inoltre che questo "qualcosa" fosse in grado di apparire e scomparire piuttosto magicamente dallo spazio ordinario quando emergeva da una carica e raggiungeva l'altra. Maxwell era perfettamente consapevole di quanto suonasse strano, ma non era il suo punto, poiché era il flusso che permetteva di calcolare con precisione cose interessanti.

Quindi, tornando al tuo domanda: qual è la "sorgente di un gradiente" e come ha senso?

Nel modello fluido o primo flusso è facile: il gradiente è il flusso, rappresentato per il momento da una funzione del campo potenziale meno reale ma matematicamente utile. Quindi il laplaciano significa semplicemente la "sorgente del flusso" - un concetto piuttosto letterale, quello.

Per quanto riguarda l'applicabilità a qualsiasi campo scalare, dovrei notare che ci sono molti casi in cui l'interpretazione del primo flusso chiaramente non è il più fisico. Un campo scalare che mostra le densità di un'impurità all'interno di un solido non è certamente un campo di flusso, per esempio! (Anche se anche lì, è probabilmente il record di un campo di flusso precedente, poiché gradienti uniformi non emergono da processi di impianto di impurità totalmente casuali.)

Ma anche quando lo dico , ecco cosa ho notato che è sorprendente: per le situazioni in cui il laplaciano è interessante e utile, il modello flux-first fa sembra essere applicabile, almeno nei casi più interessanti. Non è una sorpresa, in realtà, dal momento che il laplaciano dice praticamente proprio questo: "Questa regione è interessante perché sembra che" qualcosa "stia fluendo da essa o dentro ..."

In ogni caso, posso onestamente dire di aver trovato questo modello personalmente utile per cercare di visualizzare problemi in argomenti come la teoria quantistica, l'idrodinamica e l'elettromagnetismo, abbastanza da cercare attivamente come il flusso intrinsecamente dinamico potrebbe fornire una migliore comprensione dei processi nominalmente descritti dal concetto molto più statico del gradiente di un campo di potenziale scalare.

#5
+4
alifornia
2013-08-06 11:53:48 UTC
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Mi sono imbattuto in questa domanda durante la mia ricerca oggi! Consentitemi di condividere con voi la mia comprensione del problema con un esempio.

Innanzitutto, l'operatore laplaciano è l'applicazione dell'operazione di divergenza sul gradiente di una quantità scalare. $$ \ Delta q = \ nabla ^ 2q = \ nabla. \ nabla q $$

Supponiamo di applicare l'operatore laplaciano a una quantità scalare fisica e tangibile come la pressione dell'acqua (analoga al potenziale elettrico).

Puoi pensare a il gradiente della pressione dell'acqua come un tempo costante direzione corrente dell'acqua causata dal contatto diretto con altre molecole come un campo di frecce di direzione (un analogo zoppo per il campo elettrico (non esiste una buona analogia)).

Quindi la divergenza del gradiente di una pressione dell'acqua è la stessa cosa della divergenza del campo delle frecce di direzione della corrente dell'acqua. Se questo campo ha divergenza zero (cioè l'equazione di Laplace) allora la corrente non viene convergente (compressa) o divergente (espansa) (cioè l'acqua mantiene una densità costante)

In questo contesto, l'equazione di Laplace corrisponde perfettamente alla fluidi incomprimibili (l'acqua è un buon esempio).

PS Non mi preoccupavo del segno delle equazioni.

Ho imparato molto da qui: http://cosmoquest.org/forum/showthread.php?110168-Laplace-s-equation
#6
+2
Jellby
2012-07-07 14:21:51 UTC
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Un'applicazione pratica del laplaciano può essere trovata nell'analisi " Atoms in Molecules" della densità elettronica. La densità elettronica di una molecola è un campo scalare e il suo tipo laplaciano fornisce le regioni in cui gli elettroni sono localmente concentrati o esauriti (la densità stessa di solito non ha minimi e massimi solo nei nuclei).

#7
-2
Moscon
2014-09-28 22:37:08 UTC
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La natura esiste senza la matematica. La matematica è solo uno strumento linguistico (un modo di visualizzare le cose su come si comporta la natura). Le osservazioni della natura ci mostrano che le cose cercano di fluire in specifiche regioni dello spazio. Per definizioni, queste regioni sono descritte come potenziali inferiori (maggiore è il potenziale, maggiore è la capacità di fare le cose). Il gradiente del potenziale rappresenta le direzioni attraverso con il potenziale "aumenta". Applicando una seconda operazione in modo punto prodotto (laplaciano), indipendentemente dal numero di dimensioni, stiamo cercando il modo in cui cambiano le potenziali variazioni; in altre parole, stiamo cercando informazioni sulle fonti della potenziale geometria.

OBS: scusa per la scrittura in inglese.

Non riesco a capire come questa affermazione per lo più filosofica risponda alla domanda.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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