Un modo è spiegare come funziona effettivamente una molla.

Una molla elicoidale è un grande filo avvolto in un'elica.Quando comprimi o estendi una molla, dalla prospettiva del filo, non stai realmente spingendo o piegando.Invece, stai torcendo il cavo in un modo o nell'altro.

Ruotare una barra in senso orario o antiorario dovrebbe essere la stessa cosa.

Sfortunatamente, non c'è una ragione fisica per cui l'energia debba essere la stessa in + de -d, perché in generale non lo è. Tutte le molle saranno non lineari e non simmetriche se le allunghi abbastanza. Il motivo per cui possiamo scrivere $ F = -kx $ è che puoi sempre linearizzare la forza per spostamenti sufficientemente piccoli, e quindi presumi di lavorare nel regime lineare. Potresti semplicemente dover affermare agli studenti che per spostamenti sufficientemente piccoli, le energie sono le stesse in ogni direzione. In alternativa, potresti usare un altro sistema per il quale non ci sarebbe motivo di credere che le energie non siano simmetriche, come un pendolo.

Un aspetto che potresti menzionare è che l'energia potenziale di una particella è correlata alla forza che la particella sente (poiché matematicamente la forza è il gradiente negativo dell'energia potenziale). Questo punto è utile per argomenti intuitivi. Ad esempio, puoi sostenere che l'energia non dovrebbe essere | d | perché allora la forza di ripristino sarebbe la stessa se la molla è tesa un po 'o molto, il che sembra irragionevole.

Se possibile, potresti anche chiedere agli studenti di testarlo con una molla in classe, sentendo la forza tenendo la molla spostata di quantità diverse in entrambe le direzioni per farli salire a bordo con l'idea che la forza sia simmetrica su entrambi i lati del punto di equilibrio e che aumenta man mano che si tira (o si spinge più lontano).

Questa è davvero una questione di pratica o teorica.Qualsiasi molla in realtà avrà un effetto non lineare.Ma in teoria lo ignoriamo per una comprensione di base.Quindi assumiamo che sia lineare.Ecco alcuni modi per affrontarlo: se il corpo della molla è nascosto ai tuoi occhi e tutto ciò a cui hai accesso è una maniglia mobile collegata all'estremità libera della molla (nascosta), allora non puoi dire in che modo la molla si distorce(allunga o comprimi) quando muovi quella maniglia - ci vuole la stessa quantità di energia per distorcerla alla stessa distanza.Inoltre, si consideri che un breve tratto della molla (ad esempio, un breve tratto del filo della molla, assumendo una molla elicoidale), si piega in un modo quando la molla è tesa e nell'altro modo quando la molla è compressa.Piegare un pezzo di metallo comprime un lato e allunga l'altro, oppure allunga un lato e comprime l'altro.Se la molla è omogenea, si tratta dello stesso tipo di distorsione.

I tuoi studenti hanno ragione. Senza la legge di Hooke, le molle immagazzinerebbero energia in modo lineare.

Cioè, se la forza per estendere o comprimere una stringa fosse costante indipendentemente dalla distanza dal "riposo" della molla, si finirebbe con k | d | energia immagazzinata spostando una molla d distanza.

E un dispositivo a molla che si comporta in questo modo è fisicamente possibile e ragionevole (con una buona approssimazione). Se la tua argomentazione non rispetta questo fatto, la tua argomentazione è sbagliata e qualsiasi convincimento dei tuoi studenti che riesci a ottenere è sbagliato.

Questa, tuttavia, è un'opportunità. Scrivi due equazioni differenti per l'energia immagazzinata in una molla, una con | d | e uno con d ^ 2.

Stabilisci come determinare quale è più corretto. Cosa prevede ciascuna equazione?

Presumo che sappiano che energia = forza moltiplicata per la distanza. Con | d | dovresti essere in grado di dimostrare che un piccolo cambio di distanza vicino a "riposo" e un piccolo cambio di distanza "lontano da riposo" dovrebbero comportare l'applicazione di una quantità uguale di forza.

Con d ^ 2 non è così; un movimento a piccola distanza vicino al riposo sarà meno forza di uno lontano dal riposo.

Quindi ora abbiamo una previsione:

• Se E ~ k | d |, la forza che una molla applica vicino a riposo è uguale alla forza che una molla applica lontano da qui.

• Se E ~ k d ^ 2, la forza che una molla applica vicino a riposo è molto inferiore alla forza che una molla applica lontano da qui.

Potresti andare oltre e capire se nel caso d ^ 2, la forza è approssimativamente proporzionale a d, ma non è necessario. ¹

Ora, prendi due molle. Posizionane uno vicino al riposo. Mettine uno lontano dal riposo. Attaccali in modo che quello lontano dal riposo cerchi di allontanare il resto vicino dal resto.

Se | d | l'ipotesi è corretta, questo sistema dovrebbe essere in equilibrio, poiché entrambe le molle applicano la stessa forza.

Se l'ipotesi d ^ 2 è corretta, il sistema non lo è, e quello lontano dal resto dovrebbe tirare quello vicino al riposo.

E ... fatto.Abbiamo appena dimostrato sperimentalmente che | d |non è vero e che d ^ 2 è almeno coerente con le osservazioni.(Non abbiamo dimostrato che d ^ 2 sia corretto , questo richiede più lavoro).

¹ Supponi che l'energia di una molla = 10 J * (d / 1 m) ^ 2.

L'energia a 1 cm e 2 cm è 0,0001 J e 0,0004 J, dandoci circa 0,0003 J delta.

L'energia a 1,01 me 1,02 m è 1,0201 J e 1,0404 J, il che ci dà circa 0,0203 J delta.

L'energia a 2,01 e 2,02 m è 4,0401 e 4,0804 J, dandoci un delta di 0,0403 J.

Se dividiamo il delta J per la distanza media di questi punti di prova, otteniamo F ~ 0,02 * d N / m supponendo che la forza non vari su piccole distanze.

Come notato, questo non è un requisito per l'argomento precedente.

Non so se ho ragione, ma quello che mi viene in mente è il seguente:

Puoi dire loro di prendere (immaginare) due molle identiche e metterle in contatto l'una con l'altra su un lato e attaccarle alle pareti sugli altri lati.Ora applica la forza nel punto di contatto delle molle orizzontalmente, in modo che una venga allungata e l'altra compressa.

Ora, la distanza alla quale le molle sono state compresse è la stessa.Inoltre, il lavoro svolto su entrambi è lo stesso (sommando tutte le forze, inclusa la forza della molla l'una sull'altra), il che implica che l'energia immagazzinata o l'energia potenziale è la stessa.

Per favore correggimi se ho sbagliato da qualche parte o ho ignorato qualcosa.

Grazie.

Stai andando troppo oltre con il rasoio di Occam!Per questa fisica di base la cosa migliore è fare piccoli esperimenti dal vivo e lasciarli all'autorità della Natura.

Prendi una molla, appendila da qualche parte e allungala di una certa distanza $ d $ con un po 'di peso $ W $.Il lavoro svolto dal caricamento è: $ d \ times W = U $.Misurando $ d $ per pochi $ W $ e quindi calcolando $ U $ puoi facilmente verificare la dipendenza quadratica durante l'allungamento della molla.

Che dire di $ d $ negativi?Per questo dobbiamo ripetere l'esperimento comprimendo la molla.Fissando la molla a una superficie e caricando dei pesi sopra di essa puoi facilmente scoprire la stessa dipendenza quadratica.

Infine il punto chiave è che sia che la molla sia compressa o allungata, la forza e lo spostamento hanno sempre lo stesso segno (positivo o negativo), quindi abbiamo sempre un lavoro positivo sulla molla ed energia positiva immagazzinata in essa.

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Se vuoi evitare il calcolo, fornisci loro una comprensione geometrica: traccia la linea $ F rispetto a x $ e afferma che l'energia è l'area tra l'asse x e la curva.Conoscono tutti l'area di un triangolo (da qui $ 1 / 2kx ^ 2 $)

Tuttavia ...

L'espressione dipende dalla primavera.Alcune molle sono a forza costante (molle a forza costante), quindi l'espressione per l'energia potenziale non sarebbe quadratica.

Quindi il modo migliore per evitare la matematica è semplicemente affermare che la legge di Hook è valida per la maggior parte delle molle, per piccole quantità di allungamento.Se chiedono perché l'energia è la stessa in compressione e tensione, rispondi semplicemente che ci sono molle per le quali questo non è vero.

Basta disegnare un grafico tra "lunghezza della molla" e "forza esercitata". Si spera che concorderanno sul fatto che se la molla è stata allungata di una distanza pari a zero, non eserciterà alcuna forza. Si spera che siano anche d'accordo sul fatto che se allunghi la molla nella direzione positiva, la forza è negativa e viceversa. E si spera che siano d'accordo sul fatto che se aumenti la distanza allungata, aumenterai la forza. Quindi dovresti essere in grado di convincerli a concordare sul fatto che il grafico assomiglia a questo:

Non importa la forma precisa della forza, solo la forma complessiva. Quindi dì: "ci concentreremo su ciò che accade quando la molla viene allungata solo una piccola quantità". Quindi disegna la linea tangente a zero:

Si spera che siano tutti d'accordo, solo dall'immagine, che questa è una buona approssimazione quando lo spostamento è piccolo. Quindi si può dire che, in questa approssimazione, la forza esercitata dalla molla è chiaramente uguale e opposta quando la molla è compressa o quando è tesa. Pertanto, la molla dovrebbe immagazzinare la stessa quantità di energia. Questo è un modo gentile per introdurre l'idea di un'espansione di Taylor del primo ordine, che è ciò su cui si basa la legge di Hooke, ma in un modo che è facile da capire graficamente. È molto più facile da capire di un'approssimazione di Taylor del secondo ordine all'energia, poiché non è ovvio il motivo per cui vorresti approssimare le cose per parabole se non hai mai visto una serie di Taylor. Ma è abbastanza ovvio il motivo per cui potresti voler approssimare le cose con linee rette.