La risposta è no, perché sebbene una "teoria del tutto" significhi un metodo computazionale per descrivere qualsiasi situazione, non consente di prevedere l ' risultato finale dell'evoluzione un tempo infinito nel futuro, ma solo per arrancare, predire il risultato a poco a poco mentre si va avanti.
Il teorema di Gödel afferma che è impossibile prevedere il comportamento nel tempo infinito di un programma per computer.
Teorema: dato un modo preciso di produrre affermazioni sulla matematica, cioè qualsiasi programma per computer che sputa affermazioni sulla matematica, questo programma per computer o produce falsità oppure non produce tutte le affermazioni vere.
Dimostrazione: dato il programma "THEOREMS" che produce teoremi (potrebbe fare deduzioni in Peano Arithmetic, per esempio), scrivi il programma per computer SPITE per fare questo:
- SPITE stampa il proprio codice in una variabile R
- SPITE esegue TEOREMI e analizza l'output alla ricerca del teorema "R d non si ferma "
- Se trova questo teorema, si ferma.
Se ci pensi, nel momento in cui TEOREMI dice che" R non si ferma ", sta davvero dimostrando che "SPITE non si ferma", e poi SPITE si ferma, rendendo THEOREMS un bugiardo. Quindi se "THEOREMS" fornisce solo veri teoremi, SPITE non si ferma e THEOREMS non lo dimostra. Non c'è modo di aggirarlo ed è davvero banale.
Il motivo per cui ha la reputazione di essere complicato è dovuto alle seguenti proprietà della letteratura logica:
- I logici studiano i sistemi formali, quindi tendono ad essere eccessivamente formali quando scrivono. Questo impantana la letteratura logica in un'oscurità inutile e trattiene lo sviluppo della matematica. C'è molto poco che si possa fare al riguardo, eccetto esortarli a cercare di chiarire la loro letteratura, come i fisici si sforzano di fare.
- I logici hanno preso la decisione negli anni '50 di non consentire il linguaggio dell'informatica nella descrizione degli algoritmi nel campo della logica. Lo hanno fatto intenzionalmente, in modo da separare la nascente disciplina della CS dalla logica e per tenere le orde di programmatori di computer non lavate fuori dalla letteratura logica.
Comunque, quello che ho presentato è il intera dimostrazione del teorema di Gödel, utilizzando una traduzione moderna del metodo originale di Gödel del 1931. Per una rapida revisione di altri risultati e per maggiori dettagli, vedere questa risposta di MathOverflow: https://mathoverflow.net/a/72151/36526.
Come puoi vedere, il teorema di Gödel è una limitazione alla comprensione del comportamento finale di un programma per computer, nel limite del tempo di esecuzione infinito. I fisici non si aspettano di capire il comportamento finale di sistemi arbitrari. Quello che vogliono fare è fornire un programma per computer che segua l'evoluzione di un dato sistema a tempo finito.
Un ToE è come il set di istruzioni del computer dell'universo. Non ti dice qual è l'output, ma solo quali sono le regole. Un ToE sarebbe inutile per predire il futuro, o meglio, non è più utile per la previsione della meccanica newtoniana, delle statistiche e di qualche meccanica quantistica occasionale per il mondo di tutti i giorni. Ma è estremamente importante dal punto di vista filosofico, perché quando lo trovi, hai capito le regole di base e non ci sono più sorprese in basso.
Incorporare commenti
C'erano commenti che ho incorporerà in questa risposta. Sembra che i commenti debbano essere solo temporanei, e alcune di queste osservazioni penso siano utili.
Il programma di Hilbert era un tentativo di stabilire che la matematica teorica degli insiemi è coerente usando solo mezzi finitari. C'è un'interpretazione del teorema di Gödel che va così:
- Gödel ha dimostrato che nessun sistema può dimostrare la propria coerenza
- La teoria degli insiemi dimostra la coerenza dell'aritmetica di Peano
- Pertanto Gödel uccide il programma di Hilbert di provare la coerenza della teoria degli insiemi usando l'aritmetica.
Questa interpretazione è falsa e non riflette il punto di vista di Hilbert, secondo me. Hilbert ha lasciato aperta la definizione di "finitario". Penso che questo fosse dovuto al fatto che non era sicuro esattamente di cosa dovesse essere ammesso come finitario, anche se penso che fosse abbastanza sicuro di cosa dovrebbe non essere ammesso come finitario:
- Nessun numero reale, nessuna analisi, nessun sottoinsieme arbitrario di $ \ Bbb Z $. Solo assiomi e proposizioni esprimibili nel linguaggio di Peano Arithmetic.
- Nessuna struttura che non si possa realizzare esplicitamente e costruttivamente, come un intero. Quindi nessun ordinale non numerabile, per esempio.
A differenza dei suoi seguaci, non ha detto che "finitario" significa "dimostrabile in Peano Arithmetic", o "dimostrabile in aritmetica ricorsiva primitiva ", perché non credo che credesse che fosse abbastanza forte. Hilbert aveva esperienza con l'induzione transfinita e il suo potere, e penso che, a differenza di altri che lo hanno seguito nel suo programma, fosse pronto ad accettare che l'induzione transfinita dimostra più teoremi della semplice induzione di Peano.
Cosa non era disposto ad accettare assiomi basati su una metafisica dell'esistenza stabilita. Cose come l'assioma del Powerset e l'assioma della scelta. Questi due assiomi producono sistemi che non solo violano l'intuizione, ma non sono inoltre ovviamente fondati sull'esperienza, cosicché gli assiomi non possono essere verificati dall'intuizione.
Quelli che seguirono Hilbert interpretarono il finitario come "dimostrabile in Peano Aritmetica" o un frammento più debole, come PRA. Data questa interpretazione, il teorema di Gödel uccide il programma di Hilbert. Ma questa interpretazione è folle, dato quello che sappiamo ora.
Hilbert ha scritto un libro sui fondamenti della matematica dopo il teorema di Gödel, e vorrei che fosse tradotto in inglese, perché non leggo il tedesco. Immagino che lì dentro dica quello che sto per dire qui.
Cosa significa finitario
La definizione di finitario è completamente ovvia oggi, dopo il 1936. Un'affermazione finitaria è un'affermazione vera sugli oggetti calcolabili, cose che possono essere rappresentate su un computer. Ciò equivale a dire che un'affermazione finitaria è una proposizione su numeri interi che può essere espressa (non necessariamente dimostrata ) nel linguaggio di Peano Arithmetic.
Questo include numeri interi, grafici finiti, stringhe di testo, manipolazioni simboliche, fondamentalmente, tutto ciò che Mathematica gestisce e include anche gli ordinali. Puoi rappresentare gli ordinali fino a $ \ epsilon_0 $, ad esempio, usando una stringa di testo che codifica la loro forma normale di Cantore.
Gli ordinali che possono essere rappresentati completamente da un computer sono limitati dal Church-Kleene ordinale, che chiamerò $ \ Omega $. Questo ordinale è relativamente piccolo nella teoria degli insiemi tradizionale, perché è un ordinale numerabile, che è facilmente superato da $ \ omega_1 $ (il primo ordinale non numerabile), $ \ omega_ \ Omega $ (ordinale non numerabile Church-Kleene-th), e l'ordinale di un enorme cardinale. Ma è importante capire che tutte le rappresentazioni computazionali degli ordinali sono sempre inferiori a questo.
Quindi quando stai facendo matematica finitaria, significa che stai parlando di oggetti che puoi rappresentare su una macchina, tu dovresti limitarti agli ordinali meno di Church-Kleene. Quanto segue sostiene che questa non è affatto una restrizione, poiché l'ordinale Church-Kleene può stabilire la coerenza di qualsiasi sistema.
Religione ordinale
Il teorema di Gödel è meglio interpretato come segue: Dato qualsiasi sistema assiomatico (coerente, omega-coerente), puoi renderlo più forte aggiungendo l'assioma "consis (S)". Esistono diversi modi per rendere il sistema più forte, e alcuni di essi non sono semplicemente correlati a questa estensione, ma considera questo.
Dato un qualsiasi sistema e un ordinale calcolabile, è possibile iterare il processo di rafforzamento fino a un ordinale. Quindi c'è una mappa dagli ordinali alla forza di coerenza. Ciò implica quanto segue:
- Le teorie naturali sono ordinate linearmente in base alla forza di coerenza.
- Le teorie naturali sono ben fondate (non esiste una catena discendente infinita di teorie $ A_k $ tali che $ A_k $ dimostra la coerenza di $ A_ {k + 1} $ per tutti i k).
- Le teorie naturali si avvicinano all'ordinale di Church Kleene in forza, ma non lo raggiungono mai.
È naturale assumere quanto segue:
- Data una sequenza di ordinali che si avvicina all'ordinale di Church-Kleene, le teorie corrispondenti a questo ordinale proveranno ogni teorema di aritmetica, incluso il coerenza di teorie coerenti arbitrariamente forti.
Inoltre, le prove di coerenza sono spesso eseguite anche in logica costruttiva, quindi in realtà:
- Ogni teorema che può essere dimostrato, nel limite dell'ordinale di Church-Kleene, ottiene una dimostrazione costruttiva.
Questa non è una contraddizione con il teorema di Gödel, perché la generazione di una sequenza ordinale che si avvicina a $ \ Omega $ cann Non essere fatto algoritmicamente, non può essere fatto su un computer. Inoltre, qualsiasi luogo finito non è filosoficamente molto più vicino a Church-Kleene di dove hai iniziato, perché c'è sempre infinitamente più struttura lasciata non descritta.
Quindi $ \ Omega $ sa tutto e dimostra tutto, ma tu non potrà mai comprenderlo completamente. Puoi avvicinarti solo con una serie di approssimazioni che non puoi mai specificare con precisione e che sono sempre in qualche modo infinitamente inadeguate.
Puoi credere che questo non sia vero, che ci sono affermazioni che rimangono indecidibili non importa quanto ti avvicini a Church-Kleene, e non so come convincerti del contrario, se non additando congetture di vecchia data che avrebbe potuto essere assolutamente indipendente, ma ricadde su metodi sufficientemente potenti. Credere che un sistema formale sufficientemente forte risolva tutte le questioni aritmetiche è un articolo di fede, articolato esplicitamente da Paul Cohen in Teoria degli insiemi e ipotesi del Continuum . Ci credo, ma non posso provarlo.
Analisi ordinale
Quindi, data qualsiasi teoria, come ZF, ci si aspetta che ci sia un ordinale calcolabile che può provare la sua coerenza. Quanto siamo vicini a farlo?
Sappiamo come dimostrare la coerenza di Peano Arithmetic --- questo può essere fatto in PA, PRA, o in Heyting Arithmetic (costruttivo Peano Arithmetic), usando solo l'assioma
- Ogni conto alla rovescia da $ \ epsilon_0 $ termina.
Ciò significa che l'ordinale teorico della dimostrazione di Peano Arithmetic è $ \ epsilon_0 $. Questo ti dice che l'aritmetica di Peano è coerente, perché è palesemente ovvio che $ \ epsilon_0 $ è un ordinale, quindi tutti i suoi conti alla rovescia terminano.
Ci sono teorie costruttive degli insiemi il cui ordinale teorico della dimostrazione è altrettanto ben compreso , vedi qui: "Analisi ordinale: teorie con ordinali teorici della dimostrazione più grandi".
Per andare oltre è necessario un progresso nei nostri sistemi di notazione ordinale, ma non ci sono limiti di principio per stabilire la consistenza di teorie sugli insiemi forti come ZF mediante ordinali computabili che possono essere compresi.
Così facendo si completerebbe il programma di Hilbert --- si rimuove qualsiasi necessità di un'ontologia di insiemi infiniti nel fare matematica. Puoi non credere nell'insieme di tutti i numeri reali e accettare comunque la coerenza di ZF o di cardinali inaccessibili (usando un ordinale più grande) e così via lungo la catena delle teorie.
Altre interpretazioni
Non tutti sono d'accordo con i sentimenti di cui sopra. Alcune persone vedono le proposizioni indecidibili come quelle fornite dal teorema di Gödel come aventi in qualche modo un valore di verità casuale, che non è determinato da nulla, quindi sono assolutamente indecidibili. Questo rende la matematica fondamentalmente casuale alla sua fondazione. Questo punto di vista è spesso sostenuto da Chaitin. In questo punto di vista, l'indecidibilità è una limitazione fondamentale a ciò che possiamo sapere sulla matematica, e quindi ha una somiglianza con una comune interpretazione errata del principio di indeterminazione di Heisenberg, che lo considera un limite a ciò che possiamo sapere sulla posizione e sulla quantità di moto simultanee di una particella (come se queste fossero variabili nascoste).
Credo che il teorema di Gödel non abbia assolutamente alcuna somiglianza con questa interpretazione errata del principio di indeterminazione di Heisenberg. L'interpretazione preferita del teorema di Gödel è che ogni frase dell'aritmetica di Peano è ancora vera o falsa, non casuale, e dovrebbe essere dimostrabile in una riflessione abbastanza forte dell'aritmetica di Peano. Il teorema di Gödel non ci impedisce di conoscere alla fine la risposta a ogni domanda di matematica.
Il programma di Hilbert è vivo e vegeto, perché sembra che gli ordinali numerabili inferiori a $ \ Omega $ risolvano ogni domanda matematica. Ciò significa che se qualche affermazione è irrisolvibile in ZFC, può essere risolta aggiungendo un'opportuna catena di assiomi della forma "ZFC è coerente", "ZFC + consis (ZFC) è coerente" e così via, iterato in modo transfinito fino a ordinale computabile numerabile, o allo stesso modo che inizia con PA, o PRA, o aritmetica di Heyting (forse ripetendo la scala teorica usando una dimensione del passo diversa, come l'aggiunta di induzione transfinita al limite di tutti gli ordinali dimostrabilmente ben ordinati nella teoria).
Il teorema di Gödel non stabilisce l'indecidibilità, ma solo l'indecidibilità relativa a un'assiomatizzazione fissa, e questa procedura produce un nuovo assioma che dovrebbe essere aggiunto per rafforzare il sistema. Questo è un ingrediente essenziale nell'analisi ordinale e l'analisi ordinale è solo il programma di Hilbert come viene chiamato oggi. In generale, tutti sbagliano, tranne la manciata di persone rimaste nella scuola tedesca di analisi ordinale. Ma questa è una di quelle cose che possono essere risolte gridando abbastanza forte.
Torkel Franzén
Ci sono libri sul teorema di Gödel che sono più sfumati, ma penso che lo capiscano ancora non del tutto esatto. Greg P dice, riguardo a Torkel Franzén:
Pensavo che il libro di Franzen evitasse l'intera faccenda "Il teorema di Goedel era la morte del programma di Hilbert". In ogni caso non era così semplicistico e dalla lettura si direbbe solo che il programma è stato "trasformato" nel senso che le persone non si limiteranno a ragionamenti finitari. Per quanto riguarda le cose di cui parli, il libro di John Stillwell "Roads to Infinity" è migliore. Ma il libro di Franzen è utile per questioni come la domanda di BCS (il teorema di Godel assomiglia al principio di indeterminazione).
Finitario significa computazionale e una dimostrazione di coerenza richiede solo un ordinale di complessità sufficiente.
Greg P ha risposto:
Il problema è allora cosa sia "finitario". Immagino di aver pensato che escludesse cose come l'induzione transfinita. Ma sembra che tu lo chiami finitario. Qual è quindi un esempio di ragionamento non finitario?
Quando l'ordinale non è calcolabile, se è più grande dell'ordinale Church-Kleene, allora è infinito. Se usi l'insieme di tutti i reali, o l'insieme di $ \ Bbb Z $ come un insieme con elementi discreti, è infinito. Gli ordinali che possono essere rappresentati su un computer sono finitari, e questo è il punto di vista che credo Hilbert inserisca nel Grundlagen , ma non è tradotto.