Domanda:
Perché l'energia potenziale di una molla è la stessa quando è compressa e allungata?
PinkFloyd
2017-09-06 18:15:49 UTC
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Sto tenendo una conferenza al liceo e voglio introdurre l'energia potenziale di una primavera. I miei studenti non hanno imparato la legge di Hooke e la nozione di integrale è troppo avanzata. Sto davvero cercando di giustificare con un discorso che saluta la mano che l'energia è data da

$$ U = \ frac {1} {2} kd ^ 2. $$

Per farlo, lascio che si rendano conto che allungare / comprimere la molla cambierà la sua energia. Quindi questo mi consente di giustificare il motivo per cui dipende solo dalle proprietà della molla catturate da $ k $ e dalla deformazione $ d $.

Quindi, guardando le unità di energia, dovrebbero rendersi conto che la deformazione $ d $ deve essere al quadrato e che la costante $ k $ si prende cura delle unità rimanenti.

Ma se uno studente sostiene che $ k $ potrebbe essere definito con altre unità in modo che la dipendenza in $ d $ sia lineare, potrei rispondere che l'energia dovrebbe essere identica se la molla è allungata / compressa in modo che solo $ | d | $ o $ d ^ {2n} $ sono possibili soluzioni. Vedo come giustificare che $ | d | $ non è una soluzione fisica perché creerebbe una cuspide nell'energia in $ d = 0 $ e quella natura non piace (almeno al loro livello). Inoltre, avere $ n = 1 $ è solo il caso più semplice.

Il mio argomento mancante è quindi come giustificare che l'energia è la stessa quando una molla viene allungata / compressa di $ d $.

Per favore, mantieni le risposte chiare sulla matematica.

Cosa intendi per discontinuità in $ d = 0 $?La funzione $ | d | $ ** è ** continua lì, nessun problema.Non è differenziabile ... Ma è continuo, quindi potresti doverlo spiegare un po 'oltre.Suggerimento che saluta la mano: la natura non ama le "cuspidi".
"Ma se uno studente sostiene che kk potrebbe essere definito con altre unità in modo che la dipendenza in dd sia lineare" - se gli integrali sono troppo avanzati e non hanno ancora coperto la legge di Hooke, quanto è probabile una domanda come questa?Sono d'accordo con gli altri, la legge di Hooke F = kx vale i pochi secondi.
@Hamsteriffic, hai ragione volevo dire che la derivata è discontinua ... Questo si riduce allo stesso argomento che la natura "ama la levigatezza" (almeno nella meccanica classica)
Questo non dipende nemmeno dall'aspetto * linearità * della legge di Hooke !!!Richiede solo che la forza $ F (x) $ sia una funzione * dispari * dello spostamento $ x $, non una funzione * lineare *.Questo è tutto ciò di cui hai bisogno per mostrare che $ \ displaystyle \ int_0 ^ u F (x) \, dx = \ int_0 ^ {- u} F (x) \, dx $ per qualsiasi $ u $.
"Ma se uno studente sostiene che k potrebbe essere definito con altre unità ...", scusa, ma da quel momento in poi non riesco a vedere alcuna * matematica *.Riesco a vedere un sacco di sciocchezze pseudo-matematiche, però.
Questo è il problema XY.Hai iniziato a giustificare quella formula usando diverse cattive idee invece dell'unica idea corretta, la legge di Hooke.Ora vuoi aiutare a dimostrare uno di questi passaggi, che non è necessariamente vero.Questo non porterà alla fine a una risposta adeguata.Il tuo vero problema è capire e spiegare la legge di Hooke.
Concordato con @jwg.Penso che tu stia rendendo i tuoi studenti un disservizio con il tuo approccio.L'energia della molla è quadratica perché aumentando $ d $ aumenta sia la forza media che la distanza.È meglio insegnarglielo piuttosto che instillare l'idea che la fisica sia solo un mucchio di concetti casuali e non correlati in cui ti limiti a inventare cose mentre procedi.Non sono sicuro del motivo per cui vorresti parlare dell'energia di una molla se gli studenti non conoscono nemmeno la cosa più basilare della forza di una molla.
Otto risposte:
#1
+63
JMac
2017-09-06 18:56:27 UTC
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Un modo è spiegare come funziona effettivamente una molla.

Una molla elicoidale è un grande filo avvolto in un'elica.Quando comprimi o estendi una molla, dalla prospettiva del filo, non stai realmente spingendo o piegando.Invece, stai torcendo il cavo in un modo o nell'altro.

Ruotare una barra in senso orario o antiorario dovrebbe essere la stessa cosa.

Il tuo post riguarda le molle * elicoidali *.Ci sono altre forme di molle che si piegano, non si attorcigliano.In effetti, una barra ancorata a un'estremità è una forma molto comune di primavera.Ovviamente, per gli scopi di OP, guardare solo alle molle elicoidali è accettabile (e forse preferibile).
@PaulSinclair Buon punto.Puoi farlo con qualsiasi sistema progettato in modo appropriato purché si comporti come una "molla".Trovo solo che le molle elicoidali siano l'esempio più semplice, in cui tutti le hanno viste e capiscono approssimativamente cosa fanno.
Potrebbe anche essere utile ricordare che tutte le formule che usiamo in fisica sono in realtà * modelli * che approssimano il mondo reale abbastanza da vicino da poter usare i risultati che i modelli ci danno per fare cose, come costruire macchine funzionanti e svolgere compiti con quellemacchine.I modelli / le formule non dovrebbero essere presi per indicare il comportamento esatto e reale di qualcosa.
#2
+24
Gilbert
2017-09-06 18:55:35 UTC
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Sfortunatamente, non c'è una ragione fisica per cui l'energia debba essere la stessa in + de -d, perché in generale non lo è. Tutte le molle saranno non lineari e non simmetriche se le allunghi abbastanza. Il motivo per cui possiamo scrivere $ F = -kx $ è che puoi sempre linearizzare la forza per spostamenti sufficientemente piccoli, e quindi presumi di lavorare nel regime lineare. Potresti semplicemente dover affermare agli studenti che per spostamenti sufficientemente piccoli, le energie sono le stesse in ogni direzione. In alternativa, potresti usare un altro sistema per il quale non ci sarebbe motivo di credere che le energie non siano simmetriche, come un pendolo.

Un aspetto che potresti menzionare è che l'energia potenziale di una particella è correlata alla forza che la particella sente (poiché matematicamente la forza è il gradiente negativo dell'energia potenziale). Questo punto è utile per argomenti intuitivi. Ad esempio, puoi sostenere che l'energia non dovrebbe essere | d | perché allora la forza di ripristino sarebbe la stessa se la molla è tesa un po 'o molto, il che sembra irragionevole.

Se possibile, potresti anche chiedere agli studenti di testarlo con una molla in classe, sentendo la forza tenendo la molla spostata di quantità diverse in entrambe le direzioni per farli salire a bordo con l'idea che la forza sia simmetrica su entrambi i lati del punto di equilibrio e che aumenta man mano che si tira (o si spinge più lontano).

C'è una ragione fisica per cui è lineare, comunque.Generalmente con una molla si deforma elasticamente il materiale.A seconda del materiale utilizzato, in realtà c'è una parte abbastanza ampia della relazione di sforzo-deformazione che è molto lineare.Supponendo che tu sia disposto a ignorare errori molto piccoli dovuti a effetti di stress secondario e imperfezioni dei materiali, ci sono ragioni fisiche stabilite per cui sono lineari nell'intervallo operativo.
@JMac Buon punto!Sapevo che c'era un motivo per cui le molle sono generalmente abbastanza lineari, ma non riuscivo a individuarlo.Forse è un po 'sottile per gli studenti, però?
La simmetria energetica (per uno stiramento sufficientemente piccolo) è abbastanza fisica: una molla a riposo è in equilibrio, quindi il termine principale in un'espansione di Taylor non può essere altro che lineare (anche se potrebbe svanire)
@TobiasKienzler Sì, sono d'accordo.Sfortunatamente, non c'è alcuna ragione fisica per cui l'energia debba essere simmetrica per tutti i + de -d, perché potrei scegliere d per essere nel regime non lineare in generale.
@Gilbert d'accordo - in realtà è il contrario, puoi solo comprimere una molla una piccola quantità rispetto al potenziale filo diritto che potresti ritrovarti tirando (a meno che non si rompa prima).Ma sembra che siamo entrambi a conoscenza del disclaimer della legge di Hooke "Attenzione: potrebbe essere valido solo per piccoli spostamenti"
#3
+19
Digiproc
2017-09-06 18:44:39 UTC
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Questa è davvero una questione di pratica o teorica.Qualsiasi molla in realtà avrà un effetto non lineare.Ma in teoria lo ignoriamo per una comprensione di base.Quindi assumiamo che sia lineare.Ecco alcuni modi per affrontarlo: se il corpo della molla è nascosto ai tuoi occhi e tutto ciò a cui hai accesso è una maniglia mobile collegata all'estremità libera della molla (nascosta), allora non puoi dire in che modo la molla si distorce(allunga o comprimi) quando muovi quella maniglia - ci vuole la stessa quantità di energia per distorcerla alla stessa distanza.Inoltre, si consideri che un breve tratto della molla (ad esempio, un breve tratto del filo della molla, assumendo una molla elicoidale), si piega in un modo quando la molla è tesa e nell'altro modo quando la molla è compressa.Piegare un pezzo di metallo comprime un lato e allunga l'altro, oppure allunga un lato e comprime l'altro.Se la molla è omogenea, si tratta dello stesso tipo di distorsione.

Mi piace l'ultima parte della tua discussione con il breve tratto di una molla ...
"non puoi dire in che modo la molla si distorce (si allunga o si comprime) quando muovi quella maniglia" - Per ogni plausibile molla del mondo reale (elicoidale) tendo a non essere d'accordo.Spostando la maniglia nella direzione che comprime la molla, alla fine si avrà un arresto forzato in cui la molla raggiunge la massima compressione.Spostare la maniglia nell'altra direzione non incontrerà nulla del genere, almeno non finché la molla rimane una molla.Sarebbe impossibile dire se il raggio di movimento della maniglia è limitato a qualcosa che funziona ugualmente bene in entrambe le direzioni, ma quell'aspetto del design non è stato stabilito.
#4
+10
Yakk
2017-09-07 00:18:19 UTC
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I tuoi studenti hanno ragione. Senza la legge di Hooke, le molle immagazzinerebbero energia in modo lineare.

Cioè, se la forza per estendere o comprimere una stringa fosse costante indipendentemente dalla distanza dal "riposo" della molla, si finirebbe con k | d | energia immagazzinata spostando una molla d distanza.

E un dispositivo a molla che si comporta in questo modo è fisicamente possibile e ragionevole (con una buona approssimazione). Se la tua argomentazione non rispetta questo fatto, la tua argomentazione è sbagliata e qualsiasi convincimento dei tuoi studenti che riesci a ottenere è sbagliato.

Questa, tuttavia, è un'opportunità. Scrivi due equazioni differenti per l'energia immagazzinata in una molla, una con | d | e uno con d ^ 2.

Stabilisci come determinare quale è più corretto. Cosa prevede ciascuna equazione?

Presumo che sappiano che energia = forza moltiplicata per la distanza. Con | d | dovresti essere in grado di dimostrare che un piccolo cambio di distanza vicino a "riposo" e un piccolo cambio di distanza "lontano da riposo" dovrebbero comportare l'applicazione di una quantità uguale di forza.

Con d ^ 2 non è così; un movimento a piccola distanza vicino al riposo sarà meno forza di uno lontano dal riposo.

Quindi ora abbiamo una previsione:

  • Se E ~ k | d |, la forza che una molla applica vicino a riposo è uguale alla forza che una molla applica lontano da qui.

  • Se E ~ k d ^ 2, la forza che una molla applica vicino a riposo è molto inferiore alla forza che una molla applica lontano da qui.

Potresti andare oltre e capire se nel caso d ^ 2, la forza è approssimativamente proporzionale a d, ma non è necessario. 1

Ora, prendi due molle. Posizionane uno vicino al riposo. Mettine uno lontano dal riposo. Attaccali in modo che quello lontano dal riposo cerchi di allontanare il resto vicino dal resto.

Se | d | l'ipotesi è corretta, questo sistema dovrebbe essere in equilibrio, poiché entrambe le molle applicano la stessa forza.

Se l'ipotesi d ^ 2 è corretta, il sistema non lo è, e quello lontano dal resto dovrebbe tirare quello vicino al riposo.

E ... fatto.Abbiamo appena dimostrato sperimentalmente che | d |non è vero e che d ^ 2 è almeno coerente con le osservazioni.(Non abbiamo dimostrato che d ^ 2 sia corretto , questo richiede più lavoro).


1 Supponi che l'energia di una molla = 10 J * (d / 1 m) ^ 2.

L'energia a 1 cm e 2 cm è 0,0001 J e 0,0004 J, dandoci circa 0,0003 J delta.

L'energia a 1,01 me 1,02 m è 1,0201 J e 1,0404 J, il che ci dà circa 0,0203 J delta.

L'energia a 2,01 e 2,02 m è 4,0401 e 4,0804 J, dandoci un delta di 0,0403 J.

Se dividiamo il delta J per la distanza media di questi punti di prova, otteniamo F ~ 0,02 * d N / m supponendo che la forza non vari su piccole distanze.

Come notato, questo non è un requisito per l'argomento precedente.

Grazie per la tua risposta ma penso che tu abbia perso il punto della mia domanda ... So qual è la teoria e come funziona la primavera.Volevo solo trovare una semplice spiegazione (che non coinvolge l'equazione) sul perché l'energia potenziale di una molla è la stessa quando è allungata / compressa.Non stavo cercando di discutere contro i miei studenti.Non ho ancora tenuto quella conferenza quest'anno.
Mi piace come questa risposta capovolge il problema e considera come qualcosa con E ~ k | d |si comporterebbero, e come è diverso da quello che sappiamo su come le molle si comportano qualitativamente.
Mi piace come questa risposta si impegna nella fisica reale piuttosto che nella saggezza ricevuta.
#5
+9
Abhinav Dhawan
2017-09-06 18:46:11 UTC
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Non so se ho ragione, ma quello che mi viene in mente è il seguente:

Puoi dire loro di prendere (immaginare) due molle identiche e metterle in contatto l'una con l'altra su un lato e attaccarle alle pareti sugli altri lati.Ora applica la forza nel punto di contatto delle molle orizzontalmente, in modo che una venga allungata e l'altra compressa.

Ora, la distanza alla quale le molle sono state compresse è la stessa.Inoltre, il lavoro svolto su entrambi è lo stesso (sommando tutte le forze, inclusa la forza della molla l'una sull'altra), il che implica che l'energia immagazzinata o l'energia potenziale è la stessa.

Per favore correggimi se ho sbagliato da qualche parte o ho ignorato qualcosa.

Grazie.

Hai sbagliato supponendo che il lavoro svolto su entrambi fosse lo stesso.Devi provare questa ipotesi.
Non voglio usare la matematica nella mia risposta o una giustificazione formale, ma credo che possa essere facilmente dimostrato considerando che ogni molla è influenzata da una forza della molla dovuta a un'altra molla e forza applicata da noi.Anche lo spostamento è esattamente lo stesso, il che implica che il lavoro svolto su entrambe le molle è uguale.
Immagina che una sia una molla molto più rigida, ora lo spostamento è lo stesso ma il lavoro non è uguale.Come fai a sapere che non è vero anche per molle identiche?Probabilmente perché stavi pensando alla legge di Hooke, ma non puoi assumere la legge di Hooke per giustificare la legge di Hooke.
#6
+4
DarioP
2017-09-07 16:09:52 UTC
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Stai andando troppo oltre con il rasoio di Occam!Per questa fisica di base la cosa migliore è fare piccoli esperimenti dal vivo e lasciarli all'autorità della Natura.

Prendi una molla, appendila da qualche parte e allungala di una certa distanza $ d $ con un po 'di peso $ W $.Il lavoro svolto dal caricamento è: $ d \ times W = U $.Misurando $ d $ per pochi $ W $ e quindi calcolando $ U $ puoi facilmente verificare la dipendenza quadratica durante l'allungamento della molla.

Che dire di $ d $ negativi?Per questo dobbiamo ripetere l'esperimento comprimendo la molla.Fissando la molla a una superficie e caricando dei pesi sopra di essa puoi facilmente scoprire la stessa dipendenza quadratica.

Infine il punto chiave è che sia che la molla sia compressa o allungata, la forza e lo spostamento hanno sempre lo stesso segno (positivo o negativo), quindi abbiamo sempre un lavoro positivo sulla molla ed energia positiva immagazzinata in essa.

/ p>

#7
  0
Lenzuola
2017-09-08 20:19:55 UTC
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Se vuoi evitare il calcolo, fornisci loro una comprensione geometrica: traccia la linea $ F rispetto a x $ e afferma che l'energia è l'area tra l'asse x e la curva.Conoscono tutti l'area di un triangolo (da qui $ 1 / 2kx ^ 2 $)

Tuttavia ...

L'espressione dipende dalla primavera.Alcune molle sono a forza costante (molle a forza costante), quindi l'espressione per l'energia potenziale non sarebbe quadratica.

Quindi il modo migliore per evitare la matematica è semplicemente affermare che la legge di Hook è valida per la maggior parte delle molle, per piccole quantità di allungamento.Se chiedono perché l'energia è la stessa in compressione e tensione, rispondi semplicemente che ci sono molle per le quali questo non è vero.

#8
  0
Jahan Claes
2017-09-08 21:06:14 UTC
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Basta disegnare un grafico tra "lunghezza della molla" e "forza esercitata". Si spera che concorderanno sul fatto che se la molla è stata allungata di una distanza pari a zero, non eserciterà alcuna forza. Si spera che siano anche d'accordo sul fatto che se allunghi la molla nella direzione positiva, la forza è negativa e viceversa. E si spera che siano d'accordo sul fatto che se aumenti la distanza allungata, aumenterai la forza. Quindi dovresti essere in grado di convincerli a concordare sul fatto che il grafico assomiglia a questo:

enter image description here

Non importa la forma precisa della forza, solo la forma complessiva. Quindi dì: "ci concentreremo su ciò che accade quando la molla viene allungata solo una piccola quantità". Quindi disegna la linea tangente a zero:

enter image description here

Si spera che siano tutti d'accordo, solo dall'immagine, che questa è una buona approssimazione quando lo spostamento è piccolo. Quindi si può dire che, in questa approssimazione, la forza esercitata dalla molla è chiaramente uguale e opposta quando la molla è compressa o quando è tesa. Pertanto, la molla dovrebbe immagazzinare la stessa quantità di energia. Questo è un modo gentile per introdurre l'idea di un'espansione di Taylor del primo ordine, che è ciò su cui si basa la legge di Hooke, ma in un modo che è facile da capire graficamente. È molto più facile da capire di un'approssimazione di Taylor del secondo ordine all'energia, poiché non è ovvio il motivo per cui vorresti approssimare le cose per parabole se non hai mai visto una serie di Taylor. Ma è abbastanza ovvio il motivo per cui potresti voler approssimare le cose con linee rette.

Il tuo argomento è che se la forza della molla è simmetrica e regolare, può essere linearizzata.Tuttavia, la domanda è come giustificare che la forza sia simmetrica.
@Pere Non è necessario presumere che la forza sia simmetrica, solo che è liscia.Le funzioni non simmetriche hanno ancora espansioni di Taylor!
@Pere È vero che potrebbe essere meglio disegnare qualcosa di ovviamente non simmetrico sulla lavagna, però.I grafici che ho mostrato sembravano un po 'troppo simmetrici.
@Pere Modificato per includere grafici asimmetrici.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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