Domanda:
Gödel preclude un ToE realizzabile?
BCS
2011-09-22 07:06:53 UTC
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Il teorema di incompletezza di Gödel impedisce un sistema assiomatico universale per la matematica. C'è qualche motivo per credere che impedisca anche una teoria del tutto per la fisica?


Modifica:

Non avevo mai visto una formulazione di Gödel che includesse il tempo. La formulazione che ho visto è che qualsiasi sistema assiomatico in grado di eseguire operazioni aritmetiche può esprimere affermazioni che saranno 1) impossibili da dimostrare vere o false o 2) possibili da dimostrare sia vere che false.

Questo conduce alla domanda: le teorie di (quasi) tutto, sono sistemi assiomatici capaci di fare aritmetica? (Dato che sono in grado di descrivere un computer digitale, penso che sia sicuro dire che lo sono.) In tal caso, ne consegue che una tale teoria sarà in grado di descrivere qualcosa che la teoria non sarà in grado di analizzare o risulterà in un risultato ambiguo. (Potrebbe essere questo ciò che forza cose come il principio di indeterminazione di Heisenberg?)

Se si ha una teoria ricorsiva $ T $ che sembra essere coerente e produce affermazioni vere sulla fisica, e se la fisica è sufficientemente complicata nel modo giusto (come sicuramente lo è) allora ci sarà qualche affermazione vera $ \ phi $ sulla fisicache non può essere dimostrato da $ T $.Ma se $ \ phi $ può essere dimostrato dopo aver aumentato $ T $ con l'assioma aggiuntivo `` $ T $ è coerente '', mi aspetto che sarà abbastanza buono per la maggior parte dei fisici, almeno informalmente, per pensare a $ \phi $ come conseguenza di $ T $.
Otto risposte:
#1
+53
Ron Maimon
2011-09-22 09:24:38 UTC
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La risposta è no, perché sebbene una "teoria del tutto" significhi un metodo computazionale per descrivere qualsiasi situazione, non consente di prevedere l ' risultato finale dell'evoluzione un tempo infinito nel futuro, ma solo per arrancare, predire il risultato a poco a poco mentre si va avanti.

Il teorema di Gödel afferma che è impossibile prevedere il comportamento nel tempo infinito di un programma per computer.

Teorema: dato un modo preciso di produrre affermazioni sulla matematica, cioè qualsiasi programma per computer che sputa affermazioni sulla matematica, questo programma per computer o produce falsità oppure non produce tutte le affermazioni vere.

Dimostrazione: dato il programma "THEOREMS" che produce teoremi (potrebbe fare deduzioni in Peano Arithmetic, per esempio), scrivi il programma per computer SPITE per fare questo:

  • SPITE stampa il proprio codice in una variabile R
  • SPITE esegue TEOREMI e analizza l'output alla ricerca del teorema "R d non si ferma "
  • Se trova questo teorema, si ferma.

Se ci pensi, nel momento in cui TEOREMI dice che" R non si ferma ", sta davvero dimostrando che "SPITE non si ferma", e poi SPITE si ferma, rendendo THEOREMS un bugiardo. Quindi se "THEOREMS" fornisce solo veri teoremi, SPITE non si ferma e THEOREMS non lo dimostra. Non c'è modo di aggirarlo ed è davvero banale.

Il motivo per cui ha la reputazione di essere complicato è dovuto alle seguenti proprietà della letteratura logica:

  • I logici studiano i sistemi formali, quindi tendono ad essere eccessivamente formali quando scrivono. Questo impantana la letteratura logica in un'oscurità inutile e trattiene lo sviluppo della matematica. C'è molto poco che si possa fare al riguardo, eccetto esortarli a cercare di chiarire la loro letteratura, come i fisici si sforzano di fare.
  • I logici hanno preso la decisione negli anni '50 di non consentire il linguaggio dell'informatica nella descrizione degli algoritmi nel campo della logica. Lo hanno fatto intenzionalmente, in modo da separare la nascente disciplina della CS dalla logica e per tenere le orde di programmatori di computer non lavate fuori dalla letteratura logica.

Comunque, quello che ho presentato è il intera dimostrazione del teorema di Gödel, utilizzando una traduzione moderna del metodo originale di Gödel del 1931. Per una rapida revisione di altri risultati e per maggiori dettagli, vedere questa risposta di MathOverflow: https://mathoverflow.net/a/72151/36526.

Come puoi vedere, il teorema di Gödel è una limitazione alla comprensione del comportamento finale di un programma per computer, nel limite del tempo di esecuzione infinito. I fisici non si aspettano di capire il comportamento finale di sistemi arbitrari. Quello che vogliono fare è fornire un programma per computer che segua l'evoluzione di un dato sistema a tempo finito.

Un ToE è come il set di istruzioni del computer dell'universo. Non ti dice qual è l'output, ma solo quali sono le regole. Un ToE sarebbe inutile per predire il futuro, o meglio, non è più utile per la previsione della meccanica newtoniana, delle statistiche e di qualche meccanica quantistica occasionale per il mondo di tutti i giorni. Ma è estremamente importante dal punto di vista filosofico, perché quando lo trovi, hai capito le regole di base e non ci sono più sorprese in basso.

Incorporare commenti

C'erano commenti che ho incorporerà in questa risposta. Sembra che i commenti debbano essere solo temporanei, e alcune di queste osservazioni penso siano utili.

Il programma di Hilbert era un tentativo di stabilire che la matematica teorica degli insiemi è coerente usando solo mezzi finitari. C'è un'interpretazione del teorema di Gödel che va così:

  • Gödel ha dimostrato che nessun sistema può dimostrare la propria coerenza
  • La teoria degli insiemi dimostra la coerenza dell'aritmetica di Peano
  • Pertanto Gödel uccide il programma di Hilbert di provare la coerenza della teoria degli insiemi usando l'aritmetica.

Questa interpretazione è falsa e non riflette il punto di vista di Hilbert, secondo me. Hilbert ha lasciato aperta la definizione di "finitario". Penso che questo fosse dovuto al fatto che non era sicuro esattamente di cosa dovesse essere ammesso come finitario, anche se penso che fosse abbastanza sicuro di cosa dovrebbe non essere ammesso come finitario:

  1. Nessun numero reale, nessuna analisi, nessun sottoinsieme arbitrario di $ \ Bbb Z $. Solo assiomi e proposizioni esprimibili nel linguaggio di Peano Arithmetic.
  2. Nessuna struttura che non si possa realizzare esplicitamente e costruttivamente, come un intero. Quindi nessun ordinale non numerabile, per esempio.

A differenza dei suoi seguaci, non ha detto che "finitario" significa "dimostrabile in Peano Arithmetic", o "dimostrabile in aritmetica ricorsiva primitiva ", perché non credo che credesse che fosse abbastanza forte. Hilbert aveva esperienza con l'induzione transfinita e il suo potere, e penso che, a differenza di altri che lo hanno seguito nel suo programma, fosse pronto ad accettare che l'induzione transfinita dimostra più teoremi della semplice induzione di Peano.

Cosa non era disposto ad accettare assiomi basati su una metafisica dell'esistenza stabilita. Cose come l'assioma del Powerset e l'assioma della scelta. Questi due assiomi producono sistemi che non solo violano l'intuizione, ma non sono inoltre ovviamente fondati sull'esperienza, cosicché gli assiomi non possono essere verificati dall'intuizione.

Quelli che seguirono Hilbert interpretarono il finitario come "dimostrabile in Peano Aritmetica" o un frammento più debole, come PRA. Data questa interpretazione, il teorema di Gödel uccide il programma di Hilbert. Ma questa interpretazione è folle, dato quello che sappiamo ora.

Hilbert ha scritto un libro sui fondamenti della matematica dopo il teorema di Gödel, e vorrei che fosse tradotto in inglese, perché non leggo il tedesco. Immagino che lì dentro dica quello che sto per dire qui.

Cosa significa finitario

La definizione di finitario è completamente ovvia oggi, dopo il 1936. Un'affermazione finitaria è un'affermazione vera sugli oggetti calcolabili, cose che possono essere rappresentate su un computer. Ciò equivale a dire che un'affermazione finitaria è una proposizione su numeri interi che può essere espressa (non necessariamente dimostrata ) nel linguaggio di Peano Arithmetic.

Questo include numeri interi, grafici finiti, stringhe di testo, manipolazioni simboliche, fondamentalmente, tutto ciò che Mathematica gestisce e include anche gli ordinali. Puoi rappresentare gli ordinali fino a $ \ epsilon_0 $, ad esempio, usando una stringa di testo che codifica la loro forma normale di Cantore.

Gli ordinali che possono essere rappresentati completamente da un computer sono limitati dal Church-Kleene ordinale, che chiamerò $ \ Omega $. Questo ordinale è relativamente piccolo nella teoria degli insiemi tradizionale, perché è un ordinale numerabile, che è facilmente superato da $ \ omega_1 $ (il primo ordinale non numerabile), $ \ omega_ \ Omega $ (ordinale non numerabile Church-Kleene-th), e l'ordinale di un enorme cardinale. Ma è importante capire che tutte le rappresentazioni computazionali degli ordinali sono sempre inferiori a questo.

Quindi quando stai facendo matematica finitaria, significa che stai parlando di oggetti che puoi rappresentare su una macchina, tu dovresti limitarti agli ordinali meno di Church-Kleene. Quanto segue sostiene che questa non è affatto una restrizione, poiché l'ordinale Church-Kleene può stabilire la coerenza di qualsiasi sistema.

Religione ordinale

Il teorema di Gödel è meglio interpretato come segue: Dato qualsiasi sistema assiomatico (coerente, omega-coerente), puoi renderlo più forte aggiungendo l'assioma "consis (S)". Esistono diversi modi per rendere il sistema più forte, e alcuni di essi non sono semplicemente correlati a questa estensione, ma considera questo.

Dato un qualsiasi sistema e un ordinale calcolabile, è possibile iterare il processo di rafforzamento fino a un ordinale. Quindi c'è una mappa dagli ordinali alla forza di coerenza. Ciò implica quanto segue:

  • Le teorie naturali sono ordinate linearmente in base alla forza di coerenza.
  • Le teorie naturali sono ben fondate (non esiste una catena discendente infinita di teorie $ A_k $ tali che $ A_k $ dimostra la coerenza di $ A_ {k + 1} $ per tutti i k).
  • Le teorie naturali si avvicinano all'ordinale di Church Kleene in forza, ma non lo raggiungono mai.

È naturale assumere quanto segue:

  • Data una sequenza di ordinali che si avvicina all'ordinale di Church-Kleene, le teorie corrispondenti a questo ordinale proveranno ogni teorema di aritmetica, incluso il coerenza di teorie coerenti arbitrariamente forti.

Inoltre, le prove di coerenza sono spesso eseguite anche in logica costruttiva, quindi in realtà:

  • Ogni teorema che può essere dimostrato, nel limite dell'ordinale di Church-Kleene, ottiene una dimostrazione costruttiva.

Questa non è una contraddizione con il teorema di Gödel, perché la generazione di una sequenza ordinale che si avvicina a $ \ Omega $ cann Non essere fatto algoritmicamente, non può essere fatto su un computer. Inoltre, qualsiasi luogo finito non è filosoficamente molto più vicino a Church-Kleene di dove hai iniziato, perché c'è sempre infinitamente più struttura lasciata non descritta.

Quindi $ \ Omega $ sa tutto e dimostra tutto, ma tu non potrà mai comprenderlo completamente. Puoi avvicinarti solo con una serie di approssimazioni che non puoi mai specificare con precisione e che sono sempre in qualche modo infinitamente inadeguate.

Puoi credere che questo non sia vero, che ci sono affermazioni che rimangono indecidibili non importa quanto ti avvicini a Church-Kleene, e non so come convincerti del contrario, se non additando congetture di vecchia data che avrebbe potuto essere assolutamente indipendente, ma ricadde su metodi sufficientemente potenti. Credere che un sistema formale sufficientemente forte risolva tutte le questioni aritmetiche è un articolo di fede, articolato esplicitamente da Paul Cohen in Teoria degli insiemi e ipotesi del Continuum . Ci credo, ma non posso provarlo.

Analisi ordinale

Quindi, data qualsiasi teoria, come ZF, ci si aspetta che ci sia un ordinale calcolabile che può provare la sua coerenza. Quanto siamo vicini a farlo?

Sappiamo come dimostrare la coerenza di Peano Arithmetic --- questo può essere fatto in PA, PRA, o in Heyting Arithmetic (costruttivo Peano Arithmetic), usando solo l'assioma

  • Ogni conto alla rovescia da $ \ epsilon_0 $ termina.

Ciò significa che l'ordinale teorico della dimostrazione di Peano Arithmetic è $ \ epsilon_0 $. Questo ti dice che l'aritmetica di Peano è coerente, perché è palesemente ovvio che $ \ epsilon_0 $ è un ordinale, quindi tutti i suoi conti alla rovescia terminano.

Ci sono teorie costruttive degli insiemi il cui ordinale teorico della dimostrazione è altrettanto ben compreso , vedi qui: "Analisi ordinale: teorie con ordinali teorici della dimostrazione più grandi".

Per andare oltre è necessario un progresso nei nostri sistemi di notazione ordinale, ma non ci sono limiti di principio per stabilire la consistenza di teorie sugli insiemi forti come ZF mediante ordinali computabili che possono essere compresi.

Così facendo si completerebbe il programma di Hilbert --- si rimuove qualsiasi necessità di un'ontologia di insiemi infiniti nel fare matematica. Puoi non credere nell'insieme di tutti i numeri reali e accettare comunque la coerenza di ZF o di cardinali inaccessibili (usando un ordinale più grande) e così via lungo la catena delle teorie.

Altre interpretazioni

Non tutti sono d'accordo con i sentimenti di cui sopra. Alcune persone vedono le proposizioni indecidibili come quelle fornite dal teorema di Gödel come aventi in qualche modo un valore di verità casuale, che non è determinato da nulla, quindi sono assolutamente indecidibili. Questo rende la matematica fondamentalmente casuale alla sua fondazione. Questo punto di vista è spesso sostenuto da Chaitin. In questo punto di vista, l'indecidibilità è una limitazione fondamentale a ciò che possiamo sapere sulla matematica, e quindi ha una somiglianza con una comune interpretazione errata del principio di indeterminazione di Heisenberg, che lo considera un limite a ciò che possiamo sapere sulla posizione e sulla quantità di moto simultanee di una particella (come se queste fossero variabili nascoste).

Credo che il teorema di Gödel non abbia assolutamente alcuna somiglianza con questa interpretazione errata del principio di indeterminazione di Heisenberg. L'interpretazione preferita del teorema di Gödel è che ogni frase dell'aritmetica di Peano è ancora vera o falsa, non casuale, e dovrebbe essere dimostrabile in una riflessione abbastanza forte dell'aritmetica di Peano. Il teorema di Gödel non ci impedisce di conoscere alla fine la risposta a ogni domanda di matematica.

Il programma di Hilbert è vivo e vegeto, perché sembra che gli ordinali numerabili inferiori a $ \ Omega $ risolvano ogni domanda matematica. Ciò significa che se qualche affermazione è irrisolvibile in ZFC, può essere risolta aggiungendo un'opportuna catena di assiomi della forma "ZFC è coerente", "ZFC + consis (ZFC) è coerente" e così via, iterato in modo transfinito fino a ordinale computabile numerabile, o allo stesso modo che inizia con PA, o PRA, o aritmetica di Heyting (forse ripetendo la scala teorica usando una dimensione del passo diversa, come l'aggiunta di induzione transfinita al limite di tutti gli ordinali dimostrabilmente ben ordinati nella teoria).

Il teorema di Gödel non stabilisce l'indecidibilità, ma solo l'indecidibilità relativa a un'assiomatizzazione fissa, e questa procedura produce un nuovo assioma che dovrebbe essere aggiunto per rafforzare il sistema. Questo è un ingrediente essenziale nell'analisi ordinale e l'analisi ordinale è solo il programma di Hilbert come viene chiamato oggi. In generale, tutti sbagliano, tranne la manciata di persone rimaste nella scuola tedesca di analisi ordinale. Ma questa è una di quelle cose che possono essere risolte gridando abbastanza forte.

Torkel Franzén

Ci sono libri sul teorema di Gödel che sono più sfumati, ma penso che lo capiscano ancora non del tutto esatto. Greg P ​​dice, riguardo a Torkel Franzén:

Pensavo che il libro di Franzen evitasse l'intera faccenda "Il teorema di Goedel era la morte del programma di Hilbert". In ogni caso non era così semplicistico e dalla lettura si direbbe solo che il programma è stato "trasformato" nel senso che le persone non si limiteranno a ragionamenti finitari. Per quanto riguarda le cose di cui parli, il libro di John Stillwell "Roads to Infinity" è migliore. Ma il libro di Franzen è utile per questioni come la domanda di BCS (il teorema di Godel assomiglia al principio di indeterminazione).

Finitario significa computazionale e una dimostrazione di coerenza richiede solo un ordinale di complessità sufficiente.

Greg P ​​ha risposto:

Il problema è allora cosa sia "finitario". Immagino di aver pensato che escludesse cose come l'induzione transfinita. Ma sembra che tu lo chiami finitario. Qual è quindi un esempio di ragionamento non finitario?

Quando l'ordinale non è calcolabile, se è più grande dell'ordinale Church-Kleene, allora è infinito. Se usi l'insieme di tutti i reali, o l'insieme di $ \ Bbb Z $ come un insieme con elementi discreti, è infinito. Gli ordinali che possono essere rappresentati su un computer sono finitari, e questo è il punto di vista che credo Hilbert inserisca nel Grundlagen , ma non è tradotto.

#2
+40
Steve Byrnes
2011-09-24 08:29:16 UTC
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Penso che Conway's Game Of Life sia un ottimo esempio qui. Abbiamo la "Teoria del Tutto" per Game Of Life di Conway, le leggi che determinano il comportamento di ogni sistema. Sono estremamente semplici, solo poche frasi! Queste semplici "regole del gioco" sono analoghe a una "teoria del tutto" che soddisferebbe un fisico che vive nell'universo di Game Of Life.

D'altra parte, puoi costruire un computer completo di Turing in The Game Of Life, il che significa che puoi formulare domande sul Game of Life che non hanno una risposta matematicamente dimostrabile. Le domande suonerebbero qualcosa come:

Ecco una configurazione complicata di trilioni di celle. A partire da questa configurazione, esegui Game of Life per un numero infinito di passaggi. La cella alle coordinate tal dei tali si accenderà mai?

Queste due cose non sono realmente correlate. Ovviamente possiamo comprendere la estremamente semplice "teoria di tutto" per Game Of Life. Allo stesso tempo, ovviamente non possiamo dimostrare matematicamente la risposta a ogni domanda come quella sopra, sul comportamento asintotico di configurazioni di punti molto complicate all'interno di Game Of Life.

Allo stesso modo, possiamo (una spera) trovare il ToE per il nostro universo. Ma certamente non saremo in grado di dimostrare matematicamente ogni possibile teorema sul comportamento asintotico delle cose che seguono le leggi dell'universo. Nessuno si aspettava di farlo comunque.

Penso che in una certa misura siamo d'accordo. vedere la mia risposta (principalmente la prima sezione) a questa domanda.
Nessuno che abbia bisogno della speranza di una soluzione come motivazione. Quindi tutti oltre a me vogliono dimostrare che sbagliato forse forse no dovresti solo smentirlo una volta per le centinaia di esempi che lo supportano. Lo stesso con qualsiasi prova. Non succederà mai, ma la speranza oltre ogni speranza è un aspetto chiave della condizione umana
Ho ragione nell'affermare che: -1- hai dimostrato che esiste un universo (chiamato Game of Life) che ha un TOE che non fornisce mezzi per rispondere a tutte le domande, e -2- questo non implica nemmeno che ci sia un TOE per il nostro universo, né che se c'è un TOE per il nostro universo, non fornirà un mezzo per rispondere a tutte le domande.
@babou - Quando dici "un mezzo per rispondere a tutte le domande", sembra che tu stia includendo "un mezzo per provare o smentire rigorosamente ogni possibile teorema su ciò che accadrà a ogni possibile configurazione di atomi seguendo le leggi della fisica per un infinito a lungo". Bene, se questo è ciò che intendi, allora sono d'accordo, un TOE NON è "un mezzo per rispondere a tutte le domande". Su un altro argomento: c'è un TOE per il nostro universo? Credo fermamente "sì" e che lo scriveremo entro i prossimi 100 anni. Ma questa è solo la mia convinzione, è impossibile saperlo con certezza. MrGreen
Non è quello che ho detto. UN TOE è una descrizione. Questa descrizione può o non può essere * efficacemente * utilizzabile per conoscere certe cose su ciò che viene descritto. Ad esempio un'equazione può descrivere perfettamente un fenomeno, senza essere necessariamente molto utilizzabile in modo efficace. Trova un esempio di un TOE che non è sempre efficace. Ma non dice assolutamente nulla sul nostro universo. Il gioco della vita è discreto, ma non sappiamo se lo sia anche l'universo. Spesso usiamo la matematica continua perché è molto più semplice della matematica combinatoria e di quella diofantina.
#3
+24
user4552
2013-09-05 06:33:35 UTC
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Le persone tendono a prendere il teorema di Gödel e piegarlo, allungarlo, riportarlo in modo errato, applicarlo in modo errato e generalmente gli fanno cose che, se le facessi a uno scarafaggio in Texas, ti farebbero arrestare per crudeltà sugli animali. Ma c'è un libro, Franzén (2005), che dovrebbe essere sufficiente per vaccinare qualsiasi adulto responsabile contro un comportamento così cattivo. Alcuni punti fatti da Franzén:

  1. Il teorema di Gödel si applica solo ai sistemi assiomatici formali.
  2. Il teorema di Gödel si applica solo ai sistemi che possono descrivere "una certa quantità di aritmetica" (che è definito in un modo tecnico specifico).
  3. Il teorema di Gödel ci dice che ogni teoria coerente avrà certe affermazioni indecidibili. Tuttavia, queste affermazioni in genere non sono di alcun interesse.
  4. Oltre alla nozione di coerenza, ce n'è una di relativa coerenza.

Ognuno di questi è sufficiente a dimostrare che il teorema di Gödel non ha rilevanza per l'impresa della fisica. Prendiamoli uno alla volta.

1. Il teorema di Gödel si applica solo ai sistemi assiomatici formali.

Quasi nessuna teoria fisica utile del mondo reale è mai stata dichiarata come sistemi assiomatici formali (un'eccezione è Fleuriot, 2001). Nessuna formalizzazione di questo tipo è mai stata usata per fare la fisica delle parole reali (cioè, il tipo di cose che potresti essere pubblicato su un giornale). "Sistema assiomatico formale" per un logico significa qualcosa di molto diverso da quello che potrebbe immaginare un fisico. Significa ridurre tutte le possibili affermazioni della teoria a stringhe di caratteri e tutti gli assiomi della teoria a regole per manipolare queste stringhe, dichiarate in modo così esplicito che un computer potrebbe controllarle. Questo tipo di formalizzazione non è né necessaria né sufficiente per rendere valida, utile o interessante una teoria fisica.

2. Il teorema di Gödel si applica solo ai sistemi che possono descrivere "una certa quantità di aritmetica".

Questa è più una limitazione di quanto potresti immaginare. Nella nostra cultura scientifica odierna, andiamo a scuola e impariamo l'aritmetica, poi la geometria e il sistema dei numeri reali. Questo ci fa immaginare che gli interi siano un semplice sistema matematico, e i reali siano uno più complicato costruito sopra gli interi. Questo non è altro che un pregiudizio culturale. La teoria elementare dei numeri reali è equivalente alla teoria elementare della geometria euclidea. ("Elementare" ha un significato tecnico, essendo equivalente alla logica del primo ordine.) La geometria euclidea elementare è incapace di descrivere "una certa quantità di aritmetica" come definita nel teorema di Gödel. Quindi il teorema di Gödel non si applica alla teoria elementare dei numeri reali, e infatti questa teoria si è dimostrata coerente e completa (Tarski, 1951). È del tutto possibile che un ToE possa essere espresso in un linguaggio geometrico, senza l'uso di alcuna aritmetica, o nel linguaggio del sistema dei numeri reali. Ad esempio, i Principia sono espressi completamente nel linguaggio degli Elementi di Euclide, e non è nemmeno ovvio per me che ci sia qualche ostacolo nell'affermare teorie come le equazioni di Maxwell o la relatività generale nel linguaggio del sistema dei numeri reali, utilizzando la logica elementare.

3. Il teorema di Gödel ci dice che qualsiasi teoria coerente avrà certe affermazioni indecidibili. Tuttavia, queste affermazioni in genere non sono di alcun interesse.

Penso che questo sia abbastanza autoesplicativo. E non credo che la decidibilità sia una proprietà necessaria o addirittura particolarmente desiderabile per un ToE; poche teorie interessanti in matematica sono decidibili, eppure la maggior parte dei matematici non dedica tempo a preoccuparsene.

4. Oltre al concetto di coerenza, ce n'è uno di coerenza relativa.

È possibile dimostrare che un sistema assiomatico è equiconsistente con un altro, il che significa che uno è autoconsistente se e solo se l'altro lo è. Se avessimo un ToE, e potessimo trasformarlo in un sistema assiomatico, ed fosse il tipo di sistema assiomatico a cui si applica il teorema di Gödel, allora sarebbe probabilmente equiconsistente con qualche altro sistema ben noto, come qualche formulazione di analisi reale . Qualsiasi dubbio sulla coerenza del ToE equivarrebbe quindi al dubbio sulla consistenza dell'analisi reale, ma nessuno crede che l'analisi reale manchi di coerenza.

Infine, perché ci preoccupiamo della "coerenza"? Sto usando le citazioni spaventose perché stiamo parlando di fisica. Quando parlo con un matematico dell '"autoconsistenza" di una teoria, la reazione usuale è uno sguardo vuoto o una correzione paternalistica. " -" la coerenza è l'unico tipo di coerenza di cui un matematico si preoccupa. Ma un fisico si preoccupa di più di questo. Ci interessa sapere se una teoria è coerente con esperimento . Non ci sono buone ragioni per preoccuparsi se un ToE non può essere dimostrato di essere auto-coerente, perché ci sono altre preoccupazioni che sono molto più grandi. Il ToE potrebbe essere autoconsistente, ma qualcuno potrebbe fare un esperimento che proverebbe che era sbagliato.


J. Fleuriot, A Combination of Geometry Theorem Proving and Nonstandard Analysis with Application to Newton's Principia , 2001

T. Franzén, Teorema di Gödel: una guida incompleta al suo uso e abuso , 2005

A. Tarski, Un metodo decisionale per l'algebra e la geometria elementare , 2a rev. ed., 1951 [Ristampato nei suoi Collected Papers , vol. 3.]

Il punto 3 è l'unico che mi preoccupa un po ': (sono d'accordo con tutta la tua risposta BTW): * potrebbe * significare che un TOE è un po' più grande della "natura". Penso che questo requisito * potrebbe * aiutare a guidare un TOE in quanto si vorrebbe essere sicuri in qualche modo (il cielo sa come) che tutto ciò che è indecidibile sarebbe irrilevante. Oppure, come dice Ron Maimon, tutto l'indecidibile non è rilevante per tempi finiti. Ci sono alcune inquietanti formulazioni "pratiche" di proposizioni indecidibili: Roger Penrose le raccoglie (sto cercando di trovarle ora). Inoltre, i diritti degli animali sono grandi in Texas :)?
Il livello di aritmetica che una teoria deve essere in grado di esprimere per applicare i teoremi di Gödels non è zero ma è comunque facilmente raggiungibile. Dubito fortemente che i fisici avrebbero mai rinunciato alla loro comprensione dei numeri e avrebbero preso ciò di cui ha bisogno per costruire una teoria della gravitazione e dei campi quantistici o qualsiasi altra cosa su qualcosa di simile a un'assiomatizzazione del primo ordine dei reali in quanto tale, che è troppo lontano dal set-like strutture. E in ogni caso, se il primo punto si applica e non c'è una reale formalizzazione della teoria fisica, allora il secondo punto non ha comunque importanza.
@NickKidman: Sono d'accordo con te sul fatto che 2 è un punto meno certo di 1, 3 e 4 e che 1 è sufficiente. (Penso che uno qualsiasi dei quattro sia sufficiente.) * Dubito fortemente che i fisici rivelerebbero mai la loro comprensione dei numeri * Non devi dare via alcuna comprensione. Quando metti una teoria nel tipo di forma assiomatica molto rigorosa richiesta dal teorema di Godel, non stai limitando il modo in cui puoi pensarci.
@BenCrowell: Io menziono solo usando una teoria della negazione completa decidibile invece di una forte teoria aritmetica, rinunci ad alcune affermazioni sintattiche. Cordiali saluti, ci sono teorie deboli sull'aritmetica che quindi non sono influenzate dall'incompletezza, vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Self-verifying_theories
@NickKidman Non voglio porre troppa enfasi sulle strutture di primo ordine, ma voglio sottolineare che sei troppo frettoloso. I fisici sarebbero molto felici di rinunciare alla teoria degli insiemi. Una palla nello spazio euclideo è l'unione dei singoli insiemi di punti che si trovano al suo interno, ma in questo modo non puoi costruire una sfera fisica di materia da masse puntiformi. Quindi la teoria ondulatoria della materia fa sembrare la struttura di una palla come set ancora meno rilevante rispetto a quella di grandi palle di fuoco, basta considerare
un tipico problema indecidibile: l'equivalenza di coppie di operatori in uno spazio di Hilbert è indecidibile, ma quasi tutte queste coppie non sono fisiche. L'uguaglianza di due algebre di Lie data da generatori e relazioni potrebbe essere (dimentico) indecidibile, ma la fisica non pone mai questa domanda. Ci sono ottime ragioni per pensare che gli unici sottospazi di Hilber fisici debbano avere un'intersezione densa con i vettori K-finiti dell'intero spazio di Hilbert (K il sottogruppo massimo compatto del gruppo di Lorentz). Questo esclude quasi tutti gli operatori ...
#4
+15
user34445
2013-11-26 11:13:57 UTC
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Se una "Teoria del Tutto" indica un metodo computazionale per descrivere qualsiasi situazione, ed esistono vere formule aritmetiche (come ha mostrato Gödel) che non possono essere dimostrate, esistono vere formule aritmetiche che sono necessarie per descrivere una situazione che non può essere scoperta computazionalmente, o se scoperto incidentalmente, non può essere dimostrato vero. Quindi, ad esempio, questo metodo di calcolo per essere completo, dovrebbe essere in grado di dimostrare la validità di matematica e logica, senza usare matematica e logica, poiché matematica e logica sono separate dalla fisica.

La definizione sopra quella "Il teorema di Gödel afferma che è impossibile prevedere il comportamento nel tempo infinito di un programma per computer." è sia scorretto che anacronistico (in un primo momento Gödel rifiutò la definizione di "computabilità" di Church-Turing, ma in seguito (significato nel 1946) dovette alla fine scoprirla da solo). Inoltre Gödel non era un informatico anche se la sua logica sarebbe stata loro utile in un secondo momento. Il problema descritto sopra è un'applicazione specifica del teorema di Gödel chiamato "Problema di arresto", ma il suo teorema è molto più ampio di quello e le sue implicazioni sono molto maggiori. Ciò che fondamentalmente afferma il primo teorema di Gödel è che:

Qualsiasi sistema assiomatico $ S $ effettivamente generato non può essere coerente e completo. In particolare, per qualsiasi sistema assiomatico $ S $ effettivamente generato che sia coerente e che dimostri la verità di alcune conclusioni di base, ci sono alcune conclusioni vere di base che non sono dimostrabili all'interno di quel sistema $ S $.

Per qualsiasi sistema assiomatico formale generato in modo efficace $ S $, se $ S $ include un'affermazione della sua stessa coerenza, allora S è incoerente.

Una delle risposte sopra ha notato che:

  1. Il teorema di Gödel si applica solo ai sistemi assiomatici formali (il che è vero)

Tuttavia proseguì suggerendo che "Quasi nessuna teoria fisica utile del mondo reale è mai stata dichiarata come sistemi assiomatici formali". Questo è completamente falso visto come Gödel definì i sistemi assiomatici formali. Per sistemi assiomatici formali Gödel intendeva "calcolabile", intendendo qualsiasi sistema in grado di derivare risultati (conclusioni) attraverso funzioni (o logica) computabili algoritmicamente. La fisica si basa completamente su due di questi sistemi: matematica e logica, il che significa che anche la fisica lo è.

Viene davvero suggerito che la fisica non sia calcolabile? La fisica fa previsioni usando la matematica e la logica, che sono entrambi sistemi assiomatici formali. La fisica descrive anche il comportamento osservato utilizzando gli stessi sistemi. La fisica non è altro che un sistema assiomatico formale usato per descrivere la natura, sebbene presupponga questi altri sistemi. Anche se alcuni dei suoi assiomi vengono osservati o misurati, ne deriva risultati, o leggi su di essi attraverso funzioni calcolabili ($ E = MC ^ 2, F = MA $), quindi Gödel si applica assolutamente.

Ciò significa che una teoria del tutto e in effetti la fisica deve essere internamente coerente, ma incompleta, nel senso che non è effettivamente in grado di descrivere ogni situazione possibile, oppure deve essere completa ma incoerente, ovvero in grado di descrivere ogni possibile situazione, ma contenere incongruenze (auto- contraddizioni). Che la fisica richieda alla matematica di dimostrare le proprie verità mostra che la fisica è incompleta (poiché deve presupporre la coerenza della matematica come sistema assiomatico) proprio come la matematica richiede la logica per provare i suoi teoremi (per la stessa ragione, la matematica non può dimostrare la logica, ma deve semplicemente presupporlo). Questa è una prova diretta dell'affermazione di Gödel secondo cui nessun sistema assiomatico può provare la propria coerenza, e quindi è incompleto. Inoltre, le persone hanno anche dimostrato che il teorema di incompletezza vale anche nella meccanica quantistica (che è anche coerente, ma non completa).

Qualsiasi "teoria del tutto" non può essere completa poiché non può spiegare la matematica o la logica e ci saranno fenomeni fisici il cui comportamento non può essere calcolato. Proprio come la fisica stessa, la fisica di un TOE, oltre all'osservazione fisica, richiede matematica e logica, mostrando quanto la fisica stessa sia incompleta (sebbene sia coerente).

tl; dr; Un ToE può esistere sotto Gödel e ancora 'descrivere' tutto * fisico * ma ad es. non sarà in grado di "descrivere" cose * intellettuali *.
Sì, hai ragione, certo, ma sottolineando questo, stavo dimostrando che la fisica è incompleta, dovendo fare affidamento su qualcosa di più della semplice osservazione. Riconoscendo che la fisica si basa anche sulla metafisica, intendendo logica e matematica, è stata dimostrata l'incompletezza della fisica (che sembra essere una vera minaccia per alcune persone). Questo però non è in contrasto con il teorema di incompletezza: la fisica è ancora coerente. Ma se la fisica è incompleta, ci saranno verità indimostrabili che non può toccare - che è al centro della domanda.
Lo stesso Goedel dimostrò che la logica del primo ordine era coerente e decidibile. Mi manca qualcosa qui? Continui ad affermare le conclusioni di Goedel senza quella che io intendo come un'ipotesi essenziale: deve includere l'aritmetica di Peano, più specificamente, il principio dell'induzione matematica. La logica del primo ordine non include questo, e nemmeno (afaik) lo fa la geometria euclidea.
Se guardi le dimostrazioni di Gödel in "Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e dei sistemi correlati I", mostrano che i suoi teoremi sono veri per tutti i sistemi formali globali generali, incluso "Principia Mathematica". È vero, ha usato come esempio il "... problema relativamente facile nella teoria dei numeri interi ordinari", tuttavia la sua dimostrazione era sufficiente per coprire "e i sistemi correlati I" poiché stava cercando il caso generale. Gödel capì che due sistemi assiomatici sono "equivalenti" se tutte e solo le derivazioni rese possibili da uno sono rese possibili dall'altra.
Aggiungerò che in realtà stava usando solo le dimostrazioni di Peano per la loro struttura. Dalla dimostrazione di Peano costruì "assiomi propositivi" rimuovendo le proprietà fondamentali specifiche di Peano dei numeri naturali e inserendo una formula arbitraria che li rappresentasse (p, q, e r). [Lo dice anche nel suo articolo, anche se è in tedesco] Quindi questo mostra come è passato da un esempio aritmetico specifico al caso generale, intendendo logica del primo ordine. Potrebbe farlo perché tutto ciò che è esprimibile in aritmetica è esprimibile in logica (o geometria, teoria degli insiemi, reticoli, ecc.)
@user34445: "si è trasferito ... al caso generale che significa logica del primo ordine" --- questo è il più sbagliato possibile.La logica del primo ordine è completa e questo è stato dimostrato per la prima volta da Godel.
Questo ** non ** dovrebbe essere la risposta corretta.La fisica utilizza principalmente i numeri reali e complessi, che sono entrambi teorie matematiche complete e coerenti.I teoremi di incompletezza di Gödel sono affermazioni sull'induzione.
Sei la definizione se "completo" non è corretto.Stai confondendo "chiuso" con "completo".La fisica richiede regole di inferenza che si trovano al di fuori della fisica.L'esempio stesso che hai fornito di numeri complessi richiede la conoscenza (e le regole di inferenza) di numeri non complessi per essere del tutto significativo.Solo definendo in modo restrittivo le regole di interferenza ed escludendo la conoscenza non complessa, l'insieme complesso è completo.Il set complesso è tuttavia chiuso.
Ecco un altro modo di vederlo .. lo spazio che la fisica descrive è uno "spazio numerico razionale"?In caso affermativo, porre la domanda "lo spazio numerico razionale è completo"?Si sa che la completezza dello spazio numerico razionale NON è completa.
#5
+6
Sean Tilson
2011-09-23 04:00:13 UTC
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Non sono d'accordo con la tua affermazione del teorema di Gödel. Il teorema di incompletezza di Gödel dice che in qualsiasi linguaggio formale che sia abbastanza forte per fare aritmetica (cioè, puoi scrivere gli assiomi di Peano) ci sarà sempre un'affermazione vera che non può essere dimostrata. Ciò che Gödel ha fatto per dimostrarlo è stato costruire qualcosa di simile al paradosso del bugiardo in un linguaggio simile:

Questa frase non è dimostrabile.

Io no penso che questo abbia qualche effetto sul fatto che esista o meno un ToE funzionante, ma non so molto di ToE.

Mi sento come se il teorema di incompletezza di Gödel sia stato frainteso molto. Non afferma se le affermazioni siano vere o meno, dice semplicemente che non possiamo provare tutto ciò che è vero; qualcosa lo è.

#6
+2
recipriversexclusion
2011-09-23 02:01:44 UTC
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Un modo per vedere questo è in termini di sesto problema di Hilbert, ovvero la fisica assiomatizzante. Ora, si può dire che ciò che Hilbert capì da "assiomatizzare" è confutato dai risultati di Gödel (e Gentzen). (Vedi il suo secondo problema.)

Il programma di assiomatizzazione di Hilbert non è confutato da Godel, ma ne è arricchito. Sebbene Grundlagen der Mathematische di Hilbert (sp? Foundation of Mathematics) non sia disponibile in inglese, la risposta di base al teorema di Godel delineata è quella di Gentzen e del resto della scuola tedesca. Gentzen ha lavorato con Hilbert e ha seguito il suo programma. Ha dimostrato la coerenza dell'aritmetica di Peano con mezzi finitari, e solo una ridefinizione di finitario motivata politicamente nel dopoguerra per escludere i conti alla rovescia ordinali ha reso la sua prova "infinita".
#7
-2
BCS
2011-10-31 10:37:43 UTC
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tl; dr; Tutti i possibili universi sono finiti su scala e sono "troppo piccoli" per poter codificare tutte le possibili congetture in modo che non possano operare su di essi e quindi non possano provare la loro veridicità. Pertanto un modello di universo completamente calcolabile non può violare il teorema di Gödel.

Gli estratti formano vari altri punti nelle risposte:

Penso che la risposta diventi una delle due cose:

Opzione A: il teorema di Gödel non impedisce l'esistenza di mezzi meccanicistici per determinare la veridicità di una congettura arbitraria. (Sebbene non sia sicuro che Gödel lo precluda, è precluso dalla riduzione al problema dell'arresto.)

Opzione B: il teorema di Gödel implica che anche dato un TOE valido e calcolabile, non vi è alcuna mappatura tra congetture aritmetiche e stati dell'universo tale che alcune proprietà identificabili valgono se e solo se le congetture sono corrette. Questo potrebbe essere (e sospetto lo sia) semplicemente perché l'insieme di tutte le possibili congetture è più grande (un infinito di ordine superiore o ordinali più grandi) dell'insieme di tutti i possibili stati degli universi che possono esistere sotto l'ODV.

#8
-2
MikeHelland
2013-11-27 06:56:46 UTC
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In realtà il teorema di incompletezza è il percorso verso una teoria del tutto.

Il teorema dice approssimativamente che hai bisogno di un supersistema per dimostrare costantemente e completamente gli assiomi di un sistema.

Quindi quello che devi fare è racchiudere le nostre misurazioni in un sistema più ampio. Al momento modifichiamo le nostre misurazioni a testa alta.

Se potessimo modellarle indirettamente, in modo che emergano dalla teoria piuttosto che supporre se stesse automaticamente, faremo una svolta.

Il biocentrismo di Lanza lo promette.

Vedi la risposta di user34445: il "supersistema" è matematica e logica.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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