Domanda:
Perché non abbiamo uno spin maggiore di 2?
James
2011-09-21 18:36:35 UTC
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È comunemente affermato che nessuna teoria dei campi quantistica coerente e interagente può essere costruita con campi che hanno spin maggiore di 2 (possibilmente con qualche allusione alla rinormalizzazione). Ho anche visto (vedi Bailin and Love, Supersymmetry) che non possiamo avere un'elicità maggiore di 1, in assenza di gravità. Devo ancora vedere una spiegazione del motivo per cui questo è il caso; quindi qualcuno può aiutare?

Due risposte:
#1
+151
Ron Maimon
2011-09-28 13:24:05 UTC
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Le particelle di spin più alto devono essere accoppiate a correnti conservate e non ci sono correnti conservate di spin elevato nelle teorie dei campi quantistici. Le uniche correnti conservate sono le correnti vettoriali associate alle simmetrie interne, la corrente del tensore dell'energia di sollecitazione, la corrente del tensore del momento angolare e la supercorrente di spin-3/2, per una teoria supersimmetrica.

Questa restrizione sul correnti vincola gli spin a 0,1 / 2 (che non devono essere accoppiati a correnti), spin 1 (che deve essere accoppiato alle correnti vettoriali), spin 3/2 (che deve essere accoppiato a una supercorrente) e spin 2 (che deve essere accoppiato al tensore stress-energia). L'argomento è euristico e non credo che raggiunga il livello di una dimostrazione matematica, ma è abbastanza plausibile per essere una buona guida.

Preliminari: tutte le possibili simmetrie della matrice S

Dovresti accettare il seguente risultato di O'Raferteigh, Coleman e Mandula --- le simmetrie continue della matrice S delle particelle, assumendo un gap di massa e invarianza di Lorentz, sono un gruppo di Lie di simmetrie interne, più il gruppo Lorentz. Questo teorema è vero, date le sue ipotesi, ma queste ipotesi tralasciano molti aspetti fisici interessanti:

  • Coleman-Mandula presume che la simmetria sia una simmetria della matrice S, il che significa che agisce in modo non banale su uno stato delle particelle. Questo sembra innocuo, finché non ti rendi conto che puoi avere una simmetria che non tocca gli stati delle particelle, ma agisce solo in modo non banale su oggetti come stringhe e membrane. Tali simmetrie sarebbero rilevanti solo per la dispersione di oggetti di energia infinita infinitamente estesi, quindi non si presentano nella matrice S. Le trasformazioni diventerebbero banali ogni volta che questi fogli si chiudono su se stessi per formare una particella localizzata. Se guardi all'argomento di Coleman e Mandula (una versione semplice è presentata nelle note di supersimmetria di Argyres, che dà il sapore. C'è un'eccellente presentazione completa nel libro di teoria dei campi di Weinberg, e l'articolo originale è accessibile e chiaro), quasi chiede che gli oggetti caricati sotto la simmetria superiore siano estesi spazialmente. Quando hai esteso gli oggetti fondamentali, non è chiaro che stai più facendo la teoria dei campi. Se gli oggetti estesi sono solitoni in una teoria dei campi rinormalizzabile, è possibile ingrandire lo scattering a distanza ultra corta e considerare la teoria del punto fisso ultravioletto come la teoria del campo che si sta studiando, e questo è sufficiente per comprendere la maggior parte degli esempi. Ma l'eccezione dell'oggetto esteso è la più importante e deve essere sempre tenuta in mente.
  • Coleman e Mandula ipotizzano un divario di massa. L'estensione standard di questo teorema al caso senza massa estende semplicemente la massima simmetria dal gruppo di Poincaré al gruppo conforme, per consentire alla parte spazio-temporale di essere più grande. Ma Coleman e Madula usano proprietà di analiticità che non sono sicuro possano essere usate in una teoria conforme con tutti i rami che non sono controllati da lacune di massa. Il risultato è estremamente plausibile, ma non sono sicuro che sia ancora rigorosamente vero. Questo è un esercizio a Weinberg, che purtroppo non ho fatto.
  • Coleman e Mandula ignorano le supersimmetrie. Questo è stato risolto da Haag-Lopuszanski-Sohnius, che usa il teorema della mandula di Coleman per sostenere che la struttura di simmetria massima di una teoria quantistica dei campi è un gruppo superconformale più simmetrie interne, e che la supersimmetria deve chiudersi sul tensore energia-stress.

Ciò che il teorema di Coleman Mandula significa in pratica è che ogni volta che hai una corrente conservata in una teoria quantistica dei campi, e questa corrente agisce in modo non banale sulle particelle, allora non deve portare alcun indice spazio-temporale diverso dall'indice vettoriale, con le uniche eccezioni che sono le correnti geometriche: una corrente di supersimmetria di spinore, $ J ^ {\ alpha \ mu} $, il tensore energia-sforzo (simmetrico Belinfante) $ T ^ {\ mu \ nu} $ , il tensore del momento angolare (Belinfante) $ S ^ {\ mu \ nu \ lambda} = x ^ {\ mu} T ^ {\ nu \ lambda} - x ^ \ nu T ^ {\ mu \ lambda} $, e a volte la corrente di dilatazione $ D ^ \ mu = x ^ \ mu T ^ \ alpha_ \ alpha $ e anche le correnti conformi e superconformali.

Lo spin delle correnti conservate si trova dalla teoria delle rappresentazioni --- ant gli indici isimmetrici sono spin 1, che siano 1 o 2, quindi lo spin delle correnti di simmetria interna è 1 e del tensore dell'energia di sollecitazione è 2. Anche gli altri tensori geometrici derivati ​​dal tensore dell'energia di sollecitazione sono limitati a spin meno 2, con la supercorrente con spin 3/2.

Cos'è un QFT?

Questa è una domanda pratica --- per questa discussione, una teoria quantistica dei campi è una raccolta finita di campi locali, ciascuno corrispondente a una rappresentazione del gruppo di Poincaré, con un'interazione lagrangiana locale che li accoppia. Inoltre, si presume che esista un regime ultravioletto in cui tutte le masse sono irrilevanti e in cui tutti gli accoppiamenti sono ancora relativamente piccoli, quindi lo scambio di particelle perturbative è ok. Dico pseudo-limite, perché questo non è un vero punto fisso ultravioletto, che potrebbe non esistere, e non richiede rinormalizzabilità, solo unitarietà nel regime in cui la teoria è ancora perturbativa.

Ogni particella deve interagire con qualcosa per far parte della teoria. Se hai un settore che non interagisce, lo butti via come non osservabile. La teoria non deve essere rinormalizzabile, ma deve essere unitaria, in modo che le ampiezze debbano unitarizzare perturbativamente. Si presume che gli accoppiamenti siano deboli su una scala a breve distanza, in modo da non creare confusione a brevi distanze, ma è comunque possibile analizzare le emissioni di particelle in ordine per ordine

Il Froissart legato per una massa -la teoria del gap afferma che l'ampiezza di scattering non può crescere più velocemente del logaritmo dell'energia. Ciò significa che una crescita più veloce della costante nell'ampiezza di scattering deve essere annullata da qualcosa.

Propagatori per qualsiasi spin

I propagatori per particelle massicce / prive di massa di qualsiasi spin derivano dalla teoria dei gruppi considerazioni. Questi propagatori hanno la forma schematica

$$ s ^ J \ over s-m ^ 2 $$

E l'importantissimo scaling s, con la sua dipendenza J, può essere estratto dalla dipendenza angolare fisicamente ovvia dell'ampiezza di scattering. Se si scambia una particella di spin-J con una breve distanza di propagazione (in modo che la massa non sia importante) tra due onde piane lunghe (in modo che il loro momento angolare sia zero), ci si aspetta che l'ampiezza di diffusione sia come $ \ cos (\ theta ) ^ J $, proprio perché le rotazioni agiscono sull'elicità della particella scambiata con questo fattore.

Ad esempio, quando si scambia un elettrone tra un elettrone e un positrone, formando due fotoni, e l'elettrone interno ha una quantità di moto media k e un'elicità +, quindi se ruoti il ​​contributo all'ampiezza di diffusione da questo scambio attorno all'asse k di un angolo $ \ theta $ in senso antiorario, dovresti ottenere una fase di $ \ theta / 2 $ in le fasi del fotone in uscita.

In termini di variabili di Mandelstam, l'ampiezza angolare va come $ (1-t) ^ J $, poiché t è il coseno della variabile di scattering, fino a un certo ridimensionamento in s. Per t grande, questo cresce come t ^ J, ma "t" è la "s" di un canale incrociato (fino a un po 'di spostamento), quindi incrociando t ed s, ti aspetti che la crescita vada con la potenza della dipendenza angolare. Il denominatore è fissato a $ J = 0 $, e questa legge è determinata dalla teoria di Regge.

In modo che per $ J = 0,1 / 2 $, i propagatori si restringano a grande quantità di moto, per $ J = 1 $, le ampiezze di scattering sono costanti in alcune direzioni e per $ J>1 $ crescono. Questa struttura schematica è ovviamente complicata dagli stati effettivi di elicità che si attaccano alle estremità del propagatore, ma la forma schematica è ciò che si usa nell'argomento di Weinberg.

Spin 0, 1/2 sono OK

Quegli spin 0 e 1/2 sono ok senza alcun trattamento speciale, e questo argomento ti mostra perché: il propagatore per lo spin 0 è

$$ 1 \ over k ^ 2 + m ^ 2 $$

Che cade nel k-spazio in generale k. Ciò significa che quando si disperde scambiando scalari, i diagrammi ad albero si restringono, quindi non richiedono nuovi stati per rendere unitaria la teoria.

Gli spinori hanno un propagatore

$ $ 1 \ over \ gamma \ cdot k + m $$

Anche questo cade a k grande, ma solo linearmente. Lo scambio di spinori non peggiora le cose, perché i cicli di spinori tendono ad annullare la divergenza lineare per simmetria nello spazio k, lasciando divergenze logaritmiche che sono sintomatiche di una teoria rinormalizzabile.

Quindi spinori e scalari possono interagire senza rivelare la sottostruttura, perché i loro propagatori non richiedono cose nuove per l'unificazione. Ciò si riflette nel fatto che possono creare teorie rinormalizzabili da sole.

Spin 1

Introducendo lo spin 1, ottieni un propagatore che non cade. Il propagatore di massa per lo spin 1 è

$$ {g _ {\ mu \ nu} - {k_ \ mu k_ \ nu \ over m ^ 2} \ over k ^ 2 + m ^ 2} $$

Il numeratore proietta l'elicità in modo che sia perpendicolare a k, e il secondo termine è problematico. Ci sono direzioni nello spazio k in cui il propagatore non cade affatto! Ciò significa che quando si disperde per scambio di spin-1, queste direzioni possono portare a un'esplosione dell'ampiezza di diffusione ad alte energie che deve essere annullata in qualche modo.

Se si annulla la divergenza con uno spin più alto , ottieni una divergenza lì, e devi annullarla, quindi uno spin più alto, e così via, e ottieni infinitamente molti tipi di particelle. Quindi il presupposto è che devi sbarazzarti di questa divergenza intrinsecamente. Il modo per farlo è presumere che il termine $ k_ \ mu k_ \ nu $ colpisca sempre una corrente conservata. Quindi il suo contributo svanisce.

Questo è ciò che accade nella massiccia elettrodinamica. In questa situazione, il propagatore di massa è ancora ok per la rinormalizzabilità, come notato da Schwinger e Feynman e spiegato da Stueckelberg. $ K_ \ mu k_ \ nu $ colpisce sempre $ J ^ \ mu $, e nello spazio x è proporzionale alla divergenza della corrente, che è zero perché la corrente si conserva anche con un fotone massiccio ( perché il fotone non viene caricato).

Lo stesso argomento funziona per uccidere la parte kk del propagatore nei campi Yang-Mills, ma è molto più complicato, perché il campo Yang-Mills stesso è caricato , quindi la legge di conservazione locale è solitamente espressa in modo diverso, ecc., ecc. La lezione euristica è che lo spin-1 va bene solo se hai una legge di conservazione che annulla la parte non restringente del numeratore. Ciò richiede la teoria di Yang-Mills e il risultato è anche compatibile con la rinormalizzabilità.

Se hai una particella di spin-1 che non è un campo di Yang-Mills, dovrai rivelare una nuova struttura per unitarizzarne componente longitudinale, il cui propagatore non si restringe adeguatamente alle alte energie.

Spin 3/2

In questo caso, hai un campo di Rarita Schwinger, e il propagatore crescerà come $ \ sqrt {s} $ a grandi energie, proprio dall'argomento di Mandelstam presentato prima.

La crescita del propagatore porta a una crescita non fisica nello scattering scambiando questa particella, a meno che il campo di spin-3/2 non sia accoppiato a una corrente conservata. La corrente conservata è la corrente di Supersimmetria, secondo il teorema di Haag-Lopuszanski-Sohnius, perché è uno spinore di correnti conservate.

Ciò significa che la particella di spin-3/2 dovrebbe interagire con uno spin 3 / 2 supercorrente conservata per essere coerente, e il numero di gravitini è (minore o uguale a) il numero di supercariche.

I gravitini vengono sempre introdotti in un supermultiplet con il gravitone, ma non so se sia decisamente impossibile introdurli con un partner di spin-1, e accoppiarli comunque alla supercorrente. Questi multipli spin-3/2 / spin-1 probabilmente non saranno rinormalizzabili salvo qualche miracolo di supersimmetria. Non l'ho capito, ma potrebbe essere possibile.

Spin 2

In questo caso, hai un campo perturbativo simile a un gravitone $ h _ {\ mu \ nu} $ e il propagatore contiene termini che crescono linearmente con s.

Per annullare la crescita del numeratore, è necessario che la particella tensore sia accoppiata a una corrente conservata per uccidere le parti con crescita troppo rapida e produrre una teoria che non richiede nuove particelle per l'unitarietà. La quantità conservata deve essere un tensore $ T _ {\ mu \ nu} $. Ora si può fare appello al teorema di Coleman Mandula e concludere che la corrente tensoriale conservata deve essere il tensore dell'energia di stress, e questo fornisce la relatività generale, poiché il tensore di stress include anche lo stress del campo h.

Esiste una seconda quantità conservata dal tensore, il tensore del momento angolare $ S _ {\ mu \ nu \ sigma} $, che è anche spin-2 (potrebbe sembrare il suo spin 3, ma è antisimmetrico su due dei suoi indici). Puoi provare ad accoppiare un campo di spin-2 al tensore del momento angolare. Per vedere se questo funziona richiede un'analisi dettagliata, che non ho fatto, ma immagino che il risultato sarà solo una torsione non dinamica accoppiata allo spin locale, come richiesto dalla teoria di Einstein-Cartan.

Witten menziona un'altra possibilità per lo spin 2 nel capitolo 1 di Green Schwarz e Witten, ma non ricordo cosa sia e non so se sia fattibile.

Riepilogo

Credo che questi argomenti siano dovuti a Weinberg, ma personalmente ne ho letto solo il sommario sommario nei primi capitoli di Green Schwarz e Witten. Non mi sembra che abbiano lo status di teorema, perché l'argomento è particella per particella, richiede uno scambio indipendente in un dato regime, e sconta la possibilità che l'unità possa essere ripristinata da qualche famiglia di particelle.

Ovviamente, nella teoria delle stringhe, ci sono campi di spin arbitrariamente alto e l'unitarietà viene ripristinata propagandoli tutti insieme. Per le teorie di campo con stati legati che giacciono su traiettorie di Regge, puoi anche avere spin arbitrariamente alti, purché consideri tutti i contributi della traiettoria insieme, per ripristinare l'unitarietà (questa era una delle motivazioni originali per la teoria di Regge --- teorie di spin).

Ad esempio, in QCD, abbiamo nuclei di elevato spin dello stato fondamentale. Quindi ci sono stati di matrice S stabili di spin elevato, ma vengono in famiglie con altri stati eccitati degli stessi nuclei.

La conclusione qui è che se hai particelle di spin più alto, puoi essere abbastanza sicuro che avrai nuove particelle di spin ancora più alto a energie più elevate, e questa catena di particelle non si fermerà finché non rivelerai una nuova struttura ad un certo punto. Quindi i mesoni tensoriali osservati nell'interazione forte significano che dovresti aspettarti una famiglia infinita di particelle fortemente interagenti, che si esauriscono solo quando viene rivelata la sottostruttura del campo quantistico.

Alcuni commenti

James ha detto:

  • Sembra che i campi di spin più alti debbano essere privi di massa in modo che abbiano una simmetria di gauge e quindi una corrente da accoppiare
  • Una particella di spin-2 senza massa può solo essere un gravitone.

Queste affermazioni sono tanto vere quanto convincenti gli argomenti precedenti. Dalla cancellazione richiesta affinché il propagatore diventi sensibile, i campi di spin più alti sono fondamentalmente privi di massa a brevi distanze. I campi di spin-1 diventano massicci dal meccanismo di Higgs, i gravitini di spin 3/2 diventano massicci per rottura spontanea di SUSY, e questo elimina i bosoni di Goldstone / Goldstino.

Ma tutto questo è, nella migliore delle ipotesi , solo al livello di argomentazione "leggermente plausibile" --- l'argomento riguarda l'unificazione del propagatore con ciascun propagatore separatamente che non ha cancellazioni. È davvero notevole che funzioni come linea guida e che non ci siano una sfilza di eccezioni supersimmetriche di teorie di spin superiore con la supersimmetria che impone cancellazioni e unitarizzazione del propagatore. Forse ci sono, e semplicemente non sono stati ancora scoperti. Forse c'è un modo migliore per affermare l'argomento che mostra che l'unità non può essere ripristinata utilizzando particelle di peso spettrale positivo.

Big Rift negli anni '60

chiede James

  • Perché questo non è stato sottolineato in precedenza nella storia della teoria delle stringhe?

La storia della fisica non può essere ben compresa senza apprezzare l'incredibile antagonismo tra Chew / Mandelstam / Il campo della matrice S di Gribov e il campo della teoria dei campi di Weinberg / Glashow / Polyakov. Le due parti si odiavano, non si assumevano a vicenda e non si leggevano, almeno non in occidente. Le uniche persone che si trovavano a cavallo di entrambi i campi erano anziani e russi --- Gell-Mann più di Landau (che credeva che il polo di Landau implicasse la matrice S), Gribov e Migdal più di chiunque altro nell'ovest oltre a Gell-Mann e Wilson . Wilson ha conseguito il dottorato in teoria della matrice S, ad esempio, così come David Gross (sotto Chew).

Negli anni '70, la teoria della matrice S era semplicemente morta. Tutti i praticanti hanno abbandonato rapidamente la nave nel 1974, con il triplice colpo della teoria dei campi wilsoniana, la scoperta del quark Charm e la libertà asintoticamente. Questi risultati hanno ucciso la teoria della matrice S per trent'anni. Quelli che hanno abbandonato la nave includono tutti i teorici delle stringhe originali che sono rimasti impiegati: in particolare Veneziano, che era convinto che la teoria di gauge fosse giusta quando t'Hooft ha mostrato che i campi di gauge grandi N danno l'espansione topologica della stringa, e Susskind, che non ha menzionato Teoria di Regge dopo i primi anni '70. Tutti hanno smesso di studiare la teoria delle stringhe tranne Scherk e Schwarz, e Schwarz era protetto da Gell-Mann, altrimenti non sarebbe mai stato assunto e finanziato.

Questa triste storia significa che non un singolo corso di teoria della matrice S è insegnata nel curriculum di oggi, nessuno la studia tranne alcuni teorici di età avanzata nascosti negli acceleratori di particelle, e la principale teoria della matrice S, la teoria delle stringhe, non è adeguatamente spiegata e rimane completamente enigmatica anche per la maggior parte dei fisici. C'erano alcune buone ragioni per questo --- alcune persone con matrice S dicevano cose sciocche sulla coerenza della teoria quantistica dei campi --- ma per essere onesti, le persone della teoria quantistica dei campi dicevano cose altrettanto sciocche sulla teoria della matrice S.

Weinberg inventò questi argomenti euristici negli anni '60, che lo convinsero che la teoria della matrice S fosse un vicolo cieco, o meglio, per dimostrare che era un sinonimo tautologico per la teoria quantistica dei campi. Weinberg è stato motivato da modelli di interazioni pione-nucleone, che era un argomento caldo della matrice S nei primi anni '60. La soluzione al problema sono i modelli di rottura della simmetria chirale del condensato di pioni, e queste sono teorie di campo efficaci.

Basandosi su questo risultato, Weinberg si convinse che l'unica vera soluzione alla matrice S fosse una teoria dei campi di alcune particelle con spin. Lo dice ancora ogni tanto, ma è completamente sbagliato . L'interpretazione più caritatevole è che ogni matrice S ha un limite di teoria dei campi, in cui tutte le particelle tranne un numero finito si disaccoppiano, ma nemmeno questo è vero (si consideri la teoria delle stringhe poco). La teoria delle stringhe esiste e ci sono matrici S non teoriche di campo, vale a dire tutte quelle della teoria delle stringhe, inclusa la teoria delle stringhe piccola in (5 + 1) d, che è non gravitazionale.

Indici di Lorentz

James commenta:

  • per quanto riguarda lo spin, ho provato a fare l'approccio teorico di gruppo a un tensore antisimmetrico ma mi sono perso un po '- non una forma 2 antisimmetrica (per esempio) contengono due campi di spin-1?

La teoria dei gruppi per un tensore antisimmetrico è semplice: consiste in un campo "E" e "B" che può essere trasformato nel puro chirale rappresentazioni E + iB, E-iB. Questo a volte veniva anche chiamato "sei vettori", nel senso che E, B fa un quattro tensore antisimmetrico.

Puoi farlo usando indici punteggiati e non punteggiati più facilmente, se ti rendi conto che la teoria della rappresentazione di SU (2) è meglio fare negli indici --- vedi il problema del "riscaldamento" in questa risposta: Matematicamente, qual è la carica di colore?

"Ogni particella deve interagire con qualcosa per far parte della teoria. Se hai un settore che non interagisce, lo butti via come inosservabile."Non tutto interagisce con la gravità e non si dovrebbe mantenere un settore "non interagente" come candidato della materia oscura?
`Le particelle di spin più alto devono essere accoppiate a correnti conservate, e non ci sono correnti conservate di alto spin nelle teorie dei campi quantistici. Mi hai perso qui :)
#2
+5
user122066
2016-06-27 05:21:30 UTC
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C'è una spiegazione favolosa in Schwartz QFT e nel modello standard pg 153.

L'assenza di particelle MASSLESS con spin> 2 è una conseguenza dell'invarianza di piccoli gruppi e della conservazione della carica.

Per le particelle prive di massa puoi prendere il limite morbido negli elementi della matrice di scattering

L'invarianza di Lorentz implica che i numeri delle matrici dovrebbero essere gli stessi in frame diversi, ma le polarizzazioni certamente non devono essere le stesse.

Schwartz finisce anche per dimostrare che le particelle di spin 2 senza massa implicano che la gravità è universale.

Per lo spin 3 senza massa si finisce con

La somma di una "carica per l'energia al quadrato" (per la componente zero di 4 quantità di moto "delle particelle in arrivo equivale alla stessa cosa che esce.

Questo è un po 'come la conservazione della carica, ma moltiplichiamo anche per la somma dell'energia al quadrato.

Questa condizione è troppo vincolante per andare da nessuna parte a meno che gli addebiti = 0

Va ​​notato che esistono spin> 2 particelle MASSIVE.

Fondamentalmente per particelle prive di massa:

  1. Spin 1 => conservazione della carica
  2. Spin 2 => la gravità è universale (le cariche in entrata e in uscita sono uguali per tutte le particelle nell'interazione
  3. Giro 3 => addebiti = 0

Questo argomento è stato scoperto da Weinberg negli anni '60 ed è semplicemente incredibile

Particelle di spin superiore prive di massa possono esistere nello spazio-tempo piatto fino a quando le loro interazioni si estinguono a distanze molto grandi (IR profondo)


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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