Domanda divertente!

Come hai sottolineato,

$$ \ theta \ approx 1.22 \ frac {\ lambda} {D } $$

Per un occhio simile a quello umano, che ha un diametro pupillare massimo di circa $ 9 \ \ mathrm {mm} $ e scegliendo la lunghezza d'onda più corta nello spettro visibile di circa $ 390 \ \ mathrm {nm} $ , la risoluzione angolare risulta di circa $ 5.3 \ times10 ^ {- 5} $ (radianti, ovviamente). A una distanza di $ 24 \ \ mathrm {km} $ , ciò corrisponde a una risoluzione lineare ( $ \ theta d $ , dove $ d $ è la distanza) di circa $ 1.2 \ \ mathrm m $ . Quindi contare i cavalieri montati sembra plausibile poiché probabilmente sono separati da una o poche volte questa risoluzione. Confrontare le loro altezze che sono nell'ordine della risoluzione sarebbe più difficile, ma potrebbe essere ancora possibile con il dithering. Legolas scuote forse la testa mentre conta? Il dithering aiuta solo quando il campionamento dell'immagine (in questo caso, da parte dei fotorecettori elfici) è peggiore della risoluzione dell'ottica. Gli occhi umani apparentemente hanno una spaziatura pixel equivalente di qualcosa come pochi decimi di minuto d'arco, mentre la risoluzione limitata dalla diffrazione è di circa un decimo di minuto d'arco, quindi sarebbe necessario eseguire il dithering o qualche altra tecnica pieno vantaggio dell'ottica.

Un interferometro ha una risoluzione angolare pari a un telescopio con un diametro pari alla distanza tra i due rivelatori più ampiamente separati. Legolas ha due rilevatori (bulbi oculari) separati da circa 10 volte il diametro delle sue pupille, $ 75 \ \ mathrm {mm} $ o giù di lì a maggior parte. Questo gli darebbe una risoluzione lineare di circa $ 15 \ \ mathrm {cm} $ a una distanza di $ 24 \ \ mathrm { km} $ , probabilmente sufficiente per confrontare le altezze dei cavalieri montati.

Tuttavia, l'interferometria è un po 'più complicata di così. Con solo due rilevatori e una singola separazione fissa, vengono risolte solo le caratteristiche con separazioni angolari uguali alla risoluzione e anche la direzione è importante. Se gli occhi di Legolas sono orientati orizzontalmente, non sarà in grado di risolvere la struttura in direzione verticale utilizzando tecniche interferometriche. Quindi avrebbe almeno bisogno di inclinare la testa lateralmente, e probabilmente anche di muoverla molto (inclusa una rotazione) di nuovo per ottenere un campionamento decente di diversi orientamenti di base. Tuttavia, sembra che con un processore sufficientemente sofisticato (cervello di elfo?) Potrebbe ottenere l'osservazione riportata.

Luboš Motl sottolinea alcune altre possibili difficoltà con l'interferometria nella sua risposta, principalmente che la combinazione di un policromatico la sorgente e una distanza del rivelatore molte volte maggiore della lunghezza d'onda osservata non comportano alcuna correlazione nella fase della luce che entra nei due rivelatori. Sebbene sia vero, Legolas potrebbe essere in grado di aggirare questo problema se i suoi occhi (in particolare i fotorecettori) sono sufficientemente sofisticati da agire come uno spettrometro di imaging simultaneo ad alta risoluzione o uno spettrografo di campo integrale e interferometro. In questo modo poteva individuare i segnali di una data lunghezza d'onda e usarli nella sua elaborazione interferometrica.

Un paio di altre risposte e commenti menzionano la potenziale difficoltà di tracciare una linea di vista fino a un punto $ 24 \ rm km $ di distanza a causa della curvatura della Terra. Come è stato sottolineato, Legolas deve solo avere un vantaggio in elevazione di circa $ 90 \ \ mathrm m $ (la distanza radiale da un cerchio $ 6400 \ \ mathrm {km} $ nel raggio di una tangente $ 24 \ \ mathrm {km} $ lungo la circonferenza; Terra di Mezzo è apparentemente delle dimensioni della Terra, o potrebbe essere la Terra in passato, anche se non riesco a definirlo con una fonte canonica dopo una rapida ricerca). Non è necessario che si trovi sulla cima di una montagna o altro, quindi sembra ragionevole presumere che la geografia consenta una linea di vista.

Finalmente un po 'di "aria pulita". In astronomia (se non hai ancora indovinato il mio campo, ora lo sai) ci riferiamo alle distorsioni causate dall'atmosfera come "vedere". La visibilità è spesso misurata in secondi d'arco ( $ 3600 '' = 60 '= 1 ^ \ circ $ ), riferendosi al limite imposto alla risoluzione angolare dalle distorsioni atmosferiche. Il seeing migliore, ottenuto dalle vette in perfette condizioni, è di circa $ 1 '' $ o in radianti $ 4,8 \ times10 ^ { -6} $ . Si tratta della stessa risoluzione angolare degli incredibili occhi interferometrici di Legolas. Non sono sicuro di come sarebbe vedere orizzontalmente su una distanza di $ 24 \ \ mathrm {km} $ . Da un lato c'è molta più aria che guardare in alto in verticale; l'atmosfera è più densa di $ 24 \ \ mathrm {km} $ ma la sua densità diminuisce rapidamente con l'altitudine. D'altra parte, la densità e la temperatura relativamente uniformi a un'altitudine fissa causerebbero una variazione minore dell'indice di rifrazione rispetto alla direzione verticale, il che potrebbe migliorare la visione. Se dovessi indovinare, direi che per aria molto calma a temperatura uniforme potrebbe ottenere risultati pari a $ 1 \ rm arcsec $ , ma con condizioni più realistiche con il sole che splende, gli effetti simili a miraggi probabilmente subentrano limitando la risoluzione che Legolas può ottenere.

Sostituiamo prima i numeri per vedere qual è il diametro richiesto della pupilla secondo la semplice formula: $$ \ theta = 1.22 \ frac {0.4 \, \ mu {\ rm m}} {D} = \ frac {2 \, {\ rm m}} {24 \, {\ rm km}} $$ Ho sostituito la lunghezza d'onda minima (viola ...) perché quel colore mi permetteva una risoluzione migliore, cioè più piccola $ \ theta $. L'altezza dei cavalieri è di due metri. A meno che non abbia commesso un errore, il diametro $ D $ deve essere 0,58 centimetri. È del tutto sensato perché la pupilla umana al massimo aperta ha un diametro di 4-9 millimetri.

Proprio come dice il video, la formula di diffrazione consente quindi marginalmente di osservare non solo la presenza dei cavalieri - per contarli - ma marginalmente le loro prime proprietà "dettagliate interne", forse che i pantaloni sono più scuri della camicia. Tuttavia, per vedere se il leader è di 160 cm o 180 cm è chiaramente impossibile perché richiederebbe una risoluzione migliore di un altro ordine di grandezza. Proprio come dice il video, non è possibile con la luce visibile e gli occhi umani. Uno avrebbe bisogno di un occhio e di una pupilla 10 volte più grandi; o qualche luce ultravioletta con una frequenza 10 volte superiore.

Non aiuta a rendere le pupille più strette perché la risoluzione consentita dalla formula di diffrazione peggiorerebbe. Le immagini molto più sfocate non sono utili come aggiunte all'immagine più nitida. Lo sappiamo anche nel mondo reale degli umani. Se la visione di qualcuno è molto più nitida della visione di qualcun altro, la seconda persona è praticamente inutile per perfezionare le informazioni su alcuni oggetti difficili da vedere.

È probabile che gli effetti atmosferici peggiorino la risoluzione rispetto alla semplice aspettativa di cui sopra. Anche se abbiamo l'aria più pulita, non si tratta solo di aria pulita; abbiamo bisogno di aria uniforme con una temperatura costante, e così via, e non è mai così uniforme e statica - distorce comunque la propagazione della luce e implica un ulteriore deterioramento. Tutte queste considerazioni sono ovviamente del tutto accademiche per me, che potrebbe ragionevolmente riflettere se vedo le persone abbastanza nitide da 24 metri per contarle. ;-)

Anche se l'atmosfera peggiora la risoluzione di un fattore 5 o giù di lì, i cavalieri possono comunque indurre i minimi "punti sfocati" sulla retina, e fintanto che la distanza tra i cavalieri è maggiore rispetto alla distanza dalla risoluzione (peggiorata), come 10 metri, si potrà contarli.

In generale, le cellule dei fotorecettori sono effettivamente abbastanza dense da non peggiorare realmente la risoluzione stimata . Sono abbastanza densi in modo che l'occhio sfrutti appieno i limiti imposti dalla formula di diffrazione, credo. L'evoluzione ha probabilmente funzionato fino al limite perché non è così difficile per la Natura rendere dense le retine e la Natura sprecherebbe un'opportunità per non dare ai mammiferi la visione più nitida possibile.

Per quanto riguarda i trucchi per migliorare la risoluzione o aggirare il limite di diffrazione, non ce ne sono quasi. Le osservazioni a lungo termine non aiutano a meno che non si possa osservare la posizione dei punti con una precisione migliore della distanza delle cellule dei fotorecettori. Gli organi dei mammiferi non possono essere così statici. L'elaborazione delle immagini utilizzando molte immagini inevitabilmente sfocate in posizioni fluttuanti non è in grado di produrre un'immagine nitida.

Neanche il trucco del Very Large Array funziona. È perché il Very Large Array aiuta solo per le onde radio (cioè lunghe) in modo che i singoli elementi nell'array misurino la fase dell'onda e le informazioni sulla fase relativa vengono utilizzate per affinare le informazioni sulla sorgente. La fase della luce visibile - a meno che non provenga da laser, e anche in quel caso, è discutibile - è completamente non correlata nei due occhi perché la luce non è monocromatica e la distanza tra i due occhi è di gran lunga maggiore della lunghezza d'onda media . Quindi i due occhi hanno solo la virtù di raddoppiare l'intensità complessiva; e per darci la visione stereo 3D. Quest'ultimo è chiaramente irrilevante anche alla distanza di 24 chilometri. L'angolo con cui i due occhi guardano per vedere l'oggetto distante 24 km è misurabilmente diverso dalle direzioni parallele. Ma una volta che i muscoli si adattano a questi angoli leggermente non paralleli, ciò che i due occhi vedono dalla distanza di 24 km è indistinguibile.

Prendi la seguente situazione idealizzata:

• la persona interessata è perfettamente immobile e ha un colore fisso e omogeneo
• lo sfondo (l'erba) è di un colore omogeneo fisso (significativamente diverso dalla persona).
• Legolas conosce le proprietà delle persone, i colori della persona di interesse e lo sfondo
• Legolas conosce le PSF delle sue ottiche sistema (compresi i suoi fotorecettori)
• I Legoala conoscono la posizione e l'orientamento esatti dei suoi occhi.
• Supponiamo che ci sia essenzialmente zero rumore nei suoi fotorecettori, e lui ha accesso all'uscita di ciascuno.

Da questo, Legolas può calcolare la risposta esatta attraverso la sua retina per qualsiasi posizione e dimensione (angolare) della persona di interesse, inclusi eventuali effetti di diffrazione. Può quindi confrontare questo modello esatto con i dati effettivi del sensore e scegliere quello che meglio corrisponde: si noti che questo include il modo di corrispondenza in cui la risposta si interrompe e / o qualsiasi frangia di diffrazione attorno al bordo della persona fotografata (presumo che le celle dei sensori nei suoi occhi sovracampionano la PSF delle parti ottiche dei suoi occhi.)

(Per renderlo ancora più semplice: è abbastanza ovvio che data la PSF e un rettangolo nero su un sfondo bianco, possiamo calcolare la risposta esatta del sistema ottico - Sto solo dicendo che Legolas può fare lo stesso per i suoi occhi e per qualsiasi ipotetica dimensione / colore di una persona.)

I principali limiti su questo sono:

1. quante diverse ipotesi modello considera,
2. Qualsiasi rumore o turbolenza che distorce la risposta dei suoi occhi dalla risposta ideale calcolabile (il rumore può essere alleviato in base al tempo di integrazione),
3. La sua capacità di controllare la posizione e l'orientamento dei suoi occhi, ovvero $ 2 m $ a $ 24 km $ span > è solo $ 0,01 $ radianti - mappa a $ \ approx 0,8 \ mu m $ spostamenti nella posizione di una macchia all'esterno dei suoi occhi (si presume che $ 1cm $ raggio del bulbo oculare).

Essenzialmente, sto disegnando un tipo bayesiano di tecnica di super risoluzione come accennato nella pagina di Wikipedia in super risoluzione.

Per evitare i problemi di mescolare la persona con la sua cavalcatura, supponiamo che Legolas abbia osservato le persone quando erano smontate, magari prendendosi una pausa. Poteva dire che il leader è alto semplicemente confrontando le dimensioni relative di persone diverse (supponendo che stessero girando intorno a separazioni molto maggiori della risoluzione del suo occhio).

La scena reale nel libro lo fa capire questo tutto mentre i cavalieri erano montati e si muovevano - a questo punto devo solo dire "È un libro", ma l'idea che il limite di diffrazione sia irrilevante quando sai molto del tuo sistema ottico e di cosa stai cercando at è degno di nota.

A parte, i bastoncelli umani sono $ O (3-5 \ mu m) $ - questo imporrà un filtro passa-basso in aggiunta a qualsiasi effetto di diffrazione della pupilla.

Illustrazione di un modello giocattolo di un problema simile

Sia $ B (x; x_0, dx) = 1 $ per $ x_0 < x < x_0 + dx $ e non essere altro saggio; convolve $ B (x; x_0, dx_1) $ e $ B (x; x_0, dx_2) $ , con $ dx_2>dx_1 $ , con alcune PSF note; supponi che questa sia la larghezza di questa PSF se molto molto inferiore a $ dx_1, dx_2 $ ma larga rispetto a $ dx_2- dx_1 $ per produrre $ I_1 (y), I_2 (y) $ . (Nella mia concezione di questo modello, questa è la risposta di una singola cellula della retina in funzione della posizione angolare dell'occhio ( $ y $ ).) Cioè prendere due immagini di blocchi di dimensioni diverse e allineare le immagini in modo che i bordi di sinistra dei due blocchi siano nella stessa posizione. Se poi fai la domanda: dove i bordi destri delle immagini attraversano un valore di soglia selezionato, ad esempio $ I_1 (y_1) = I_2 (y_2) = T $ tu troverai che $ y_2-y_1 = dx_2-dx_1 $ indipendente dalla larghezza della PSF (dato che è molto più stretta di entrambi i blocchi). Un motivo per cui spesso si preferiscono spigoli vivi è che quando è presente del rumore, i valori di $ y_1, y_2 $ varieranno di una quantità inversamente proporzionale alla pendenza di l'immagine; ma in assenza di rumore, la capacità teorica di misurare differenze di dimensioni è indipendente dalla risoluzione ottica.

Nota: confrontando questo modello giocattolo con il problema di Legolas si può sollevare una valida obiezione che la PSF non lo è molto, molto più piccolo delle altezze delle persone. Ma serve per illustrare il punto generale.

Una cosa di cui non hai tenuto conto. La curva del pianeta (la Terra di Mezzo è simile per dimensioni e curvatura alla Terra). Puoi vedere solo 3 miglia all'orizzonte dell'oceano a 6 piedi di altezza. Per vedere 24 km, dovresti essere quasi 100 m sopra gli oggetti visualizzati. Quindi, a meno che Legolas non fosse in cima a una collina o una montagna molto (molto) alta, non sarebbe stato in grado di vedere 24 km in primo luogo a causa della curvatura del pianeta.

La deconvoluzione può funzionare ma funziona bene solo in caso di sorgenti puntiformi come ad es. indicato qui. Il principio è semplice; la sfocatura dovuta all'apertura finita è una mappatura matematica nota che mappa un'immagine con risoluzione ipoteticamente infinita su un'immagine con risoluzione finita. Data l'immagine sfocata, puoi quindi tentare di invertire questa mappatura. L'immagine sfocata di una sorgente puntiforme che avrebbe dovuto interessare solo un pixel se l'immagine fosse completamente non sfocata, è chiamata funzione di diffusione del punto. La mappatura all'immagine sfocata è completamente definita dalla funzione di diffusione del punto. Esistono vari algoritmi che sono in grado di sfocare un'immagine con una certa approssimazione, ad es. deconvoluzione Richardson – Lucy o metodo del filtro Wiener.

In pratica non puoi deconvolgere un'immagine perfettamente, perché questo implica dividere la trasformata di Fourier del immagine sfocata dalla trasformata di Fourier della funzione di diffusione del punto, e quest'ultima tenderà a zero a grandi numeri d'onda. Ciò significa che finirai per amplificare il rumore ad alti numeri d'onda ed è proprio agli alti numeri d'onda che sono presenti i dettagli su piccola scala. Quindi, la risoluzione che puoi ottenere sarà alla fine limitata dal rumore.

Legolas probabilmente ha bisogno solo di un occhio se ha abbastanza tempo e può effettuare misurazioni spettrali sufficientemente accurate.

Innanzitutto, nota che Legolas stava guardando in una giornata di sole; supponiamo che tra l'intensità dell'incidente e l'albedo quell'oggetto rifletta nell'ordine di $ 100 \ mathrm {W} / \ mathrm {m} ^ 2 $ luce, che è circa $ 10 ^ {22} $ fotoni al secondo. A 24 chilometri, questo è fino a circa $ 10 ^ 8 $ fotoni per $ \ mathrm {cm} ^ 2 $.

Non siamo sicuri di quanto siano grandi gli occhi di Legolas, poiché i libri non dicono , ma possiamo presumere che non siano incredibilmente enormi, quindi hanno un diametro dell'ordine di 1 cm, il che gli dà una risoluzione angolare di circa $ 6 \ cdot 10 ^ {- 5} $ radianti, o circa $ 1,5 \ mathrm {m} $. Come già descritto, questo dovrebbe essere sufficiente per contare il numero di corridori.

Ora ci sono due fattori che sono estremamente importanti. Innanzitutto, i motociclisti si stanno muovendo. Quindi, osservando le correlazioni temporali negli spettri, Legolas può in linea di principio dedurre ciò che gli spettri dei ciclisti sono distinti dallo sfondo. Possiamo anche supporre che abbia familiarità con gli spettri di vari oggetti comuni (pelle, capelli di vari colori e così via). Può quindi creare un modello misto a sub-risoluzione in cui ipotizza $ n $ oggetti di spettri distinti e cerca di trovare la dimensione / luminanza di ciascuno. Questa è probabilmente la parte più complicata, poiché gli spettri di molti elementi tendono ad essere piuttosto ampi, dando una sostanziale sovrapposizione negli spettri. Supponiamo che l'oggetto che sta cercando abbia solo una differenza di profilo spettrale del 10% rispetto agli altri (in aggregato). Quindi con un tempo di integrazione di un secondo avrebbe un rumore di fotoni nell'ordine di $ 10 ^ 4 $ fotoni ma un segnale di circa $ A \ cdot10 ^ 7 $ fotoni dove $ A $ è la luminanza frazionaria dell'oggetto target all'interno il campo visivo limitato dalla diffrazione.

Poiché la microscopia a super risoluzione può risolvere elementi approssimativamente proporzionali all'SNR (esempio più semplice: se una sorgente è tutta in un pixel, tutta in un altro o una frazione in mezzo, fondamentalmente devi solo confrontare l'intensità in quei due pixel ), questo significa che Legolas potrebbe potenzialmente trovare un oggetto luminoso all'interno dell'ordine di $ 1.5 \ mathrm {mm} $. Se usa il bagliore di un casco e di una staffa, ad esempio, potrebbe misurare l'altezza adeguatamente e individuare dettagli come "il giallo è i loro capelli".

Nello spirito della tua domanda, avere due occhi e supponendo di poterli utilizzare come array (che richiede la misurazione della fase della luce, qualcosa che gli occhi non fanno) ti consente di utilizzare la distanza tra loro per $ D $ nell'equazione di risoluzione. Non conosco la distanza degli occhi di un elfo, quindi userò $ 6 cm $ per comodità. Con una luce viola di $ \ lambda = 430 nm $, otteniamo $ \ theta \ approx 1.22 \ frac {430 \ cdot 10 ^ {- 9}} {0.06} = 8.7 \ cdot 10 ^ {- 6} $. A una distanza di $ 24 km $, si ottiene una risoluzione di $ 21 cm $. Probabilmente puoi distinguere i cavalieri, ma la stima dell'altezza è molto difficile.

L'altro problema è la curvatura della terra. Se il raggio terrestre è $ 6400 km $ puoi disegnare un triangolo rettangolo con gambe $ 24, 6400 $ e scoprire che l'altro è $ 6400,045 $, quindi deve solo trovarsi su una collina alta $ 45 m $. La foschia del suolo sarà un problema.

Ecco un'altra possibilità che non è stata ancora menzionata.Se un oggetto A può essere completamente nascosto dietro un altro oggetto di forma simile B, allora B deve essere più grande di A. Al contrario, A passa dietro B e rimane parzialmente visibile per tutto il tempo, questa è la prova che A è più grande di B (o cheA non sta passando direttamente dietro B, ignoriamo questa possibilità per ora).

Nella situazione di Legolas, se il leader ha qualche caratteristica distinguibile (casco lucido, giacca di colore diverso) e Legolas può vedere un po 'di questo colore mentre il leader passa dietro ad altri nel suo gruppo, allora concluderei che il leader è più alto.La risoluzione non è importante in questo caso.Legolas può dire quale oggetto si trova davanti perché la quantità di fotoni di colore leader sarà ridotta, come per un pianeta che passa davanti a una stella lontana.

C'è anche una limitazione geometrica per vedere così lontano. L'ho Q&A'ed in matematica.SE. Se si trovasse su un terreno pianeggiante, Legolas sarebbe stato in grado di vedere solo 4,8 km a causa della curvatura del pianeta (supponendo che la Terra di Mezzo si trovi su un pianeta simile al nostro). Per vedere così lontano, avrebbe dovuto scalare una collina o un albero di circa 50 m di altezza.