La distinzione principale che vuoi fare è tra la funzione Green e il kernel. (Preferisco la terminologia "funzione verde" senza la s. Immagina un nome diverso, diciamo, Feynman. La gente direbbe sicuramente la funzione di Feynman, non la funzione di Feynman. Ma sto divagando ...)

Inizia con un operatore differenziale, chiamalo $ L $. Ad esempio, nel caso dell'equazione di Laplace, $ L $ è il laplaciano $ L = \ nabla ^ 2 $. Allora, la funzione Green di $ L $ è la soluzione dell'equazione differenziale disomogenea $$ L_x G (x, x ^ \ prime) = \ delta (x - x ^ \ prime) \,. $$ Parleremo di le sue condizioni al contorno in seguito. Il kernel è una soluzione dell'equazione omogenea $$ L_x K (x, x ^ \ prime) = 0 \ ,, $$ soggetta a una condizione al contorno di Dirichlet $ \ lim_ {x \ rightarrow x ^ \ prime} K (x, x ^ \ prime) = \ delta (xx ^ \ prime) $, o condizione al contorno di Neumann $ \ lim_ {x \ rightarrow x ^ \ prime} \ partial K (x, x ^ \ prime) = \ delta (xx ^ \ prime) $.

Quindi, come li usiamo? La funzione Green risolve equazioni differenziali lineari con termini guida. $ L_x u (x) = \ rho (x) $ è risolto da $$ u (x) = \ int G (x, x ^ \ prime) \ rho (x ^ \ prime) dx ^ \ prime \,. $ $ Qualunque condizione al contorno noi cosa imporre alla soluzione $ u $ specifichiamo le condizioni al contorno che imponiamo a $ G $. Ad esempio, una funzione verde ritardata propaga l'influenza strettamente in avanti nel tempo, in modo che $ G (x, x ^ \ prime) = 0 $ ogni volta che $ x ^ 0 < x ^ {\ prime \, 0 } $. (Lo 0 qui indica la coordinata del tempo.) Si userebbe questo se la condizione al contorno su $ u $ fosse che $ u (x) = 0 $ nel passato, prima che il termine sorgente $ \ rho $ "si attivasse".

Il kernel risolve i problemi dei valori limite. Supponiamo di risolvere l'equazione $ L_x u (x) = 0 $ su una varietà $ M $ e di specificare $ u $ sul confine $ \ M $ parziale come $ v $. Quindi, $$ u (x) = \ int _ {\ partial M} K (x, x ^ \ prime) v (x ^ \ prime) dx ^ \ prime \,. $$ In questo caso, stiamo usando il kernel con condizioni al contorno di Dirichlet.

Ad esempio, il kernel di calore è il kernel dell'equazione del calore, in cui $$ L = \ frac {\ partial} {\ partial t} - \ nabla_ {R ^ d} ^ 2 \,. $$ Possiamo vedere che $$ K (x, t; x ^ \ prime, t ^ \ prime) = \ frac {1} {[4 \ pi (tt ^ \ prime)] ^ {d / 2}} \, e ^ {- | xx ^ \ prime | ^ 2/4 (tt ^ \ prime)}, $ $ risolve $ L_ {x, t} K (x, t; x ^ \ prime, t ^ \ prime) = 0 $ e inoltre soddisfa $$ \ lim_ {t \ rightarrow t ^ \ prime} \, K (x, t; x ^ \ prime, t ^ \ prime) = \ delta ^ {(d)} (xx ^ \ prime) \,. $$ (Dobbiamo stare attenti a considerare solo $ t > t ^ \ prime $ e quindi prendi anche un limite direzionale.) Supponiamo che ti venga data una forma $ v (x) $ al tempo $ 0 $ e che tu voglia "sciogliere" secondo l'equazione del calore. Successivamente, questa forma è diventata $$ u (x, t) = \ int_ {R ^ d} K (x, t; x ^ \ prime, 0) v (x ^ \ prime) d ^ dx ^ \ prime \,. $$ Quindi, in questo caso, il limite era l'intervallo di tempo a $ t ^ \ prime = 0 $.

Ora per il resto. Propagator è talvolta usato per indicare la funzione Green, a volte usato per indicare il kernel. Il propagatore di Klein-Gordon è una funzione verde, perché soddisfa $ L_x D (x, x ^ \ prime) = \ delta (x-x ^ \ prime) $ per $ L_x = \ partial_x ^ 2 + m ^ 2 $. Le condizioni al contorno specificano la differenza tra i propagatori ritardati, avanzati e Feynman. (Vedi? Non il propagatore di Feynman) Nel caso di un campo di Klein-Gordon, il propagatore ritardato è definito come $$ D_R (x, x ^ \ prime) = \ Theta (x ^ 0 - x ^ {\ prime \, 0 }) \, \ langle0 | \ varphi (x) \ varphi (x ^ \ prime) | 0 \ rangle \, $$ dove $ \ Theta (x) = 1 $ per $ x > 0 $ e $ = 0 $ altrimenti. La funzione Wightman è definita come $$ W (x, x ^ \ prime) = \ langle0 | \ varphi (x) \ varphi (x ^ \ prime) | 0 \ rangle \ ,, $$ i.e. senza il vincolo di ordinamento temporale. Ma indovina un po? Risolve $ L_x W (x, x ^ \ prime) = 0 $. È un kernel. La differenza è che $ \ Theta $ in primo piano, che diventa un $ Dirac \ delta $ dopo aver preso una derivata una tantum. Se si utilizza il kernel con le condizioni al contorno di Neumann su un limite di intervallo di tempo, la relazione $$ G_R (x, x ^ \ prime) = \ Theta (x ^ 0 - x ^ {\ prime \, 0}) K (x , x ^ \ prime) $$ è generale.

Nella meccanica quantistica, l'operatore di evoluzione $$ U (x, t; x ^ \ prime, t ^ \ prime) = \ langle x | e ^ {- i (t-t ^ \ prime) \ hat {H}} | x ^ \ prime \ rangle $$ è un kernel. Risolve l'equazione di Schroedinger ed è uguale a $ \ delta (x - x ^ \ prime) $ per $ t = t ^ \ prime $. La gente a volte lo chiama il propagatore. Può anche essere scritto in forma integrale di percorso.

Le funzioni di risposta lineare e risposta all'impulso sono funzioni verdi.

Queste sono tutte funzioni di correlazione a due punti. "Due punti" perché sono tutte funzioni di due punti nello spazio (tempo). Nella teoria quantistica dei campi, nella teoria statistica dei campi, ecc. Si possono anche considerare funzioni di correlazione con più inserimenti di campo / variabili casuali. È qui che inizia il vero lavoro!

Sono passati molti anni da quando hai posto questa domanda. Presumo che nel tempo tu abbia compilato definizioni di significato e distinzioni per gli altri termini nella tua lista. Tuttavia, ci sono termini non definiti dalla risposta di @ josh (una risposta su cui ho fatto affidamento più volte, grazie per averla postata @josh). Personalmente, il mio background è in Lattice QCD, che è sia una teoria quantistica dei campi che una teoria statistica dei campi. Quindi ho dovuto anche sedermi e organizzare il significato di tutti questi termini. Ecco cosa mi è venuto in mente durante il mio programma di dottorato.

----------------- The Short and Sweet -------------------------- --------

• Il problema è che molte persone sono confuse su questo punto e quindi SPESSO le persone definiscono il proprio gergo. Se si assume il campo libero e il limite di risposta lineare, i propagatori e le funzioni di risposta lineare sono gli stessi. Quando includi un termine di interazione non lineare, queste cose diventano oscure. Per essere scherzosi, tutto è uguale se non vuoi pensarci troppo, ecco perché c'è così tanta confusione.
• Indipendentemente da ciò, il propagatore, la funzione Green, la funzione Wightman e la funzione di risposta lineare possono SEMPRE essere intese come funzioni di correlazione 2pt (mostrate di seguito).
• Per definizione le funzioni di wightman sono solo funzioni di correlazione. Niente di speciale a parte che sono gli elementi costitutivi del propagatore ordinato nel tempo (Feynman), qui $ \ Theta $ è la funzione dal lato pesante. (Peskin, Zee, Zuber, Huang) $$ \ Delta ^ {(+)} = \ left< \ phi (x) \ phi (y) \ right> $$ $$ \ Delta ^ {(-)} = \ left< \ phi (y) \ phi (x) \ right> $$ $$ G_F = \ Theta (x ^ 0-y ^ 0) \ Delta ^ {(+)} - \ Theta (y ^ 0-x ^ 0) \ Delta ^ {( -)} = \ left< \ mathcal {T} \ phi (x) \ phi (y) \ right> $$
• Il propagatore, è la funzione verde causale (nota anche come ritardata). Il propagatore è inteso come l'ampiezza della transizione quantistica (Le Bellac, Wiki). C'è una differenza nella convenzione, ma può essere definita (Peskin contro Hong Lectures & Wiki rispettivamente) $$ G_R = \ Theta (x ^ 0-y ^ 0) \ left< [\ phi (x), \ phi (y)] \ right> = \ Theta (x ^ 0- y ^ 0) \ sinistra (\ Delta ^ {(+)} - \ Delta ^ {(-)} \ destra) $$ $$ G_R = \ Theta (x ^ 0-y ^ 0) \ left< \ phi (x), \ phi (y) \ right> $$
• La funzione di risposta lineare è equivalente alla funzione verde ritardata, nota anche come Propagatore (mostrata sotto).

------------------ L Le funzioni di risposta lineare sono funzioni di correlazione a 2 punti ------------

Inizierò con le formule Kubo. Questa derivazione segue la "Teoria cinetica" di Tong, Gale $ \ & $ Kapusta. Supponiamo di avere un sistema in equilibrio e applichiamo una piccola perturbazione ad esso. Sembra un'Hamiltoniana di equilibrio $ H_0 $ e la perturbazione $ V_I $ , $$ H (t) = H_0 + V_I (t) $$ Per questo esempio, sia che abbiamo applicato un campo elettrico a un filo. Quindi la funzione di risposta lineare finirà per essere la conducibilità. Scriviamo il potenziale di interazione come un termine di origine, $ \ phi $ (campo scalare dipendente dal tempo, esterno, con valore c) moltiplicato per una $ J $ come, $$ V_I (t) = \ phi (t) J (t) $$

Ora considera il valore atteso dell'osservabile, $ J (t) $ dopo la perturbazione $ V_I (t) $ viene applicato. $$ \ left< J (t) \ right> = \ left< U ^ {- 1} (t, t_0) J (t) U (t, t_0) \ right>_ {eq} $ $ Where dalla serie Schwinger-Dyson ( https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series) abbiamo che $ U ^ {- 1} (t, t_0) = \ mathcal {T} \ exp (- i \ int_ {t_0} ^ t dt 'V_I (t') ) $ , che in ordine lineare dà: $$ \ left< J (t) \ right> \ approx \ left< \ left (1 + i \ int_ {t_0} ^ t dt 'V_I (t') \ right) J (t ) \ left (1 - i \ int_ {t_0} ^ t dt 'V_I (t') \ right) \ right>_ {eq} $$ Possiamo espandere questo valore di aspettativa mediante la proprietà di distribuzione e rilasciando il termine non lineare $ \ propto \ left (\ int_ {t_0} ^ t dt 'V_I (t') \ right) ^ 2 $ . Ci resta $$ \ left< J (t) \ right> \ approx \ left< J (t) \ right>_ {eq} + \ left< i \ int_ {t_0} ^ t dt 'V_I ( ) J (t) - i \ int_ {t_0} ^ t dt 'J (t) V_I (t') \ right>_ {eq} $$ $$ \ left< J (t) \ right> \ approx \ left< J (t) \ right>_ {eq} + i \ left< \ int_ {t_0} ^ t dt '[V_I (t '), J (t)] \ right>_ {eq} $$ Inserisci la definizione di $ V_I $ dall'alto e sottrai il valore di equilibrio di osservabile $$ \ delta \ left< J (t) \ right> \ approx i \ int_ {t_0} ^ t dt '\ phi (t') \ left< [J (t '), J (t)] \ right>_ {eq} $$ Attiva la sorgente infinitamente tempo fa ( $ t_0 \ rightarrow - \ infty $ ) e inserisci la funzione heavy-side ( $ t \ rightarrow \ infty $ ). $$ \ delta \ left< J (t) \ right> \ approx i \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt '\ Theta (t-t') \ phi ( t ') \ left< [J (t'), J (t)] \ right>_ {eq} $$ Possiamo raggruppare i termini per definire la funzione di risposta lineare, $ \ chi $ . Dove a causa dell'invarianza della traduzione temporale, $$ i \ Theta (t-t ') \ left< [J (t'), J (t)] \ right>_ {eq} = \ chi (t ', t) = \ chi (t '- t) $$ Arriviamo così alla nostra espressione finale. $$ \ delta \ left< J (t) \ right> \ approx \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt '\ phi (t') \ chi (t'- t) $$ Vediamo qui che la funzione di risposta lineare è equivalente a una funzione di correlazione di 2pt. È anche la funzione verde ritardata, nota anche come propagatore

Possiamo anche generalizzare, quando l'osservabile nel valore atteso e l'osservabile nell'osservabile nell'Hamiltoniano non sono la stessa osservabile. L'osservabile misurato non è l'osservabile accoppiato al termine di origine. Per esempio, $$ \ left< \ mathcal {O} _i (t) \ right> \ approx \ left< \ mathcal {O} _i (t_0) \ right>_0 + i \ int dt '\ phi (t ') \ left< [\ mathcal {O} _j (t'), \ mathcal {O} _i (t_0)] \ right> $$ Quindi stai calcolando una funzione di correlazione incrociata.

---------------- The Propagators sono 2pt funzione di correlazione ----------------

La formulazione integrale di percorso della meccanica quantistica e il funzionale generatore ci mostreranno che il propagatore è una funzione di correlazione 2pt.

Partendo dalla formulazione path-integrale dell'ampiezza di transizione della meccanica quantistica ( https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation#Path_integral_formula) aggiungiamo un termine sorgente, $ \ int d ^ 4x J [x] \ phi [x] $ , alla nostra azione $ S_E $ come vediamo in ( https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_function_(quantum_field_theory)). Arrivare al funzionale generatore $$ \ mathcal {Z} [J] = \ int D _ {\ phi} e ^ {- S_E [\ phi] + i \ int d ^ 4x J [x] \ phi [x])} $$ Esattamente come nella nostra discussione sulla risposta lineare, il nostro termine sorgente è un campo $ \ phi $ , con un $ J $ .

Nota che per rotazione di Wick $ S_E $ è equivalente all'hamiltoniano http://www.math.ucr.edu/home/baez/classical /spring_garett.pdf) In modo che $ \ mathcal {Z} $ sia una funzione di partizione generalizzata. Pertanto, un funzionale generatore è un caso generalizzato sia della funzione di partizione che dell'ampiezza della transizione quantistica. Come funzione di partizione, il funzionale generatore è anche funzione caratteristica della teoria della probabilità il cui argomento è un insieme di variabili stocastiche (i campi quantistici $ \ phi [x] $ ) . La distribuzione delle variabili è definita dalla misura di Gibbs. Questo può essere espresso come: $$ \ mathcal {Z} [J] = \ int D \ mu \ {x \} e ^ {i \ int d ^ 4x J [x] \ phi [x]} = \ mathbb {E} \ left [\ exp [i \ int d ^ 4x J [x] \ phi [x]] \ right] $$ $$ D \ mu \ {x \} = D _ {\ phi} \ frac {e ^ {- S_E [\ phi]}} {\ mathcal {Z} [0]} $$

Una $ \ # $ funzione di correlazione pt (abbreviata in $ \ # $ funzione pt o funzione di correlazione) può essere espresso tramite derivate funzionali del funzionale generatore. $$ \ left< \ prod_k \ phi [x_k] \ right> = (-i) ^ n \ frac {1} {\ mathcal {Z} [0]} \ frac {\ partial ^ n \ mathcal {Z}} {\ prod_k \ partial J [x_k]} | _ {J = 0} $$ Quindi, per definizione, la funzione $ n $ -point sono i momenti $ n ^ {th} $ della misura di Gibbs.

Possiamo vedere per definizione che l'ampiezza di transizione (cioè propagatore) è il 2 ° momento della misura di Gibbs. Quindi, è anche una funzione 2pt

Inoltre, la rappresentazione spettrale di Kahlen-Lehmann della funzione 2pt, mostra che la funzione 2pt di una particella libera è equivalente al suo propagatore. Altrimenti la funzione di correlazione 2pt è la convoluzione del propagatore di particelle libero con la densità spettrale delle particelle ( https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_density), che dal teorema di Wiener-Khinhcin è uguale a una funzione di correlazione automatica.

--------------- Una nota sulla connessione tra propagatori e funzioni di risposta lineare ------------

Avremmo potuto abbreviare tutte queste derivazioni e semplicemente fare un'espansione di Volterra (come un'espansione di Taylor ma con convoluzioni invece che derivate - https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra_series#Continuous_time). Per ordine lineare l'espansione Volterra è ... hai indovinato! $$ \ left< J (t) \ right> \ approx \ left< J (t) \ right>_ {eq} + \ int_ {t_0} ^ t dt '\ phi (t') \ chi (t'- t) $$ Nota che abbiamo troncato la nostra espansione di Volterra non lineare in ordine lineare, quindi abbiamo scelto di avere un sistema lineare per il quale gli approcci della funzione di Green potrebbero risolvere. Per battere un cavallo morto: Nella pagina wiki relativa alle funzioni verdi si dice "Se l'operatore è invariante alla traduzione, la funzione di Green può essere considerata un operatore di convoluzione. In questo caso, la funzione di Green è la stessa della risposta all'impulso di teoria del sistema lineare tempo-invariante. "

Inoltre, il termine sorgente, $ \ phi (t) $ nella mia perturbazione, $ V_I (t) $ , è equivalente alla "forza trainante" a cui @josh si riferisce come $ \ rho $ . Da questo punto di vista della serie Volterra puoi vedere come sono collegate le nostre risposte.

Se vuoi considerare le interazioni non lineari, non puoi troncare la tua serie Voltarre al primo ordine ei tuoi kernel di risposta diventano non lineari.L'intero sistema non è più risolvibile con approcci alla funzione verde.

--------------- CITATIONS ---------------------------

https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-324-relativistic-quantum-field-theory-ii-fall-2010/lecture-notes/MIT8_324F10_Lecture7.pdf

David Tong "Appunti di lezione sulla teoria cinetica"

Gale Kapusta "Finite Temperature F.T."

Le Bellac "Thermal F.T."

Peskin $ \ & $ Schroder "Intro to Q.F.T."

Huang "Operators to Path Integral"

Zee "Q.F.T. in a Nutshell"

Itzykson Zuber "Intro to Q.F.T."

La risposta di josh è buona, ma penso che ci siano due punti che richiedono chiarimenti.

In primo luogo, la sua frase che definisce il kernel non ha senso, perché come scritto la variabile limite fittizia appare su entrambi i lati dell'equazione. In questo contesto, dobbiamo distinguere tra una singola variabile dipendente "time-type" $ t $ e le altre variabili dipendenti "space-type" $ {\ bf x} $ , che vengono trattati in modo inequivalente. (Non sto usando i termini "simile al tempo" o "simile allo spazio" per evitare confusione con la relatività speciale, poiché questa distinzione può essere applicata indipendentemente dal fatto che la PDE sia invariante di Lorentz.)

L'affermazione corretta è "Il kernel è una soluzione dell'equazione omogenea $ L _ {{\ bf x}, t} \, K ({\ bf x}, t; {\ bf x} ', t') = 0 $ , soggetto a una condizione al contorno di Dirichlet [nel tempo] $ K ({\ bf x}, t; { \ bf x} ', t) = \ delta ^ d ({\ bf x} - {\ bf x}') $ o una condizione al contorno di Neumann $ \ partial_t K ({\ bf x}, t; {\ bf x} ', t) = \ delta ^ d ({\ bf x} - {\ bf x}') $ , dove $ d $ è il numero di dimensioni spaziali ."

Inoltre, penso che sia fuorviante mettere in grassetto la parola "lineare" solo quando si discute della funzione di Green, perché questo sembra implicare che la linearità sia importante per distinguere la funzione di Green e il kernel. Infatti, il kernel viene utilizzato anche per risolvere equazioni differenziali lineari. Direi che la differenza principale tra i loro casi d'uso è che la funzione di Green è usata per risolvere equazioni differenziali disomogenee e il kernel è usato per risolvere problemi di valore limite omogeneo . (Per problemi di valori al contorno disomogenei, l'idea del kernel è effettivamente sussunta nel processo di scelta della funzione di Green per ottenere le condizioni al contorno corrette.)