Per una particella libera relativistica si potrebbe pensare che la lagrangiana sarebbe come $$ \ tag {1} L ~ = ~ T ~ = ~ E-E_0 ~ = ~ (\ gamma -1) m_0c ^ 2. \ qquad (\ leftarrow \ text {Si è rivelato sbagliato!}) $$ non è così! Invece è $$ \ tag {2} L ~ = ~ - \ gamma ^ {- 1} m_0c ^ 2. $$ Queste due funzioni hanno il seguente aspetto

e non sono la stessa cosa. Questa scelta (2) del termine cinetico fornisce un impulso canonico

$$ p ~: = ~ \ frac {\ partial L} {\ partial v} ~ = ~ \ gamma m_0v, $$

come dovrebbe essere.

Solo un paio di osservazioni. La seconda è la più interessante, a mio avviso.

(1) La lagrangiana di una particella carica in un campo elettromagnetico assegnato ha ancora una lagrangiana $ {\ cal L} = TU $, ma qui $ U $ non è una funzione dipendente dalla posizione standard, poiché generalmente dipende anche da $ \ dot {q} $ e $ t $ come è ben noto (si veda il libro di testo di Jackson, per esempio).

La differenza tra la struttura di $ T $ e $ U $ è ora che la dipendenza di $ U $ da $ \ dot {q} $ è del primo ordine invece del secondo come in $ T $. Altrimenti il ​​determinismo ("normalità" delle equazioni di Eulero-Lagrange) potrebbe essere violato. Tuttavia non si può pensare a $ U $ come a un'energia potenziale. La stessa struttura di $ U = U (t, q, \ dot {q}) $ si ha se si includono in $ {\ cal L} $ forze inerziali quando si lavora in un generico sistema di riferimento non inerziale.

(2) Si consideri una particella classica sulla linea reale immersa in un liquido che dà origine ad una forza di attrito $ - \ gamma v $, con $ \ gamma>0 $ costante. Possiamo anche supporre che ci sia una forza di posizione con energia potenziale $ U = U (x) $. $ M>0 $ è la massa della particella e usiamo la sua coordinata $ x $ come coordinata lagrangiana. Questo sistema non è invariante con l'inversione temporale, tuttavia esiste una lagrangiana per questo sistema:

$$ {\ cal L} (t, x, \ dot {x}) = e ^ {\ gamma t / m} \ left (\ frac {1} {2} m \ dot {x} ^ 2 -U (x) \ right) \:. $$

Infatti, produce immediatamente il newtoniano corretto equazione:

$$ m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = - \ frac {dU} {dx} - \ gamma \ frac {dx} {dt} \:. $$

In una delle sue lezioni di meccanica classica (credo l'ultima espansione), Leonard Susskind ha risposto a una domanda simile dicendo (e non posso citare direttamente perché non ho il video davanti a me) che le lagrangiane sono semplicemente funzioni che portano alle corrette equazioni del moto. Aggiungerò che quelle equazioni del moto possono essere risolte e il comportamento risultante rispetto alla Natura come prova di correttezza. Susskind ha continuato dicendo che non esiste una regola per cui la lagrangiana di un sistema deve essere T - U e che possono esserci "termini incrociati" che descrivono certe interazioni. È andato oltre per dire qualcosa che mi è rimasto davvero impressionato, e cioè quando stiamo imparando il calcolo, non ci chiediamo mai: "Da dove otteniamo le funzioni che stiamo imparando ad analizzare?" Fondamentalmente li inventiamo o li indoviniamo o li deduciamo da comportamenti osservati (in fisica, comunque). Questa affermazione mi è sembrata piuttosto profonda.

Definizione della funzione lagrangiana

Secondo il corso di Landau-Lifchitz, la definizione del principio di minima azione contiene due punti sostanziali.

• Prima dice Ci risulta che ogni sistema meccanico è pienamente caratterizzato da una funzione che dipende dalle coordinate generalizzate, dalla derivata prima volta delle coordinate generalizzate e dal tempo. Tale funzione è chiamata Lagrangiana.

• Il secondo punto riguarda il problema della minimizzazione stesso. Il movimento del sistema soddisfa quanto segue. Considera due istanti distinti e le coordinate generalizzate associate che descrivono la posizione del sistema in quei due istanti. Tra questi due punti il ​​movimento è fatto in modo tale che l'integrale della funzione Lagrangiana tra questi due istanti sia minimizzato.

Da lì puoi ottenere l'equazione di Lagrange. Non si parla di $ L = T-U $.

Espressione della lagrangiana per una particella libera

Considerando un punto materiale libero scegliamo di descrivere il moto in un tipo specifico di frame. Una cornice dove lo spazio può essere considerato omogeneo, isotropo e dove il tempo è uniforme sembra essere la scelta più saggia. Supponendo che esista un tale frame (è chiamato frame di riferimento galileiano) quale sarebbe la forma della lagrangiana?

Poiché lo spazio è omogeneo, la lagrangiana non può contenere alcun termine che coinvolga le coordinate generalizzate. In altre parole, le leggi del moto non possono dipendere da dove si trova effettivamente il sistema. Poiché anche il tempo è omogeneo, otteniamo la stessa conclusione, il tempo non può apparire esplicitamente nella lagrangiana.

Anche lo spazio è isotropo, significa che le leggi del moto non possono dipendere dalla direzione del moto nello spazio. Allora la lagrangiana dipende solo dalla norma della velocità e quindi non dalla direzione del vettore velocità. Quindi la funzione lagrangiana dipende solo dal valore assoluto della velocità o dal quadrato del vettore velocità. $ L = a v ^ 2 $.

Se metti questa forma nell'equazione di Lagrange otterrai che $ v ^ 2 $ è una costante indipendente dal tempo. Allora otterrai la prima legge di Newton. Perseguendo questo ragionamento con lo studio di due quadri galileiani che si spostano uno dall'altro si concluderà su L proporzionale al quadrato della velocità.

Espressione generale della Lagrangiana

Si consideri un sistema isolato costituito di parecchie particelle. È possibile descrivere le interazioni tra tutte le particelle con una funzione che dipende solo dalla posizione di ciascuna particella. Puoi chiamare questa funzione $ -U $.

È importante capire perché questa funzione non può dipendere dal tempo. Nella meccanica classica consideriamo che l'interazione si propaga istantaneamente da una particella all'altra. Allora il tempo non può apparire esplicitamente in questa funzione -U.

Quindi la forma generale della funzione lagrangiana è $ L = T-U $. Utilizzando l'uniformità del tempo e le equazioni di Lagrange sarai in grado di scoprire che una certa quantità non dipende dal tempo: $$ E = \ sum_i \ dot {q_i} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q_i }} - L $$ Usando la forma $ TU $ della lagrangiana, la relazione sopra e il teorema della funzione omogenea di Eulero otterrai: $$ E = T + U $$ Ora, e solo ora, puoi dire che il totale l'energia del moto è la somma di due termini distinti. Il primo dipende solo dalla velocità e si chiama energia cinetica. Il secondo termine dipende solo dalla posizione e si chiama energia potenziale.

L'integrale dell'azione può essere nella forma "azione Jacobi", che ha il seguente aspetto:

$$ S = 2 \ int ^ {B} _ {A} \ sqrt {(EV) T} \ , \ mathrm {d} t $$

dove di solito $ E $ è costante, $ V = V (x) $ è l'energia potenziale e $ T = 2m $ è l'energia cinetica.

Per ulteriori informazioni su questo, vedere:

1. Brown, JD e JW York (1989). "L'azione di Jacobi e il recupero del tempo nella relatività generale". Physical Review D40 , 3312–3318. doi: 10.1103 / PhysRevD.40.3312.
2. Lanczos, C. (1970). I principi variazionali della meccanica . University of Toronto Press, Toronto.

Esistono molte altre versioni per derivare le equazioni del moto dal calcolo variazionale, vedere:

1. Spivak, M. ( 2010). Fisica per matematici, Meccanica I . Pubblica o muori.

Il punto è piuttosto sottile per un fisico non matematicamente istruito, poiché la distinzione è abbastanza tecnica. Secondo Arnold (vedi Riferimenti), diamo le seguenti definizioni.

Definizione. Sia $ M $ una varietà differenziabili, $ TM $ il suo fascio tangente e $ L: TM \ a M $ un'applicazione differenziabili. Un'applicazione $ \ gamma: \ mathbb R \ to TM $ è un movimento in un sistema lagrangiano con varietà di configurazione TM e funzione lagrangiana $ L $ se e solo se $ \ gamma $ è estrema per il funzionale

\ begin {equation} \ Phi (\ gamma) = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ mbox {dt} \, L (\ dot {\ gamma}). \ end {equation} $ \ dot {\ gamma} $ è detto vettore di velocità , $ \ dot {\ gamma} (t) \ in TM _ {\ gamma (t)}. $

Le coordinate locali $ q_1, \ dots, q_n $ del punto $ \ gamma (t) $ si evolvono secondo l'equazione di Eulero-Lagrange

\ begin {equation} \ frac {\ partial L} {\ partial q} = \ frac {\ mbox {d}} {\ mbox {d} {t}} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}}. \ end {equation}

Ora, supponiamo che $ M $ sia una varietà riemanniana , cioè una coppia $ (M, g) $, con $ M $ varietà differenziabili e $ g $ una forma quadratica definita positiva, solitamente indicato come $ \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle $. In questo caso, e solo in questo caso , possiamo definire un'energia cinetica come si intende solitamente:

Definizione Sia $ M $ essere una varietà riemanniana. Una forma quadratica $ K = \ frac {1} {2} \ langle v, v \ rangle $, dove $ v \ in TM_x $, definita su tutti i fasci tangenti è chiamata energia cinetica . Diciamo che $ U $ è un energia potenziale se e solo se $ U: M \ to \ mathbb R $ è una funzione derivabile.

Definizione. Un sistema lagrangiano su una varietà riemanniana è detto naturale se e solo se $ L = K - U $, per qualche $ K $ e $ U $ definiti in precedenza.

Nella meccanica classica, si tratta sempre di varietà riemanniane (a parte situazioni "patologiche"), quindi non si cura della distinzione. Se infatti nei corsi base non si pone mai un problema. Ma va sottolineato (dagli insegnanti, intendo) che lo spazio di Minkowski $ \ mathcal M ^ 4 $ della relatività speciale non è una varietà riemanniana, in realtà è uno pseudo-riemanniano uno (la metrica non è definita positiva), quindi la definizione di lagrangiana deve essere presa con cura. È chiaro che la situazione nella relatività generale è ancora più "drammatica" e definire una lagrangiana è un problema non trivalente.

L'esempio più noto di tale lagrangiana è, credo, quello di un particella libera nella relatività speciale: $ L = -mc ^ 2 \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} $. (Vedi Goldstein)

Riferimenti. V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica e celeste , capitolo IV.ùH. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Meccanica classica , edizione 3d, par. 7.9.

Per quanto ne so, nella meccanica classica $ L $ è definito esattamente come la differenza tra energia cinetica e potenziale. Al contrario, è l ' hamiltoniano che non sempre è uguale a $ T + U $ e dovrebbe essere definito come trasformata di Legendre della lagrangiana.

In modelli più complicati, come nella teoria dei campi, la lagrangiana potrebbe essere più complicata. Questo perché le lagrangiane, come operatori hamiltoniani nella meccanica quantistica, non sono determinate da una regola universale o da un teorema. Vengono scelti solo perché funzionano , cioè per un'analogia con la meccanica classica, o perché portano a equazioni di Eulero verificate fisicamente. In questo caso, non vi è alcun motivo speciale per cui una lagrangiana debba essere separabile in due distinti termini $ U $ e $ T $.

Per derivare le equazioni di campo della relatività generale (nel vuoto), la densità lagrangiana è semplicemente lo scalare di Ricci , che misura le deviazioni dallo spazio-tempo piatto. Questo è un buon esempio di Lagrangiana che non ha una vera interpretazione "energetica": nel vuoto chiaramente non c'è energia nella meccanica classica!

I) È interessante osservare che se l'hamiltoniano $ H = \ frac {p ^ 2} {2m} + U $ è della forma cinetica più energia potenziale , allora la così- chiamata Hamiltoniana Lagrangiana

$$ \ tag {A} L_H ~: = ~ p \ dot {q} -H ~ = ~ \ underbrace {(p \ dot {q} - \ frac {p ^ 2 } {2m})} _ {\ approx ~ \ frac {m} {2} \ dot {q} ^ 2} - U $$

ha anche la forma cinetica meno energia potenziale se usiamo una delle equazioni di Hamilton $ p \ approx m \ dot {q} $. Off-shell, tale interpretazione è più impegnativa. (Qui le parole on-shell e off-shell si riferiscono al fatto che le equazioni del moto (eom) siano soddisfatte o meno.)

II) Una lagrangiana hamiltoniana più generale è nella forma

$$ \ tag {B} L_H ~ = ~ \ theta_I \ dot {z} ^ I - H - \ lambda ^ a \ chi_a, $$

dove $ z ^ I $ sono le variabili fondamentali nella teoria, $ \ theta = \ theta_I (z) \ mathrm {d} z ^ I $ è una forma unica potenziale (pre) simplettica, $ H = H (z) $ è l'hamiltoniano, $ \ lambda ^ a $ sono i moltiplicatori di Lagrange e $ \ chi_a = \ chi_a (z) $ sono vincoli. Ci sono diversi meccanismi nella formulazione hamiltoniana che potrebbero complicare o addirittura ostacolare un'interpretazione come cinetica meno energia potenziale per l'Hamiltoniano Lagrangiano $ L_H $:

a) L'Hamiltoniano $ H $ non è nella forma cinetica più energia potenziale.

b) I vincoli $ \ chi_a $ sono soddisfatti solo on-shell. Off-shell, il il termine $ \ lambda ^ a \ chi_a $ non ha un'interpretazione come energia cinetica né potenziale.

c) La forma biforme $ \ omega = \ mathrm {d} \ theta $ può essere degenerata, vale a dire lo spazio delle fasi può essere presimplettico piuttosto che simplettico. In questi casi, non esiste un teorema di Darboux per garantire che $ \ theta $ sia localmente della forma $ p_i \ mathrm {d} q ^ i $.

III) Se OP vuole solo un semplice esempio, ecco un esempio di una particella puntiforme libera in due dimensioni [1]

$$ \ tag {C} L ~ = ~ m \ dot {x} \ dot { y}. $$

Questa lagrangiana (C) è diversa dalla lagrangiana standard di & a energia cinetica

$$ \ tag {D} L_0 ~ = ~ T ~ = ~ \ frac {m} {2} (\ dot {x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2). $$

Tuttavia, le equazioni di Eulero-Lagrange sono le stesse:

$$ \ tag {E} \ ddot {x} ~ = ~ 0 ~ = ~ \ ddot {y}. $$

È un esercizio semplice verificare che la lagrangiana (C) non sia banale nel senso di OP 1 & 2, cioè che la differenza tra $ L $ e $ L_0 $ (dove quest'ultima viene moltiplicata con una costante $ \ alpha $) non è mai una derivata temporale totale:

$$ \ tag {F} L- \ alpha L_0 ~ \ neq ~ \ frac {dF} {dt}. $$

Suggerimento per dimostrare l'eq. (F): è sufficiente verificare che la derivata funzionale di $ \ int \! \ mathbb {d} t ~ (L- \ alpha L_0) $ è diverso da zero. Perché?

IV) Per un altro esempio elementare, vedi questo post di Phys.SE.

Riferimenti:

1. M . Henneaux, Equazioni del moto, relazioni di commutazione e ambiguità nel formalismo lagrangiano, Ann. Phys. 140 (1982) 45.

Si noti inoltre che ci sono molti esempi di meccanica dei fluidi in cui $ L \ neq T-V $. In particolare quando viene utilizzato il sistema di riferimento Euleriano . Ad esempio, per le onde gravitazionali superficiali di acque profonde irrotazionali, la lagrangiana è scritta come

$ L = \ int \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ eta} \ phi_t + \ frac {1 } {2} (\ nabla \ phi) ^ 2 \ dz \ right) + \ frac {g} {2} \ eta ^ 2 \ dx $

dove $ \ phi $ è il potenziale di velocità, $ g $ è l'accelerazione dovuta alla gravità e $ \ eta $ è l'altezza della superficie. In questo caso, $ L \ neq T-V $, piuttosto possiamo riconoscerlo come (meno) la pressione sulla superficie libera. Questo è il caso perché la trasformazione da variabili lagrangiane (nel senso di seguire le particelle nel fluido) a variabili euleriane non è canonica.

Inoltre, si noti che la densità lagrangiana produce una dinamiche fino alla moltiplicazione per costanti e all'addizione di gradienti perfetti.

Ho sempre considerato l'esempio canonico come la lagrangiana per una carica puntuale (con addebito $ q $ e massa $ m $) in un campo EM esterno: $ L (\ vec {x}, \ vec {v}) = \ frac {1} {2} mv ^ 2 -q \ phi + q \ vec {A} (\ vec {x}) \ cdot \ vec {v} $, dove $ \ phi $ è il potenziale scalare per il campo elettrico e $ \ vec {A} $ è il potenziale vettore del campo magnetico.

Presumo che il caso in cui puoi scrivere $ L = TU $ abbia la struttura $$ L = T (\ dot {q}) - U (q) $$ con $ T (\ dot {q}) $ come energia cinetica dipendente dalla quantità di moto / velocità $ \ dot {q} $ e $ U ({q}) $ come energia potenziale dipendente dalle coordinate $ {q} $.

La teoria di Chern-Simons 2 + 1D è un esempio che non può essere scritto in questa forma.

Per i non abeliani Chern-Simons ha l'azione $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a \ wedge da + (2/3) a \ wedge a \ wedge a \ big) $$

Anche per la teoria abeliana di Chern-Simons, ha l'azione $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a \ wedge da \ big) $$ che fa il lavoro.

Il campo indicatore di forma abeliana 1 ha $ a = a_0 dt + a_1 dx_1 + a_2 dx_2 $ Se scegli l'indicatore temporale $ a_0 = 0 $, vedrai l'abeliano Chern La teoria di Simons ha la forma: $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a_2 \ frac {\ partial} {\ partial t} a_1 -a_1 \ frac {\ partial } {\ partial t} a_2 \ big) \; dt \, dx_1 \, dx_2 $$

Identificando $ a_1 \ sim x $ e $ a_2 \ sim y $, in modo efficace la lagrangiana è come: $$ \ boxed {L = \ frac {k} {4 \ pi} \ big (\ dot {x} \; y - \ dot {y} \; x \ big) = \ dot {\ vec {q}} \ cdot \ vec {A} (x, y)} $$

dove $ \ vec {q} = (x, y) $ e $ \ vec {A} = (A_x, A_y) = \ frac {k} {4 \ pi} (y, -x) $.

Effettivamente è come un professionista della meccanica quantistica blem - una particella con spostamento $ \ vec {q} $ che si muove in un campo magnetico uniforme: $ B = \ nabla \ times A = - \ frac {k} {2 \ pi} \ hat {z} $.

Vedi che la teoria di Chern-Simons deriva $ L = \ frac {k} {4 \ pi} \ big (\ dot {x} \; y - \ dot {y} \; x \ big) = \ punto {\ vec {q}} \ cdot \ vec {A} (x, y) $ non obbedisce a questa struttura $ L = T (\ dot {q}) - U (q) $.

Un altro esempio, espandendo la risposta di Qmechanic, può essere l'oscillatore armonico 2D, con la lagrangiana:

$ L = m \ dot {q} _1 \ dot {q} _2 - m \ omega ^ 2q_1q_2 $

questa lagrangiana ha lo stesso EoM del solito oscillatore armonico standard, ma è abbastanza diverso, il teorema di Noether fa un gran pasticcio delle solite simmetrie e delle quantità conservate, ad esempio il momento angolare $ l = m (q_1 \ dot {q} _2-q_2 \ dot {q} _1) $ ha una simmetria di compressione associata:

$$ \ left \ {\ begin {array} {l} q_1 \ mapsto q'_1 = e ^ {- \ eta} q_1 \\ q_2 \ mapsto q'_2 = e ^ {\ eta} q_2 \ end {array} \ right. $$

è gentile di strano, ma una cosa carina.

In caso di campi scalari, la lagrangiana non assume più la forma di potenziale cinetico negativo, ma viene generalizzata come energia cinetica meno energia del gradiente meno energia potenziale.