Domanda:
Perché questi due modi di intendere l'accelerazione costante danno risultati diversi?
Priyank
2019-10-08 09:32:17 UTC
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Ho una domanda relativa al concetto di accelerazione e alla sua formula: entrambi sembrano darmi risposte diverse.

Mi è stato chiesto:

Un treno si sta muovendo a una velocità di $ 20 \ \ mathrm {m / s} $ . Colpisce le interruzioni e inizia a rallentare al ritmo di $ 8 \ \ mathrm {m / s ^ 2} $ . Quanto tempo impiega prima di fermarsi?

  • $ a = -8 \ \ mathrm {m / s ^ 2} $
  • $ u = 20 \ \ mathrm {m / s} $
  • $ v = 0 $

  • $ s =? $ (viene chiesto lo spostamento)

Secondo la formula di $ s = \ frac {(v ^ 2-u ^ 2)} {2a} $ , la risposta che ho ottenuto è stata di 25 metri.

BUT!

Il mio concetto di accelerazione mi spiega questo:

enter image description here

Secondo la mia intuizione di accelerazione e velocità, quando si dice che un oggetto sta accelerando a $ - 8 \ \ mathrm {m / s ^ 2} $ , significa che con ogni secondo che passa, la sua velocità ridurrà $ 8 \ \ mathrm {m / s} $ . Quindi,

  • Al primo secondo - Velocità = $ 20 \ \ mathrm {m / s} $ - Percorrerà 20 metri.
  • Al 2 ° secondo - $ v = 20 \ \ mathrm {m / s} -8 \ \ mathrm {m / s} = 12 \ \ mathrm {m / s} $ - Il treno viaggia per 12 metri
  • In terza viaggia per 4 metri.

  • Al 4 °, si ferma.

Quindi il totale è 20 + 12 + 4 = 36 metri. Percorre 36 metri prima della fermata.

Dove sto sbagliando nella mia comprensione concettuale, davvero non capisco!

Cinque risposte:
#1
+60
BioPhysicist
2019-10-08 09:38:41 UTC
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Il tuo errore è presumere che entro questi intervalli di un secondo la velocità sia costante. La velocità in funzione del tempo $ v (t) $ per il movimento in accelerazione costante $ a $ è data da $$ v (t) = at + v_0 $$ dove $ v_0 $ è la velocità a $ t = 0 $ .

Quindi hai ragione che $ v (0) = 20 \, \ mathrm {m / s} $ , $ v (1) = 12 \, \ mathrm {m / s} $ e $ v (2) = 4 \, \ mathrm {m / s} $ . Ma, ad esempio, abbiamo $ v (1.5) = 8 \, \ mathrm {m / s} $ e così via per qualsiasi valore di $ t $ fino a quando non si ferma. La velocità diminuisce continuamente. Non sta diminuendo nel modo graduale che proponi.

In realtà sei sulla strada giusta. Se volessi portare il tuo approccio all'estremo corretto, spezzeremmo il nostro tempo, non in $ 1 \, \ mathrm s $ intervalli, ma in intervalli di tempo molto piccoli $ \ text dt $ in modo che la velocità possa essere considerata costante. Quindi possiamo sommare tutte le modifiche alla posizione $ \ text d x = v \, \ text dt $ . È qui che il calcolo diventa utile e otteniamo un'equazione che probabilmente conosci $$ \ Delta x = \ int_ {x_0} ^ x \ text dx = \ int_0 ^ tv (\ tau) \, \ text d \ tau = \ frac12at ^ 2 + v_0t $ $

Combinando questo con la nostra espressione per $ v (t) $ per eliminare $ t $ ci dà l'espressione che dai il tuo primo metodo corretto.

Se OP sa come programmare, un bel modo per dimostrarlo sarebbe provare come cambia il valore totale se passiamo da passi temporali di 1 secondo a 0,000001 secondi.
OP in realtà sta facendo qualcosa che sta iniziando a sembrare un [Riemann Sum] (https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum), che, come dice @JiK, converge all'integrale quando il passo temporale si riduce a zero.
In pratica, quando gli intervalli diventano veramente piccoli e il numero di intervalli molto grande, in un programma per computer che utilizza numeri in virgola mobile l'errore di arrotondamento diventerà maggiore dell'errore di troncamento.
#2
+46
Farcher
2019-10-08 12:18:55 UTC
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Penso che un buon modo per evidenziare l'errore nella tua risposta "concetto di accelerazione" sia disegnare una velocità rispetto al grafico del tempo e ricordare che l'area sotto tale grafico è lo spostamento.

enter image description here

Vedrai che nel primo secondo la velocità sta cambiando e per ottenere lo spostamento devi usare la velocità average durante quell'intervallo di tempo che è l'equazione cinematica dell'accelerazione costante $ s = \ left (\ dfrac {v + u} {2} \ right) \, t $ .


Se si assume una velocità costante durante un dato intervallo di tempo e quindi si scende alla velocità costante successiva durante il successivo intervallo di tempo, si ottiene la seguente serie di grafici.

enter image description here

Il risultato è che all'aumentare del numero di intervalli di velocità costante la distanza calcolata percorsa (area sotto il grafico) si avvicina a $ 25 \, \ rm m $ .

Infatti se il numero di intervalli $ N $ è even l'area sotto il grafico è $ 1,25 \ left (20 + \ dfrac 2 N \ right) \ rm m $ e man mano che $ N $ diventa sempre più grande il termine $ \ dfrac 2 N $ diventa sempre più piccolo se confrontato con $ 20 $ in modo che nel limite di $ N $ tendendo all'infinito l'area sotto il grafico tende a $ 1,25 \ times 20 = 25 \, \ rm m $ .

#3
+11
Alfred
2019-10-08 10:13:35 UTC
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Aaron Stevens ha ragione, ma forse posso chiarire la sua spiegazione.

Considera il primo secondo. All'inizio la velocità è infatti di 20 m / s, e alla fine è di 12 m / s, come hai scritto correttamente. Ma quale distanza è stata percorsa durante questo primo secondo?

Poiché l'accelerazione era costante, la velocità mean era la media, (20 + 12) / 2 m / s, ovvero 16 m / s. Quindi la distanza percorsa durante il primo secondo era di 16 metri.

Puoi prendere solo la media tra l'inizio e la fine di quel primo secondo perché le accelerazioni sono constant. Se l'accelerazione non fosse stata costante il problema sarebbe stato diverso, più complicato, bisognerebbe descrivere con precisione come varia l'accelerazione nel tempo. Ma questo è un problema semplice, un'accelerazione costante e devi solo prendere la media della velocità all'inizio e alla fine di ogni secondo.

Anche nel secondo successivo la velocità media era (12 + 4) / 2 m / s = 8 m / se la distanza percorsa era di 8 metri.

Ora considera il terzo secondo. All'inizio, la velocità è di 4 m / s. Ci vorrà solo 1/2 secondo affinché la velocità raggiunga 0, a quel punto il treno si ferma definitivamente. Non continua ad accelerare, né ad accelerare nella direzione opposta. Sarebbe un problema diverso, portando a una soluzione diversa. In questo caso è detto chiaramente che quando il treno si ferma, il problema finisce. Quindi non c'è un terzo secondo completo, il processo si ferma alla fine dopo un totale di 2 e 1/2 secondo.

Considera questo ultimo mezzo secondo. All'inizio la velocità è di 4 m / s, e alla fine è zero. Quindi la media è di 2 m / s. Poiché la durata del movimento è di appena 1/2 secondo, la distanza percorsa durante quest'ultima parte del movimento è di appena 1 metro. Quindi 16 metri per il primo secondo, 8 metri per il successivo e 1 metro per l'ultima parte si sommano al risultato corretto di 25 metri.

Esiste un modo più rapido per ottenere lo stesso risultato.

Per quanto tempo continua a muoversi il treno? All'inizio la velocità è di 20 m / s e l'accelerazione è di -8 m / s ^ 2, quindi ci vogliono 20/8 = 2,5 secondi per fermarsi (proprio quello che abbiamo ottenuto sopra, andando passo dopo passo, un secondo più un altro più la metà del terzo).

Qual è la velocità media? All'inizio 20 m / se zero alla fine, quindi in media 10 m / s.

Quindi velocità media 10 m / s per 2,5 secondi, distanza coperta 25 metri.

Per rendere più chiara la nozione di velocità media, su richiesta dell'OP, fornirò maggiori dettagli. Questi dettagli sono stati forniti per la prima volta nei commenti. Li ho spostati più avanti in questo post su suggerimento di Aaron Stevens.

Considera il primo secondo. L'accelerazione è costante, -8m: s ^ 2, quindi la velocità diminuisce progressivamente da 20 a 12 metri al secondo. Nel tuo ragionamento originale hai assunto che il treno viaggiasse per 20 metri. Ma per questo la velocità avrebbe dovuto essere di 20 m / s durante l'intero secondo e scendere a 12 alla fine, il che non è il caso. La velocità diminuisce progressivamente da 20 m / sa 12 m / s. Se la diminuzione della velocità, cioè l'accelerazione (negativa), fosse stata qualsiasi cosa ma costante, il valore esatto della distanza percorsa sarebbe stato difficile da calcolare.

Ma lì la velocità diminuisce a un ritmo costante. Considera il primo e l'ultimo millisecondo. Durante il primo la velocità è praticamente di 20 m / s, durante l'ultimo ha praticamente raggiunto la velocità finale di 12 m / s. La distanza percorsa durante questi due millisecondi è un millesimo di (20 + 12) = 32 metri. Ora prendi un millisecondo di tempo T (meno di mezzo secondo) dopo l'inizio. La velocità è 20-8T perché l'accelerazione è -8m / s ^ 2.

Considera il millisecondo che precede la fine del primo secondo di T. La velocità è 12 + 8T poiché raggiungerà 12 dopo l'intervallo T con un'accelerazione di -8m / s ^ 2. Quindi la distanza percorsa durante quei due millisecondi sarà (20-8T + 12 + 8T) = 32 millesimi di metro. Quindi questa è la distanza percorsa su ogni coppia di millisecondi posizionata simmetricamente entro il primo secondo.

Sommali, ricordando che quando T raggiunge mezzo secondo hai già coperto tutto il primo secondo perché stai contando i millisecondi nel primo mezzo secondo e quelli nella seconda insieme, ottieni 500 per 32 migliaia di a secondo quindi 16 metri. È come se avessi percorso il primo secondo con una velocità media compresa tra 20 e 12 m / s. Questo only funziona perché l'accelerazione è constant.

Avresti potuto ugualmente iniziare calcolando la durata del processo, 20 m / s diviso per il valore assoluto -8 m ^ / s ^ 2 dell'accelerazione negativa mostra che i treni si fermano dopo 2,5 secondi. Quindi si consideri il primissimo millisecondo a 20m / se l'ultimo a velocità estremamente bassa, la distanza percorsa un millesimo di (20 + 0) metri e i millisecondi accoppiati al tempo T dopo l'inizio, velocità 20-8T e T prima del fine, velocità 8T, quindi 20 millesimi di 20 metri per ogni coppia. Ma ora T si estende fino alla metà dell'intera durata del processo, quindi la metà di 2,5 secondi. Sempre la somma delle velocità degli estremi, moltiplicata per metà della durata o, equivalentemente, per l'intera durata per la MEDIA della velocità iniziale e finale dell'intervallo di tempo. Ma ancora una volta SOLO IN CASO DI ACCELERAZIONE COSTANTE altrimenti non funziona. -

In realtà non capisco il motivo che sta dietro alla velocità media.
Potresti spiegare in modo un po 'elaborato, se possibile?
Sebbene corretta, non sono sicuro che questa risposta sia così istruttiva.Se OP capisce perché si ottiene il valore esatto prendendo la velocità media su ogni intervallo di tempo, capirà anche che è possibile ottenere il valore esatto facendo la media della velocità sull'intera decelerazione.Ma la domanda originale è perché prendere la formula differisce dall'idea di OP di cosa sia l'accelerazione.
@JiK Spiegare all'OP perché la sua idea originale di accelerazione era sbagliata è solo il motivo per cui l'ho dimostrato prima secondo per secondo.Ho cercato di essere pedagogico, ma temo di non esserci riuscito davvero ....
Benvenuto!Si prega di considerare l'utilizzo di questa funzione [modifica] per includere i miglioramenti suggeriti in questi commenti nella risposta.In questa comunità, i commenti sono progettati per essere temporanei e potrebbero scomparire in seguito.
Attenzione: la parola "decelerazione" può creare confusione, soprattutto per i principianti.È un'accelerazione negativa o no?Il suo utilizzo può essere evitato e io consiglierei di evitarlo.
Ho cambiato "decelerazione" in "accelerazione" (con un segno meno, -8m / s ^ 2) nella risposta stessa, ma non riesco a trovare come cambiarla nei commenti
@garyp Cosa posso fare per i commenti?Raggruppali in una nuova risposta (nel qual caso, ovviamente cambierò tutte le "decelerazioni" con "accelerazioni a -8m / s ^ 2") Ma due risposte della stessa persona, sono accettabili?
Hai alcune opzioni.Puoi modificare il tuo post originale.Se un commentatore fa un buon punto, modifico il mio post originale e aggiungo qualcosa alla fine intitolato "Modifica dopo commento".Se vuoi apportare piccole modifiche al tuo OP (post originale) puoi semplicemente apportarle.I commenti non possono essere modificati, ma possono essere eliminati se lo si desidera.L'eliminazione di un commento a volte interrompe il thread dei commenti, ma a volte lasciare un commento non è appropriato.Non credo di aver mai visto due risposte dalla stessa persona.Non so se c'è qualche controllo per impedirlo.
"Accelerazione negativa" va bene fintanto che si specifica la direzione della velocità.Il modo in cui aggiro tutto questo è usare le parole "accelerare" e "rallentare".Se c'è un modo migliore, sto ascoltando!:-) Penso che la tua modifica sia corretta perché è chiaro cosa intendi.Il problema con la parola "decellerare" è leggermente diverso: non ho mai visto quella parola definita in un contesto fisico, quindi la evito completamente.E in pratica lo vedo usato raramente.
#4
  0
user8412585
2019-10-09 22:59:03 UTC
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Fraintendi il fatto che la velocità non sia la stessa ogni secondo. Voglio dire, la velocità cambia in un lasso di tempo molto piccolo, molto più piccolo di un secondo.

il tuo ragionamento implicherebbe che la velocità rimanga la stessa per la durata di un secondo, il che non è il caso.

Considererò che non capisci il calcolo, ma non è un problema, impari sempre!

supponi che un corpo si muova con velocità u accelerazione a per tempo t

abbiamo v = u + in

possiamo vedere che l'accelerazione agisce e cambia la velocità. non ogni secondo, ma in ogni istante! questo è particolarmente affascinante! (imho)

per un piccolissimo cambiamento nel tempo (dt) possiamo considerare la velocità costante. questa velocità cambia ad ogni intervallo. questo dobbiamo integrarlo (per aggiungere tutte le aree sotto la curva v-t) per trovare displacemt

il tempo potrebbe anche essere frazionario, ma l'accelerazione è misurata in m / s / s questo viene fatto per mantenere tutto nelle unità preferite.

Personalmente adoro il video di 3b1b. puoi ottenere un'intuizione molto migliore guardando i video di 3blue1brown sul calcolo. link: https://www.youtube.com/watch?v=rfG8ce4nNh0&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&index=8

#5
-3
Yuvraj
2019-10-10 09:13:12 UTC
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La tua risposta è sbagliata perché la tua supposizione è sbagliata, perché

Assumi che la velocità del treno sia costante durante quel particolare intervallo di tempo di 1 secondo, è molto difficile accelerare esattamente in una frazione di secondo.. Puoi capirlo dal diagramma della retta con pendenza negativa.

Per ottenere il valore di displacement dovresti scrivere $ a = vdv / ds $ .E integralo entro i limiti della velocità.

Piuttosto che cancellare ripetutamente le tue vecchie risposte e pubblicarne di nuove, è meglio modificare la tua risposta originale.Tieni presente che le risposte eliminate e sottoposte a downvoting vengono conteggiate negativamente contro di te rispetto a un divieto di risposta automatico.
Non ne sono a conoscenza, grazie @chris
Questa risposta non sembra aggiungere nulla che le altre risposte non discutano già in modo molto più dettagliato.Non voglio sottovalutare ogni risposta che lasci su questa domanda ... ma suggerisco davvero di leggere attentamente altre risposte prima di fornire la tua per assicurarti che non stai solo ripetendo qualcuno con meno spiegazioni.
In precedenza avevo spiegato a lungo che la velocità non era costante su ogni secondo, contrariamente al primo approccio dell'OP.Ho calcolato lo spostamento.La tua risposta non ha aggiunto nulla di nuovo e ha aggiunto alla confusione.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 4.0 con cui è distribuito.
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