Il motivo per cui è così difficile capire cosa intendono i fisici quando parlano di "libertà di misura" è che ci sono almeno quattro definizioni inequivalenti che ho visto usate:

• Definizione 1: una teoria matematica ha una libertà di gauge se alcuni dei gradi di libertà matematici sono "ridondanti" nel senso che due differenti espressioni matematiche descrivono lo stesso identico sistema fisico. Quindi i gradi di libertà ridondanti (o "dipendenti da gauge") sono "non fisici" nel senso che nessun possibile esperimento potrebbe determinare in modo univoco i loro valori, anche in linea di principio. Un famoso esempio è la fase complessiva di uno stato quantistico: è completamente non misurabile e due vettori nello spazio di Hilbert che differiscono solo per una fase complessiva descrivono lo stesso identico stato. Un altro esempio, come hai detto, è qualsiasi tipo di potenziale che deve essere differenziato per produrre una quantità fisica, ad esempio una funzione energetica potenziale. (Anche se alcuni dei tuoi altri esempi, come la temperatura, non sono esempi di quantità dipendenti dal misuratore, perché c'è un senso fisico ben definito di temperatura zero.)

  Per i sistemi fisici descritti da strutture matematiche con una libertà di gauge, il modo migliore per definire matematicamente una specifica configurazione fisica è come una classe di equivalenza di funzioni dipendenti da gauge che differiscono solo per i gradi di libertà di gauge. Ad esempio, nella meccanica quantistica, uno stato fisico non è effettivamente descritto da un singolo vettore nello spazio di Hilbert, ma piuttosto da una classe di equivalenza di vettori che differiscono per un multiplo scalare complessivo. O più semplicemente, da una linea di vettori nello spazio di Hilbert. (Se vuoi avere fantasia, lo spazio degli stati fisici è chiamato "spazio di Hilbert proiettivo", che è l'insieme di linee nello spazio di Hilbert, o più precisamente una versione dello spazio di Hilbert in cui i vettori sono identificati se sono proporzionali Suppongo che potreste anche definire "energie potenziali fisiche" come insiemi di funzioni energetiche potenziali che differiscono solo per una costante additiva, sebbene in pratica sia un po 'eccessivo. Queste classi di equivalenza rimuovono la libertà di gauge per costruzione, quindi sono "invarianti di gauge".

  A volte (anche se non sempre) c'è una semplice operazione matematica che rimuove tutti i gradi di libertà ridondanti preservando tutti quelli fisici. Ad esempio, data un'energia potenziale, si può prendere il gradiente per produrre un campo di forza, che è direttamente misurabile. E nel caso del classico E&M, ci sono alcune combinazioni lineari di derivate parziali che riducono i potenziali a campi $ {\ bf E} $ e $ {\ bf B} $ direttamente misurabili senza perdere alcuna informazione fisica. Tuttavia, nel caso di un vettore in uno spazio quantistico di Hilbert, non esiste una semplice operazione derivativa che rimuova la libertà di fase senza perdere nient'altro.

• Definizione 2: uguale alla definizione 1, ma con il requisito aggiuntivo che i gradi di libertà ridondanti siano locali . Ciò significa che esiste un qualche tipo di operazione matematica che dipende da una funzione liscia arbitraria $ \ lambda (x) $ sullo spaziotempo che lascia invarianti i gradi di libertà fisici (cioè le quantità misurabili fisicamente) . L'esempio canonico ovviamente è che se prendi qualsiasi funzione liscia $ \ lambda (x) $, quindi aggiungi $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ al quadrotenziale elettromagnetico $ A_ \ mu (x) $ lascia le quantità fisiche (i campi $ {\ bf E} $ e $ {\ bf B} $) invariate. (Nella teoria dei campi, il requisito che i "gradi di libertà fisici" siano invariati è formulato nel senso che richiede che la densità lagrangiana $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ sia invariata, ma sono possibili altre formulazioni.) la definizione è chiaramente molto più rigorosa - gli esempi forniti sopra nella Definizione 1 non contano in questa definizione - e la maggior parte delle volte in cui i fisici parlano di "libertà di misura" questa è la definizione che intendono. In questo caso, invece di avere solo pochi gradi di libertà ridondanti / non fisici (come la costante complessiva per la tua energia potenziale), hai un numero continuamente infinito. (Per rendere le cose ancora più confuse, alcune persone usano la frase "simmetria di gauge globale" nel senso della Definizione 1 per descrivere cose come la libertà di fase globale di uno stato quantistico, che sarebbe chiaramente una contraddizione in termini nel senso di Definizione 2.)

  Si scopre che per affrontare questo problema nella teoria quantistica dei campi, è necessario modificare sostanzialmente il proprio approccio alla quantizzazione (tecnicamente, è necessario "misurare l'integrale del percorso") al fine di eliminare tutti i gradi non fisici di la libertà. Quando si parla di quantità "invarianti di gauge" in questa definizione, in pratica di solito si intendono le derivate misurabili direttamente fisicamente, come il tensore elettromagnetico $ F _ {\ mu \ nu} $, che rimangono invariate ("invarianti") sotto ogni trasformazione di gauge . Ma tecnicamente, ci sono anche altre quantità invarianti di gauge, ad es. una sovrapposizione quantistica uniforme di $ A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ su tutti i possibili $ \ lambda (x) $ per qualche $ A_ \ mu (x) particolare. $

  Vedi il post sul blog di Terry Tao per una grande spiegazione di questo secondo senso di simmetria di gauge da una prospettiva più matematica.

• Definizione 3: a volte si dice che una lagrangiana possiede una "simmetria di gauge" se esiste qualche operazione che dipende da una funzione continua arbitraria sullo spaziotempo che la lascia invariante, anche se i gradi di libertà vengono cambiati sono misurabili fisicamente.

• Definizione 4: per una "teoria di gauge su reticolo" definita su hamiltoniane reticolari locali, esiste un operatore supportato su ogni sito reticolare che commuta con l'hamiltoniano. In alcuni casi, questo operatore corrisponde a una quantità misurabile fisicamente.

I casi delle definizioni 3 e 4 sono un po 'concettualmente sottili, quindi non li approfondirò qui: posso affrontarli in una domanda di follow-up se qualcuno è interessato.

Update: Ho scritto risposte di follow-up per quanto riguarda se c'è un senso in cui i gradi di libertà di gauge possono essere fisicamente misurabili nel caso Hamiltoniano e nel caso Lagrangiano.

L'ho capito solo dopo aver seguito un corso di relatività generale (GR), geometria differenziale e teoria dei campi quantistici (QFT). L'essenza è solo un cambiamento dei sistemi di coordinate che deve riflettersi nella derivata. Spiegherò cosa intendo.

Hai una teoria invariante rispetto a qualche gruppo di simmetria. Quindi nell'elettrodinamica quantistica hai una densità lagrangiana per i fermioni (ancora nessun fotone) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu - m] \ psi (x) \,. $$ Questo $ \ bar \ psi $ è solo $ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $, importante è che sia coniugato in modo complesso. Il fatto che sia un quadrivettore nello spazio di spin non è motivo di preoccupazione qui. Quello che si può fare ora è trasformare $ \ psi \ in \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ con un po 'di $ \ alpha \ in \ mathbb R $. Quindi $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ e la lagrangiana sarà invariante poiché la derivata non agisce sulla funzione esponenziale, è solo un fattore di fase. Ecco una simmetria globale.

Ora promuovi la simmetria a una locale, perché no? Invece di un $ \ alpha $ globale, uno ora ha $ \ alpha (x) $. Ciò significa che scegliamo un $ \ alpha $ diverso in ogni punto dello spaziotempo. Il problema è che quando trasformiamo ora, si prende $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ con le regole di differenziazione della catena e del prodotto. All'inizio sembra una complicazione tecnica.

C'è un modo più chiaro per vedere questo:
Prendi una derivazione di un campo $ \ psi (x) $. Ciò significa prendere un quoziente di differenza come $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) - \ psi (x)} {\ epsilon} \, . $$ Funziona perfettamente con una trasformazione globale. Ma con la trasformazione locale, in pratica sottrai due valori che sono misurati in modo diverso. Nella geometria differenziale si ha che gli spazi tangenti nei diversi punti della varietà sono diversi e quindi non si possono confrontare i vettori solo per i loro componenti. È necessaria una connessione con coefficienti di connessione per fornire trasporto parallelo . È simile qui. Ora abbiamo promosso $ \ phi $ da $ \ mathbb R ^ 4 $ a vivere nel bundle $ \ mathbb R ^ 4 \ times S ^ 1 $ poiché abbiamo un gruppo di gauge U (1). Quindi abbiamo bisogno di una sorta di connessione per trasportare il $ \ phi $ trasformato da $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ a $ x $. È qui che si deve introdurre una connessione che è $$ \ partial_ \ mu \ to \ mathrm D_ \ mu: = \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Se lo inserisci nella densità di Lagrange per farlo $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu - m] \ psi (x) $$ e quindi scegli $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ vedrai che la densità lagrangiana rimane invariante anche sotto trasformazioni locali poiché il coefficiente di connessione sottrarrà semplicemente il termine indesiderato dalla regola del prodotto / catena.

Nella relatività generale hai la simmetria sotto diffeomorfismo arbitrario, il prezzo è che devi cambiare la derivata in una connessione, $$ \ partial \ to \ nabla: = \ partial + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Dato che hai menzionato di avere un background in matematica, potresti trovare carino rispondere in termini di classi di equivalenza.

Una teoria di gauge è una teoria fisica in cui le quantità osservabili, come le cose che potresti misurare con un esperimento con una perfetta attrezzatura di misurazione, sono classi di equivalenza in uno spazio vettoriale.

L'elettromagnitismo è l'esempio più comune. Le moderne teorie della fisica sono sempre scritte come fasci di fibre in cui la varietà sottostante è lo spaziotempo e le fibre sono uno spazio tangente associato a ciascun punto (chiamato evento) nello spaziotempo. E&M nello spazio libero (nessun addebito presente) è descritto associando un oggetto a 4 componenti chiamato $ A _ {\ mu} $ a ciascun punto spazio-tempo, $ x $, e richiedendo $ A _ {\ mu} (x) $ per soddisfare le equazioni di maxwell .

Tuttavia, le quantità osservabili, ugualmente misurabili, in natura sono i campi elettrico e magnetico, $ \ vec {E} (x) $ e $ \ vec {B} (x) $. Questi sono derivati ​​da $ A _ {\ mu} (x) $ usando la definizione data in questo wiki (guarda gli elementi della matrice di $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Risulta che la trasformazione $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ per qualsiasi funzione doppiamente differenziabili $ f (x) $ fornisce gli stessi valori dei campi osservabili $ \ vec {E} (x) $ e $ \ vec {B} (x) $. Quindi esiste una relazione di equivalenza

$ A _ {\ mu} (x) \ approx A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $.

E in generale, le teorie di gauge sono teorie in cui le quantità osservabili sono funzioni su classi di equivalenza di alcuni vettori in uno spazio vettoriale. In questo caso i nostri vettori erano $ A _ {\ mu} (x) $ (questi sono vettori nello spazio delle funzioni di due funzioni differenziabili nello spaziotempo) e la nostra relazione di equivalenza è stata data sopra.

Per quanto riguarda la tua domanda finale sul fatto che cose come l'energia totale del sistema determinata solo fino a un fattore costante in qualsiasi sistema di riferimento renda la dinamica newtoniana una teoria di gauge.La risposta è no, non proprio.Fondamentalmente, se non stai parlando di una teoria dei campi, un fisico non chiamerà la cosa una teoria di gauge.

L'invarianza dell'indicatore è semplicemente una ridondanza nella descrizione di un sistema fisico. Cioè possiamo scegliere da un numero infinito di potenziali vettoriali in E&M.

Ad esempio, un numero infinito di potenziali vettoriali può descrivere l'elettromagnetismo mediante la trasformazione seguente

$$ A (x) \ to A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ alpha (x) $$

La scelta di un indicatore specifico (fissaggio indicatore) può rendere la risoluzione di un problema fisico molto più semplice di quanto sarebbe se non si riparasse un indicatore.

Normalmente si sceglie l'indicatore di Coulomb: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Va ​​sottolineato che l'invarianza di gauge NON è una simmetria della natura e non è possibile misurare nulla ad essa associato.

L'invarianza di gauge è molto utile nella teoria quantistica dei campi ed è cruciale per dimostrare la rinormalizzabilità. Inoltre, gli elementi della matrice S in QFT richiedono una lagrangiana locale e quindi l'invarianza di gauge.

Come esempio del motivo per cui dovremmo introdurre il vettore potenziale $ A ^ \ mu $ si consideri l'effetto Aharonov-Bohm che si verifica a causa delle proprietà topologiche globali del potenziale vettore. Ci sono ancora altri motivi per cui l'invarianza di gauge semplifica la vita, riducendo i gradi di libertà del fotone nella cosiddetta covariante o $ R_ \ xi $ gauge, causalità, ecc. Essenzialmente l'utilità dell'invarianza di gauge non diventa del tutto evidente finché non si inizia a provare lavorare attraverso la teoria quantistica dei campi. : D

Questi calcoli molto spesso dipendono solo dalla differenza tra due valori, non dai valori concreti stessi. Sei quindi libero di scegliere uno zero a tuo piacimento. È un esempio di invarianza di gauge nello stesso senso degli esempi per laureati sopra?

Sì, in effetti lo è, nella definizione più generale di invarianza di gauge, è ciò che i fisici chiamano invarianza di gauge globale . Di seguito ne parleremo di più.

Se dovessi scrivere una risposta di una frase al tuo titolo, sarebbe questa:

L'invarianza del misuratore è la ben definibilità della legge fisica in una mappa quotent che condensa una configurazione / spazio dei parametri / coordinate per un sistema fisico in un insieme di classi di equivalenza di configurazioni fisicamente equivalenti.

Questo è nello stesso senso che, ad esempio, il prodotto coset è ben definito sotto la mappa che separa il sottogruppo normale di un gruppo. La fisica di una configurazione è indipendente dalla scelta del membro della classe di equivalenza .

Nei suoi termini più semplici, l'invarianza di gauge è semplicemente un'affermazione che c'è ridondanza in una descrizione matematica di un sistema fisico. In altre parole, il sistema ha una simmetria , un'invarianza rispetto a un gruppo di trasformazioni.

Una simmetria di gauge globale è quella in cui lo spazio di configurazione è un semplice prodotto cartesiano ( cioè un banale fascio di fibre) dell'insieme di classi di equivalenza fisicamente distinte e un ridondanteparametro, come con la differenza tra due valori di esempio.Se la descrizione fisica è una descrizione lagrangiana, allora è qui che il teorema di Noether viene alla ribalta e identifica le quantità conservate, una per ciascuno di questi parametri ridondanti.Il gruppo di gauge, cioè gruppo di simmetrie, influenza tutte le classi di equivalenza (fibre) allo stesso modo.La sottrazione di un potenziale costante da un potenziale elettrostatico è una tale simmetria e un enorme progresso per Corvid Civilization, in quanto consente ai corvi di sedersi su linee elettriche ad alta tensione e sparare felicemente insieme, discutendo i loro ultimi pensieri sulle teorie di gauge e dichiarando che "Mai più! "dobbiamo temere che l'aggiunta globale di 22kV al potenziale elettrostatico possa cambiare la fisica del sistema a cui apparteniamo.

Tuttavia, di solito quando i fisici parlano di una teoria di gauge, ne intendono una in cui il gruppo di simmetria può agire in modo più generale, con un membro del gruppo diverso che agisce in ogni punto dello spazio di configurazione. Il corrispondente fascio di fibre non è più banale. Anche se volevi un esempio più semplice dell'elettrodinamica, non credo che ce ne sia uno. La fase aggiunta alla funzione d'onda elettronica può essere qualsiasi funzione regolare di coordinate, ei termini extra che derivano dalla regola di Leibniz applicata alle derivate nell'equazione del moto della funzione d'onda (Dirac, Schrödinger) sono esattamente assorbiti nella parte chiusa della forma unica potenziale EM. Per inciso, per inciso, mi piace sempre visualizzare il potenziale EM nello spazio di Fourier, cosa che possiamo fare con restrizioni ragionevoli ( ad esempio un postulato che penseremo solo a distribuzioni temperate, per esempio) , perché la parte spaziale della parte ridondante del quattro-potenziale è quindi la sua componente lungo il vettore d'onda ( ie pensato come un 3-vettore), e solo la componente normale al vettore d'onda conta fisicamente: è l'unica parte che sopravvive a $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

Ci sono due cose che credo dovreste prendere dall'esempio EM:

1. Anche se praticamente porta a un po 'di ulteriore complessità, concettualmente è solo un piccolo salto dal tuo semplice esempio simmetrico di gauge globale; permettiamo semplicemente alle simmetrie di agire localmente invece di agire su tutti i punti dello spazio di configurazione allo stesso modo;

2. Prendendo spunto dall'elettromagnetismo sperimentalmente reale , postuliamo che questa invarianza di gauge potrebbe essere rilevante più in generale, e quindi osserviamo la sua presenza in altri fenomeni fisici. Questo non è altro che un atto motivato da un'intuizione. Sperimentalmente , troviamo che questa è una cosa fruttuosa da fare. In fisica, non esiste una visione più profonda dei risultati sperimentali.

Infine dovrei menzionare che le nozioni di gauge / fascio di fibre sono utili anche quando dichiariamo artificialmente classi di equivalenza di configurazioni basate sulle esigenze del nostro problema, anche se c'è una differenza fisica tra i membri della classe di equivalenza . Uno degli esempi più belli di questo modo di pensare è la "Teoria di Gauge del gatto che cade" di Montgomery. Studiamo classi di equivalenza della configurazione del gatto che sono equivalenti modulo una corretta isometria euclidea per formulare uno spazio a forma di gatto , che, nel trattamento standard in cui il gatto è pensato come un robot a due sezioni con twist-free il giunto sferico risulta essere il vero piano proiettivo $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. L'intero spazio di configurazione è quindi un fascio di fibre con lo spazio di forma $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ come base e il gruppo $ SO (3) $ che definisce gli orientamenti come fibra. Il gatto può capovolgersi conservando il momento angolare utilizzando deformazioni cicliche della propria forma a causa della curvatura della connessione che deriva dalla nozione di trasporto parallelo che è implicita nella conservazione del momento angolare.

Ecco l'esempio più elementare di simmetria di gauge a cui riesco a pensare.

Supponi di voler discutere di alcune formiche che camminano su una banda di Möbius. Per descrivere le posizioni delle formiche, è conveniente immaginare di tagliare la fascia lungo la sua larghezza, in modo che diventi un rettangolo. Quindi puoi dirmi dove si trova una formica dicendomi tre cose:

• La sua latitudine : la sua posizione lungo la larghezza del rettangolo.
• La sua longitudine : la sua posizione lungo la lunghezza del rettangolo.
• Il suo orientamento , se si aggrappa alla superficie superiore o inferiore del rettangolo.

Il significato di longitudine dipende dalla posizione di quel taglio immaginario. Se sposti il ​​taglio, la longitudine di tutte le formiche cambia. Non può esserci alcuna ragione fisica per preferire un taglio piuttosto che un altro, perché puoi far scorrere la fascia lungo la sua lunghezza senza cambiare la sua forma o influenzare il comportamento delle formiche. In altre parole, non può esserci alcuna nozione fisicamente significativa di longitudine assoluta, perché la banda ha una simmetria di traduzione .

Allo stesso modo, il significato di orientamento dipende da come etichetti le superfici del rettangolo come superiore e inferiore. Non può esserci alcuna ragione fisica per preferire un'etichettatura rispetto a un'altra, perché puoi scambiare le due superfici della fascia senza cambiare la sua forma o influenzare il comportamento delle formiche. Questo scambio è un esempio di simmetria di gauge . Ha alcune caratteristiche sorprendenti che non sono condivise dalle normali simmetrie. Diamo un'occhiata a uno di loro.

Per ogni simmetria di una situazione, c'è qualche aspetto della situazione che può essere descritto in più modi, senza alcun motivo fisico per scegliere tra di loro. A volte, però, è utile fare una scelta e attenersi ad essa, anche se la scelta è fisicamente priva di significato. Nelle discussioni sulle persone che navigano sulla superficie della Terra, ad esempio, praticamente tutti quelli che conosco definiscono la longitudine utilizzando un taglio che attraversa Greenwich, Londra, soprattutto perché alcune persone che vivevano lì hanno preso il sopravvento il mondo e ha stampato molte carte nautiche.

Se fossimo andati a guardare le formiche su un normale cinturino cilindrico, avremmo potuto optare per una nozione di orientamento altrettanto facilmente. Dipingeremmo un lato della fascia turchese per "sopra" e l'altro lato blu per "fondo", e sarebbe quello. Su una band Möbius, le cose sono più complicate, perché una band Möbius ha solo un lato! Se provi a dipingere una superficie turchese e la superficie opposta blu, partendo da una piccola regione della fascia e spostandoti verso l'esterno, le aree turchese e blu si scontreranno inevitabilmente. (Nella nostra precedente discussione, la collisione era nascosta lungo il taglio di longitudine.)

In una situazione con una simmetria ordinaria, come una simmetria di traduzione, non puoi scegliere tra le possibili descrizioni in un modo che sia fisicamente significativo. In una situazione con una simmetria di gauge, potresti non essere nemmeno in grado di scegliere tra le possibili descrizioni in un modo globalmente coerente! Puoi sempre, tuttavia, scegliere descrizioni coerenti in piccole regioni di spazio. Ecco perché le simmetrie di gauge sono spesso chiamate simmetrie locali .

Avendo tentato una descrizione lunga ed elementare di cosa sia una simmetria di gauge, vorrei anche offrirne una breve e sofisticata. Nei nostri modelli fisici più semplici, gli eventi si svolgono su una varietà fluida chiamata spazio o spaziotempo . Una simmetria ordinaria è un diffeomorfismo dello spaziotempo che preserva la possibilità fisica degli eventi. Nei modelli più sofisticati, gli eventi si svolgono su un fascio di fibre nello spazio-tempo. Una simmetria di gauge è un automorfismo del fascio di fibre che preserva la possibilità fisica di eventi.

Nel nostro esempio elementare, la banda di Möbius interpreta il ruolo dello spazio e le formiche camminano nel fascio di orientamento della banda. Il bundle di orientamento ha un automorfismo che scambia le due superfici della banda.

Nell'elettromagnetismo classico, lo spaziotempo di Minkowski o qualche altra varietà lorentziana svolge il ruolo di spaziotempo, e il campo elettromagnetico è rappresentato da una connessione su un fascio circolare sullo spaziotempo. Nella immagine di Kaluza-Klein, le particelle cariche si muovono nel fascio di cerchi, volando in linee rette le cui "ombre" nello spaziotempo sono i percorsi a spirale che vediamo. Il bundle circle ha una famiglia di automorfismi che ruotano le fibre del cerchio, che le persone fantasiose chiamano $ \ operatorname {U} (1) $ gauge simmetria. Questa immagine generalizza a tutte le teorie classiche di Yang-Mills.

Nella immagine di Palatini della relatività generale, una varietà uniforme a $ 4 $ gioca il ruolo dello spaziotempo e il campo gravitazionale è rappresentato da un $ \ operatorname {SO} (3,1) $ connessione sul fascio telaio del collettore. Sospetto che le simmetrie di gauge della gravità linearizzata che hai citato siano automorfismi del fascio di frame.

Nel quadro della relatività generale di Einstein, le simmetrie sono diffeomorfismi dello spaziotempo.Li classifico come simmetrie ordinarie, piuttosto che simmetrie di gauge.Come menzionato da tparker, tuttavia, non tutti usano il termine "simmetria di gauge" allo stesso modo.

Esiste un'interpretazione fisica molto interessante dell'invarianza di gauge nel caso della simmetria $ U (1) $. La simmetria di gauge è l'unico modo per ottenere l'interazione invariante di Lorentz tra materia (in senso lato - il campo di spin arbitrario) e fotoni (essendo particelle prive di massa con elicità 1), che diminuisce come $ \ frac {1} {r ^ { 2}} $ a grandi distanze (questa affermazione non è altro che la legge di Coulomb). In breve, il 4-potenziale $ A _ {\ mu} $, che fornisce la legge del quadrato inverso delle interazioni EM, non è covariante di Lorentz e la manifestazione dell'invarianza dell'interazione di Lorentz porta alla conservazione della carica locale.

In realtà, si può dimostrare da considerazioni molto generali, basate sulla simmetria del nostro spazio-tempo, che i fotoni sono presentati dal 4-tensore antisimmetrico $ F _ {\ mu \ nu} $, chiamato tensore di forza EM. È covariante di Lorentz formalmente (usando manipolazioni ingenue con indici tensoriali) e per costruzione (come il campo che rappresenta particelle con elicità 1), cioè sotto la trasformazione di Lorentz data dalla matrice $ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} $ viene trasformato come $$ F _ {\ mu \ nu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ Successivamente, supponiamo di avere campi di materia $ \ psi $ e discutiamo un'interazione della materia con i fotoni. Il modo più ovvio per ottenere tale interazione è ottenerla costruendo tutte le possibili convoluzioni di $ F _ {\ mu \ nu} $ con campi di materia e oggetti covarianti di Lorent (matrici di Dirac, connessione Levi-Civita ecc.). Supponiamo anche di sapere dall'esperimento che l'interazione cade come $ \ frac {1} {r ^ {2}} $ a grande distanza. Sfortunatamente, questo è impossibile, se usiamo $ F _ {\ mu \ nu} $. La ragione formale è che il propagatore di questo campo, che mostra la legge di interazione, cade più velocemente di $ \ frac {1} {r ^ {2}} $. Questo perché due indici e l'antisimmetria di $ F _ {\ mu \ nu} $.

Possiamo dare qualche suggerimento e introdurre l'oggetto $ A _ {\ mu} $ con un indice, chiamato 4-potential: $$ F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ Le interazioni ora sono costruite da convoluzioni di $ A _ {\ mu} $ con campi materia e altri oggetti covarianti.

Ovviamente, richiediamo che $ A _ {\ mu} $ rappresenti le particelle di elicità 1 prive di massa così come $ F _ {\ mu \ nu} $. Sfortunatamente, questo requisito porta all'affermazione che il potenziale 4 non è covariante di Lorentz (sebbene formalmente lo sia, ovviamente). Precisamente, sotto Lorentz il campo di trasformazione $ A _ {\ mu} $, che si presume rappresenti particelle prive di massa di elicità 1, viene modificato come $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $$ Vediamo che non è covariante di Lorentz. La lagrangiana gratuita per $ A _ {\ mu} $, che è giusto $$ L = - \ frac {1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}, $$ è invariante di Lorentz.

Ma esiste un modo per preservare l'invarianza delle interazioni di Lorentz. In questo modo è necessario costruirli in modo che siano invarianti sotto la trasformazione $ A _ {\ mu} \ in A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $. Precisamente, l'ampiezza dell'interazione $ M _ {\ mu_ {1} ... \ mu_ {n}} (p_ {i}, \ epsilon_ {j} (k_ {j})) $, dove $ \ epsilon $ sono fotone vettori di elicità (polarizzazione), $ p_ {i} $ sono tutti gli impulsi di particelle interagenti e $ k_ {j} $ sono i momenti di fotoni), devono essere invarianti sotto trasformazione $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu} (p) \ to \ epsilon _ {\ mu} (p) + \ alpha p _ {\ mu} $$ Sul linguaggio formale, come si può dimostrare trattando processi con emissione di fotoni molli (fotoni con momento quasi nullo), ciò significa che deve esserci legge di conservazione degli accoppiamenti di materia $ g_ {i} $: $$ g_ {1} + g_ {2} + ... = \ text {const} $$ Questa non è altro che la legge sulla conservazione della carica. Insieme a $ (2) $ questo non è altro che $ U (1) $ simmetria di gauge.

Quindi, vediamo che l'invarianza di Lorentz delle interazioni dei fotoni con la materia per legge del quadrato inverso porta all'invarianza di gauge. Analogamente si può argomentare il principio di equivalenza per il caso dell'interazione dei gravitoni con tutti i campi.

Le teorie di Gauge descrivono la connettività di uno spazio con piccole dimensioni extra simmetriche

Inizia con un cilindro infinito (il prodotto diretto di una linea e un piccolo cerchio). Il cilindro può essere attorcigliato. Per evitare di fare appello ai concetti che sto cercando di spiegare, dirò semplicemente che il cilindro è fatto di rete metallica: cerchi equidistanti saldati a fili che lo percorrono per tutta la lunghezza. I fili lunghi possono ruotare come un'unità, introducendo una torsione angolare tra ogni coppia di cerchi adiacenti. È chiaro che qualsiasi configurazione del genere può essere continuamente deformata in qualsiasi altra: tutti questi cilindri sono equivalenti dal punto di vista della proverbiale formica che vi striscia sopra.

Sostituisci la linea con un anello chiuso, in modo che il prodotto sia un toro (e pensa al toro come una ciambella a rete, anche se variando il piano dei piccoli cerchi in questo modo si rompe tecnicamente l'analogia). Qualsiasi porzione della ciambella al di fuori dell'intera cosa può essere deformata nella stessa porzione di qualsiasi altra ciambella, ma le ciambelle nel loro insieme a volte non possono esserlo, perché la torsione della rete attorno alla ciambella non può essere modificata. Le classi di ciambelle equivalenti sono completamente caratterizzate da questa svolta netta, che è intrinsecamente non locale.

Sostituisci il loop (non il piccolo cerchio) con un collettore di due o più dimensioni. È vero, anche se non ovvio, che la parte fisica della connessione è completamente data dalla torsione integrata attorno a tutti i loop chiusi ( Wilson loop).

$ A $ e $ F $ quantificano la connettività

Nel caso discreto, la connessione può essere descritta più semplicemente dando la torsione tra cerchi adiacenti. Nel limite del continuum, questo diventa un "gradiente di torsione" in ogni cerchio. Questo è $ A_ \ mu $, il cosiddetto potenziale vettoriale.

Qualsiasi deformazione continua può essere descritta da un campo scalare $ \ phi $ che rappresenta la quantità di torsione di ogni cerchio (rispetto a dove si trovava prima). Questo altera $ A_ \ mu $ del gradiente di $ \ phi $, ma non cambia alcuna quantità fisica (integrale del ciclo).

La descrizione in termini di loop di Wilson, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, è più elegante perché include solo quantità fisicamente significative, ma è non locale e altamente ridondante. Se lo spazio è semplicemente connesso, è possibile evitare la ridondanza e la non località specificando la torsione solo attorno ai loop differenziali, poiché da essi è possibile costruire loop più grandi. Il cosiddetto tensore di campo, $ \ partial_ \ nu A_ \ mu - \ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $, ti dà esattamente questo.

(Se lo spazio non è semplicemente connesso, puoi comunque farla franca con i circuiti differenziali più una torsione netta per ogni elemento di un generatore del gruppo fondamentale. Il toro era ovviamente un semplice esempio di questo.)

La forza proviene dall'effetto Aharonov – Bohm

Considera un campo scalare definito sull'intero spazio (a differenza dei campi precedenti, questo assume un valore in ogni punto di ogni cerchio). Il campo è zero ovunque tranne che per due fasci stretti che divergono da un punto e riconvergono da qualche altra parte. (Forse sono riflessi da specchi; forse lo spazio è curvo positivamente; non importa.)

A meno che il campo non sia costante attraverso i cerchi, il comportamento di interferenza dei raggi dipenderà dalla differenza nella torsione lungo i due percorsi. Questa differenza è solo l'integrale attorno al circuito chiuso formato dai percorsi.

Questo è l'effetto (generalizzato) Aharonov – Bohm. Se lo restringi a percorsi differentemente diversi e usi $ F _ {\ mu \ nu} $ per calcolare l'effetto sull'interferenza, ottieni la legge della forza elettromagnetica.

Puoi scomporre il campo in componenti di Fourier. Lo spettro di Fourier è discreto nella piccola dimensione. L'armonica zero (costante) non è influenzata dalla torsione. La seconda armonica è influenzata il doppio della prima. Queste sono le cariche elettriche.

In realtà, per ragioni sconosciute, sembrano esistere solo alcune armoniche extra-dimensionali. Se esiste solo la prima armonica, c'è una descrizione equivalente del campo come una singola ampiezza complessa + fase in ogni punto delle grandi dimensioni. La fase è relativa a un punto zero locale arbitrario che viene utilizzato anche dal potenziale vettoriale. Quando si confronta la fase con la fase in un punto vicino e c'è una torsione del potenziale vettoriale di $ \ mathrm d \ theta $ tra di loro, è necessario regolare il valore del campo di $ i \, \ mathrm d \ theta $ . Questa è l'origine della derivata covariante di gauge.

I cerchi si generalizzano ad altre forme

Se si sostituiscono i cerchi con 2 sfere, si ottiene una teoria di $ \ mathrm {SU} (2) $ di gauge. Numericamente è più cattivo: il gruppo di simmetria non è commutativo, quindi devi introdurre il meccanismo dell'algebra di Lie. Dal punto di vista geometrico, però, non è cambiato molto. La connettività è ancora descritta da una svolta netta attorno ai loop.

Una sfortunata differenza è che la descrizione della carica come armoniche extra dimensionali non funziona più. Le armoniche sferiche forniscono solo le rappresentazioni di spin intero e tutte le particelle conosciute sono nelle rappresentazioni di spin-0 o spin-½ del modello standard $ \ mathrm {SU} (2) $, quindi le particelle che sono influenzate da $ \ mathrm {SU} (2) $ force non può essere descritto in questo modo. Potrebbe esserci un modo per aggirare questo problema con un tipo di campo più esotico.

Non ho niente di perspicace da dire sulla parte $ \ mathrm {SU} (3) $ del gruppo di misuratori del Modello Standard, tranne per sottolineare che l'intero gruppo di misuratori SM può essere incorporato in $ \ mathrm {Spin} (10) $, e penso che sia più facile visualizzare una 9 sfere rispetto a una forma con $ \ mathrm {SU} (3) $ simmetria.

La relatività generale è simile

Nella relatività generale, il tensore di curvatura di Riemann è analogo al tensore di campo;rappresenta la rotazione angolare di un vettore trasportato attorno ad un anello differenziale.L'effetto Aharonov-Bohm è analogo al deficit angolare attorno a una stringa cosmica.La teoria di Kaluza-Klein si riferiva originariamente a un modo specifico per ottenere l'elettromagnetismo dalla relatività generale in cinque dimensioni;ora si riferisce spesso all'idea generale che le forze di gauge del Modello Standard e la relatività generale siano probabilmente aspetti diversi della stessa cosa.

In Elettrodinamica Classica (CED) l'invarianza di gauge significa indipendenza dei campi elettrico e magnetico da una particolare "scelta" dei potenziali $ \ varphi $ e $ \ bf {A} $.L'equazione per i potenziali dipende, ovviamente, dalla particolare scelta del "calibro", e danno soluzioni diverse per diversi calibri.

In QM e QED l'invarianza di gauge significa anche "invarianza" della forma delle equazioni (le soluzioni sono ancora diverse, ma fisicamente equivalenti).

Ma si dovrebbe tenere presente che qualsiasi utile modifica di una variabile è altrettanto accettabile se i risultati corrispondenti rimangono fisicamente gli stessi.Per questo la forma delle equazioni non dovrebbe essere obbligatoriamente "invariante".