La fisica è indipendente dalla nostra scelta di unità

E per qualcosa come una lunghezza più un tempo, non c'è modo di specificare in modo univoco un risultato che non dipenda dal unità che scegli per la lunghezza o per il tempo.

Qualsiasi quantità misurabile appartiene a un insieme $ \ mathcal {M} $ . Spesso, questa quantità misurabile viene fornita con qualche nozione di "addizione" o "concatenazione". Ad esempio, la lunghezza di una canna $ L \ in \ mathcal {L} $ è una quantità misurabile. Puoi definire un'operazione di addizione $ + $ su $ \ mathcal {L} $ dicendo che $ L_1 + L_2 $ è la lunghezza dell'asta formata incollando le aste 1 e 2 end-to-end.

Il fatto che alleghiamo un vero numero significa che abbiamo un isomorfismo $$ u _ {\ mathcal {M}} \ colon \ mathcal {M} \ to \ mathbb {R}, $$ in cui $$ u _ {\ mathcal {M}} (L_1 + L_2) = u _ {\ mathcal {M}} (L_1) + u _ {\ mathcal {M}} (L_2 ). $$ Una scelta di unità è essenzialmente una scelta di questo isomorfismo. Ricorda che un isomorfismo è invertibile, quindi per qualsiasi numero reale $ x $ hai una possibile misura $ u _ {\ mathcal { M}} ^ {- 1} (x) $ . Non so se $ \ mathbb {R} $ sia l'insieme di numeri reali o solo i numeri positivi; cioè se questi sono gruppi, monoidi o qualcos'altro. Non penso che importi molto per questo post e, cosa più importante, non ho capito tutto.

Ora, poiché la fisica dovrebbe essere indipendente dalla nostra scelta di unità, dovrebbe essere indipendente dai particolari isomorfismi $ u_Q $ , $ u_R $ , $ u_S $ e così via che usiamo per i nostri misurabili $ Q $ , $ R $ , $ S $ , ecc. Un cambio di unità è un automorfismo di i numeri reali; date due unità $ u_Q $ e $ u'_Q $ , il cambio di unità è $$ \ omega_ {u, u '} \ equiv u'_Q \ circ u_Q ^ {- 1} $$ o, equivalentemente, $ $ \ omega_ {u, u '} \ due punti \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ ni \ omega (x) = u'_Q (u_Q ^ {- 1} (x)). $$ span> Pertanto, \ begin {align} \ omega (x + y) & = u'_Q (u_Q ^ {- 1} (x + y)) \\ & = u ' _Q (u_Q ^ {- 1} (x) + u_Q ^ {- 1} (y)) \\ & = u'_Q (u_Q ^ {- 1} (x)) + u'_Q (u_Q ^ {- 1 } (y)) \\ & = \ omega (x) + \ omega (y). \ end {align}

Quindi, poiché $ \ omega $ è un automorfismo dei reali, deve essere un $ \ omega (x) = \ lambda x $ con una scala relativa $ \ lambda $ (Come sottolineato da @WetSavannaAnimalakaRodVance, questo richiede il debole presupposto che $ \ omega $ sia a continuou funzione s - ci sono anche soluzioni discontinue ovunque. Ovviamente le unità non sono utili se sono ovunque discontinue; in particolare, in modo che l'errore di misurazione strumentale associ uno spazio consentito di $ u_ \ mathcal {M} $ in un intervallo di $ \ mathbb {R} $ . Se permettiamo l'esistenza di un'operazione di ordine su $ \ mathcal {M} $ , o forse una topologia indipendente dall'unità, questo potrebbe essere reso più preciso.).

Considera una tipica formula fisica, ad es. $$ F \ due punti Q \ times R \ to S \ ni F (q, r) = s, $$ dove $ Q $ , $ R $ e $ S $ sono tutti misurabili in modo additivo nel senso sopra definito. Assegna a tutte e tre queste unità misurabili. Poi c'è una funzione $$ f \ colon \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $$ definita da $$ f (x, y) = u_S (F (u_Q ^ {- 1} (x), u_R ^ {- 1} (y)). $$

Il requisito secondo cui la fisica deve essere indipendente dalle unità significa che se le unità per $ Q $ e $ R $ sono ridimensionati di alcuni importi $ \ lambda_Q $ e $ \ lambda_R $ , quindi devono essere un riscalaggio di $ S $ , $ \ lambda_S $ , in modo tale che

$$ f (\ lambda_Q x, \ lambda_R y) = \ lambda_S f (x, y). $$

Ad esempio, immagina il funzione di quantità di moto che richiede una massa $ m \ in M ​​$ e una velocità $ v \ in V $ da fornire uno slancio $ p \ in P $ . Scegliendo $ \ text {kg} $ per massa, $ \ text {m / s} $ per velocità e $ \ text {kg} \, \ text {m / s} $ per quantità di moto, questa equazione è $$ p (m, v) = m * v. $$ Ora, se l'unità di massa viene modificata in $ \ text {g} $ , viene scalata da $ 1000 $ e se la velocità viene modificata in $ \ text {cm / s} $ , viene scalata di $ 100 $ . La dipendenza dall'unità richiede che ci sia un ridimensionamento della quantità di moto tale che $$ p (1000m, 100v) = \ lambda p (m, v). $$ È semplice - $ 10 ^ 5 mv = \ lambda mv $ e quindi $ \ lambda = 10 ^ 5 $ . In altre parole, $$ p [\ text {g} \, \ text {cm / s}] = 10 ^ 5 p [\ text {kg} \, \ text {m /s}”.$$

Consideriamo ora una situazione ipotetica in cui abbiamo una quantità chiamata "lunghezza più tempo", definita che quando la lunghezza è misurata in metri e il tempo in secondi, e "lunghezza più tempo" in qualche unità ipotetica chiamata "metro + secondo", l'equazione per "lunghezza più tempo" è $$ f (l, t) = l + t. $ $ Questo è quello che hai detto: $ 10 \ text {m} + 5 \ text {s} = 15 \ text {"m + s"} $ span>. Ora, questa equazione è invariante per un cambio di unità? Modifica la scala della lunghezza di $ \ lambda_L $ e la scala temporale di $ \ lambda_T $ . Esiste un numero $ \ Lambda $ tale che $$ f (\ lambda_L l, \ lambda_T t) = \ lambda_L l + \ lambda_T t $$ è uguale a $$ \ Lambda f (l, t) = \ Lambda (l + t) $$ per tutte le lunghezze e gli orari $ l $ e $ t $ ? No! Pertanto, questa equazione $ f = l + t $ non può essere una rappresentazione valida in numeri reali di una formula fisica.

Va ​​bene, sto incassando i miei commenti per fornire una risposta:

Cominciamo con un esempio che non richiama affatto dimensioni, unità o fisica. Come valutiamo la seguente espressione? $$ 1 + \ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ - 9 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} a \ b \\ c \ d \ end {pmatrix} $$

La risposta è: non lo facciamo. Non senza definire una convenzione speciale, come quella che ogni quantità viene moltiplicata per una matrice invisibile in modo che finiscano per essere matrici $ 3 \ times3 $ ... è semplicemente arbitrario e incoerente.

Ora, come si fa interpretiamo $ 5 \ text {metro} + 10 \ text {secondi} $? La risposta è, non lo facciamo. Di nuovo, non senza definire una convenzione arbitraria, incoerente e priva di significato. Hai proposto che è uguale a 15; beh, definirò anche $ 5 \ text {m} +10 \ mu \ text {s} = 15 $, e ora abbiamo appena dimostrato che microsecondi equivalgono a secondi.

La lezione è che non c'è un modo significativo per eseguire addizioni su diversi tipi di quantità. In fisica, ci riferiamo ai tipi generali come dimensioni . Esempi di dimensioni sono: lunghezza, tempo, energia, massa e così via. Le unità sono modi specifici per rappresentare le dimensioni, ad esempio metri e piedi sono entrambe unità di lunghezza della dimensione.

Quindi , come si collega al tuo esempio di cometa? Hai osservato (correttamente) che possiamo in effetti moltiplicare diverse dimensioni. Per esempio. massa moltiplicata per velocità ha dimensioni di quantità di moto . Ma ciò non significa ancora che puoi confrontare quantità disparate. La condizione per la correttezza del tuo calcolo è: $$ (\ text {comet mass}) \ times (\ text {period}) - (\ text {the true speed}) = 0 $$ Ma come abbiamo già mostrato , questa espressione è priva di significato poiché non possiamo aggiungere (o sottrarre) quantità di dimensioni diverse.

In fisica, non sei autorizzato a ignorare le unità; vengono avanti per il giro su ogni sottofase di ogni calcolo. Da una prospettiva matematica, considera le unità come variabili, quindi invece di 5 metri + 10 secondi, hai 5x + 10y. A meno che tu non assegni arbitrariamente x = y = 1, non c'è modo di ottenere 15 da questo; Alla fine della giornata, hai ancora 5x + 10 anni e la fisica non è interessata ai numeri complessi. Alla fine di un calcolo, hai bisogno di un numero e "5x + 10y" è due numeri. Ed ecco il problema della fisica: non ti è permesso assegnare valori a quelle variabili. Sono unità basilari, irriducibili; non puoi dire "i metri sono 1".

D'altra parte, puoi moltiplicare le unità come non sono affari di nessuno. "Furlongs per quindici giorni" è una frase sciocca, ma puoi usarla e tutti (dopo un po 'di conversione) capiranno esattamente quello che stai dicendo:

$$ 13440 \ frac {\ text {furlongs}} { \ text {quindicina}} \ times \ frac {1 \; \ text {mile}} {8 \; \ text {furlongs}} = 1680 \ frac {\ text {miles}} {\ text {fortnight}} $$

$$ 1680 \ frac {\ text {miles}} {\ text {fortnight} } \ times \ frac {1 \; \ text {quindicina}} {336 \; \ text {hours}} = 5 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} $$

(Indica un'orda di fisici arrabbiati che scendono su di me per il mio uso delle unità imperiali. )

In ogni fase di queste conversioni, le unità non sono mai andate via; sono rimasti con i numeri. Quando si calcola qualcosa in fisica, i numeri con cui si gioca sono cose reali ; rappresentano una quantità di qualcosa, e quel qualcosa non va via solo perché pensi che sia scomodo. Quindi, se un asteroide va di 10 metri in 5 secondi, avrà questo aspetto:

$$ 10 \; \ text {metri} \ times \ frac {1} {5 \; \ text {seconds}} = 2 \ frac {\ text {meters}} {\ text {second}} $$

Puoi moltiplicare e dividere le quantità come preferisci e ti ritroverai con alcune unità stravaganti, ma il tuo numero finale sarà valido, anche se potrebbe essere difficile correlarlo a tutto il resto. (Ad esempio, la viscosità di un fluido viene misurata in (chilogrammi per (metro * secondo)), il che non è particolarmente intuitivo ma è utile nei punti particolari in cui viene utilizzata la viscosità.)

La maggior parte delle risposte sembra ribadire che non ti è permesso aggiungere lunghezze e tempi solo perché non ha senso. Ecco perché non ha senso.

Se due oggetti hanno la stessa temperatura in gradi Celsius, allora hanno la stessa temperatura in gradi Fahrenheit.

Se due oggetti hanno la stessa velocità in metri al secondo, quindi hanno la stessa velocità in miglia all'ora.

Ma se due oggetti hanno la stessa "somma lunghezza-tempo" in metri + secondi, potrebbero non hanno la stessa "somma di tempo" in altre unità. Ad esempio, $$ 60 \, \ text {meters} +0 \, \ text {seconds} \ "=" \ 0 \, \ text {meters} +60 \, \ text {seconds} $$ ma $$ 60 \, \ text {meters} +0 \, \ text {minutes} \ “\ ne” \ 0 \, \ text {meters} +1 \, \ text {minute}. $$ Quindi non ha senso pensare a la somma della lunghezza come una quantità fisica reale invece di una coincidenza numerica causata dalla nostra scelta di unità.

Questa è fondamentalmente l'ultima parte della risposta di jwimberley, ma ho pensato che sarebbe stato utile avere un esplicito esempio spiegato in modo che il punto sia assolutamente ovvio.

Jack, spiegherò qui il problema prima in modo matematico piuttosto che fisico. La questione matematica in gioco qui è che l'operazione che proponi è non ben definita a livello di fisica di base. Diamo uno sguardo ad alcune situazioni in matematica in cui si presenta questo tipo di problema che non ha nulla a che fare con le unità fisiche.

Nel calcolo, abbiamo $ \ int_a ^ bf (x) \, dx = F (b) - F (a) $ dove $ F (x) $ è un antiderivativo di $ f (x) $. E se qualcuno arrivasse e chiedesse se una nuova operazione $ I (f, a, b) = F (b) + F (a) $ ha un significato utile in termini di funzione originale $ f (x) $ e intervallo $ [a, b] $. Non è così, perché se cambi l'antiderivativo cambi la risposta . Per qualsiasi due antiderivativi $ F (x) $ e $ G (x) $ di $ f (x) $, differiscono per una costante, diciamo $ G (x) = F (x) + C $. Ciò significa che una differenza di antiderivativi di $ f (x) $ a $ a $ e $ b $ è indipendente dalla scelta degli antiderivativi ma una somma di antiderivativi di $ f (x) $ in $ a $ e $ b $ non è: $$ G (b) - G (a) = (F (b) + C) - (F (a) + C) = F (b) - F (a) $$ mentre $$ G (b) + G (a) = (F (b) + C) + (F (b) + C) = F (b) + F (a) + 2C, $$ che non è $ F (b) + F (a) $ a meno che $ C = 0 $ (cioè $ G (x) = F (x) $). Quindi una differenza di valori di una antiderivativa di $ f (x) $ è un numero ben definito in termini della funzione originale $ f (x) $, ma una somma di valori di una antiderivativa non lo è. Se si desidera fornire un numero reale definito da un'antiderivativa di $ f (x) $ e fare in modo che tale numero definito sia determinato esclusivamente da $ f (x) $ e non dalla scelta dell'antiderivarivo, le differenze hanno senso ma le somme no. A proposito, questo ha un ruolo in fisica: l'energia potenziale è definita solo fino a una costante additiva complessiva, il che spiega perché una differenza di valori di energia potenziale ha un significato fisico ma una somma di valori di energia potenziale no.

Un altro esempio è nella geometria. Aggiungiamo angoli ma non li moltiplichiamo mai. C'è un problema matematico con la moltiplicazione degli angoli? Sì: la misurazione dell'angolo è determinata intrinsecamente solo fino a un multiplo intero di $ 2 \ pi $, e questa proprietà è rispettata per addizione ma non per moltiplicazione. Se $ \ theta_2 = \ theta_1 + 2 \ pi {k} $ e $ \ varphi_2 = \ varphi_1 + 2 \ pi {\ ell} $ per alcuni numeri interi $ k $ e $ \ ell $, allora $$ \ theta_2 + \ varphi_2 = \ theta_1 + \ varphi_1 + 2 \ pi (k + \ ell), $$ quindi le due somme $ \ theta_2 + \ varphi_2 $ e $ \ theta_1 + \ varphi_1 $ sono di nuovo uguali fino a un multiplo intero di $ 2 \ pi $. Tuttavia, $$ \ theta_2 \ varphi_2 = \ theta_1 \ varphi_1 + 2 \ pi (k \ varphi_1 + \ ell \ theta_1 + 2 \ pi {k} \ ell) $$ e $ k \ varphi_1 + \ ell \ theta_1 + 2 \ pi {k} \ ell $ non è sempre un numero intero. (Se hai avuto un'algebra astratta, potrei dire che il "problema" qui è che $ 2 \ pi {\ mathbf Z} $ è un sottogruppo di $ {\ mathbf R} $ ma non è un ideale in $ {\ mathbf R} $ , quindi al quoziente $ {\ mathbf R} / 2 \ pi {\ mathbf Z} $ può essere data la struttura di un gruppo additivo ma non un anello.) Se vuoi dire "ma posso parlare di $ \ sin ( xy) $ per qualsiasi numero $ x $ e $ y $, e questo sta moltiplicando gli angoli ", direi che non lo è: nell'espressione $ \ sin (xy) $ con variabili reali $ x $ e $ y $, i numeri $ x $ e $ y $ devono essere considerati numeri reali, non angoli. La storia è diversa con $ \ sin (2x) $, che è ben definito quando $ x $ è pensato come un angolo (un numero fino alla somma di un multiplo intero di $ 2 \ pi $). Questa distinzione è il motivo per cui $ x $ in una serie di Fourier $$ f (x) = \ sum_ {n \ in {\ mathbf Z}} c_ne ^ {2 \ pi {i} nx} $$ può essere considerato bugiardo su un cerchio se lo desideri, ma la $ x $ in una trasformata di Fourier $$ ({\ mathcal F} f) (x) = \ int _ {{\ mathbf R}} f (y) e ^ {2 \ pi { i} xy} \, dy $$ non può e deve essere pensato sulla retta reale: la trasformata di Fourier non è una $ 2 \ pi $ -funzione periodica di $ x $, quindi non è ben definita per considerare il Fourier trasformare in funzione del cerchio unitario.

In algebra lineare, la traccia di un operatore lineare $ A \ due punti V \ rightarrow V $ su uno spazio vettoriale a dimensione finita è definita come $ \ sum_ {i} a_ {ii} $ dove $ (a_ {ij }) $ è una rappresentazione matriciale di $ A $ in una base di $ V $. È fondamentale che questa somma sia indipendente dalla scelta della base . Abbiamo utilizzato una base per calcolare la traccia, ma se vuoi che la traccia sia una funzione puramente dell'operatore $ A $ allora deve avere lo stesso valore indipendentemente dalla base che usi su $ V $. In un corso di algebra lineare impari che la traccia è indipendente dalla base usata per calcolarla. D'altra parte, l '"anti-traccia" $ \ sum_ {i} a_ {i, n + 1-i} $ (somma sull'antidiagonale) o "traccia di confine" (somma attorno al confine di una rappresentazione matriciale di $ A $) non sono ben definiti perché se si modifica la base, la nuova rappresentazione della matrice ha un valore diverso per il suo anti-trace o border trace. Ecco perché non si sente mai nessuno parlare di tali somme in algebra lineare, poiché non sono funzioni ben definite dell'operatore originale: dipendono dalla scelta della base. Nella misura in cui accetti che i concetti geometrici non debbano dipendere dalla tua scelta del sistema di coordinate, sarai d'accordo che i concetti utili in algebra lineare dovrebbero essere indipendenti dalla scelta della base.

Nella geometria algebrica, i polinomi funzioni non ben definite sullo spazio proiettivo poiché i loro valori cambiano se cambiano le coordinate omogenee. Ma i rapporti di polinomi omogenei dello stesso grado danno la stessa risposta per tutte le coordinate omogenee di un punto, ed è per questo che rapporti di polinomi omogenei dello stesso grado sono funzioni naturali sullo spazio proiettivo.

Nella matematica della scuola elementare, l'aggiunta di frazioni non $ (a / b) + (c / d) = (a + c) / (b + d) $, poiché questa operazione è non ben definito: sebbene 1/2 = 5/10 e 3/4 = 6/8, questo falso modo di combinare le frazioni aggiungendo numeratori e denominatori non porta alla stessa risposta quando si cambia il modo in cui si scrive la frazione : $ (1 + 3) / (2 + 4) = 4/6 $ e $ (5 + 6) / (10 + 8) = 11/18 \ non = 4/6 $. Se dovessi correggere una rappresentazione preferita delle frazioni, come la rappresentazione che utilizza un numeratore relativamente primo e un denominatore con un denominatore positivo, questa operazione "aggiungi i numeratori e aggiungi i denominatori" è ben definita , ma sarebbe molto scomodo da usare perché dipenderebbe dal modo in cui scrivi le frazioni. Questa falsa aggiunta ha un'applicazione interessante, che imparerai leggendo delle frazioni di Farey; semplicemente non corrisponde all'addizione, quindi non dovremmo denotarlo come +, e non generalizza alle frazioni in cui il numeratore e il denominatore sono in un anello che manca di fattorizzazione unica (e una scelta preferita di multiplo unitario di ogni diverso da zero elemento).

Se non pensi che avere operazioni ben definite sia importante in matematica, ti troverai davanti a una montagna di guai quando imparerai l'algebra (gruppi di quozienti) o la geometria differenziale (varietà), dove devi regolarmente definire le funzioni effettuando una scelta e quindi verificare che la risposta sia indipendente dalla scelta che è stata fatta (una scelta potrebbe significare un rappresentante coset o una scelta del sistema di coordinate vicino a un punto).

E se non pensi che i problemi di "unità" si verifichino in matematica, ti sbagli. Sono appena nascosti abbastanza da non essere notati. Per misurare gli angoli preferiamo usare i radianti. Se si volessero utilizzare altri sistemi di misurazione degli angoli, cambierebbero le familiari formule derivate per le funzioni trigonometriche: mentre $ \ sin '(x) = \ cos (x) $ quando $ x $ è un angolo in radianti, se si modifica $ x $ in gradi quindi $ \ sin '(x) = (\ pi / 180) \ cos (x) $. Preferiamo i radianti perché portano alle formule di calcolo più semplici, senza che vengano visualizzati fattori strani come $ \ pi / 180 $. Nell'analisi di Fourier, alcuni preferiscono definire la trasformata di Fourier usando $ e ^ {ixy} $ invece di $ e ^ {2 \ pi {i} xy} $, e quindi fattori di $ 2 \ pi $ o $ \ sqrt {2 \ pi} $ inizia a comparire in altre formule dall'analisi di Fourier come la formula di Parseval. In algebra lineare, preferiamo prendere come isomorfismo "naturale" da uno spazio vettoriale a dimensione finita $ V $ al suo doppio spazio duale la mappatura $ v \ mapsto {\ rm ev} _v $, dove $ {\ rm ev} _v (\ varphi) = \ varphi (v) $ per tutti i funzionali lineari $ \ varphi $ su $ V $, ma ci sono altre possibilità, vale a dire $ v \ mapsto c \ cdot {\ rm ev} _v $ per qualsiasi elemento diverso da zero $ c $ del campo scalare sottostante. Gli argomenti di teoria delle categorie mostrano che questi sono essenzialmente gli unici isomorfismi naturali possibili per lo spazio doppio-duale.

Ora passerò alle misurazioni fisiche. Se si desidera aggiungere una lunghezza e un tempo insieme, è necessario riconoscere che non esiste uno standard naturale per misurare nessuna di queste quantità: due sistemi di misurazione della lunghezza differiscono di un fattore di scala e due sistemi di misurazione del tempo differiscono di un fattore di scala. Anche se tutti sul nostro pianeta usassero il sistema metrico, non lo rende fisicamente profondo. Ad un certo punto in passato qualcuno ha scelto una lunghezza e l'ha dichiarato un metro, ma quella convenzione umana non ha alcuna importanza fisica. (Se pensi che le unità metriche siano in realtà una parte essenziale del tessuto della natura, allora qualcosa è andato storto nella tua educazione. Forse il "raggio dell'elettrone" o la lunghezza di Planck potrebbe essere considerata una lunghezza fisicamente fondamentale, ma la tua domanda è su un livello molto più elementare di quello.) Il collegamento tra diverse misurazioni della stessa quantità fisica non è sempre solo un fattore di scala (la temperatura ne è il miglior esempio, dove $ F = (9/5) C + 32 $ ), ma per semplicità atteniamoci alle conversioni tra diversi sistemi di misurazione come semplici fattori di scala.

A causa del "fatto" fisico che diversi sistemi di misurazione dello stesso concetto fisico differiscono per un fattore di scala, una misurazione fisica può essere considerata come una funzione a valori reali definita fino a un fattore di scala complessivo positivo . Se $ f $ e $ g $ sono due modi per misurare la stessa quantità fisica, allora $ g = cf $ per qualche $ c $ positivo. Ad esempio, se stiamo misurando la lunghezza ($ L $) e scriviamo $ f_L $ per la funzione metro e $ g_L $ per la funzione piedi, allora $ c = 3.28 $: $ g_L (x) = 3.28f_L (x ) $ (ovvero, per convertire da metri a piedi, moltiplicare il valore dei metri per 3,28). Se stiamo misurando il tempo ($ T $), con $ f_T $ per la seconda funzione e $ g_T $ per la funzione dei minuti, allora $ c = .016 $: $ g_T (y) = .016f_T (y) $ (per convertire da secondi a minuti, moltiplicare il secondo valore per 0,016). Ora chiediti: se una funzione è definita fino a un fattore di scala complessivo e un'altra funzione è definita fino a un fattore di scala globale, cosa posso fare con loro e mantenere il risultato definito fino a un fattore di scala globale? Puoi moltiplicarli o dividerli, ma non puoi aggiungerli.

Ad esempio, se $ g_L = 3.28f_L $ e $ g_T = .016f_T $, allora $ g_L / g_T = 205f_L / f_T $. Ricordando il significato di queste funzioni sopra, quest'ultima equazione dice che se vuoi convertire da metri al secondo a piedi al minuto, moltiplica per 205. E $ g_Lg_T = .05248f_Lf_T $, quindi per convertire da metri-secondi (qualunque cosa significhi) a piedi-minuti, moltiplicare per 0,05248.

Proviamo finalmente l'addizione: se $ g_L = 3.28f_L $ e $ g_T = .016f_T $, è $ g_L + g_T = c (f_L + f_T) $ per qualche $ c > 0 $? Questo è il test per verificare se l'aggiunta di misurazioni è ben definita . Poiché $ g_L + g_T = 3.28f_L + .016f_T $, vuoi $ 3.28f_L + .016f_T = c (f_L + f_T) $, quindi hai bisogno di $ (3.28-c) f_L = (c-.016) f_T $, e quindi $ f_L = ((c-.016) / (3.28-c)) f_T $. In altre parole, devi essere in grado di convertire tra lunghezza e tempo: lunghezza e tempo devono essere modi diversi per misurare la stessa cosa. Sono loro? A livello elementare non lo sono, ed è per questo che non puoi aggiungere fisicamente lunghezza e tempo.

Per aggiungere due misure fisiche in modo ben definito, abbiamo visto (per gli esempi di lunghezza e tempo) che le due grandezze che stai misurando devono essere convertibili l'una nell'altra. Nella relatività, apprendiamo che la velocità della luce è una velocità fisica fondamentale, e se decidiamo che è veramente fondamentale possiamo usarla per convertire tra lunghezza e tempo. Nella relatività generale è conveniente dichiarare la velocità della luce pari a 1, che imposta una conversione definita tra metri e secondi, o piedi e secondi, o qualsiasi scelta preferita di misurazione della lunghezza e del tempo in modo che il valore della velocità della luce utilizzando quei sistemi di misura risultano essere 1. (È come la nostra preferenza per i radianti in gradi perché nel calcolo l'uso dei radianti rende alcuni coefficienti nelle formule derivative uguali a 1.) Una volta che hai uno standard per trasformare la lunghezza in tempo, allora puoi aggiungere lunghezza e tempo, quindi tutto ciò che stai facendo è aggiungere lunghezza e lunghezza. Cerca su Google il termine "unità di Planck" per vedere come le teorie fisiche fondamentali conducono a un modo per convertire tra massa, lunghezza e tempo.

Lascio a te decidere cosa ha da dire questo punto di vista la possibilità fisica di aggiungere metri e piedi. Suggerimento: fai attenzione se hai a che fare con funzioni dello stesso oggetto o di oggetti diversi.

Fondamentalmente non ci sono unità in fisica. Il risultato se tutte le misurazioni sono sempre un numero adimensionale. Se dici che hai misurato la lunghezza di un oggetto come un metro, il risultato della misurazione non è in realtà la quantità dimensionale di un metro, quello che hai fatto in realtà è stato confrontare la lunghezza dell'oggetto con la lunghezza di una certa lunghezza standard e hai ottenuto il numero adimensionale di $ 1 $ come risultato.

Le unità sono in definitiva solo costrutti umani, storicamente hanno avuto origine da una mancanza di conoscenze e mezzi per poter misurare quantità diverse l'una rispetto all'altra. Per esempio. a parte le questioni pratiche, prima di conoscere la relatività speciale, era anche teoricamente impossibile confrontare uno standard di lunghezza con uno standard di tempo in un modo che avrebbe senso dal punto di vista della fisica fondamentale. Il fatto che utilizziamo ancora unità diverse per intervalli di tempo e lunghezze è puramente per motivi storici, mantenendo le vecchie unità si ottiene fattori di conversione estranei, in questo caso la velocità della luce, $ c $ .

Supponiamo di escludere del tutto la nozione di unità e di lavorare sempre in unità naturali dove $ \ hbar = c = G = 1 $ nel senso letterale in cui rifiutiamo anche qualsiasi nozione di dimensioni. Formalmente, la fisica sarebbe ancora la stessa buona vecchia fisica, ma sembra che non possiamo più fare analisi dimensionale. Ma poiché tutto dovrebbe derivare dalla fisica, ciò non può essere corretto, quindi deve essere possibile recuperare i risultati dell'analisi dimensionale senza mai invocare dimensioni o unità. Questo è effettivamente possibile e, come mostro di seguito, in questo modo si spiega perché funziona.

Consideriamo il caso della relatività speciale, vogliamo derivare il limite classico, ma lavoreremo in unità $ c = 1 $ . Non siamo autorizzati a ripristinare un $ c $ dimensionale, ma ovviamente siamo liberi di introdurre un parametro di ridimensionamento adimensionale $ c $ in alcune equazioni e studia un particolare limite di scala della teoria. Ho spiegato i dettagli qui. Non dovrebbe sorprendere che rimettendo $ c $ al posto giusto e portando $ c \ a \ infty $ , recupererai la meccanica classica, anche se manterrai sempre che $ c $ è solo un parametro di ridimensionamento senza dimensioni.

Ora , in quel limite di ridimensionamento, non puoi più confrontare determinate quantità fisiche che potresti confrontare tra loro prima di prendere quel limite, ad esempio energia e massa. Quindi, se consideri un'equazione tra variabili fisiche valida nel limite di scala, allora dovresti richiedere che non ci siano fattori di $ c $ presenti in una tale relazione, e è questa richiesta che è formalmente equivalente all'analisi dimensionale.

Più in generale, se giochi allo stesso gioco con $ \ hbar $ e $ G $ , dieci vedete che è tutta una semplice questione di assumere un certo limite di scala in modo che i fattori di scala non dovrebbero apparire in un'equazione che mette in relazione le grandezze fisiche che sono definite in un limite di scala appropriato. Puoi anche argomentare il contrario, assumendo la validità dell'analisi dimensionale e quindi riconoscendo che puoi sempre costruire quantità di Planck che hanno una dimensione arbitraria, permettendoti di mettere in relazione qualsiasi quantità fisica con qualsiasi altra usando qualsiasi funzione arbitraria. Ma ovviamente quello che desideri non contiene $ \ hbar $ , $ c $ o $ G $ , o almeno non tutti. La domanda è allora: perché no? La risposta dovrà coinvolgere un argomento fisico che si riduce efficacemente a un argomento di ridimensionamento.

L'argomento di ridimensionamento è quindi un argomento più fondamentale, può essere applicato a situazioni in cui l'analisi dimensionale standard non produce risultati utili . Per esempio. puoi considerare la teoria dello strato limite nella dinamica dei fluidi, riscalando le equazioni rilevanti si ottiene variabili che descrivono la velocità del flusso in termini di distanza dal confine nello strato limite. Nel caso ideale, abbiamo ridimensionato di una quantità infinita in modo da non poter correlare questa variabile di distanza ad altre variabili di posizione utilizzate al di fuori dello strato limite. Quindi, effettivamente, è apparsa una nuova dimensione che divide le variabili di lunghezza in due quantità incompatibili.

La fisica si occupa di trovare un modello matematico per descrivere e prevedere la realtà. Le unità sono un modo comodo e utile per distinguere tra quantità che descrivono diverse sfaccettature di un sistema e l'aggiunta o la sottrazione di quantità da queste sfaccettature non ci aiuta a descrivere o prevedere la realtà. È indefinito proprio come l'aggiunta di vettori e scalari; non ci aiuta a costruire una teoria utile proprio come l'aggiunta di scalari e vettori non aiuta i matematici a costruire una teoria utile. Le regole sono il prodotto del confronto dell'esperimento con il modello; non sono arbitrarie.

Potrebbe esserci qualche equazione in cui puoi usare il prodotto di massa e periodo per descrivere il moto di una cometa; Non saprei dire fuori mano. Ma la nostra definizione di "velocità" sta solo etichettando un concetto particolare nel nostro modello matematico. (Potrebbe anche essere descritto come il tasso di variazione della distanza.) La scelta della "velocità" è solo semantica. Il nome stesso è arbitrario a parte il fatto che gli ascoltatori lo capiscono per trasmettere un certo significato, ma ora sto descrivendo come funziona il linguaggio invece della fisica.

Quindi se puoi trovare una formula verificabile sperimentalmente che implichi l'aggiunta di numeri di unità diverse, quindi prenderemmo in considerazione di farlo e capire di più su come funziona. (Saresti famoso anche tra gli scienziati, immagino.) Ma fino a quando ciò non accadrà, continueremo a utilizzare questa regola pratica.

Sicuramente puoi aggiungere o moltiplicare due numeri qualsiasi, queste sono davvero semplici operazioni matematiche. Ma la fisica non è matematica, è fisica. Attribuiamo unità ai valori per rappresentare qualcosa di fisico e quindi le unità hanno un significato.

Anche se un metro al secondo potrebbe avere qualche utilità (tramite moltiplicazione), è impossibile aggiungere due unità diverse. Puoi davvero muoverti di 5 metri e 10 secondi? Certo puoi muoverti di 5 metri in 10 secondi (divisione), ma andare di 5 metri e 10 secondi è un'affermazione priva di significato.

Infine, la velocità è espresso in unità di lunghezza per unità di tempo (es. metri al secondo o miglia orarie). La massa è espressa in chilogrammi e il periodo in secondi, moltiplicandoli ottieni chilogrammi-secondi, che non è niente come metri al secondo, quindi non puoi ottenere una velocità moltiplicando massa e tempo, non importa quanto potresti provare.

Aggiungerò un compagno matematico alle risposte esistenti.

Siamo spesso interessati agli spazi vettoriali reali unidimensionali. Sebbene ogni cosa del genere sia semplicemente isomorfa a $ \ mathbb {R} $, è utile tenerle separate.

Se hai un vettore $ \ vec {v} $ in uno spazio vettoriale (es. uno spazio vettoriale di possibili misure di distanza con segno) e un altro vettore $ \ vec {w} $ in un altro spazio vettoriale (es. uno spazio vettoriale di possibili misure di durata con segno), semplicemente non ha senso chiedere $ \ vec {v} + \ vec {w} $.

Dobbiamo ancora essere in grado di calcolare con queste cose; il metodo tipico è quello di scegliere una unità (es. forse lo spazio vettoriale ha un oggetto che chiamiamo "metro"), e quindi gli elementi di questo spazio vettoriale possono essere ottenuti moltiplicando un numero reale per l'unità; per esempio. $ 3.5 \ \ mathrm {meter} $.

Ma ricorda che stiamo mantenendo dritti i nostri spazi vettoriali; $ 3.5 \ \ mathrm {meter} $ non un numero reale; è un membro dello spazio vettoriale da cui $ \ mathrm {meter} $ proviene. Ha senso solo aggiungerlo ad altre quantità dallo stesso spazio vettoriale.

Ma per quanto riguarda la moltiplicazione? Nell'algebra lineare esiste la nozione di un prodotto tensore che consente di moltiplicare i vettori da due spazi vettoriali e produrre un elemento di un terzo.

(dettaglio tecnico: utilizziamo una costruzione specifica del prodotto tensoriale su spazi vettoriali reali unidimensionali in modo da risultare rigorosi e simmetrici)

Ad esempio Se moltiplichiamo $ \ mathrm {meter} $ per $ \ mathrm {second} ^ {- 1} $, otteniamo un elemento in un terzo spazio vettoriale, che scriviamo come $ \ frac {\ mathrm {meter}} {\ mathrm {second}} $. Possiamo anche dare un senso alla divisione, se vogliamo. I vari prodotti coinvolti sono congiuntamente associativi e commutativi, quindi la solita aritmetica è corretta:

$$ (3 \ \ mathrm {meter}) \ cdot (5 \ \ mathrm {second} ^ {- 1}) = (3 \ cdot 5) \ frac {\ mathrm {meter}} {\ mathrm { second}} $$

Scusa per il mio inglese!

Soprattutto, voglio dire che condivido totalmente tutto ciò che è stato detto prima sull'analisi dimensionale e l'omogeneità delle equazioni. Ma come spesso in fisica, le cose possono essere più sottili.

Puoi consultare un vecchio libro piuttosto notevole e spesso ristampato: "Analisi dimensionale" , P. W. Bridgman.

In questo libro troverai le equazioni: (evidentemente si tratta di caduta libera nel campo gravitazionale. Abbiamo $ v = gt $ e $ s = \ frac {1} {2} g {{t} ^ {2}} $ ):

$ s + v = gt + \ frac {1} {2} g {{t} ^ {2}} $

"Questa è ovviamente un'equazione completa in quanto è vera e rimane vera indipendentemente dal modo in cui le unità fondamentali di lunghezza e tempo cambiano di dimensione" (p 42 della mia edizione del 1922)

o peggio:

$ v {{\ left (\ sin \ left (\ frac {s + gt} {v} \ right) \ right)} ^ {\ sinh \ left (s - \ frac {1} {2} g {{t} ^ {2}} \ right)}} = gt \ cosh \ left (v-gt \ right) $

"Anche questa è un'equazione completa; non è dimensinalmente omogenea, e inoltre offende le nostre nozioni preconcette di ciò che è possibile in termini di funzioni trascendentali" (p 42 della mia edizione del 1922)

"La possibilità di equazioni come quelle appena considerate è di per sé una confutazione del metodo intuitivo di prova del principio di omogeneità dimensionale a volte dato" (p 42 della mia edizione del 1922)

E ricordiamo la battuta di Feynman su una teoria unificata della fisica, che nell'idea era della forma (non ricordo dove l'ho letta):

$ {{\ left (\ overrightarrow {g} - \ frac {GM} {{{r} ^ {2}}} \ overrightarrow {{{e} _ { r}}} \ right)} ^ {2}} + {{\ left (\ overrightarrow {\ nabla} \ wedge \ overrightarrow {E} + \ frac {\ partial \ overrightarrow {B}} {\ partial t} \ destra)} ^ {2}} + ..... = 0 $

Secondo me, puoi benissimo aggiungere 10 metri e 5 secondi. La risposta quindi è solo "10m + 5s". Se questa è la risposta al tuo calcolo di quanto dovrebbe essere lunga un'asta di metallo, allora va bene. Se ora vai da una persona che dovrebbe fabbricare quella canna per te, ti chiederà "quanto dovrebbe essere lunga?". Se gli dici "15", lui dirà "15 cosa?". Abbastanza comprensibilmente - penso di non dover spiegare la necessità di unità qui. Quindi gli dici "10 metri + 5 secondi", lui ti dirà, non può farlo. Quindi l'utilità di questa espressione è limitata. Quindi potresti pensare di poterlo convertire in qualcosa con cui può lavorare, ad es. "15 m". Ma qui dovresti spiegare perché questo è il valore giusto da scegliere. Finora nessuno ha fornito un ragionamento soddisfacente.

L'analogo matematico a questo è probabilmente "cosa fa 10 + 5i?". Forse sono 15? Ma no, è solo "10 + 5i". Direi che allo stesso modo di $ \ Bbb C $ è un'estensione di campo di $ \ Bbb R $ span> di $ i $ , così sono le solite quantità quotidiane che i fisici incontrano effettivamente elementi di un campo $ \ Bbb R $ extended by trancendentals (your units) m, s, etc. Con questo puoi creare espressioni jolly arbitrarie come

$$ \ frac {10 \ mathrm m + 5 \ mathrm s} {2 \ mathrm {kg} - \ mathrm m}. $$

L'unico problema che si verifica è quando si tenta di applicarlo alla parola reale. Quindi devi pensare a come riconvertirlo in "quanti battiti del mio orologio" o "quante linee sulla mia barra di misurazione". Se trovi un modo coerente per farlo, dovresti dircelo.