Domanda:
Costanti adimensionali in fisica
Michael Luciuk
2011-04-10 21:22:19 UTC
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Perdonami se questo argomento è troppo nel regno della filosofia. John Baez ha una prospettiva interessante sull'importanza relativa delle costanti adimensionali, che chiama fondamentali come alfa, rispetto alle costanti dimensionate come $ G $ o $ c $ [ http://math.ucr.edu/home/baez/ constants.html]. Qual è l'importanza o il significato relativo di una classe rispetto all'altra e questa è un'area in cui i fisici hanno reali preoccupazioni o spendono ricerche significative?


Cinque risposte:
#1
+75
Luboš Motl
2011-04-10 22:08:01 UTC
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prima di tutto, la domanda che stai ponendo è molto importante e puoi padroneggiarla completamente.

Le costanti dimensionali sono quelle che hanno unità, come $ c, \ hbar, G $ o anche $ k _ {\ rm Boltzmann} $ o $ \ epsilon_0 $ in SI. Le unità - come metro; chilogrammo; secondo; Ampere; kelvin: sono stati scelti parzialmente arbitrariamente. Sono il risultato di incidenti culturali casuali nella storia dell'umanità. Un secondo è stato scelto originariamente come 1 / 86.400 di un giorno solare, un metro come 1 / 40.000.000 del meridiano medio, un chilogrammo come massa di 1 / 1.000 metri cubi (litro) di acqua o successivamente la massa di un prototipo scelto a caso , un Ampere in modo che $ 4 \ pi \ epsilon_0 c ^ 2 $ sia una potenza semplice di 10 in unità SI, un Kelvin come 1/100 della differenza tra il punto di fusione e il punto di ebollizione dell'acqua.

, la circonferenza della Terra, il giorno solare, un prototipo di mattone in platino in un castello francese o le transizioni di fase dell'acqua non sono tra le caratteristiche più "fondamentali" dell'Universo. Ci sono molti altri modi per scegliere le unità. Qualcuno potrebbe scegliere 1,75 metri - l'altezza di un uomo medio - come unità di lunghezza (alcune strane persone nella storia hanno persino usato i piedi per misurare le distanze) e potrebbe ancora chiamarlo "un metro". Sarebbe il suo metro. In quelle unità, i valori numerici della velocità della luce sarebbero diversi.

Esattamente i prodotti o rapporti di potenze di costanti fondamentali che sono adimensionali sono quelli che non hanno qualsiasi unità, per definizione, il che significa che sono indipendenti da tutte le scelte culturali casuali delle unità. Quindi tutte le civiltà dell'Universo - nonostante l'assenza di interazioni tra loro in passato - saranno d'accordo sul valore numerico del rapporto di massa protone-elettrone - che è di circa $ 6 \ pi ^ 5 = 1836,15 $ (la formula è solo un teaser che ho notato quando avevo 10 anni!) - e sulla costante di struttura fine, $ \ alpha \ sim 1 / 137.036 $ e così via.

Nel modello standard della fisica delle particelle, ci sono circa 19 parametri adimensionali che determinano "realmente" il carattere della fisica; tutte le altre costanti come $ \ hbar, c, G, k _ {\ rm Boltzmann}, \ epsilon_0 $ dipendono dalla scelta delle unità e il numero di unità indipendenti (metro, chilogrammo, secondo, Ampere, Kelvin) è in realtà esattamente abbastanza grande che tutte quelle costanti, $ \ hbar, c, G, k _ {\ rm Boltzmann}, \ epsilon_0 $, possono essere impostate uguali a uno che semplifica tutte le equazioni fondamentali in fisica dove queste costanti fondamentali appaiono frequentemente. Modificando il valore di $ c $, si cambiano solo le convenzioni sociali (cosa significano le unità), non le leggi della fisica.

Le unità in cui tutte queste costanti sono numericamente uguali a 1 sono chiamate unità di Planck o unità naturali, e Max Planck ha capito che questa era la scelta più naturale già 100 anni fa. $ c = 1 $ viene impostato in qualsiasi analisi "matura" che coinvolga la relatività ristretta; $ \ hbar = 1 $ è usato ovunque nella meccanica quantistica "per adulti"; $ G = 1 $ o $ 8 \ pi G = 1 $ è talvolta usato nella ricerca della gravità; $ k _ {\ rm Boltzmann} = 1 $ viene utilizzato ogni volta che i fenomeni termici sono studiati al microscopio, a livello professionale; $ 4 \ pi \ epsilon_0 $ è solo un fastidioso fattore che può essere impostato su uno (e nelle unità gaussiane del XIX secolo, tali cose sono effettivamente impostate su uno, con un trattamento diverso del fattore $ 4 \ pi $); invece di una talpa in chimica, i fisici (ricercatori in una disciplina più fondamentale) contano semplicemente le molecole o gli atomi e sanno che una talpa è solo un pacchetto di $ 6,022 \ volte 10 ^ {23} $ atomi o molecole.

I 19 (o 20?) parametri adimensionali effettivi del Modello Standard possono essere classificati come le tre costanti di struttura fine $ g_1, g_2, g_3 $ di $ U (1) \ times SU (2) \ times SU (3) $ gauge group; Il valore dell'aspettativa di vuoto di Higgs diviso per la massa di Planck (l'unica cosa che porta una scala di massa, e questa scala di massa distingue teorie diverse solo una volta che teniamo conto anche della gravità); gli Yukawa si accoppiano con gli Higgs che determinano le masse di quark e fermioni e il loro mescolamento. Si dovrebbe anche considerare il forte angolo CP di QCD e pochi altri.

Una volta scelto un modello standard modificato che apprezza che i neutrini sono massicci e oscillano, 19 viene elevato a circa 30. Nuova fisica di Ovviamente gonfia il numero. SUSY descritto dalla rottura soft SUSY ha circa 105 parametri nel modello minimo.

I 19 parametri originali del Modello Standard possono essere espressi in termini di parametri più "fondamentali". Ad esempio, $ \ alpha $ dell'elettromagnetismo non è particolarmente fondamentale nella fisica delle alte energie perché l'elettromagnetismo e le interazioni deboli si unificano a energie più elevate, quindi è più naturale calcolare $ \ alpha $ da $ g_1, g_2 $ del $ U ( 1) \ times SU (2) $ gruppo di indicatori. Inoltre, questi accoppiamenti $ g_1, g_2 $ e $ g_3 $ run - dipendono dalla scala dell'energia approssimativamente in modo logaritmico. I valori come $ 1/137 $ per la costante di struttura fine sono i valori di bassa energia, ma i valori di alta energia sono in realtà più fondamentali perché le leggi fondamentali della fisica sono quelle che descrivono la fisica delle distanze molto brevi mentre le lunghe distanze La fisica (a bassa energia) ne deriva.

Ho detto che il numero di parametri adimensionali aumenta se aggiungi nuova fisica come SUSY con soft breaking. Tuttavia, teorie più complete e unificanti - come le teorie della grande unificazione e in particolare la teoria delle stringhe - implicano anche varie relazioni tra le costanti precedentemente indipendenti, quindi riducono il numero di parametri adimensionali indipendenti dell'Universo. Le teorie unificate fondamentalmente impostano $ g_1 = g_2 = g_3 $ (con il giusto fattore di $ \ sqrt {3/5} $ aggiunto a $ g_1 $) alla loro caratteristica scala energetica "GUT"; possono anche mettere in relazione certi accoppiamenti Yukawa.

La teoria delle stringhe è perfezionista in questo lavoro. In linea di principio, tutte le costanti continue adimensionali possono essere calcolate da qualsiasi vuoto di stringa stabilizzato, quindi tutta l'incertezza continua può essere rimossa dalla teoria delle stringhe; si può effettivamente dimostrare che è così. Non c'è niente da regolare continuamente nella teoria delle stringhe. Tuttavia, la teoria delle stringhe viene fornita con un'ampia classe discreta di vuoti stabilizzati, che è al massimo numerabile e possibilmente finita ma ampia. Tuttavia, se ci sono vuoti filamentosi semi-realistici stabilizzati da $ 10 ^ {500} $, ci sono solo 500 cifre da regolare (e quindi puoi prevedere tutto con precisione, in linea di principio) - mentre il Modello Standard con i suoi 19 parametri continui ha 19 volte infinito di cifre da regolare in base agli esperimenti.

Concedo; questa era una questione di fisica, non di filosofia. Grazie molto.
Potrebbe essere interessante notare qui che prima che Luboš avesse 10 anni, la coincidente somiglianza tra il rapporto di massa protone-elettrone e il numero $ 6 \ pi ^ 5 $ fu annotata e pubblicata forse nel PRL più breve mai esistito (una singola frase!) di Friedrich Lenz [PRL 82, 554 (1951)].
Questo è molto interessante, sono sicuro che rifiuterei il foglio se fossi l'arbitro.
#2
+9
Marek
2011-04-10 22:25:32 UTC
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Solo le quantità adimensionali sono importanti. Sono solo numeri puri e non possono esserci ambiguità sul loro valore. Non è così con le quantità dimensionali. Per esempio. se ti dico che la mia velocità $ v $ relativa a te è $ 0,5 \, \ rm speedons $ non ti da molte informazioni dato che ho la libertà di definire le mie unità $ \ rm speedon $ come preferisco. L'unico modo in cui posso darti alcune informazioni è se ti do una quantità adimensionale come $ v / c = 0,5 $.

Ora ciò di cui abbiamo bisogno per rendere le quantità dimensionali adimensionali è un riferimento scale (nell'esempio precedente era $ c $). In linea di principio possiamo scegliere qualsiasi scala desideriamo, ma di solito sarà un'esperienza quotidiana. Per esempio. scegli metro per essere quello che è in modo che le cose che incontri di solito (altre persone, case, alberi, ecc.) siano nell'ordine $ \ sim 1 $ rispetto al metro. Ecco come sono nate tutte le nostre unità. Naturalmente, non c'è niente di particolarmente speciale negli esseri umani e nelle scale con cui lavorano di solito. Sappiamo che ci sono molte scale importanti mentre scendiamo alle dimensioni atomiche e nucleari. Sappiamo anche che esiste una scala di velocità più importante (vale a dire, $ v / c \ ultra-relavistico a 1 $). E così via.

Tuttavia, dobbiamo scegliere alcune unità con cui lavorare per poter calcolare qualsiasi cosa e sarebbe bello scegliere alcune unità che non soffrirebbero dell'arbitrarietà di cui sopra. Si scopre che siamo fortunati perché la natura ci ha dato poche costanti speciali. Ognuno di essi è correlato ad una teoria fondamentale ($ c $ nella relatività speciale, $ G $ nella gravità, $ \ hbar $ nella meccanica quantistica, ecc.). Sarebbe sciocco non sfruttare questo dono generoso. Quindi possiamo parlare di velocità pari a 0,9 (che significa in realtà $ v / c $), azione di 20 ($ = S / \ hbar $) e così via. Questo sistema di unità si chiama Planck's e sebbene non sia utilizzato nella vita quotidiana per ovvi motivi, è molto utile ogni volta che ci occupiamo di fisica fondamentale.

#3
+3
Eduardo Guerras Valera
2012-12-10 08:25:41 UTC
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(...) questa è un'area in cui i fisici hanno reali preoccupazioni o spendono ricerche significative?

È interessante notare che Paul Dirac ha svolto alcune ricerche sulla cosmologia, sulla base della considerazione di combinazioni adimensionali di numeri che si avvicinano all'unità, che sono costruite da quantità fisiche fondamentali. Le combinazioni mischiavano quantità micro-fisiche come la carica elettronica con parametri cosmologici come la costante di Hubble. Questo è un esempio, estratto dal libro di Cosmologia di Coles / Lucchin (Wiley, 2nd ed 2002):

$ \ frac {e ^ {4} H_ {0}} {Gm_ {p} m_ {e} ^ {2} c ^ {3}} \ simeq 1 $

Assumendo la validità di questa relazione ha implicazioni interessanti: poiché $ H_ {0} $ si evolve con il tempo, uno o più dei cosiddetti anche le costanti fondamentali che compaiono nell'equazione devono variare nel tempo. Ciò ha portato ad alcuni tentativi di costruire teorie con diversi valori passati della costante gravitazionale.

La teoria è quasi dimenticata. Non è ancora del tutto chiaro se abbia aperto un vaso di Pandora di speculazioni numerologiche, se qualcosa con un profondo significato fisico, ancora svelato, sia nascosto lì. La spiegazione corrente per queste coincidenze numeriche (?) È il Principio Antropico Debole, che mi sembra almeno altrettanto speculativo e filosofico quanto l'idea originale di Dirac.

Ecco un link al testo completo di un Documento di Dirac sulla questione, nel 1974: http://www.jstor.org/discover/10.2307/78591?uid=3737952&uid=2&uid=4&sid=21101428637013

#4
+1
Count Iblis
2014-08-11 21:09:17 UTC
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L'universo può essere descritto all'interno di un quadro matematico formale, tutte le quantità fisiche possono quindi essere descritte utilizzando equazioni che contengono solo numeri adimensionali. Ora, dato qualsiasi insieme di equazioni, sei sempre libero di introdurre variabili di scala che ti consentono di studiare determinati limiti di scala della teoria. L'universo così come lo sperimentiamo può essere accuratamente descritto come un limite di scala degenere che richiede l'introduzione di 3 variabili di scala e quindi prendere un limite di scala nell'ordine giusto. Quel limite degenere è ciò che chiamiamo "fisica classica".

Dato che non siamo esattamente al limite di scala, le variabili di scala non sono effettivamente ai loro valori limite (infinito o zero). Ma per ottenere esattamente la fisica classica, è necessario inviare queste variabili ai limiti appropriati. Poiché abbiamo iniziato con una conoscenza quasi zero delle leggi della fisica diversi secoli fa, avevamo bisogno di scoprire come funziona l'universo facendo esperimenti. Ma poiché viviamo quasi nel limite di scala, ciò che accade è che alcune relazioni tra osservabili sono molto difficili da osservare (esattamente al limite di scala, puoi finire con equazioni singolari, quindi perdi relazioni tra variabili fisiche). Sembra quindi che una descrizione completa dell'Universo richieda alcune variabili fisiche indipendenti che non possono essere correlate tra loro.

Abbiamo quindi sviluppato un formalismo matematico che impone questa incompatibilità tramite l'introduzione di "dimensioni". Quando in seguito abbiamo appreso come queste quantità presumibilmente incompatibili sono effettivamente correlate, abbiamo trovato queste relazioni con le variabili di scala che appaiono come costanti dimensionali nelle equazioni che, quando espresse nelle vecchie unità, hanno una grandezza molto grande o piccola.

#5
-3
Vladimir Kalitvianski
2011-04-11 00:21:00 UTC
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Parlando del rapporto di massa elettrone-protone (che è circa 1/1836), Lubosh ha scoperto che potrebbe essere connesso con $ \ pi $, e penso che sia una specie di costante di accoppiamento nell'atomo di idrogeno.

L'atomo ha al centro variabili di inerzia e variabili di movimento interne. Quando una forza esterna viene applicata al nucleo atomico, l'atomo viene accelerato nel suo insieme e anche il suo movimento interno può essere eccitato. Il rapporto $ m_e / m_p $ determina l'efficienza del "pompaggio" dei gradi di libertà interni di un atomo con una forza esterna che agisce sul nucleo.

EDIT: vedendo così tanti voti negativi, ho cambiato idea. Sono d'accordo con Lubosh: $ m_p / m_e = 6 \ pi ^ 5 $ e non ha niente a che fare con la fisica :-(.

Nonostante il valore di verità di quella proposizione, questa non è una risposta. È solo un commento. Si prega di pubblicare commenti in quanto tali. In questo modo, risparmierai tempo a molte persone che devono fare clic sul pulsante di voto negativo;)
Era un complemento, non un commento.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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