Introduzione

Questa risposta utilizzerà le idee discusse nelle risposte a Che cos'è il tempo, scorre e, in caso affermativo, cosa ne definisce la direzione?, quindi devi davvero leggi le risposte a questa domanda prima di affrontare questa.

Il concetto chiave di cui hai bisogno per capire la dilatazione del tempo è che un orologio non misura il flusso del tempo - il tempo non scorre nella relatività (vedi la domanda Che ora è ...? per ulteriori informazioni su questo argomento). Un orologio misura le distanze. Per spiegare cosa intendo, userò l'analogia del contachilometri nella tua auto. Se inizi a un certo punto $ A $ e guidi fino a $ B $ , il contachilometri ti dice quanto lontano nello spazio ti sei spostato. Quindi il cambiamento nella lettura del contachilometri è la distanza nello spazio $ A-B $ misurata lungo il percorso che hai preso. L'orologio della tua auto misura la distanza nel tempo tra i punti spaziotempo $ A $ e $ B $ cioè il cambio dell'orologio misura il numero di secondi tra l'uscita dal punto $ A $ e l'arrivo al punto $ B $ e il numero di secondi viene misurato anche lungo il percorso che hai preso nello spaziotempo . Quest'ultimo punto è importante, perché come vedremo la distanza nel tempo che ti muovi dipende dal tuo percorso, proprio come la distanza nello spazio percorsa.

Il motivo per cui dobbiamo trattare il tempo come una distanza è perché nella relatività non esiste una distinzione netta e rapida tra tempo e spazio. Puoi dividere lo spaziotempo in tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale, ma un osservatore diverso potrebbe fare questa divisione in un modo diverso e voi due non sareste d'accordo su cosa fosse il tempo e cosa fosse lo spazio. Nella relatività dobbiamo trattare la dimensione temporale proprio come le dimensioni spaziali. È solo una coordinata che va da (in linea di principio) $ - \ infty $ a $ \ infty $ solo come $ x $ , $ y $ e $ z $ coordinate da $ - \ infty $ a $ \ infty $ . Vedi la domanda Cos'è il tempo ...? per ulteriori informazioni su questo.

Il punto di tutto questo è che ci dà una definizione molto specifica di dilatazione del tempo. Se due diversi osservatori misurano la distanza tra due punti dello spaziotempo $ A $ e $ B $ , questa distanza sarà essere un quadrivettore con componenti temporali e spaziali. Dilatazione del tempo significa semplicemente che osservatori diversi non saranno d'accordo sull'entità della componente temporale di questa distanza, ovvero osserveranno una quantità di tempo diversa tra i due punti.

Un esempio di dilatazione del tempo

Per spiegare perché questo accade, facciamo un esempio specifico. Supponiamo che io ti stia osservando mentre ti muovi, allora nelle mie coordinate la tua traiettoria è una linea nello spaziotempo. Poiché non posso disegnare grafici quadridimensionali, supponiamo che ti stia muovendo solo lungo l'asse $ x $ , quindi tutto quello che devo disegnare è la tua traiettoria in $ x $ e $ t $ (tempo). Supponiamo che la tua traiettoria sia simile a questa:

Figura 1

Quindi partiamo entrambi dal punto $ A $ . Poiché sono fermo in queste coordinate, la mia traiettoria è dritta lungo l'asse del tempo fino a $ B $ , mentre la tua traiettoria (la linea rossa) si avvia verso l'aumento $ x $ , quindi si ferma, si gira e torna alla mia posizione. La distanza che ho percorso nel tempo è solo la distanza lungo l'asse del tempo da $ A $ a $ B $ span>: chiameremo questa distanza $ t_ {ab} $ . La distanza che hai mosso nel tempo è, beh, vediamo come calcolarla.

La Figura 1 mostra cosa succede nel mio sistema di coordinate, ma ora disegniamo lo stesso diagramma nel tuo sistema di coordinate cioè le coordinate in che tu resti fermo all'origine e io sposto:

Figura 2

Nelle tue coordinate sono io che mi muovo (indicato dalla linea nera) e tu rimani fermo, quindi nelle tue coordinate la tua traiettoria (la linea rossa) è dritta sull'asse del tempo e la distanza che ti muovi è solo la distanza nel tempo tra $ A $ e $ B $ . Chiameremo questa distanza $ \ tau_ {ab} $ .

Ora questo è il punto in cui le cose si fanno strane, ma in realtà è l'unico punto in cui le cose si fanno strane, quindi se riesci a superare questo punto sei a casa. La distanza $ \ tau_ {ab} $ nella figura 2 ha un significato speciale nella relatività. Si chiama tempo corretto ed è un principio fondamentale della relatività che il tempo appropriato sia un invariante . Ciò significa che l'ora corretta è la stessa per tutti gli osservatori, e in particolare è la stessa sia per te che per me. Ciò significa che - ed ecco il punto chiave:

La lunghezza della linea rossa è la stessa sia nella figura 1 che nella figura 2

Torniamo per un momento alla figura 1 e vediamo perché questo significa che ci deve essere dilatazione del tempo:

Figura 3

La lunghezza della mia riga da $ A $ a $ B $ , $ t_ {ab} $ , è ovviamente diversa dalla lunghezza della linea rossa di $ A $ a $ B $ , $ \ tau_ {ab} $ . Ma abbiamo già convenuto che la lunghezza della linea rossa è il tempo misurato tra i due punti e ciò significa che il tempo misurato tra $ A $ e $ B $ è diverso dal tempo misurato tra $ A $ e $ B $ :

$$ t_ {ab} \ ne \ tau_ {ab} $$

Ed è questo che intendiamo per dilatazione del tempo.

Se il mio scopo era dare un'idea intuitiva di come si verifica la dilatazione del tempo, probabilmente ho fallito perché è tutt'altro che intuitivo ovvio il motivo per cui la durata la linea rossa dovrebbe essere la stessa nella figura 1 e nella figura 2. Ma almeno l'ho ristretta a un passaggio non intuitivo, e se sei pronto ad accettarlo, il resto segue in modo semplice. Per renderlo quantitativo e spiegare esattamente cosa intendo per la lunghezza della linea rossa , dobbiamo concentrarci su un po 'di matematica.

E ora un po' di matematica

La situazione che ho disegnato nelle figure 1 e 2 è in realtà un po 'complicata perché implica l'accelerazione, cioè ti allontani da me, deceleri fino a fermarti e poi acceleri di nuovo verso di me. Per iniziare utilizzeremo il caso più semplice in cui devi solo andare a velocità costante e non accelerare. I nostri due diagrammi spaziotemporali hanno questo aspetto:

Figura 4

Nel mio frame stai viaggiando a velocità $ v $ , quindi dopo un po 'di tempo $ t $ misurata sul mio orologio la tua posizione è $ (t, vt) $ . Nel tuo frame sei fermo, quindi dopo un po 'di tempo $ T $ misurato sul tuo orologio la tua posizione è $ (T, 0 ) $ . E ricorda che abbiamo detto che la lunghezza della linea rossa deve essere la stessa sia per te che per me.

Per calcolare la lunghezza della linea rossa usiamo una funzione chiamata metrica. Probabilmente ti ricordi di aver imparato il teorema di Pitagora a scuola. Che ti dice per il triangolo rettangolo:

la lunghezza dell'ipotenusa è data da:

$$ s ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 $$

Questa equazione spiega come misurare il totale (cioè, in questo caso diagonale ), dati gli spostamenti in ciascuna direzione delle coordinate. Questa è precisamente l'informazione contenuta in una metrica: ti dice come misurare le distanze. L'equazione precedente lo fa fornendo una formula esplicita per la lunghezza di una linea, risultante dagli spostamenti delle coordinate nelle direzioni orizzontale e verticale (chiamiamoli $ x $ e $ y $ ). Ora, si può ovviamente pensare anche a distanze infinitesimali (infinitamente piccole, in senso limitativo). La formula diventa quindi semplicemente

$$ \ mathrm ds ^ 2 = \ mathrm dx ^ 2 + \ mathrm dy ^ 2 $$

Questo è chiamato l'elemento linea per lo spazio euclideo bidimensionale e codifica la metrica (euclidea) corrispondente. Per la relatività speciale dobbiamo estendere questa idea per includere tutte e tre le dimensioni spaziali più il tempo. Esistono vari modi per scrivere l'elemento line per la relatività speciale e per gli scopi di questo articolo lo scriverò come:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm dx ^ 2 + \ mathrm dy ^ 2 + \ mathrm dz ^ 2 $$

dove $ \ mathrm dt $ è la distanza percorsa nel tempo e $ \ mathrm dx $ , $ \ mathrm dy $ , $ \ mathrm dz $ sono le distanze spostato nello spazio.

Questa equazione codifica la metrica Minkowski e la quantità $ \ mathrm ds $ è chiamata la corretta distanza. Assomiglia un po 'al teorema di Pitagora ma nota che non possiamo semplicemente aggiungere tempo alla distanza perché hanno unità diverse - secondi e metri - quindi moltiplichiamo il tempo per la velocità della luce $ c $ in modo che il prodotto $ ct $ abbia unità di metri. Tieni inoltre presente che assegniamo a $ ct $ un segno meno nell'equazione: come vedrai, questo segno meno è ciò che spiega la dilatazione del tempo. Dato che stiamo considerando solo due dimensioni, la nostra equazione diventa:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm dx ^ 2 $$

OK, facciamo il calcolo. Poiché tutto il movimento è su una linea retta, non abbiamo bisogno dell'elemento linea infinitesimale e invece possiamo usare:

$$ \ Delta s ^ 2 = -c ^ 2 \ Delta t ^ 2 + \ Delta x ^ 2 $$

Inizia dalla cornice: non ti muovi nello spazio, quindi $ \ Delta x = 0 $ e sposti una distanza $ \ tau $ nel tempo, quindi $ \ Delta t = \ tau $ , dandoci:

$$ \ Delta s ^ 2 = -c ^ 2 \ tau ^ 2 $$ span>

Ora eseguiamo il calcolo nel mio frame. Nella mia cornice sposti una distanza nello spazio $ \ Delta x = vt $ e una distanza nel tempo $ \ Delta t = t $ quindi l'equazione per la lunghezza della linea rossa è:

$$ \ Delta s ^ 2 = -c ^ 2t ^ 2 + (vt) ^ 2 = -t ^ 2c ^ 2 \ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$

Poiché le lunghezze $ \ Delta s $ sono uguali in entrambi i frame combiniamo le due equazioni per ottenere:

$$ - c ^ 2 \ tau ^ 2 = -t ^ 2c ^ 2 \ left (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ right) $$

E riorganizzare dà :

$$ \ tau = t \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} = \ frac {t} {\ gamma} $$

dove $ \ gamma $ è il fattore Lorentz:

$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} $$

E questo è il risultato di cui abbiamo bisogno per mostrare la dilatazione del tempo. La distanza che hai percorso nel tempo $ \ tau $ è inferiore alla distanza che ho percorso nel tempo $ t $ span> di un fattore $ \ gamma $ .

Appendice: movimento accelerato

Ho iniziato la risposta principale con questo diagramma spaziotemporale:

Figura 1

ma poi è passato a un esempio più semplice quando si trattava di sfornare i calcoli. Questo perché non volevo distrarmi dal messaggio principale nella mia risposta, tuttavia, se qualcuno è interessato, spiegherò come trattiamo il movimento accelerato ora.

Per inciso, sentirai le persone affermare che la relatività speciale non può affrontare il movimento accelerato ma come stai per vedere questo semplicemente non è vero. Il principio di base è lo stesso: la lunghezza della traiettoria è la stessa per tutti gli osservatori. È solo che calcolare la lunghezza della traiettoria è un po 'più difficile.

Il calcolo che faremo è lo stesso di prima, ovvero calcolerò la distanza da $ A $ a $ B $ lungo la mia traiettoria, quindi calcola la distanza lungo la tua traiettoria e la dilatazione del tempo sarà la differenza tra loro. La distanza lungo la mia traiettoria è ovviamente solo la distanza lungo l'asse $ t $ (tempo), ma per te dobbiamo calcolare la lunghezza della curva rossa.

Lo facciamo suddividendo la curva in linee rette " infinitesimali":

Figura 2

Se approssimiamo la curva rossa con una serie di linee rette di lunghezza $ \ mathrm ds $ quindi la lunghezza totale della curva, $ \ Delta s $ , sarà semplicemente la somma delle lunghezze di tutte queste linee rette. Lasciamo che le lunghezze $ \ mathrm ds $ vadano a zero e sostituiamo la somma con un integrale:

$$ \ Delta s = \ int_A ^ B \, \ mathrm ds \ tag {1} $$

e la lunghezza $ \ mathrm ds $ è dato dalla stessa equazione che abbiamo usato nella risposta principale:

$$ ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + \ mathrm dx ^ 2 \ tag {2} $$

Il trucco che usiamo è notare che se sposti una distanza $ dx $ in un tempo $ dt $ span> allora la tua velocità è $ v = {\ mathrm dx} / {\ mathrm dt} $ , perché è esattamente come definiamo la velocità. Riorganizzare questo dà:

$$ \ mathrm dx = v \, \ mathrm dt $$

E possiamo sostituire questo nell'equazione (2) per ottenere:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2 \ mathrm dt ^ 2 + v ^ 2 (t) \ mathrm dt ^ 2 $$

dove $ v (t) $ è la tua velocità in funzione del tempo misurato nel mio telaio. Ora mettilo nell'equazione (1) e otteniamo:

$$ \ Delta s = -c \ int_A ^ B \, \ left (1 - \ frac {v (t) ^ 2} {c ^ 2} \ right) \, \ mathrm dt \ tag {3} $$

Infine notiamo che nel tuo frame la distanza che ti muovi è ancora dato dalla stessa equazione di prima:

$$ \ mathrm ds ^ 2 = -c ^ 2T ^ 2 $$

E otteniamo:

$$ T_ {AB} = \ int_A ^ B \, \ sqrt {1 - \ frac {v (t) ^ 2} {c ^ 2}} \, \ mathrm dt $$

dove $ T_ {AB} $ è il tempo trascorso misurato dal tuo orologio.

Per fare il calcolo abbiamo bisogno di conoscere l'equazione per la tua velocità in funzione del tempo, e questo dipende da come acceleri. In realtà fare i conti diventa abbastanza complicato abbastanza rapidamente, quindi non passerò attraverso i dettagli. Tuttavia possiamo vedere immediatamente che c'è una dilatazione del tempo e tu misuri meno tempo trascorso di me.

Se la tua velocità $ v (t) $ è positivo o negativo il quadrato, $ v ^ 2 (t) $ è sempre positivo e ciò significa che il fattore nella radice quadrata è sempre inferiore a 1:

$$ 1 - \ frac {v (t) ^ 2} {c ^ 2} \ lt 1 $$

Quindi noistanno integrando una funzione che è sempre inferiore a una da $ t = t_A $ a $ t = t_B $ e ciò significa che il risultato deve essere inferiore a $ t_B - t_A $ , ovvero:

$$ T_ {AB} \ lt t_B - t_A $$

Quindi il tuo tempo trascorso, $ T_ {AB} $ è sempremeno del mio tempo trascorso, $ t_B - t_A $ , non importa come cambi la velocità durante il tuo viaggio di andata e ritorno.

E a questo punto dovrestihanno notato che questo è solo il paradosso dei gemelli travestito.Questo mostra che il tempo trascorso per il gemello in accelerazione è sempre inferiore al tempo trascorso per il gemello fermo, sebbene ci siano più dettagli che dovranno attendere un altro post in un altro giorno.

Appendice: cosa ha osservato il gemello?

I più attenti potrebbero aver notato qualcosa che ho tralasciato nel mio calcolo nell'ultima sezione della risposta principale. Ho fornito questa cifra che mostra i diagrammi dello spaziotempo:

Poi ho fatto il calcolo della lunghezza della linea rossa nella mia cornice e Ho dimostrato che il tuo tempo trascorso è inferiore al mio tempo trascorso. Tutto abbastanza corretto ovviamente, ma aspetta, non è simmetrica la dilatazione del tempo? Non dovresti osservare il mio tempo per essere dilatato? Sì, in effetti, e lo scopo di questa appendice è spiegare cosa sta succedendo.

Se guardiamo il mio diagramma dello spaziotempo notiamo che tu ed io non siamo finiti negli stessi punti. Hai viaggiato da $ A $ a $ B $ mentre io viaggiavo da $ A $ a $ C $ . Nel mio frame i punti $ B $ e $ C $ sono simultanei, cioè hanno la stessa coordinata temporale, $ t_B = t_C $ , ed è per questo che posso affermare che esiste una dilatazione temporale. La mia affermazione è che entrambi abbiamo iniziato nello stesso momento $ t = t_A $ ed entrambi abbiamo terminato allo stesso tempo $ t = t_B = t_C $ ma i nostri orologi hanno misurato diversi tempi trascorsi mentre lo facevamo. Quindi deve esserci dilatazione del tempo.

Ma la mia affermazione che i punti $ B $ e $ C $ sono simultanei è vero solo nel mio frame e in tutti gli altri frame $ B $ e $ C $ sono non simultanei. Ciò significa che diversi osservatori non saranno d'accordo con il mio calcolo della dilatazione del tempo, ed è per questo che tu e io possiamo pensare che il tempo dell'altra persona sia dilatato. Vediamo come funziona.

Accelererò un sacco di matematica e ti dirò semplicemente che per trovare dove si trovano i punti dello spaziotempo in diversi frame usiamo un paio di equazioni chiamate trasformazioni di Lorentz. Questi sono:

$$ \ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - \ frac {vx} {c ^ 2} \ right ) \\ x '& = \ gamma \ left (x - vt \ right) \ end {align} $$

Prendi il punto $ B $ , che nelle mie coordinate è $ (t, vt) $ . Per trovare il punto corrispondente $ B '$ nelle tue coordinate basta collegare $ t = t $ e $ x = vt $ nelle equazioni per ottenere:

$$ \ begin {align} t '& = \ gamma \ sinistra (t - \ frac {v (vt)} {c ^ 2} \ destra) = \ gamma t \ sinistra (1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} \ destra) = \ frac {t} {\ gamma} \\ x '& = \ gamma \ left (vt - vt \ right) = 0 \ end {align} $$

Quindi nel tuo frame il punto $ B = (t / \ gamma, 0) $ . Ma questo lo sapevamo già. Nel tuo frame sei fermo all'origine quindi la tua posizione $ x $ è sempre zero e abbiamo già capito che il tuo tempo trascorso è $ T = t / \ gamma $ . Quindi le trasformazioni di Lorentz ci dicono quello che già sapevamo, il che è altrettanto vero!

Ma ora prendi il punto $ C $ , che è $ (t, 0) $ nel mio frame e vediamo dove si trova nel frame. Ancora una volta, inseriamo questi valori per $ t $ e $ x $ nelle trasformazioni di Lorentz e otteniamo:

$$ \ begin {align} t '& = \ gamma \ left (t - \ frac {v \, 0} {c ^ 2} \ right ) = \ gamma t \\ x '& = \ gamma \ left (0 - vt \ right) = - \ gamma vt \ end {align} $$

Disegniamo i nostri frame con tutti questi punti su di essi:

Quindi nel mio frame l'intervallo di tempo misurato sul mio orologiomentre io passo da $ A $ a $ C $ è $ t $ , ma nel tuo frame l'intervallo di tempo durante il quale passo da $ A $ a $ C $ è la distanza $ AD $ cioè è $ \ gamma t $ .E poiché $ \ gamma t \ gt t $ osservi che il mio tempo si dilata nello stesso modo in cui io osservo il tuo tempo da dilatare.È solo che siamo in disaccordo sui nostri punti di inizio e fine.

Confronto frame-to-frame di diagrammi e intervalli

Questa è un'aggiunta alla discussione principale di John Rennie in cui esaminiamo il classico paradosso dei gemelli disegnando esplicitamente il diagramma spazio-temporale delle rotte di entrambi i gemelli in due diversi frame e calcolando i loro intervalli esplicitamente in entrambi i modi per mostrare che il risultato non dipende da quale frame (singolo, inerziale) viene visualizzato l'esperimento.

Lo scenario qui mostra la gemella itinerante (Heidi) che fa $ 0,5c $ relativa alla Terra su entrambe le gambe del suo viaggio e visita un oggetto bersaglio una luce- anno dalla Terra senza scalo. Il gemello casalingo (Hans), ovviamente, rimane sulla Terra in trepidante attesa del loro ricongiungimento.

Come presupposto semplificativo qui si presume che l'accelerazione sia abbastanza veloce da non doverci preoccupare di mostrarla o aggiungerla ai nostri calcoli.

Earth Frame

Nella cornice della Terra, entrambe le tappe del Viaggio impiegano due anni per realizzare il diagramma

L'attesa per Hans è \ begin {align *} \ tau_ \ text {Hans} = - \ frac {\ sqrt {\ Delta s ^ 2_ \ text {Hans}}} {c} & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (4 \, \ text {anni}) ^ 2 - (0 \, \ text {anni luce}) ^ 2}} {c} \\ & = \ sqrt {(4 \, \ text {anni luce}) ^ 2} {c} \\ & = 4 \, \ text {anni} \ ;, \ end {align *} significa che Hans ha aspettato 4 anni.

Per Heidi la situazione è leggermente più complicata, si imbarca in due viaggi inerziali ed è facile misurare il giusto tempo trascorso su ognuno e poi sommarli insieme \ begin {align *} \ tau_ \ text {Heidi} & = \ tau_ \ text {out-bound} + \ tau_ \ text {in-bound} \\ & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (2 \, \ text {anni}) ^ 2 - (+1 \, \ text {anni luce}) ^ 2}} {c} + \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (2 \, \ text {anni}) ^ 2 - (-1 \, \ text {anni luce}) ^ 2}} {c} \\ & = 2 \ sqrt {(3 \, \ text {anni}) ^ 2} \\ & = 2 \ sqrt {3} \, \ text {anni} \ end {align *}

Alla loro riunione Heidi è sei mesi e mezzo più giovane di Hans.

Frame in uscita

È fantastico, ma uno degli svantaggi dell'utilizzo di un diagramma di Minkowski (al contrario di un diagramma di Loedel) è che sembra dare un posto speciale alla cornice con gli assi verticali.

Quindi scegliamo un diverso quadro di riferimento e rifacciamo tutto il lavoro per vedere se otteniamo la stessa risposta.

In questo caso userò il Frame of reference in cui la gamba in uscita di Heidi è a riposo. Ciò significa che la Terra si sposta all'indietro a $ 0,5c $ in questo frame.

Per disegnare questa figura avremmo bisogno di trovare le coordinate dell'arrivo di Heidi sull'oggetto bersaglio e di tornare sulla Terra in questo frame. Questo può essere fatto applicando direttamente la trasformata di Lorentz alle coordinate note di quei punti nel frame collegato alla Terra, o sapendo che un aumento di $ beta = v / c $ fa oscillare una linea su un diagramma attraverso un angolo di $ \ alpha = \ tan \ beta $ e fa sì che la linea venga scalata di un fattore di $$ s = \ frac {\ sqrt {1 + \ beta ^ 2}} {\ sqrt {1 - \ beta ^ 2}} \; $$ che potresti riconoscere come fattore di spostamento Doppler per la luce.

In ogni caso, l'ora di arrivo all'oggetto di destinazione è $ t_a = 1.73 \, \ text {years} $ e per il ritorno sulla Terra è $ t_r = 4.62 \, \ text {years} $ e la posizione del ritorno sulla Terra è $ - 2.31 \, \ text {anni luce} $ .

Questa volta abbiamo \ begin {align *} \ tau_ \ text {Hans} & = \ frac {\ sqrt {\ Delta s ^ 2}} {c} \\ & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (4.62 \, \ text {anni}) ^ 2 - (-2.31 \, \ text {anni luce}) ^ 2}} {c} \\ & = 4 \, \ text {anni} \ ;. \ end {align *}

Allo stesso modo, per Heidi otteniamo \ begin {align *} \ tau_ \ text {Heidi} & = \ tau_ \ text {out-bound} + \ tau_ \ text {in-bound} \\ & = \ frac {\ sqrt {c ^ 2 (1.73 \, \ text {anni}) ^ 2 - (0 \, \ text {anni luce}) ^ 2}} {c} + \ frac {\ sqrt {c ^ 2 ((4,62-1,73) \, \ text {anni}) ^ 2 - (-2,31 \, \ text {anni luce}) ^ 2}} {c} \\ & = 3.466 \, \ text {anni} \ circa 2 \ sqrt {3} \, \ text {anni} \ ;, \ end {align *} dove la piccolissima discrepanza alla fine è solo un errore di arrotondamento dovuto al troncamento delle cifre man mano che procedevamo. (Hai notato che $ 1,73 \ approx \ sqrt {3} $ ? Non è un caso, l'intervallo di ciascuna tappa del viaggio di Heidi deve essere lo stesso in ogni quadro di riferimento.)

In breve, lo stesso risultato.

Frame in-bound o alcuni frame non collegati a nessuno dei due.

A sinistra come esercizio. Vale la pena dedicare del tempo a ripetere tutto il lavoro e vedere che si continuano a ottenere gli stessi risultati in altri frame.

Risolvere il paradosso

Il paradosso è completamente risolto accettando che il tempo corretto $ \ tau $ sia (entro un segno e un fattore di $ c $ ) la radice quadrata dell'intervallo. Una volta accettato questo (sia l'affermazione che lo schema in base al quale viene calcolato l'intervallo), tutto il resto è solo disegnare percorsi e sommare il tempo appropriato.

Perché è importante accettare lo schema di calcolo? Nella geometria ordinaria una linea retta è la distanza più breve tra due punti. Nella geometria Minkowski la differenza di segno tra $ (\ Delta t) ^ 2 $ e $ (\ Delta x) ^ 2 $ significa che una linea retta è il tempo più lungo corretto tra due eventi.

Dovrei menzionare il ruolo dell'accelerazione perché spesso viene trattata come una sorta di polvere equa che risolve il paradosso.

Ciò che significa accelerazione è che la pendenza di una linea del mondo sta cambiando: cioè, questa linea del mondo non è diritta.E poiché non è dritto, non è il tempo proprio più lungo tra due eventi.Quindi, l'accelerazione ha quell'effetto non perché ci sia qualcosa di magico nel subire l'accelerazione, ma perché fa deviare la linea del mondo.Schemi di rigging in cui un messaggio viene passato in modo che nessuna "cosa" subisca accelerazione non cambia il fatto che il tuo messaggio prenda una linea di confine non retta tra gli eventi.

Le immagini qui riportate sono il mio lavoro originale e sono state preparate per la prima volta (in LaTeX, utilizzando TikZ) per una breve nota sull'intervallo spazio-temporale utilizzato nella mia lezione di fisica moderna.

Cos'è veramente la dilatazione del tempo?

Un tasso ridotto di movimento locale. Vedi Che cos'è il tempo, scorre e, in caso affermativo, cosa definisce la sua direzione? Come disse Einstein, il tempo è ciò che misurano gli orologi . E se dai uno sguardo scientifico empirico a ciò che fa veramente un orologio, vedrai che in realtà non misura la distanza nel tempo tra i punti dello spaziotempo A e B. Presenta semplicemente un cristallo vibrante o un bilanciere o un pendolo, e un qualche tipo di ingranaggio o elettronica per contare o tradurre questo movimento locale ciclico regolare per fornire una sorta di visualizzazione cumulativa. Un orologio "scandisce" il movimento locale, ecco tutto. E quando l'orologio va più lento è perché quel movimento locale sta andando più lentamente.

Qualcuno spiegherà cos'è realmente la dilatazione del tempo e come si verifica.

Come sopra, la dilatazione del tempo è un tasso ridotto di movimento locale. Vedi On the Electrodynamics of Moving Bodies dove Einstein ha parlato del tempo:

Ora dobbiamo tenere a mente che una descrizione matematica di questo tipo non ha significato fisico a meno che non sono abbastanza chiari su ciò che intendiamo per "tempo". Dobbiamo tenere conto che tutti i nostri giudizi in cui il tempo gioca un ruolo sono sempre giudizi di eventi simultanei. Se, per esempio, dico: "Quel treno arriva qui alle 7", intendo qualcosa del genere: "Il puntamento della lancetta dell'orologio verso le 7 e l'arrivo del treno sono eventi simultanei". / em>

Questa definizione operativa del tempo non è altro che la posizione delle lancette, che è solo una versione cumulativa di tutto il movimento locale ciclico regolare all'interno dell'orologio. Il meccanismo interno di un orologio non è chiamato movimento per niente. Einstein in seguito parlò del "tempo" richiesto dalla luce per viaggiare da A a B, che si collega bene alla semplice inferenza della dilatazione del tempo su Wikipedia:

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Presenta il movimento della luce in un orologio luminoso a specchio parallelo. Il tempo non è altro che il numero di volte in cui la luce si è riflessa sugli specchi. La dilatazione del tempo si verifica quando l'insieme si muove velocemente perché la luce prende un percorso a zig-zag piuttosto che un percorso dritto su e giù. Ma se zoomasse nel limpido cielo notturno e tu potessi guardarlo attraverso il tuo telescopio gedanken, dovresti eseguire una panoramica per mantenerlo nel tuo campo visivo. E in quel campo visivo il raggio di luce sembrerebbe muoversi verso l'alto e verso il basso, a una velocità più lenta del normale. Questa è la dilatazione del tempo della relatività speciale. È tutto qui. È così semplice. Il fattore di Lorentz $$ \ Delta t '= \ frac {\ Delta t} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} $$ è semplicemente derivato dal teorema di Pitagora, in cui l'ipotenusa è il percorso della luce, e la base è la velocità come frazione di c. L'altezza fornisce il fattore di Lorentz e utilizziamo un reciproco per distinguere la dilatazione del tempo dalla contrazione della lunghezza.

Ci sono molte domande e risposte su come calcolare la dilatazione del tempo, ma nessuna che dia un'idea intuitiva di come accade.

Penso l'articolo di Wikipedia è abbastanza buono per la relatività speciale. È molto semplice. La velocità di movimento locale è necessariamente ridotta dal movimento macroscopico attraverso lo spazio perché la velocità massima di movimento è c. Questa dilatazione del tempo si applica non solo alla luce, ma anche a tutte le cose materiali.

A chiesta da lucas:

Non so nulla di relatività ma non posso accettare che esista un fenomeno chiamato dilatazione del tempo. Tuttavia non ho alcun problema a causa della matematica dietro di esso. Non ho problemi se il tempo è dilatato, perché non so cosa sia il tempo. Ma mi chiedo quando dicono che un orologio funzionerà lentamente rispetto all'altro stesso orologio se la sua velocità è più alta.

1. Che tipo di orologi significano? Orologio analogico, orologio digitale, ecc.

2. Per quanto ne so, alcuni orologi meccanici funzionano grazie a una molla di torsione al loro interno. Allora, come fa il materiale della molla a sapere che deve srotolarsi lentamente a velocità più elevate? Una velocità maggiore modifica la struttura chimica o le proprietà fisiche del materiale della molla?

Risposta di Gennaro Tedesco:

L'orologio ovviamente non rallenta né accelera. Questa è solo una sfortunata terminologia per indicare che gli intervalli di tempo dipendono dal sistema di riferimento e diversi osservatori in diversi sistemi di riferimento possono misurare intervalli di tempo diversi se in moto relativo l'uno rispetto all'altro.

Abbiamo una nozione ben definita di tempo in fisica semplicemente perché sperimentalmente si trova che le velocità relative dei processi fisici sono le stesse sempre nelle stesse condizioni. Pertanto, scegli un processo fisico periodico la cui velocità è influenzata da fattori che possono essere controllati prontamente e ripetutamente e lo usi come orologio. Cioè, si misura il tempo trascorso contando i periodi di questo processo standard e si confrontano tutti gli altri processi fisici con questo. Vedi la mia risposta qui per maggiori dettagli.

Uno dei fattori sperimentalmente riscontrati per influenzare i tassi relativi dei processi fisici è la velocità relativa tra i frame inerziali in cui avvengono i processi fisici confrontati, ovvero il fattore di dilatazione del tempo e la trasformazione di Lorentz ci consentono di calcolare velocità relativa per due processi in frame inerziali differenti se conosciamo la loro velocità relativa quando avvengono nello stesso frame.

Questo è tutto ciò che la dilatazione del tempo è: un cambiamento nelle velocità relative dei processi fisici che si osserva sorgere dal movimento relativo tra diversi processi fisici. Una volta perso il bagaglio culturale sul "Tempo", questa differenza non sorprende: se si modifica un fattore in un esperimento, il cambiamento nel risultato sperimentale è completamente la norma, o almeno estremamente comune.

Prima di poter capire cos'è la dilatazione del tempo, è necessario capire cos'è il tempo. La parola tempo è un termine che descrive il movimento temporale. È il movimento delle cose fisiche, attraverso la dimensione temporale. In parole povere, ci muoviamo attraverso la dimensione spaziale e passiamo il tempo attraverso la dimensione temporale.

Poiché queste due dimensioni sono interconnesse, la nostra velocità temporale è inversamente proporzionale alla nostra velocità spaziale, e questo dà origine alla dilatazione del tempo. La dilatazione del tempo non è il tempo che accelera o rallenta. La dilatazione del tempo è quando qualcuno o qualcosa è più lento o più veloce.

Sfortunatamente, poiché la nostra velocità temporale determina la velocità dei processi atomici, biologici e meccanici, non percepiamo mai alcun cambiamento a livello locale. La nostra velocità di percezione rallenta esattamente come i nostri orologi. A noi tutto sembra normale. È solo quando confrontiamo il nostro orologio con qualcuno che ha una velocità temporale diversa, che vediamo una differenza.

La gravità influisce anche sulla velocità con cui cronometriamo, ma ne parlerò un'altra volta.