Entrambi i valori vengono calcolati come media ponderata per la posizione. Per il centro di massa calcoliamo la media della massa in questo modo, mentre per il centro di gravità calcoliamo la media dell ' effetto della gravità sul corpo (cioè il peso).

\ begin {align} x_ \ text {com} & = \ dfrac {\ int x \, \ rho (x) \, \ mathrm {d} x} {\ int \ rho (x) \, \ mathrm {d} x} \\\\ x_ \ text {cog} & = \ frac {\ int x \, \ rho (x) \, g (x) \, \ mathrm {d} x} {\ int \ rho (x) \, g (x) \, \ mathrm {d} x} \ end {align}

Ora, nella solita convenzione di Fisica 101 "vicino alla superficie della Terra" $ g (x) $ è costante quindi questi due sono equivalenti. Tuttavia, se il corpo è abbastanza grande da dover tenere conto del cambiamento della forza o del cambiamento della direzione della gravità, allora non sono più la stessa cosa.

Come un rapido riassunto delle definizioni dei termini per profani che probabilmente hai sentito: il Centro di massa (CM) rappresenta un singolo punto in cui potresti trattare l'oggetto come una particella puntiforme, con la massa combinata dell'oggetto. Viene trovato dalla posizione media della massa di un oggetto. Il centro di gravità (CG) è un punto che rappresenta l'attrazione media di gravità su un oggetto.

Vicino a la superficie della Terra, potrebbe non essere ovvio per te perché queste sono descrizioni separate. Probabilmente hai ormai imparato che il peso, o attrazione di gravità, su un oggetto è dato da $ F_g = mg $ dove $ F_g $ è il peso, o attrazione di gravità, dell'oggetto, $ m $ è la massa dell'oggetto e $ g $ è l'accelerazione dovuta alla gravità in quella posizione. Probabilmente ti è stato anche detto che $ g = 9.8 ~ \ mathrm {m / s ^ 2} $ e che su questo su un dato pianeta, è una costante ...

... tranne che è non. La forza gravitazionale tra due oggetti dipende dalla distanza tra due oggetti ed è in realtà una relazione quadrata inversa, il che significa che $ F_g \ propto \ frac {1} {d ^ 2} $. Man mano che si aumenta l'altitudine, l'accelerazione dovuta alla gravità, $ g $, diminuisce perché ci si allontana dal centro della Terra. Tuttavia, qui sul pianeta Terra, i cambiamenti di altezza nell'ordine di grandezza dei metri sono molto piccoli rispetto al raggio della terra. Tuttavia, per oggetti di grandi dimensioni, la dimensione dell'oggetto stesso non è trascurabile rispetto alla distanza esterna tra esso e la Terra.

Considera la Sears Tower. Il suo baricentro è di circa 1 millimetro sotto il suo CM. Il motivo è perché la base della torre è più vicina al centro della Terra rispetto alla parte superiore della torre (di 442 m), e quindi riceve una forza di gravità leggermente superiore rispetto alla parte superiore della torre. Di conseguenza, il baricentro è più vicino al suolo rispetto al CM, perché la parte della torre sotto il CM viene trascinata dalla gravità (leggermente) più forte della parte della torre sopra il CM.

Il centro di massa è il punto medio della "massa" del corpo, mentre il centro di gravità è il punto medio del "peso", cioè la massa moltiplicata per l'accelerazione gravitazionale locale. Per oggetti piccoli entrambi sono quasi uguali, ma per oggetti grandi poiché il valore dell'accelerazione gravitazionale può cambiare lungo il corpo (poiché l'accelerazione gravitazionale diminuisce quanto più un oggetto è lontano da un pianeta), il centro di gravità può essere diverso da il centro di massa!

Nella nostra Luna, il centro di gravità non è lo stesso del centro di massa. Il risultato è che la Terra vede sempre lo stesso lato della luna. Questo perché la gravità tira al centro di gravità, ma l'orbita è determinata dal centro di massa.

Il centro di massa determina la cinematica: come un oggetto ruoterà, ruoterà, ruoterà e orbiterà.

Se la luna fosse simmetrica, questi punti sarebbero gli stessi.