[Dichiarazione di non responsabilità: non sto fornendo un argomento in cui la distinzione sarebbe utile . Sto fornendo un argomento secondo cui pseudovettori e vettori descrivono concetti geometrici intrinsecamente diversi e, per chiarire l'argomento, non dovrebbero mai essere confusi solo perché sembrano così simili]

Il punto è che gli pseudovettori, per loro stessa natura, non sono gli stessi oggetti dei vettori:

Un vettore , come comunemente inteso in fisica, è un elemento dello spazio vettoriale $ \ mathbb {R} ^ n $ su base standard $ e_i $. Punta in una direzione ed è geometricamente connesso a una linea , cioè un sottospazio unidimensionale di $ \ mathbb {R} ^ n $.

Uno pseudovettore , come quasi nessuno ti dirà mai esplicitamente, è un elemento del grado inferiore dell ' algebra esteriore $ \ Lambda ^ {n-1 } \ mathbb {R} ^ n $, lo spazio compreso tra $ e_ {i_1} \ wedge \ dots \ wedge e_ {i_ {n-1}} $. Questo non punta direttamente in una direzione, ma è geometricamente l'iperpiano $ n-1 $ -dimensionale attraversato dai vettori $ e_ {i_1}, \ dots, e_ {i_ {n-1}} $, e può quindi essere interpretato come puntato nella direzione perpendicolare a quell'iperpiano. Formalmente, questa traduzione da iperpiani a vettori normali è la mappatura Hodge dual da $ \ Lambda ^ k \ mathbb {R} ^ n $ a $ \ Lambda ^ {nk} \ mathbb {R} ^ n $ .

Ed ecco perché gli pseudovettori sono diversi dai vettori in riflessione, geometricamente: In $ \ mathbb {R} ^ 3 $, cioè il nostro mondo ordinario, i piani sono attraversati da due vettori - se entrambi cambiano i loro segni, lo pseudovettore da loro descritto non lo farà (poiché il cuneo $ \ wedge $ è lineare e anticommutativo).

Un'importanza di queste considerazioni è quando si desidera passare da $ \ mathbb {R} ^ 3 $ a dimensioni superiori. Perdi il prodotto incrociato (che in realtà è solo la concatenazione del cuneo e dell'Hodge) e i tuoi precedenti pseudovettori ora improvvisamente non sono più vettori nel senso comune del termine , poiché $ \ Lambda ^ 2 \ mathbb {R} ^ n $ (lo "spazio dei piani") non viene mappato a vettori normali univoci dal duale di Hodge in dimensioni che non sono tre. Ora devi davvero distinguere i tuoi ex pseudovettori e vettori, poiché ora hanno un numero diverso di voci di coordinate indipendenti.

Non solo puoi fare fisica "in uno specchio", ma ho partecipato a un esperimento che coinvolge esattamente questo.

L'interazione debole è, beh, debole. E questo rende molto difficile accedere a qualsiasi processo fisico che può anche procedere attraverso altre interazioni. Quindi, puoi vedere l'interazione debole al lavoro nel decadimento beta, ma in ordine guida non puoi vederlo all'opera quando un elettrone si disperde da un protone (perché il segnale dell'interazione elettromagnetica è circa $ 10 ^ 5 $ più grande) .

Ma c'è un avvertimento.

Vedete che l'interazione elettromagnetica rispetta la parità a una quantità conservata, e l'interazione debole no. Ciò equivale a dire che l'interazione elettromenetica è rappresentata da un vettore e l'interazione debole dalla somma di un vettore e di uno pseudo vettore (anche se per ragioni storiche lo chiamiamo "vettore assiale" che è un sinonimo). Tutto ciò significa che se imposti un'interazione di dispersione in cui il risultato è diverso quando la parità viene rispettata e quando viene violata, tutta la violazione di parità che osservi può essere attribuita all'interazione debole.

Inserisci $ G ^ 0 $ che misurava i fattori di forma del protone come si vede dall'interazione debole (e di cui facevo parte) e Q -weak che è un test fondamentale dell'interazione debole.

La differenza interessante per la fisica teorica è che le generalizzazioni $ n $ -dimensionali di quantità che sono vettori hanno componenti $ n $, mentre le generalizzazioni $ n $ -dimensionali di quantità che sono pseudovettori, come il momento angolare, hanno $ \ frac { 1} {2} n (n-1) $ componenti.

Questo coincide per 3 dimensioni, motivo per cui di solito viene utilizzata la stessa notazione vettoriale per entrambe, invece di usarla solo per i vettori e usare $ n \ times n $ matrici antisimmetriche per quantità che sono pseudovettori.

Se le altre risposte sono buone, cercherò di dare una prospettiva diversa.

Cos'è un vettore? Come diceva Feynman (" Feynman lectures on physics ") non tutti i gruppi di numeri (cioè $ \ left (a_1, a_2, .., a_n \ right) $) fanno un vettore semplicemente perché ha $ n $ componenti. Perché? Perché i vettori hanno una relazione specifica (o più correttamente una relazione trasformazionale) con la base sottostante dello spazio di cui fanno parte. Questo rende un vettore (o vettore polare).

Ovviamente i vettori assiali (o pseudo-vettori) non condividono questa proprietà dei vettori (come gli altri anche le risposte hanno annotato).

Perché? Qual è la relazione di un vettore con un vettore assiale? E qual è la rappresentazione fisica di ciascuno. Ebbene, la rappresentazione fisica è che i vettori rappresentano trasformazioni traslazionali mentre i vettori assiali rappresentano trasformazioni rotazionali . Non è corretto che i vettori assiali non rappresentano la direzione, rappresentano la direzione di rotazione (cioè mancino vs destrimani) .

Ecco qua. Ciò rende chiaro il motivo per cui le proprietà di trasformazione dei due sono diverse. Poiché una rotazione mette in correlazione le componenti di base dello spazio in un modo specifico (a differenza di una traslazione o di un ridimensionamento), quando le componenti di base cambiano (cioè la trasformazione delle coordinate), gli pseudo-vettori cambiano in modo tale da mantenere o compensare la rappresentazione che hanno, cioè la direzione (e l'ampiezza) di rotazione (e non la direzione e l'ampiezza della traduzione come fanno i vettori).

Il significato del sopra sia in contesti teorici che sperimentali è il comportamento di queste entità rispetto a trasformazioni dell'apparato sperimentale e / o trasformazioni dello spazio sottostante di cui fanno parte.

Tutti i termini in una somma o entrambi i lati di un'uguaglianza dovrebbero essere dello stesso tipo, vettore o pseudo vettore. Altrimenti l'espressione interromperà la simmetria della riflessione. Questo è un utile controllo delle formule e delle possibili spiegazioni fisiche di diversi fenomeni.