Domanda:
Saresti senza peso al centro della Terra?
freeside
2011-01-03 20:28:09 UTC
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Se potessi viaggiare al centro della Terra (o di qualsiasi pianeta), saresti senza peso lì?

Supponendo che stiamo ignorando la gravità a causa di altri corpi nel sistema planetario ...?
@codeMonk sarebbe importante solo se si considera il tipo di marea di 2 ° ordine di effetti da quei corpi.
[Questa domanda] (http://physics.stackexchange.com/q/18446/5646) e [la mia risposta] (http://physics.stackexchange.com/a/18452/5646) sono strettamente correlate, sebbene io non Penso che questa domanda sia un duplicato esatto.
Cinque risposte:
#1
+30
John Alexiou
2011-01-03 20:33:59 UTC
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Corretto. Se dividi la terra in gusci sferici, la gravità dei gusci "sopra" si annulla e senti solo i gusci "sotto" di te. Quando sei nel mezzo non c'è niente "sotto" di te.

Aggiornamento da Wikipedia Gauss & Teorema di Shell.

{Sto usando alcuni termini semplicistici, ma non voglio per spezzare gli integrali di superficie e le equazioni del flusso radiale}


Modifica: sebbene l'interno del guscio avrà gravità zero classicamente , hanno anche gravità non zero relativisticamente . Al centro perfetto le forze possono bilanciarsi, producendo una soluzione instabile , il che significa che una piccola perturbazione in posizione si tradurrà in forze che esagerano questa perturbazione.

Solo per espanderti, ti sentiresti senza peso * ovunque * all'interno della Terra, non solo al centro!
@Noldorin: in realtà senti la gravità di tutta la massa terrestre a un raggio inferiore al tuo (altrimenti inizieresti a fluttuare ogni volta che entri in un seminterrato). Se ricordo bene l'accelerazione gravitazionale all'interno di una sfera solida di densità uniforme è proporzionale a $ r $.
@mbq - l'equilibrio sarà stabile non instabile. Le forze scendono a zero linearmente dalla superficie al centro di massa della Terra. Non ci sarà una forte forza di ripristino per piccoli spostamenti ma * ci sarà una forza * che aumenta linearmente verso 1 g sulla superficie. Cosa ti fa dire che è "molto instabile?" Per me ciò implica che ogni piccola deviazione risulterà in una forza lontano dal centro che è l'opposto di ciò che accadrebbe.
@David: Damit, hai ragione. Stavo pensando a un guscio sferico. In quel caso, ovunque all'interno della sfera non c'è forza netta.
@mbq: non è affatto un equilibrio instabile. Al contrario, funge da oscillatore armonico quasi perfetto. Questo può essere visto meglio scavando un tunnel attraverso la Terra e inserendovi una palla.
@JustJeff: certo che _ sembra_ che sarebbe così, ma se si esegue il calcolo si scopre che in realtà non lo è. Supponendo che il guscio sia perfettamente sferico, non sentirai alcuna forza gravitazionale al suo interno anche se sei vicino alla superficie interna. Fondamentalmente la ragione è che la forza del pezzetto di massa direttamente sopra di te è bilanciata dalla forza del resto grande della massa sotto di te. Per i dettagli, guarda gli articoli di Wikipedia collegati nella risposta di jalexiou. (Quello sul teorema della shell è probabilmente un po 'più facile da seguire)
@Marek @inflector: Hai ovviamente ragione, scusa; blackout transitorio. Rimuoverò questo commento per evitare confusione.
@Marek: non è proprio un buon oscillatore armonico per oscillazioni di ampia ampiezza, perché il potenziale non è quadratico. Naturalmente, per oscillazioni di piccola ampiezza, * tutto * è come un HO
La sfera omogenea di materia di @Jeremy: è un oscillatore armonico * perfetto *. Prova a fare i conti ;-) La Terra è quasi perfetta perché non è omogenea e non è una palla.
@David Zaslavsky: ok, punto concesso. avrei dovuto rendermi conto che sarebbe stata la stessa cosa del motivo per cui non c'è campo elettrico all'interno di un generatore di vandegraff, che ricordo di aver risolto le equazioni per (compiti a casa, nel corso della giornata), quindi ho cancellato il mio precedente commento bonehead.
Tutti smettono di cancellare i commenti! Rende il filo molto difficile da seguire.
Una leggera complicazione con l'argomento Shell è che tutto presume che la gravità newtoniana sia valida qui - cosa che non sarà. Sarà una soluzione GR che, se simile a Schwarzchild, introdurrà un piccolo termine $ 1 / r ^ 3 $ vicino al centro. Ciò invalida il teorema di Shell, ma un argomento di simmetria suggerisce ancora zero al centro. Penso che questo potrebbe introdurre una leggera instabilità però. Quindi non perforare le stelle di neutroni sperando in un periodo di riposo finché questo non sarà chiarito.
@ja72 Puoi mostrarmi perché sento solo i gusci sotto di me, senza usare la legge di Gauss.Non lo capisco bene.
@AsifIqubal - La massa sopra di te si annulla perché due particelle diametralmente opposte sul guscio producono una forza di gravità uguale e opposta.Anche quando ci si allontana dal centro, ci saranno più particelle più lontane (sul lato più lontano) e meno più vicine, il che annulla comunque la gravità.
#2
+21
inflector
2011-01-04 02:30:25 UTC
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Il modo più semplice per pensarci è che c'è una massa intorno a te al centro della Terra in modo da ottenere una uguale "spinta" gravitazionale da tutte le direzioni. I pull si annullano in modo da non ottenere accelerazione.

Se si assume una densità costante per la Terra (che non è vero in senso stretto ma è abbastanza vicina per questa illustrazione) l'accelerazione gravitazionale scende linearmente da 1g a la superficie a 0 al centro della Terra. Quindi otterresti uno zero se camminassi su una scala al centro della Terra.

La spiegazione più complicata è che l'accelerazione dovuta alla gravità è la derivata del potenziale gravitazionale. Questo potenziale è minimo al centro della Terra e cresce in modo quadratico fino alla superficie. Quindi continua ad aumentare a una velocità inferiore. Poiché al centro esatto è piatto (come il fondo di una valle), la derivata che è una misura del tasso di variazione è zero e non c'è accelerazione.

È interessante, anche se saresti là senza peso, gli effetti della gravità sono più elevati al centro della Terra. Ad esempio, ottieni più dilatazione del tempo gravitazionale rispetto alla superficie.

Penso che questa risposta si aggiunga in modo significativo a quella di jalexiou perché sottolinea che un semplice argomento di simmetria porta all'assenza di peso al centro della Terra. Pertanto, le specifiche della legge di gravità (la sua quadratura inversa) non sono realmente importanti per questa domanda.
Inoltre, poiché la Terra-Luna ruota attorno a un punto a 4000 km dal centro della terra, saresti senza peso in una ciambella attorno al centro
Vorrei che approfondissi la tua affermazione di una maggiore dilatazione del tempo al centro.
@Fernando La velocità del tuo tempo proprio rispetto a un osservatore distante è di circa $ 1 + V / c ^ 2 $ dove $ V $ è il potenziale gravitazionale (che è negativo). Rispetto a qualcuno lontano dalla Terra (ma alla stessa distanza dal Sole), qualcuno sulla superficie della Terra perderebbe circa due secondi al secolo e qualcuno al centro, circa tre.
#3
+15
finbot
2011-02-28 18:39:56 UTC
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Mi piacciono le risposte che fanno appello alla simmetria, quindi rispondo a questa domanda: se tu fossi al centro, da che parte caderesti? Questo ci dice che potresti rimanere a galla lì.

-1: questo argomento dimentica il fatto che la terra gira e ruota attorno al sole.
#4
+8
user82794
2015-06-07 03:58:57 UTC
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Nel seguito il termine "carica" ​​si riferisce alla massa o alla carica elettrica e il termine "Legge del quadrato inverso" si riferisce rispettivamente alla legge gravitazionale di Newton o alla legge di Coulomb.


SEZIONE 1

A. Legge del quadrato inverso per sfere con densità di carica superficiale uniforme

Proposizione A: Sia una sfera di raggio $ \: \ rm {R} \: $ con densità di carica superficiale uniforme $ \: \ rho_ {s} \: $ e interno vuoto. Quindi:

(a1) la forza esercitata su una carica puntiforme $ \: \ xi \: $ all'interno o sulla superficie della sfera, come nella figura 01, è zero (annulla). In termini di potenziali, l'intera sfera (superficie + interno) è una regione equipotenziale .

(a2) la forza esercitata su una carica puntiforme $ \: \ xi \ : $ all'esterno della sfera, come in Fig.03, è uguale alla forza esercitata da una particella puntiforme al centro della sfera con carica uguale alla sua carica superficiale totale $ \: \ Xi_ {s} = \ rho_ {s} \ cdot4 \ pi {\ rm {R}} ^ {2} \: $. In termini di potenziali, il potenziale esterno alla sfera è uguale a quello creato dalla sua carica superficiale totale $ \: \ Xi_ {s} \: $ concentrata nel suo centro.

Figure01 Figure03 Figure03

Una conclusione intermedia nella dimostrazione di questa proposizione è che l'ampiezza della forza esercitata dalla "coppa" AKBMA della sfera sulla carica puntuale $ \: \ xi \: $ in Fig. 02 è proporzionale a $ \: \ sin ^ {2} \ omega \: $, dove $ \: \ omega \: $ è l'angolo in base al quale qualsiasi punto del bordo ciclico AMBA della tazza osserva il segmento di linea $ \: b \ : $ (quella tra l'addebito $ \: \ xi \: $ e il centro della sfera). Più esattamente questa forza è in grandezza:

\ begin {equation} \ vert \ mathbf {f} _ {AKBMA} \ vert = k \ cdot \ dfrac {\ Xi_ {s} \ cdot \ xi} {{\ rm {b}} ^ {2}} \ sin ^ {2} \ left (\ dfrac {\ omega} {2} \ right) = \ left (k \ cdot \ dfrac {4 \ pi \ rho_ { s} \ xi {\ rm {R}} ^ {2}} {{\ rm {b}} ^ {2}} \ right) \ sin ^ {2} \ left (\ dfrac {\ omega} {2} \ right) = costante \ cdot \ sin ^ {2} \ left (\ dfrac {\ omega} {2} \ right) \ tag {A-01} \ end {equation}

Ma questa forza viene annullata dalla forza esercitata dalla "coppa" CLDNC della sfera che è uguale in grandezza, ma in direzione opposta:

\ begin {equation} \ mathbf {f} _ { CLDNC} = \; - \; \ mathbf {f} _ {AKBMA} \ tag {A-02} \ end {equation}

Quindi, se rimuoviamo queste due "tazze" la forza non ' t cambiare. Ma se allarghiamo la "coppa" AKBMA spostando il suo bordo ciclico AMBA verso sinistra, quest'ultimo coinciderà con il bordo ciclico CNDC della coppa sinistra CLDNC. Quindi rimuovere le due coppe è come rimuovere l'intera sfera lasciando la forza netta invariata, cioè zero.

Anche in Fig. 02 abbiamo

\ begin {equation} \ mathbf {f} _ {AMBDNCA} = \; \ mathbf {0} \ tag {A-03} \ end {equation}


B. Legge del quadrato inverso per sfere con densità di carica di volume uniforme

Proposizione B: Sia una sfera di raggio $ \: \ rm {R} \: $ con densità di carica di volume uniforme $ \: \ rho_ {v} \: $. Quindi:

(b1) la forza esercitata su una carica puntuale $ \: \ xi \: $ all'interno della sfera situata a una distanza radiale $ \: \ rm {r} \: $ da questo centro è uguale, secondo la Proposizione A , a quello esercitato dalla densità di carica del volume di una sfera di raggio $ \: \ rm {r} \: $, $ \: \ Xi_ {v} \ left (\ rm {r} \ right) = \ rho_ {v} \ cdot \ dfrac {4} {3} \ pi {\ rm {r}} ^ {3} \: $, concentrato al centro. L'entità di questa forza è:

\ begin {equation} \ vert f_ {inside} \ vert = k \ cdot \ dfrac {\ Xi_ {v} \ left (\ rm {r} \ right) \ cdot \ xi} {{\ rm {r}} ^ {2}} = k \ cdot \ dfrac {\ rho_ {v} 4 \ pi \ xi {\ rm {r}} ^ {3}} {3 { \ rm {r}} ^ {2}} = costante \ cdot \ rm {r} \:, \ quad \ rm {r} \ le \ rm {R} \ tag {B-01} \ end {equation}

(b2) la forza esercitata su una carica puntuale $ \: \ xi \: $ all'esterno della sfera e alla distanza radiale $ \: \ rm {r} \: $ dal centro è uguale , secondo la Proposizione A , a quella esercitata dalla densità di carica volumetrica di una sfera di raggio $ \: \ rm {R} \: $, $ \: \ Xi_ {v} \ left (\ rm {R} \ right) = \ rho_ {v} \ cdot \ dfrac {4} {3} \ pi {\ rm {R}} ^ {3} \: $, concentrato al centro. L'entità di questa forza è:

\ begin {equation} \ vert f_ {outside} \ vert = k \ cdot \ dfrac {\ Xi_ {v} \ left (\ rm {R} \ right) \ cdot \ xi} {{\ rm {r}} ^ {2}} = k \ cdot \ dfrac {\ rho_ {v} 4 \ pi \ xi {\ rm {R}} ^ {3}} {3 {\ rm {r}} ^ {2}} = costante \ cdot \ rm {r } ^ {- 2} \:, \ quad \ rm {r} > \ rm {R} \ tag {B-02} \ end {equation}


SEZIONE 2

Supponi che la Terra sia una sfera perfetta con densità di massa volumetrica uniforme. Quindi:

Proposizione C:

(c1) Un corpo situato al centro della Terra è senza peso.

(c2) Immagina un tunnel di piccola sezione trasversale che corre lungo un intero diametro, passando quindi per il centro della Terra. Un corpo posto nel tunnel ad una distanza radiale $ \: {\ rm {r}} _ {0} \: $ dal centro eseguirà una semplice oscillazione armonica rettilinea con centro il centro del Terra, poiché nel caso della gravità la forza è sempre attrattiva per il centro e secondo l'equazione (B-01) proporzionale in grandezza alla distanza da questo centro di attrazione.

#5
+5
Nick
2012-09-12 02:17:53 UTC
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Non saresti senza peso al centro della Terra. In altre parole, la Terra non segue una geodetica. Mi spiego.

La Terra non è sferica, è uno sferoide oblato. L'accelerazione di un corpo non sferico uniforme in un campo gravitazionale sferico non segue una legge del quadrato inverso. L'accelerazione del centro di massa non è uguale all'accelerazione al centro di massa. Un accelerometro fissato al centro della Terra leggerebbe circa 1,75 pgal (1,75e-14 m / $ \ mathrm {s ^ 2} $), non zero.

Cosa significa "pgal" (Google non è stato di aiuto)? E se l'accelerazione è diversa da zero al centro di massa, a causa della non uniformità della forma della Terra, ho ragione nel presumere che ci sia un punto in cui l'accelerazione è zero? Quanto è lontano dal centro geometrico quel punto e in quale direzione?
Un oggetto rilasciato nel geocentro accelererebbe nella direzione opposta al Sole.
Il punto in cui l'accelerazione è zero è di circa 0,15 m più vicino al sole. Se il Sole e la Terra fossero stazionari, quel punto sarebbe di 0,22 m più vicino al Sole.
@KeithThompson "gal" è l'accelerazione in cm / s ^ 2, quindi "g" = 9,8 m / s ^ 2 = 980 gal. pgal è pico-gal. Non viene utilizzato molto in fisica, ma i geologi lo usano per misurazioni gravimetriche
@Nick: Quindi un oggetto rilasciato nel geocentro cadrebbe * lontano * dal punto di accelerazione zero? Sembra controintuitivo.
Sì, si chiama [spaghettification] (http://en.wikipedia.org/wiki/Spaghettification). La Terra sperimenta tensione radiale e compressione trasversale, come evidenziato dal suo rigonfiamento di marea. Due oggetti adiacenti allineati con il Sole subiranno una forza di marea repulsiva che si oppone e spesso supera la loro forza gravitazionale reciproca.
Oh, 15 cm più vicino al sole! :-) :-) Avrei bisogno di maggiori dettagli prima di crederci, perché suona come un pelo nell'uovo. Se stiamo scendendo a quel piccolo ordine di grandezza, potrebbero non esserci altre cose di cui dobbiamo tenere conto? (Mi viene in mente la relatività generale. Inoltre, la Luna.)
Molto interessante.E un po 'imbarazzante che io avessi risposto ad accelerazione zero al centro e l'avrei fatto anche sempre: ma si vede subito che hai ragione!


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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