L'oscillatore armonico è importante perché è una soluzione approssimativa per quasi ogni sistema con un minimo di energia potenziale.

Il ragionamento deriva dall ' espansione di Taylor. Considera un sistema con energia potenziale data da $ U (x) $. Puoi approssimare $ U $ a $ x = x_0 $ di $$ U (x) = U (x_0) + (x-x_0) \ left. \ Frac {dU} {dx} \ right | _ {x_0} + \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ left. \ frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ cdots $$ Il sistema tenderà a stabilirsi nella configurazione dove $ U (x) $ ha un minimo --- ma, per definizione, è lì che la derivata prima $ dU / dx = 0 $ svanisce. Anche un offset costante a un'energia potenziale di solito non influisce sulla fisica. Questo ci lascia con $$ U (x) = \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ Left. \ Frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ mathcal O (x-x_0) ^ 3 \ approx \ frac12 k (x-x_0) ^ 2 $$ che è il potenziale dell'oscillatore armonico per piccole oscillazioni intorno a $ x_0 $.

Per iniziare, nota che esiste più di un'incarnazione dell '"" oscillatore armonico in fisica, quindi prima di indagarne il significato, è probabilmente utile chiarire di cosa si tratta.

Che cos'è l'oscillatore armonico?

Ci sono almeno due incarnazioni fondamentali dell '"oscillatore armonico" in fisica: l'oscillatore armonico classico e il quantistico oscillatore armonico. Ognuno di questi è una cosa matematica che può essere utilizzata per modellare una parte o tutti i sistemi fisici in un senso esatto o approssimativo a seconda del contesto.

La versione classica è incapsulata nella seguente equazione differenziale ordinaria (ODE) per una funzione sconosciuta a valori reali $ f $ di una variabile reale: \ begin {align} f ' '= - \ omega ^ 2 f \ end {align} dove i numeri primi qui indicano le derivate e $ \ omega $ è un numero reale. La versione quantistica è incapsulata dalla seguente relazione di commutazione tra un operatore $ a $ su uno spazio di Hilbert e il suo aggiunto $ a ^ \ dagger $: \ begin {align} [a, a ^ \ dagger] = I. \ end {align} Potrebbe non essere ovvio che questi abbiano qualcosa a che fare l'uno con l'altro a questo punto, ma lo fanno, e invece di rovinarti il ​​divertimento, ti invito a indagare ulteriormente se non hai familiarità con il quantum oscillatore armonico. Spesso, come menzionato nei commenti, $ a $ e $ a ^ \ dagger $ sono chiamati operatori ladder per ragioni che non trattiamo qui.

Ogni incarnazione di oscillazione armonica a cui posso pensare in la fisica si riduce a capire come una di queste due cose matematiche sia rilevante per un particolare sistema fisico, sia in senso esatto che approssimativo.

Perché questi modelli matematici sono importanti?

In breve, il significato dell'oscillatore armonico classico e quantistico deriva dalla loro ubiquità: sono assolutamente ovunque in fisica. Potremmo dedicare un'enorme quantità di tempo a cercare di capire perché è così, ma penso che sia più produttivo vedere la pervasività di questi modelli con alcuni esempi. Vorrei sottolineare che sebbene sia certamente vero che l'oscillatore armonico è un modello semplice ed elegante, penso che rispondere alla tua domanda dicendo che sia importante perché di questo fatto è un po 'supplicare la domanda . La semplicità non è una condizione sufficiente per l'utilità, ma in questo caso siamo fortunati che l'universo sembri davvero "apprezzare" questo sistema.

Dove troviamo il classico oscillatore armonico?

(questo non è affatto un elenco esaustivo e i suggerimenti per le aggiunte sono più che ben accetti!)

1. Messa sulla primavera della Legge di Hooke (il classico!). In questo caso, l'equazione classica dell'oscillatore armonico descrive l'equazione esatta del moto del sistema.
2. Molte (ma non tutte) situazioni classiche in cui una particella si muove vicino al minimo locale di un potenziale (come scrive rob nella sua risposta). In questi casi, la classica equazione dell'oscillatore armonico descrive la dinamica approssimativa del sistema a condizione che il suo movimento non si discosti in modo apprezzabile dal minimo locale del potenziale.
3. Sistemi classici di oscillatori accoppiati . In questo caso, se gli accoppiamenti sono lineari (come quando un gruppo di masse sono collegati dalle molle della Legge di Hooke) si può usare la magia dell'algebra lineare (autovalori e autovettori) per determinare i modi normali del sistema, ognuno dei quali agisce come un oscillatore armonico. Queste modalità normali possono quindi essere utilizzate per risolvere le dinamiche generali del sistema. Se gli accoppiamenti non sono lineari, l'oscillatore armonico diventa un'approssimazione per piccole deviazioni dall'equilibrio.
4. Analisi di Fourier e PDE . Ricorda che la serie di Fourier, che rappresenta sia funzioni periodiche sull'intera linea reale, sia funzioni su un intervallo finito, e le trasformate di Fourier sono costruite usando seno e coseno, e l'insieme $ \ {\ sin, \ cos \} $ forma una base per lo spazio delle soluzioni dell'equazione dell'oscillatore armonico classico. In questo senso, ogni volta che utilizzi l'analisi di Fourier per l'elaborazione del segnale o per risolvere una PDE, stai semplicemente utilizzando il classico oscillatore armonico su steroidi estremamente potenti.
5. Elettrodinamica classica . Questo in realtà rientra nell'ultimo punto poiché le onde elettromagnetiche derivano dalla risoluzione delle equazioni di Maxwell che in alcuni casi produce l'equazione d'onda che può essere risolta utilizzando l'analisi di Fourier.

Dove troviamo l'oscillatore armonico quantistico ?

1. Prendi uno dei sistemi fisici sopra, considera una versione meccanica quantistica di quel sistema e il sistema risultante sarà governato dall'oscillatore armonico quantistico. Ad esempio, immagina un piccolo sistema in cui una particella è intrappolata in un potenziale quadratico. Se il sistema è sufficientemente piccolo, gli effetti quantistici prevarranno e sarà necessario l'oscillatore armonico quantistico per descrivere accuratamente le sue dinamiche.
2. Vibrazioni reticolari e fononi . (Un esempio di ciò che affermo al punto 1 quando applicato a grandi sistemi di oscillatori accoppiati.
3. Campi quantistici. Questo è forse l'elemento più fondamentale e importante su uno di questi due Risulta che il modello fisico più fondamentale che abbiamo attualmente, vale a dire il modello standard della fisica delle particelle, è in definitiva basato sulla quantizzazione dei campi classici (come i campi elettromagnetici) e sulla realizzazione che le particelle fondamentalmente emergono solo dalle eccitazioni di questi campi, e questi le eccitazioni sono modellate matematicamente come un sistema infinito di oscillatori armonici quantistici accoppiati.

L'oscillatore armonico è comune

Appare in molti esempi quotidiani: pendoli, molle, elettronica (come il circuito RLC), onde stazionarie su una corda, ecc. È banale organizzare dimostrazioni di questi fenomeni e li vediamo costantemente.

L'oscillatore armonico è intuitivo

Possiamo immaginare le forze su sistemi come come un pendolo o una corda pizzicata. Ciò semplifica lo studio in classe. Al contrario, ci sono molti esempi "quotidiani" che non sono intuitivi, come il famigerato effetto Bernoulli che solleva un disco soffiando aria verso il basso . Questi paradossi sono grandi enigmi, ma confonderebbero (la maggior parte) degli studenti principianti.

L'oscillatore armonico è matematicamente semplice

La matematica fa parte della fisica. Nello studio del movimento armonico semplice, gli studenti possono utilizzare immediatamente le formule che descrivono il suo movimento. Queste formule sono comprensibili: ad esempio, l'equazione della frequenza mostra il risultato intuitivo che l'aumento della rigidità della molla aumenta la frequenza. A un livello più avanzato, gli studenti possono derivare le equazioni dai principi primi. La capacità di risolvere un problema della vita reale così facilmente è una chiara dimostrazione di come la fisica usa la matematica.

Anche l'ingegneria offre notevoli vantaggi. Molti sistemi, anche molto complessi, sono lineari. I sistemi lineari complicati agiscono come più oscillatori armonici. Ad esempio, una stringa appuntata vibra naturalmente a frequenze che sono multipli della sua fondamentale. Qualsiasi movimento della corda può essere rappresentato come una somma delle vibrazioni di ogni componente, con ogni componente indipendente dagli altri componenti. Questa sovrapposizione ci consente di modellare cose come pizzicare la stringa. Piastre circolari, camere per chitarra, grattacieli, antenne radio e persino molecole sono più complessi. Tuttavia, la sovrapposizione e altri strumenti della teoria dei sistemi lineari ci consentono ancora di prendere scorciatoie massicce sul calcolo e di fidarci dei risultati. Questi metodi di calcolo sono anche buoni strumenti di insegnamento per argomenti di algebra lineare ed equazioni differenziali.

Poiché l'oscillatore armonico è un sistema familiare che è così strettamente connesso con argomenti fondamentali in matematica, scienze e ingegneria è uno dei sistemi più ampiamente studiati e compresi.

Le altre risposte coprono già molti degli aspetti più importanti. Una applicazione interessante consiste nello scoprire come la forma dell'oscillatore armonico è collegata alla distribuzione gaussiana (normale), un altro costrutto matematico spesso utilizzato. Potrei averlo suggerito all'elenco di joshphysics, ma poiché richiede alcuni dettagli da apprezzare, ho deciso di renderlo una risposta autonoma (ma in realtà è più un commento tirato).

Prendi $ N $ variabili casuali indipendenti $ X_i $, ciascuna con varianza $ \ sigma $ e, per semplicità, significa $ 0 $. Ora la funzione caratteristica per una distribuzione di probabilità arbitraria $ P_X $ è $ G_X (k) = \ langle e ^ {ikX} \ rangle = \ int e ^ {ikx} P_X (x) \ mathrm {d} x $. Scrivendo l'esponenziale nella serie di Taylor (dove abbiamo troncato tutti i termini oltre il quadratico) $ e ^ {ikx} \ approx 1 + ixk - \ frac {1} {2} x ^ 2k ^ 2 $, abbiamo $ G_X (k) \ circa 1 - \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2 $.

Ora definisci una nuova variabile casuale $ Z = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ N X_i} {\ sqrt {N}} $, quindi $ G_Z (k) = \ left (G_X \ left (\ frac {k} {\ sqrt {N}} \ right) \ right) ^ N \ approx \ left (1 - \ frac {\ sigma ^ 2k ^ 2} {2N} \ right) ^ N $ e come $ N \ a \ infty $ (tutti i termini di ordine superiore nella riduzione della somma) abbiamo per definizione $ G_Z (k) = e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2} $ , che quindi fornisce la distribuzione gaussiana $$ P_Z (z) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ 2}} e ^ {- \ frac {z ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} } $$

Questa è una derivazione semplicistica del teorema del limite centrale, che è di enorme importanza in diverse aree della scienza e probabilmente tra i risultati più fondamentali della statistica.

Si noti che nella derivazione tutti i termini di ordine superiore sono stati eliminati (come da $ N \ a \ infty $) e l'unico rimanente era il termine quadratico, armonico. Ciò accade regolarmente nelle applicazioni in diversi domini, ma non riesco davvero a citare un motivo fondamentale per cui dovrebbe essere così.

Penso che la risposta di Rob sia abbastanza inclusiva e vera. Voglio solo aggiungere qualcosa. Se espandi il potenziale tramite le serie di Taylor, la derivata seconda cerca un vettore tangenziale nel punto $ x_0 $ che è il punto minimo della curva, quindi è zero. Quindi, abbiamo un potenziale della forma $ \ frac {1} {2} k (x-x_0) ^ 2 $ di cui abbiamo spostato l'origine di x alla posizione di $ x_0 $. Quindi approssimeremo la curva del potenziale a una parabola. Ciò rende l'oscillatore armonico importante per la fisica.