Domanda:
Derivazione delle equazioni di Maxwell dalla lagrangiana del tensore di campo
amc
2011-01-16 14:18:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ho iniziato a leggere Peskin e Schroeder nel mio tempo libero, e sono un po 'confuso su come ottenere le equazioni di Maxwell dalla densità lagrangiana (senza sorgente) $ L = - \ frac {1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} $ (dove $ F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ \ mu A ^ \ nu - \ partial ^ \ nu A ^ \ mu $ è il tensore di campo).

Sostituendo in per la definizione del tensore di campo si ottiene $ L = - \ frac {1} {2} [(\ partial_ \ mu A_ \ nu) (\ partial ^ \ mu A ^ \ nu) - (\ partial_ \ mu A_ \ nu) (\ partial ^ \ nu A ^ \ mu)] $. So che dovrei usare $ A ^ \ mu $ come variabile dinamica nelle equazioni di Eulero-Lagrange, che diventano $ \ frac {\ partial L} {\ partial A_ \ mu} - \ partial_ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ partial_ \ mu A_ \ nu)} = - \ partial_ \ mu \ frac {\ partial L} {\ partial (\ partial_ \ mu A_ \ nu)} $, ma sono confuso su come per procedere da qui.

So che dovrei finire con $ \ partial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} = 0 $, ma non vedo bene il motivo. Poiché $ \ mu $ e $ \ nu $ sono indici fittizi, dovrei essere in grado di cambiarli: come si relazionano gli indici nella lagrangiana con gli indici nelle derivate nelle equazioni di Eulero-Lagrange?

Vedi nel libro di Sean Carroll.Pieno di derivazione lì
Perché non è sufficiente inserire $ F ^ {\ mu \ nu} = \ partial {[\ mu} A {\ nu]} $ nelle equazioni di Maxwell e dimostrare che valgono?
Cinque risposte:
#1
+34
Pablo
2011-09-19 18:36:46 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Variando l'azione $$ \ delta \ int {L \; \ mathrm {d} t} = \ delta \ int {\ int {\ Lambda \ left ({A_ \ nu, \ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right) \ mathrm {d} ^ 3 x \; \ mathrm {d} t = 0}} $$$ {\ Lambda \ left ({A_ \ nu, \ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right )} $ è la densità della lagrangiana del sistema.

Quindi, $$ \ int {\ int {\ left ({\ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial A_ \ nu }} \ delta A_ \ nu + \ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ delta \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)} \ right) \ mathrm {d} ^ 3 x \; \ mathrm {d} t = 0}} $$ Integrando per parti otteniamo: $$ \ int {\ int {\ sinistra ({\ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial A_ \ nu}} - \ partial _ \ mu \ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}}} \ right) \ delta A_ \ nu \ mathrm {d} ^ 3 x \; \ mathrm {d} t = 0}} \ implica \ frac {{\ partial \ Lambda} } {{\ partial A_ \ nu}} - \ partial _ \ mu \ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} = 0 $$ Dobbiamo determinare la densità della lagrangiana. Un termine si occupa dell'interazione delle cariche con il campo elettromagnetico, $ J ^ \ mu A_ \ mu $. L'altro termine è la densità di energia del campo elettromagnetico: questo termine è la differenza del campo magnetico e del campo elettrico. Quindi abbiamo: $$ \ Lambda = J ^ \ mu A_ \ mu + \ frac {1} {{4 \ mu _0}} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} $$ Abbiamo: $$ \ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial A_ \ nu}} = J ^ \ nu $$ quindi: \ begin {align} \ partial _ \ mu \ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} & = \ frac {1} { {4 \ mu _0}} \ partial _ \ mu \ left ({\ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} F ^ {\ kappa \ lambda} F _ {\ kappa \ lambda}} \ right) \\ & = \ frac {1} {{4 \ mu _0}} \ partial _ \ mu \ left ({\ frac {\ partial} {{\ partial \ sinistra ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ left ({\ left ({\ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda - \ partial ^ \ lambda A ^ \ kappa} \ right) \ left ({\ partial _ \ kappa A_ \ lambda - \ partial _ \ lambda A_ \ kappa} \ right)} \ right)} \ right) \\ & = \ frac {1} {{4 \ mu _0}} \ partial _ \ mu \ left ({\ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ left ({\ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partial _ \ kappa A_ \ lambda - \ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partial _ \ lambda A_ \ kappa - \ partial ^ \ lambda A ^ \ kappa \ partial _ \ kappa A_ \ lambda + \ partial ^ \ lambda A ^ \ kappa \ partial _ \ lambda A_ \ kappa} \ right)} \ right) \ end {align} Il terzo e il quarto sono gli stessi del primo e del secondo mandato. Puoi fare $ k \ leftrightarrow \ lambda $: \ begin {align} \ partial _ \ mu \ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right )}} & = \ frac {1} {{2 \ mu _0}} \ partial _ \ mu \ left ({\ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ left ({\ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partial _ \ kappa A_ \ lambda - \ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partial _ \ lambda A_ \ kappa} \ right)} \ destra) \;. \ end {align} Ma \ begin {align} \ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ left ({\ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partial _ \ kappa A_ \ lambda} \ right) & = \ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ left ( {\ partial _ \ kappa A_ \ lambda} \ right) + \ partial _ \ kappa A_ \ lambda \ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ left ({\ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda} \ right) \\ & = \ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ delta _ \ kappa ^ \ mu \ delta _ \ lambda ^ \ nu + g ^ { \ kappa \ alpha} g ^ {\ lambda \ beta} \ partial _ \ kappa A_ \ lambda \ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ sinistra ({\ partial _ \ alpha A_ \ beta} \ right) \\ & = 2 \ partial ^ \ mu A ^ \ nu \;. \ end {align}

Abbiamo:

\ begin {align} \ frac {\ partial} {{\ partial \ left ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}} \ left ({\ partial ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partial _ \ lambda A_ \ kappa} \ right) & = 2 \ partial ^ \ nu A ^ \ mu \ ;. \ end {align}

Quindi,

\ begin {align} \ partial _ \ mu \ left ({\ frac {{\ partial \ Lambda}} {{\ partial \ sinistra ({\ partial _ \ mu A_ \ nu} \ right)}}} \ right) & = \ frac {1} {{\ mu _0}} \ partial _ \ mu \ left ({\ partial ^ \ mu A ^ \ nu - \ partial ^ \ nu A ^ \ mu} \ right) \\ & = \ frac {1} {{\ mu _0}} \ partial _ \ mu F ^ {\ mu \ nu} \;. \ end {align} Le equazioni lagrangiane forniscono le equazioni di maxwell non omogenee:

$$ \ partial _ \ mu F ^ {\ mu \ nu} = \ mu _0 J ^ \ nu \ ;. $$

Cordiali saluti, questa risposta (v4) utilizza implicitamente la convenzione del segno $ (+, -, -, -) $.
#2
+23
Marek
2011-01-16 14:46:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Bene, ci sei quasi. Usa il fatto che $$ {\ partial (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu}) \ over \ partial (\ partial _ {\ rho} A _ {\ sigma})} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ rho} \ delta _ {\ nu} ^ {\ sigma} $$ che è valido perché $ \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} $ sono $ d ^ 2 $ componenti indipendenti.

Come dimostrarlo effettivamente?
#3
+23
Luboš Motl
2011-01-16 15:09:38 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Caro amc, per prima cosa scrivi la tua densità lagrangiana come $$ L = - \ frac {1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = - \ frac {1} {2 } (\ partial_ \ mu A_ \ nu) F ^ {\ mu \ nu} $$ Va bene finora? $ F _ {\ mu \ nu} $ contiene due termini che lo rendono antisimmetrico nei due indici. Tuttavia, viene moltiplicato per un altro $ F ^ {\ mu \ nu} $ che è già antisimmetrico, quindi non ho bisogno di antisimmetrizzarlo di nuovo. Invece, entrambi i termini mi danno la stessa cosa, quindi il coefficiente $ -1 / 4 $ cambia semplicemente in $ -1 / 2 $.

Ora, le equazioni di campo ti costringono a calcolare le derivate della lagrangiana rispetto a $ A_ \ mu $ e alle sue derivate. Innanzitutto la derivata della lagrangiana $ L $ rispetto alle stesse componenti $ A_ \ mu $ svanisce perché la lagrangiana dipende solo dalle derivate parziali di $ A_ \ mu $. Finora è chiaro?

Quindi le equazioni del moto saranno $$ 0 = - \ partial_ \ mu [\ partial L / \ partial (\ partial_ \ mu A_ \ nu)] = \ dots $$ Ops, sei già arrivato a questo punto. Ma ora, guarda la mia forma della Lagrangiana sopra. La derivata della lagrangiana rispetto a $ \ partial_ \ mu A_ \ nu $ è semplicemente $$ - \ frac {1} {2} F ^ {\ mu \ nu} $$ perché $ \ partial_ \ mu A_ \ nu $ appare semplicemente come un fattore quindi le equazioni del moto saranno semplicemente $$ 0 = + \ frac {1} {2} \ partial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} $$ Tuttavia, ho deliberatamente commesso un errore. Ho differenziato solo la lagrangiana rispetto a $ \ partial_ \ mu A_ \ nu $ inclusa nel primo fattore di $ F _ {\ mu \ nu} $, con gli indici inferiori. Tuttavia, i componenti $ \ partial_ \ mu A_ \ nu $ appaiono anche in $ F ^ {\ mu \ nu} $, il secondo fattore della lagrangiana, quello con gli indici superiori. Se aggiungi i termini corrispondenti dalla regola di Leibniz, il risultato è semplicemente che l'intero contributo raddoppierà. Quindi la giusta equazione del moto, incluso il coefficiente naturale, sarà $$ 0 = \ partial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} $$ La normalizzazione complessiva è importante perché questa equazione può ottenere termini aggiuntivi, come la corrente, il cui coefficiente è ovvio, e non si desidera ottenere un errore relativo di due tra la derivata di $ F $ e l'attuale $ j $.

CheersLubos

Ehi, so che è in ritardo di 5 anni, ma forse vedrai questo: Perché $ \ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)} (\ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu}) = F ^ {\ mu \ nu} $.Il tensore non dipende anche dalle derivate parziali?Non dobbiamo quindi usare la regola del prodotto?
Ciao @user17574 - "quale" tensore non dipende dalle derivate parziali?Sicuramente il tensore energia-stress lo fa, e così fa la lagrangiana.Ecco perché la sua derivata rispetto alle derivate parziali è diversa da zero.La derivata viene calcolata nella risposta.La regola del prodotto funziona davvero ed è per questo che si annulla il fattore $ 1/2 $.Hai provato a leggere la risposta?
So che questa è una vecchia domanda, ma ho un dubbio.Dopo aver applicato la regola di Leibniz si ottiene: $$ \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu A_ \ nu)} = - \ frac {1} {2} \ left (\ partial_ \ mu A_ \ nu \ frac {\parziale F ^ {\ mu \ nu}} {\ partial (\ partial_ \ mu A_ \ nu)} + \ frac {\ partial_ \ mu A_ \ nu} {\ partial (\ partial_ \ mu A_ \ nu)} F ^{\ mu \ nu} \ right) $$ Come intendo differenziare $ F ^ {\ mu \ nu} $ sul primo termine dell'equazione?Non capisco come farlo mi darà $ F ^ {\ mu \ nu} $.
È necessario utilizzare una nuova coppia di indici invece di copiare mu-nu tre volte.Quindi $ \ partial F ^ {\ alpha \ beta} / \ partial (\ partial_ \ gamma A_ \ delta) = g ^ {\ alpha \ gamma} g ^ {\ beta \ delta} - \ alpha \ leftrightarrow \ beta $ semplicementeperché $ F $ è solo la differenza tra due termini simili (antisimmetrizzazione) e ogni termine ha la derivata che è fondamentalmente un delta di Kronecker - ma qui con gli indici rialzati (per diventare la metrica dell'indice superiore) a causa della posizione degli indicinell'espressione originale.
#4
+11
Frobenius
2017-06-07 12:44:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Anche se in ritardo nella festa, posto una risposta a livello elementare. Può darsi che questo dimostri la potenza del calcolo tensoriale usato in tutte le precedenti belle risposte.

Abstract

In questa risposta proveremo a derivare le equazioni di Maxwell nello spazio vuoto \ begin {align} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {E} & = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} \ tag {001a} \\ \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {B} & = \ mu_ {0} \ mathbf {j} + \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ partial \ mathbf { E}} {\ partial t} \ tag {001b} \\ \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {E} & = \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0}} \ tag {001c} \\ \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {B} & = 0 \ tag {001d} \ end {align} dalle equazioni di Eulero-Lagrange \ begin {equation} \Incorniciato{\: \ dfrac {\ partial} {\ partial t} \ left (\ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {\ eta} _ {\ jmath}} \ right) + \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ left [\ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ eta _ {\ jmath} \ right)} \ right] - \ frac {\ partial \ mathcal { L}} {\ partial \ eta _ {\ jmath}} = 0, \ quad \ left (\ jmath = 1,2,3,4 \ right) \:} \ tag {002} \ end {equation} dove \ begin {equation} \ mathcal {L} = \ mathcal {L} \ left (\ eta _ {\ jmath}, \ dot {\ eta} _ {\ jmath}, \ boldsymbol {\ nabla} \ eta _ {\ jmath} \ right) \ qquad \ sinistra (\ jmath = 1,2,3,4 \ destra) \ tag {003} \ end {equation} è la densità lagrangiana della domanda (tranne un fattore costante) \ begin {equation} \Incorniciato{\: \ mathcal {L} = \ dfrac {\ Vert \ mathbf {E} \ Vert ^ {2} -c ^ {2} \ Vert \ mathbf {B} \ Vert ^ {2}} {2} + \ dfrac {1 } {\ epsilon_ {0}} \ left (- \ rho \ phi + \ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A} \ right) \:} \ tag {004} \ end {equation} e $ \: \ eta _ {\ jmath} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, t \ right), \: \: \ jmath = 1,2,3,4 \: $ rispettivamente i componenti $ \: A_ {1}, \: A_ {2}, \: A_ {3}, \ phi \: $ del 4-vettore potenziale EM. In un certo senso, questa derivazione è costruita su quella inversa (: si tratta di trovare una densità lagrangiana appropriata dalle equazioni di Maxwell) spostandosi all'indietro, vedi la mia risposta qui: Deriving Lagrangian densità per campo elettromagnetico

1. Sezione principale

Per prima cosa esprimiamo $ \: \ mathbf {E}, \ mathbf {B} \: $ di (004) in termini di potenziali componenti a 4 vettori $ \: A_ {1}, \: A_ {2} , \: A_ {3}, \ phi \: $ \ begin {align} \ mathbf {B} & = \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ tag {005a} \\ \ mathbf {E} & = - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ dfrac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} = - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ mathbf {\ dot { UN}} \ tag {005b} \ end {align} Da (005) le equazioni di Maxwell (001a) e (001d) sono valide automaticamente. Quindi le quattro (4) equazioni scalari di Maxwell (001b) e (001c) devono essere derivate dalle quattro (4) equazioni scalari di Eulero-Lagrange (002). Inoltre, è ragionevole supporre che l'equazione vettoriale (001b) debba derivare da (002) rispetto alle componenti del potenziale vettoriale $ \: \ mathbf {A} = \ left (A_ {1}, \: A_ { 2}, \: A_ {3} \ right) \: $, mentre l'equazione scalare (001c) deve essere derivata da (002) rispetto al potenziale scalare $ \: \ phi \: $.

Dalle equazioni (005) esprimiamo la densità lagrangiana (004) in termini di potenziali componenti a 4 vettori $ \: A_ {1}, \: A_ {2}, \: A_ {3}, \ phi \ : $: \ begin {align} \ left \ Vert \ mathbf {E} \ right \ Vert ^ {2} & = \ left \ Vert - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ dfrac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} \ destra \ Vert ^ {2} = \ sinistra \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} +2 \ sinistra (\ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} \ right) \ tag {006a} \\ & \nessun numero\\ \ left \ Vert \ mathbf {B} \ right \ Vert ^ {2} & = \ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2} \ equiv \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ dfrac {\ partial \ mathbf {A }} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ tag {006b} \ end {align} La seconda equazione in (006b), ovvero l'identità \ begin {equation} \ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2} \ equiv \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ dfrac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol { \ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ tag {Id-01} \ end {equation} è dimostrato in 2. Sezione identità . Inserendo le espressioni (006) in (004) la densità lagrangiana è \ begin {equation} \ mathcal {L} = \ underbrace {\ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} + \ tfrac {1} {2} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} + \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}}} _ {\ tfrac {1} {2} \ sinistra \ Vert - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} \ right \ Vert ^ {2}} - \ tfrac {1} {2} c ^ {2 } \ underbrace {\ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right]} _ {\ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla } \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2}} + \ frac {1} {\ epsilon_ {0}} \ left (- \ rho \ phi + \ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A} \ right) \ tag {007} \ end {equation}

Riorganizziamo gli elementi in (007) come segue:

\ begin {align} \ mathcal {L} & = \ overbrace {\ tfrac {1} {2} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} - \ frac {\ rho \ phi} {\ epsilon_ {0}} + \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}}} ^ {\ mathcal {L} _ {\ phi} = \ text {rispetto a} \ phi} + \ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} + \ tfrac {1} {2} c ^ {2} \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] + \ frac {\ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A}} {\ epsilon_ {0}} \ tag {008a} \\ \ mathcal {L} & = \ tfrac {1} {2} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} - \ frac {\ rho \ phi} {\ epsilon_ {0}} + \ underbrace {\ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} + \ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} + \ tfrac {1} {2} c ^ {2} \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ destra] + \ frac {\ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A}} {\ epsilon_ {0}}} _ {\ mathcal {L} _ {\ mathbf {A}} = \ text { rispetto a} \ mathbf {A}} \ tag {008b} \ end {align}

La parte $ \: \ mathcal {L} _ {\ phi} \: $ della densità contiene tutti i termini $ \: \ phi $ e ragionevolmente parteciperà da sola alla derivazione dell'equazione di Maxwell (001c) da l'equazione di Eulero-Lagrange (002) rispetto a $ \: \ eta_ {4} = \ phi \: $. La parte $ \: \ mathcal {L} _ {\ mathbf {A}} \: $ della densità contiene tutti i termini $ \: \ mathbf {A} $ e ragionevolmente parteciperà da sola alla derivazione dell'equazione di Maxwell ( 001b) dalle equazioni di Eulero-Lagrange (002) rispetto a $ \: \ eta_ {1}, \ eta_ {2}, \ eta_ {3} = A_ {1}, A_ {1}, A_ {3} \ : $. Nota il termine comune $ \: \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} \: $ delle parti $ \: \ mathcal {L} _ {\ phi}, \ mathcal {L} _ {\ mathbf {A}} \: $.

L'equazione di Eulero-Lagrange rispetto a $ \: \ eta_ {4} = \ phi \: $ è: \ begin {equation} \ dfrac {\ partial} {\ partial t} \ overbrace {\ left (\ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {\ phi}} \ right)} ^ {0} + \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ overbrace {\ left [\ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ right)} \ right]} ^ {\ boldsymbol {\ nabla} \ phi + \ mathbf {\ dot {A}}} - \ overbrace {\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ phi}} ^ {- \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0 }}} = 0 \ tag {009} \ end {equation} o \ begin {equation} \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ underbrace {\ left (- \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} \ right)} _ {\ mathbf {E }} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0}} \ tag {010} \ end {equation} questa è l'equazione di Maxwell (001c) \ begin {equation} \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0}} \ tag {001c} \ end {equation}

Per derivare l'equazione di Maxwell (001b) la esprimiamo con l'aiuto delle equazioni (005) in termini di potenziali componenti a 4 vettori $ \: A_ {1}, \: A_ {2}, \: A_ {3}, \ phi \: $: \ begin {equation} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right) = \ mu_ {0} \ mathbf {j} + \ frac { 1} {c ^ {2}} \ frac {\ partial} {\ partial t} \ left (- \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} \ destra) \ tag {011} \ end {equation} Usare l'identità \ begin {equation} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right) = \ boldsymbol {\ nabla} \ left (\ nabla \ boldsymbol { \ cdot} \ mathbf {A} \ right) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} \ tag {012} \ end {equation} eq. (011) restituisce \ begin {equation} \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} + \ boldsymbol {\ nabla} \ left (\ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A} + \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t} \ right) = \ mu_ {0} \ mathbf {j} \ tag {013} \ end {equation} Il $ \: k $ -componente dell'eq. (013) è espresso correttamente per assomigliare a un'equazione di Eulero-Lagrange come segue: \ begin {equation} \ dfrac {\ partial} {\ partial t} \ left (\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {k}} {\ partial t} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k} } \ right) + \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ left [c ^ {2} \ left (\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} - \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right) \ right] - \ frac {\ mathrm {j} _ {k}} {\ epsilon_ {0}} = 0 \ tag {014} \ end {equation} È sufficiente raggiungere l'eq. (014) dall'equazione di Eulero-Lagrange (002) rispetto a $ \: \ eta_ {k} = A_ {k}, \: \: k = 1,2,3 \: $:

\ begin {equation} \ dfrac {\ partial} {\ partial t} \ left (\ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {A} _ {k}} \ right) + \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ left [\ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} A_ {k} \ right)} \ right] - \ frac {\ partial \ mathcal {L}} { \ partial A_ {k}} = 0 \ tag {015} \ end {equation}

Adesso \ begin {equation} \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {A} _ {k}} = \ dfrac {\ partial} {\ partial \ dot {A} _ {k}} \ left (\ boldsymbol { \ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} + \ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} \ right) = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {k}} + \ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {k}} {\ partial t} \ tag {016a} \ end {equation}

\ begin {equation} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial A_ {k}} = \ frac {\ partial} {\ partial A_ {k}} \ left (\ frac {\ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot } \ mathbf {A}} {\ epsilon_ {0}} \ right) = \ frac {\ mathrm {j} _ {k}} {\ epsilon_ {0}} \ tag {016b} \ end {equation} e \ begin {equation} \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} A_ {k} \ right)} = \ dfrac {\ partial} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} A_ {k} \ right)} \ left (\ tfrac {1} {2} c ^ {2} \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ frac {\ partial \ mathbf {A }} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] \ right) = c ^ {2} \ left (\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} - \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A } _ {k} \ destra) \ tag {016c} \ end {equation} L'ultima equazione in (016c) è valida a causa dell'identità (Id-02) dimostrata in 2. Sezione Identità : \ begin {equation} \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} { \ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right)} = \ dfrac {\ partial} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ { k} \ right)} \ left (\ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot } \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] \ right) = 2 \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ right) \ tag {Id-02} \ end {equation} Usando le espressioni delle equazioni (016) l'equazione di Eulero-Lagrange (015) fornisce (014) e quindi l'equazione di Maxwell (001b).

2. Sezione identità

Se $ \: \ mathbf {A} = \ left (\ mathrm {A} _ {1}, \ mathrm {A} _ {2}, \ mathrm {A} _ {3} \ right) \: $ è un funzione vettoriale delle coordinate cartesiane $ \: \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) \: $ then \ begin {equation} \ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2} \ equiv \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ dfrac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol { \ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ tag {Id-01} \ end {equation} e
\ begin {equation} \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} { \ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right)} = \ dfrac {\ partial} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ { k} \ right)} \ left (\ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot } \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] \ right) = 2 \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ right) \ tag {Id-02} \ end {equation} dove la derivata funzionale del lato sinistro è definita come \ begin {equation} \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} { \ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right)} \ equiv \ left [\ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla } \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} {\ partial \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {k}} { \ partial x_ {1}} \ right)}, \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} {\ partial \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {k}} {\ partial x_ {2}} \ right)}, \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} {\ partial \ left ( \ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {k}} {\ partial x_ {3}} \ right)} \ right] \ tag {Id-03} \ end {equation} Prova dell'equazione (Id-01): \ begin {eqnarray *} && \ left | \! \ Left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} = \ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2} } - \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} - \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} - \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} \\ % ---------------------------------------- & = & \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ parziale x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] + \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ sinistra (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] + \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} \ right] \\ % ---------------------------------------- &&-2 \ left [\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} + \ frac {\ partial A_ { 2}} {\ partial x_ {3}} \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} + \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} \ right] \\ % ---------------------------------------- & = & \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ parziale x_ {2}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] + \ left [\ sinistra (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {2}} \ destra) ^ {2} + \ sinistra (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] \\ % ---------------------------------------- && + \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] - \ left [\ left ( \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] \\ % ---------------------------------------- &&-2 \ left [\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} + \ frac {\ partial A_ { 2}} {\ partial x_ {3}} \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} + \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} \ right] \\ % ---------------------------------------- & = & \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {2} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {3} \ Vert ^ {2} - \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {1}} \ frac {\ parziale A_ {1}} {\ partial x_ {1}} + \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2} } + \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} \ right) \\ % ---------------------------------------- &&- \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} + \ frac {\ partial A_ {2 }} {\ partial x_ {2}} \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {2}} + \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} \ frac { \ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}} \ right) - \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} + \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}} \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} + \ frac {\ parziale A_ {3}} {\ partial x_ {3}} \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {3}} \ right) \\ % ---------------------------------------- & = & \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {2} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {3} \ Vert ^ {2} - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {1}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {2}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm { A} _ {2} - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {3}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {3} \\ % ---------------------------------------- & = & \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ end {eqnarray *} Prova dell'equazione (Id-02): Dall'equazione \ begin {eqnarray *} && \ left | \! \ Left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} = \ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2} } - \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} - \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} - \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} \\ % ---------------------------------------- & = & \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {1}} {\ parziale x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] + \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ sinistra (\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}} \ right) ^ {2} \ right] + \ left [\ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ right) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} \ right) ^ {2} \ right] \\ % ---------------------------------------- &&-2 \ left [\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}} \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}} + \ frac {\ partial A_ { 2}} {\ partial x_ {3}} \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}} + \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}} \ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}} \ right] \ end {eqnarray *} noi abbiamo \ begin {eqnarray *} \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} { \ partial \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {1}} {\ partial x_ {1}} \ right)} & = & 0 = 2 \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A } _ {1}} {\ partial x_ {1}} - \ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {1}} {\ partial x_ {1}} \ right) \\ \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} { \ partial \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {1}} {\ partial x_ {2}} \ right)} & = & 2 \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {1}} {\ partial x_ {2}} - \ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {2}} {\ partial x_ {1}} \ right) \\ \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} { \ partial \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {1}} {\ partial x_ {3}} \ right)} & = & 2 \ left (\ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {1}} {\ partial x_ {3}} - \ dfrac {\ partial \ mathrm {A} _ {3}} {\ partial x_ {1}} \ right) \ end {eqnarray *} Così \ begin {equation *} \ dfrac {\ partial \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} {\ partial \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} \ right)} = 2 \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} - \ frac {\ partial\ mathbf {A}} {\ partial x_ {1}} \ right) \ end {equation *} dimostrando l'equazione (Id-02) per $ \: k = 1 \: $ e similmente per le altre due componenti $ \: k = 2,3 $.

#5
+8
Eric Angle
2014-01-03 07:43:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Un metodo consiste nel variare l'azione di Maxwell (impostare $ J ^ \ mu = 0 $ se lo si desidera, per il caso senza sorgente) $$ S = \ int d ^ 4 x {\ mathcal {L}} = - \ int d ^ 4 x \ left (\ frac {1} {4} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} + J ^ \ mu A_ \ mu \ right). $$ Prima nota che $$ \ begin {align} \ delta \ left (F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} \ right) & = 2 F ^ {\ mu \ nu} \ delta F _ {\ mu \ nu} \\ & = 2 F ^ {\ mu \ nu} \ sinistra (\ partial_ \ mu \ delta A_ \ nu - \ partial_ \ nu \ delta A_ \ mu \ right) \\ & = 4 F ^ {\ mu \ nu } \ partial_ \ mu \ delta A_ \ nu \\ & = 4 \ left [\ partial_ \ mu \ left (F ^ {\ mu \ nu} \ delta A_ \ nu \ right) - \ partial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} \ delta A_ \ nu \ right], \ end {align} $$ dove abbiamo usato il fatto che $ F $ è antisimmetrico.

Notate anche che $ \ partial_ \ mu \ left (F ^ {\ mu \ nu} \ delta A_ \ nu \ right) $ term svanirà dopo averlo convertito in un integrale di superficie, usando l'argomento standard che $ \ delta A_ \ mu $ svanisce al confine di integrazione.

Usando quanto sopra, la variazione dell'azione è $$ \ delta S = - \ int d ^ 4x \ \ delta A_ \ nu \ left (- \ p artial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} + J ^ \ nu \ right), $$ che, poiché $ \ delta A_ \ nu $ è arbitrario, restituisce il risultato desiderato $$ \ partial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} = J ^ \ nu. $$

Invece di assumere $ \ delta A_ \ mu $ che svanisce al confine, si può assumere $ F ^ {\ mu \ nu} $ al confine.È sbagliato?Vedi una domanda correlata qui https://physics.stackexchange.com/questions/438277/is-it-enough-to-assume-f-mu-nu-to-0-at-infinity-but-not-a-mu-per-derivare-t @EricAngle


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
Loading...