In ordine:

1. Perché il termine "simmetria di gauge" precede QFT. È stato coniato da Weyl, nel tentativo di estendere la relatività generale. Nella creazione di GR, si potrebbe partire dall'idea che non è possibile confrontare vettori tangenti in diversi punti dello spaziotempo senza specificare un trasporto / connessione parallela; Weyl ha cercato di estenderlo per includere le dimensioni, da cui il nome "gauge". Nel gergo moderno, ha creato una teoria dei campi classica di una $ \ mathbb {R} $ - teoria di gauge. Poiché $ \ mathbb {R} $ è localmente uguale a $ U (1) $, questo ha dato le equazioni classiche corrette del moto per l'elettrodinamica (cioè le equazioni di Maxwell). Come vedremo più avanti, a livello classico, non c'è differenza tra simmetria di gauge e simmetrie "reali".

2. Sì. In effetti, un trucco usato di frequente è introdurre una tale simmetria per affrontare i vincoli. Specialmente in materie come la teoria della materia condensata, dove nulla è così speciale da essere ritenuto fondamentale, spesso si introducono più gradi di libertà e poi li si "incolla" insieme ai campi di gauge. In particolare, nella teoria dell'accoppiamento forte / modello di Hubbard dei superconduttori ad alta $ T_c $, un modo per affrontare il vincolo secondo cui non ci sia più di un elettrone per sito (indipendentemente dallo spin) è introdurre spinoni (fermioni) e oloni (bosoni) e un campo di gauge non abeliano, tale che in realtà la dinamica a bassa energia è limitata --- riproducendo così l'elettrone fisico; ma si può poi andare a cercare fasi deconfinate e chiedere se quelle sono utili. Questo è un altro articolo di revisione in sé e per sé. (Termini di Google: "teoria di patrick lee gauge high tc".)

3. Devi distinguere tra forze e campi / gradi di libertà. Le forze sono, nella migliore delle ipotesi, un'illusione comunque. Tuttavia, i gradi di libertà contano davvero. Nella meccanica quantistica, si può essere molto precisi sulla differenza. Due stati $ \ left | a \ right \ rangle $ e $ \ left | b \ right \ rangle $ sono "simmetrici" se esiste un operatore unitario $ U $ s.t. $$ U \ left | a \ right \ rangle = \ left | b \ right \ rangle $$ e $$ \ left \ langle a | A | a \ right \ rangle = \ left \ langle b | A | b \ right \ rangle $$ dove $ A $ è qualsiasi osservabile fisica. Le simmetrie "Gauge" sono quelle in cui decidiamo di etichettare lo stesso stato $ \ left | \ psi \ right \ rangle $ sia come $ a $ che $ b $. Nella meccanica classica, entrambi sono rappresentati allo stesso modo delle simmetrie (discrete o meno) di una varietà simplettica. Quindi nella meccanica classica queste non sono separate, perché sia ​​le simmetrie reali che quelle di gauge portano alle stesse equazioni del moto; In altre parole, in un formalismo di percorso integrale si nota solo la differenza con trasformazioni "grandi", e localmente l'azione è la stessa. Un buon esempio di ciò è il paradosso di Gibbs di elaborare l'entropia di mescolare particelle identiche - si deve introdurre manualmente un fattore di $ N! $ Per evitare il conteggio eccessivo --- questo perché a livello quantistico, scambiando due particelle è una simmetria di gauge. Questa simmetria non fa differenza per la struttura locale (nella geometria differenziale si parla) quindi non è possibile osservarla in modo classico.

Una cosa generale: quando le persone dicono "teoria di gauge" spesso intendono una versione molto più ristretta di ciò di cui si è trattata l'intera discussione. Per la maggior parte, indicano una teoria in cui la variabile di configurazione include una connessione su una varietà. Si tratta di una versione molto limitata, ma copre il tipo con cui le persone tendono a lavorare, ed è da qui che i termini come "simmetria locale" tendono a venire. Parlando come fisico della materia condensata, tendo a pensare a quelle come teorie di anelli chiusi (perché l'olonomia attorno a un anello è "invariante di gauge") o se sono coinvolti fermioni, anelli aperti. Diverse fasi sono quindi condensazioni di questi loop, ecc. (Per riferimenti, guarda "string-net condensation" su Google.)

Infine, la discussione sarebbe sbagliata senza alcune parole sulla "rottura" della simmetria di gauge . Come con la vera rottura della simmetria, questa è una finzione educata ma utile, e si riferisce davvero al fatto che lo stato fondamentale non è il vuoto ingenuo. La chiave è il pendolarismo dei limiti --- se (correttamente) prende il limite del sistema grande per ultimo (sia IR che UV), non può verificarsi alcuna rottura di simmetria. Tuttavia, è utile mettere mano al fatto che diversi stati fondamentali simmetrici reali sono separatamente in diversi settori di superselezione e quindi funzionano con uno spazio di Hilbert ridotto di uno solo di essi; per le simmetrie di gauge si può ancora fare la stessa (con attenzione) superselezione del pendolarismo con fissaggio del gauge.

La (grande) differenza tra una teoria di gauge e una teoria con una simmetria rigida è espressa precisamente dai teoremi primo e secondo di Noether:

Mentre nel caso di una simmetria rigida, le correnti corrispondenti ai gruppi generatori si conservano solo in conseguenza delle equazioni del moto, ciò è detto che si conservano "on-shell". Nel caso di simmetria di gauge continua, le leggi di conservazione diventano valide "off-shell", cioè indipendentemente dalle equazioni del moto. Ciò implica per esempio la conservazione della carica elettrica indipendentemente dall'equazione del moto.

Ora, le equazioni della legge di conservazione possono essere utilizzate in linea di principio per ridurre il numero di campi.

la procedura è la seguente:

1. Lavorare sul sottospazio delle configurazioni di campo che soddisfano le leggi di conservazione. Tuttavia, ci saranno ancora simmetrie di gauge residue su questo sottospazio. Per sbarazzarsene:

2. Seleziona una condizione di fissazione dell'indicatore per ciascuna legge di conservazione.

Ciò ridurrà il "numero di componenti di campo" di due per ogni simmetria di gauge. L'implementazione di questa procedura è tuttavia molto difficile, perché in realtà richiede di risolvere le leggi di conservazione, e inoltre, lo spazio ridotto delle configurazioni di campo è molto complicato. motivo per cui questa procedura è raramente implementata e vengono utilizzate altre tecniche come BRST.

1) Perché si chiama simmetria se non è simmetria? che dire del teorema di Noether in questo caso? e i gruppi di gauge U (1) ... ecc?

La simmetria di gauge è una simmetria locale nella teoria dei campi CLASSICA. Questo potrebbe essere il motivo per cui le persone chiamano la simmetria di gauge una simmetria locale. Ma sappiamo che il nostro mondo è quantistico: nei sistemi quantistici, la simmetria di gauge non è una simmetria, nel senso che la trasformazione di gauge non cambia alcuno stato quantistico ed è una trasformazione nulla. Il teorema di Noether è una nozione di teoria classica. La teoria di gauge quantistica (quando descritta dallo spazio fisico di Hilbert e dall'hamiltoniano) non ha il teorema di Noether.

Poiché la simmetria di gauge non è una simmetria, il gruppo di gauge non significa troppo, nel senso che due diversi gruppi di gauge a volte possono descrivere la stessa teoria fisica. Ad esempio, la teoria di gauge $ Z_2 $ è equivalente alla seguente teoria di gauge $ U (1) \ times U (1) $ Chern-Simons:

$$ \ frac {K_ {IJ}} {4 \ pi} a_ {I, \ mu} \ partial_ \ nu a_ {J, \ lambda} \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ lambda} $$ con $$ K = \ left (\ begin {array} [cc] \\ 0& 2 \\ 2& 0 \\ \ end {array} \ right) $$ in (2 + 1) D.

Dato che la trasformazione di gauge è una trasformazione da non fare e il gruppo di gauge non è fisico, è meglio descrivere la teoria di gauge senza usare il gruppo di gauge e la relativa trasformazione di gauge. Ciò è stato ottenuto grazie alla teoria della rete delle stringhe. Sebbene la teoria della rete di stringhe sia sviluppata per descrivere l'ordine topologico, può anche essere vista come una descrizione della teoria di gauge senza utilizzare il gruppo di gauge.

Lo studio dell'ordine topologico (o entanglement a lungo raggio) mostra che un modello bosonico ha uno stato fondamentale entangled a lungo raggio, quindi la teoria efficace a bassa energia deve essere una sorta di teoria di gauge. Quindi la teoria del segnale efficace a bassa energia è in realtà un riflesso degli intrecci a lungo raggio nello stato fondamentale.

Quindi, nella fisica della materia condensata, la teoria di gauge non è correlata alla geometria o alla curvatura. La teoria di gauge è direttamente correlata ed è una conseguenza degli intrecci a lungo raggio nello stato fondamentale. Quindi forse la teoria di gauge nel nostro vuoto è anche un riflesso diretto degli intrecci a lungo raggio nel vuoto.

2) Questo significa, in linea di principio, che si può valutare qualsiasi teoria (semplicemente introducendo i giusti falsi gradi di libertà)?

Sì, si può riscrivere qualsiasi teoria come teoria di gauge di qualsiasi gruppo di gauge. Tuttavia, una tale teoria di gauge è di solito nella fase confinata e la teoria efficace a bassa energia non è una teoria di gauge.

Vedi anche una discussione correlata: Capire il teorema di Elitzur dal semplice argomento di Polyakov?

Quando si parla di simmetria, si dovrebbe sempre indicare: simmetria di cosa?

Se misuro la lunghezza di un bastone in pollici e poi in centimetri, cioè in misure diverse, ottengo due risposte diverse , sebbene il bastone sia lo stesso in entrambi i casi. Allo stesso modo, quando misuro la fase di un'onda sinusoidale con due orologi che hanno fasi diverse, ottengo due fasi diverse e gli sfasamenti formano il gruppo U (1). Nel primo esempio il bastone è invariante al cambio di calibro da centimetri a pollici, ma questo non ha nulla a che fare con alcuna simmetria fisica del bastone. Il teorema di Noether ha a che fare con le simmetrie della Lagrangiana. Per esempio. se la lagrangiana ha simmetria sferica, allora si conserva il momento angolare totale. Il teorema di Noether ovviamente si applica anche ai sistemi quantistici. Un cambio di indicatore non è una trasformazione fisica, tutto qui. Nella teoria quantistica dei campi si inizia con una semplice Lagrangiana (es. Dirac Lagrangiana), quindi la si modifica in modo che diventi invariante in base a modifiche di gauge locali, ovvero si cambia la derivata nell'equazione di Dirac in una D che ha un "campo di gauge" in esso: per rendere questo suono criptico, si dice poi che "l'invarianza di gauge locale ha generato un campo di gauge", sebbene questo non sia vero. L'imposizione dell'invarianza di gauge locale pone semplicemente un vincolo sul tipo di lagrangiane che possono essere scritte. È simile a richiedere che una funzione F (z) sia analitica nel piano complesso, anche questo ha gravi conseguenze.

La simmetria di gauge impone leggi di conservazione locali, che sono chiamate identità di reparto nelle identità QED e Slavnov-Taylor per le teorie di gauge non abeliane. Quelle identità mettono in relazione le ampiezze o le limitano.

Un esempio di quei vincoli imposti dalla simmetria di gauge è la trasversalità della polarizzazione del vuoto. Per essere più precisi, la simmetria di gauge non consente un termine di massa per un fotone sulla lagrangiana. Tuttavia, questo potrebbe svilupparsi attraverso fluttuazioni quantistiche. Ciò non sta accadendo a causa dell'identità di Ward che impone la trasversalità della polarizzazione del vuoto del fotone. Un altro esempio è la relazione tra il propagatore di fermioni e il vertice di base in QED. Garantisce l'assenza di fotoni longitudinali.

L'idea è quindi che la simmetria di gauge imponga una sorta di teorema di Noether, ma in modo molto più raffinato. Si presenta a livello di correzioni quantistiche e le limita. Queste relazioni sono inoltre locali. Diventano una sorta di versione locale del teorema di Noether.