Recentemente ho pubblicato un importante articolo, Alcuni casi speciali delle congetture di Khintchine in meccanica statistica: ergodicità approssimativa della funzione di autocorrelazione di un insieme di oscillatori accoppiati linearmente. REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL VOL. 33, NO. 3, 99-113, 2012 http://rev-inv-ope.univ-paris1.fr/files/33212/33212-01.pdf che fa avanzare lo stato di conoscenza della risposta a questa domanda.
In poche parole: bisogna giustificare la conclusione dell'ipotesi ergodica, senza assumere l'ipotesi ergodica stessa. L'opportunità di farlo è stata realizzata per molto tempo, ma i progressi rogorosi sono stati lenti. Terminologia: l ' ipotesi erdodica è che ogni sentiero percorre (o almeno vicino) ogni punto. Questa ipotesi non è quasi mai vera. La conclusione dell'ipotesi ergodica : quasi sempre, le medie temporali infinite di un osservabile su una traiettoria sono (almeno approssimativamente) uguali alla media di quella osservabile sull'insieme. (Anche se l'ipotesi ergodica è valida, la conclusione non segue. Scusate, ma questa terminologia è diventata standard, tradizionale, ortodossa ed è troppo tardi per cambiarla.) Il teorema ergodico : a meno che non ci sono sottospazi invarianti distinti non banali, quindi valgono le conclusioni dell'ipotesi ergodica.
Darwin ( http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Obits2/Darwin_C_G_RAS_Obituary.html) e Fowler ( http: // www- history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographia/Fowler.html), importanti fisici matematici (Fowler era uno studente di Darwin e Dirac era di Fowler), trovarono la giusta giustificazione fondamentale per Stat Mech negli anni '20 e ha dimostrato di concordare con l'esperimento in ogni caso solitamente esaminato fino a quel momento, e anche per le reazioni stellari. Khintchine, il grande matematico sovietico, ha rielaborato i dettagli delle loro dimostrazioni (L'introduzione al suo esile libro sull'argomento è stata pubblicata sul web all'indirizzo http://www-history.mcs.st-andrews.ac .uk / Extras / Khinchin_introduction.html), li ha resi accessibili a un pubblico più ampio, ed è stato molto studiato da matematici e filosofi della scienza interessati ai fondamenti della meccanica statistica o, in effetti, a qualsiasi inferenza scientifica (vedi, per un esempio, http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/1957294/c7.pdf e, per un altro esempio, Jan von Plato La teoria ergodica e le basi della probabilità , in B. Skyrms e WL Harper, eds, Causation, Chance and Credence. Atti della Irvine Conference on Probability and Causation, vol. 1 , pp. 257-277, Kluwer , Dordrecht 1988). Il lavoro di Khintchine andò oltre e, in alcune congetture, sperava che qualsiasi sistema dinamico con un numero sufficientemente grande di gradi di libertà avrebbe la proprietà che le osservabili fisicamente interessanti avrebbero approssimativamente soddisfatto le conclusioni del teorema ergodico anche se il sistema dinamico non soddisfaceva neppure approssimativamente le ipotesi del teorema ergodico. Il suo arresto, è morto in prigione, ha interrotto la possibile formazione di una scuola per svolgere il suo programma di ricerca, ma Ruelle e Lanford III hanno fatto dei progressi.
Nel mio articolo ho potuto provare le congetture di Khintchine
praticamente per tutti i sistemi dinamici classici lineari. Per la meccanica quantistica la situazione è ovviamente molto più controversa. Tuttavia Fowler in realtà basò i suoi teoremi sulla Meccanica Statistica Classica sulla Teoria Quantistica, sebbene Khintchine fece il contrario: prima dimostrando il caso classico e poi tentando, senza successo, di trattare le modifiche necessarie per la QM. A mio parere, il caso quantistico non introduce nulla di nuovo.
Perché la misurazione è modellata da una media temporale infinita in Meccanica statistica
Questo è il punto d'appui per il teorema ergodico o suoi sostituti.
Masani, P. e N. Wiener, "Non-linearPrediction", in Probability and Statistics, The Harald Cramer Volume , ed. U. Grenander, Stoccolma, 1959, p. 197: «Come indicato da von Neumann ... nel misurare una quantità macroscopica $ x $ associata a un meccanismo fisico o biologico ... ogni lettura di $ x $ è in realtà la media su un intervallo di tempo $ T $ [che] può appaiono brevi da un punto di vista macroscopoico, ma sono larghe microscopicamente parlando. Che il limite $ \ overline x $, come $ T \ rightarrow \ infty $, di tale media esista, e nei casi ergodici sia indipendente dallo stato microscopico, è il contenuto del parametro continuo $ L_2 $ -ErgodicTheorem. L'errore implicato nella pratica nel non prendere il limite è naturalmente da interpretare come una dispersione statistica centrata su $ \ overline x $. »Cf. anche Khintchine, A., op. cit. , p. 44 s., «Un'osservazione che dà la misura di una quantità fisica non viene eseguita istantaneamente, ma richiede un certo intervallo di tempo che, per quanto piccolo ci sembri, sarebbe, di regola, molto grande dal punto di vista di un osservatore che osserva l'evoluzione del nostro sistema fisico. [...] Quindi dovremo confrontare i dati sperimentali ... con medie temporali rilevate su intervalli di tempo molto ampi. » E
non il valore istantaneo o lo stato istantaneo. Wiener, come citato in Heims, op. cit. , p. 138s., «Ogni osservazione ... richiede un tempo finito, introducendo così l'incertezza.»
Benatti, F. Deterministic Chaos in Infinite QuantumSystems , Berlino, 1993, Trieste Note in fisica , p. 3, «Poiché i tempi caratteristici dei processi di misura sui macrosistemi sono molto più lunghi di quelli che governano i micro-fenomeni sottostanti, è ragionevole pensare ai risultati di una procedura di misura come a medie temporali valutate lungo traiettorie di fase corrispondenti a date condizioni iniziali.» E Pauli, W., Pauli Lectures on Physics, volume 4, StatisticalMechanics , Cambridge, Mass., 1973, p. 28s., «Ciò che si osserva macroscopicamente sono medie temporali ...»
Wiener, "Logique, Probabiliteet Methode des Sciences Physiques", «Toutes les lois de probabilite connuessont de caractere asymptotique ... les considerations asymptotiques n 'ontd'autre but dans la Science que de consentire di connaitre le proprietà desensembles tres nombreux en evitant de voir ces proprietes s'evanouir dans laconfusion risultante de las specificite de leur infinitude. L'infini permetainsi de consider des nombres tres grands sans avoir a tenir compte du faitque ce sont des entites distingues. »
Perché dobbiamo sostituire le medie dell'insieme con le medie di fase, cosa che può essere ottenuta in modi diversi, il modo tradizionale è quello di utilizzare l'ipotesi ergodica.
Queste citazioni esprimono l'approccio ortodosso allo Stat Mech classico. Il sistema di meccanica classica si trova in uno stato particolare e la misurazione di alcune proprietà di quello stato è modellata da una media a lungo termine sulla traiettoria del sistema. Approssimiamo questo valore prendendo la media temporale infinita. La nostra teoria però non può calcolarlo, comunque non conosciamo nemmeno le condizioni iniziali del sistema quindi non sappiamo quale traiettoria ... ciò che la nostra teoria calcola è la media di fase o media dell'insieme. Se non possiamo giustificare una sorta di uguaglianza approssimativa della media dell'insieme con la media temporale, non possiamo spiegare perché le quantità calcolate dalla nostra teoria concordano con le quantità che misuriamo .
Alcune persone , ovviamente, non importa. Questo deve essere anti-fondante.