Hai la tua "prova" nel posto sbagliato.Il modo per dimostrare che gli elettroni dello stato fondamentale negli atomi di idrogeno non emettono radiazioni è il seguente:

1. Costruisci un campione di atomi di idrogeno neutri allo stato fondamentale.
2. Posiziona questo campione vicino a un rilevatore sensibile al tipo di radiazione EM che ti aspetti.
3. Muori di vecchiaia aspettando un segnale, perché l'idrogeno allo stato fondamentale non emette radiazioni.

Questa prova sperimentale dimostra che l'elettromagnetismo classico, in cui le cariche in accelerazione emettono radiazioni, non descrive l'atomo di idrogeno.

L'esistenza di atomi di idrogeno è sufficiente per dimostrare che gli elettroni non emettono radiazioni.

Se lo facessero, quell'energia dovrebbe provenire da qualche parte.L'unico punto da cui potrebbe provenire sarebbe una riduzione del raggio orbitale finché l'elettrone non raggiunge finalmente il nucleo.

Se accetti che si applichi l'elettrodinamica, allora devi accettare che gli atomi non possono esistere - dal momento che lo fanno, l'elettrodinamica non deve essere l'intera storia.

A causa della sua natura ondulatoria, l'elettrone nel suo stato fondamentale è effettivamente imbrattato simmetricamente rispetto al protone (ignorando gli effetti di spin-spin) e le distribuzioni di carica sfericamente simmetriche non si irradiano (non c'è una direzione speciale).Le cariche accelerate non sempre irradiano radiazioni em.Vedi anche Come trovare il campo magnetico dovuto a un elettrone in rotazione di un atomo di idrogeno nella prima orbita

Credo che alcune delle risposte nei link siano corrette, altre meno ovvie e potrebbero persino creare confusione.Non ripeterò gli argomenti qui, ma per sottolineare la seguente idea.Non puoi dimostrarlo usando l'elettrodinamica classica.La teoria così com'è non si applica agli oggetti quantistici e quindi è stata modificata.Le equazioni sono le stesse, ora sono incorporate in un algoritmo diverso, l'equazione di Schroedinger (se limitiamo l'espansione alla meccanica quantistica semi-classica) e il formalismo di misurazione della meccanica quantistica.Come con molte teorie che sono state generalizzate, funzionano ancora bene in molti regni, in questo caso non è necessario utilizzare la meccanica quantistica quando si ha a che fare con le proprietà elettromagnetiche della "maggior parte" degli oggetti macroscopici, ma non è vero il contrario, elettrodinamica classicale previsioni spesso falliscono quando si ha a che fare con oggetti quantistici.

In un commento altrove scrivi che sei interessato a capire come la teoria della meccanica quantistica descrive la radiazione che un atomo di idrogeno emette e non emette. Nella tua domanda chiedi un'altra risposta che suggerisce un significato per l'elettrone che ha un momento totale nullo; Penso che sia una caratteristica della scelta del sistema di coordinate piuttosto che qualcosa di fisicamente interessante. Ecco una seconda risposta per risolvere, si spera, questa preoccupazione.

Nella meccanica quantistica di Schrödinger la densità di probabilità $ \ psi $ per trovare l'elettrone in un piccolo volume vicino al nucleo (carica $ Z $, massa $ m_ \ text {nuc} ^ {- 1} = \ mu ^ {- 1} - m_e ^ {- 1} $), obbedisce all'equazione differenziale $$ \ left (\ frac {\ hbar ^ 2} {2 \ mu} \ vec \ nabla ^ 2 - \ frac {Z \ alpha \ hbar c} r \ destra) \ psi = E \ psi. \ tag 1 $$ Risulta che questa equazione ha soluzioni vincolate con $ E<0 $ se, e solo se, introduci alcuni parametri interi $ n, \ ell, m $ soggetti ad alcuni vincoli : $ 1 \ leq n $, $ \ ell<n $ e $ | m | \ leq \ ell $. Le energie associate a questi numeri quantici sono $$ E_ {n \ ell m} = - \ frac {\ mu c ^ 2 \ alpha ^ 2Z ^ 2} {2n ^ 2} = Z ^ 2 \ cdot \ frac {-13.6 \ rm \, eV} {n ^ 2 }. \ tag 2 $$ Fondamentale per la nostra discussione, ciò significa che esiste uno stato con $ n = 1 $ che ha la minima energia possibile per un elettrone che interagisce con un protone. Questo è totalmente diverso dal caso non legato, o l'interazione tra due particelle cariche simili, in cui puoi dare alla tua particella mobile qualsiasi energia totale (positiva) che ti piace e informarti sul suo movimento. Se l'energia totale non soddisfa (2), è semplicemente impossibile per il sistema obbedire all'equazione di movimento (1).

Calcoli i tassi di transizione nella meccanica quantistica utilizzando la regola aurea di Fermi: una transizione tra uno stato iniziale $ i $ e uno stato finale $ f $ avviene in un certo intervallo di tempo $ \ tau_ {if} = 1 / \ lambda_ {if} $ con probabilità $ 1 / e $, dove la costante di decadimento $ \ lambda_ {if} $ è $$ \ lambda_ {if} = \ frac {2 \ pi} \ hbar \ sinistra | M_ {if} \ right | ^ 2 \ rho_f. $$ La densità degli stati finali $ \ rho_f $ è interessante se ci sono più stati finali con la stessa energia. (Ad esempio, nell'idrogeno ci sono generalmente diversi stati finali degeneri con $ n, \ ell $ dati ma variabili $ m $.) L'elemento matrice misura la sovrapposizione dello stato iniziale e finale dato un operatore di interazione $ U $: $$ M_ {if} = \ int d ^ 3x \ \ psi_f ^ * U \ psi_i $$ Per la radiazione di dipolo elettrico l'operatore è $ U_ {E1} = e \ vec r $; per la radiazione di dipolo magnetico, $ U_ {M1} = {e} \ vec L / {2 \ mu} $; per radiazioni quadrupolari ecc. esistono altri operatori. Si potrebbe anche accoppiare a più fotoni: per esempio lo stato $ n = 2, \ ell = 0 $ non può decadere allo stato fondamentale emettendo un singolo fotone, poiché il fotone trasporta momento angolare, ma può decadere emettendo due fotoni dipolari a lo stesso tempo. Questa transizione proibita ha una durata $ \ sim 0.1 \ rm \, s $, rispetto ai nanosecondi per gli stati $ n = 2, \ ell = 1 $ alla stessa energia. Il calcolo degli elementi della matrice ti dà alcuni integrali pelosi, quindi in genere li lasci fare a qualcun altro.

In linea di principio puoi utilizzare questi argomenti e la regola aurea per calcolare la radiazione emessa in tre casi:

1. Da un elettrone libero con $ E_i>0 $ a un elettrone libero che viaggia in una direzione diversa con un'energia diversa $ E_f>0 $. Questo dovrebbe dare un risultato molto simile al caso classico, in cui puoi ottenere una radiazione continua da una carica in accelerazione.

2. Da un elettrone libero con $ E_i>0 $ in transizione a un elettrone legato con $ E_f<0 $.

3. Da uno stato di elettroni legati a un altro.

È questa ultima opzione, le transizioni tra stati legati, che ti interessa. La caratteristica saliente, unica della meccanica quantistica, è che le energie degli stati legati sono quantizzate. A differenza della meccanica classica, nella teoria quantistica l'equazione del moto non ha soluzioni con $ E<E_1 $. Anche se si inventasse qualche funzione d'onda dello stato sub-ground di prova per calcolare l'elemento della matrice per la transizione (cosa che non può essere eseguita, poiché le funzioni d'onda esistenti formano un set completo), si troverà che la densità degli stati alla tua ipotetica energia inferiore è $ \ rho_f = 0 $, quindi il tempo prima che si verifichi la transizione è, in media, infinitamente lungo.

La teoria classica prevede la radiazione quando una carica accelera da una quantità di moto continua a un'altra. Così fa la teoria quantistica. Ma la teoria quantistica prevede anche stati legati con energie quantizzate. Le non transizioni da uno stato a se stesso hanno un elemento di matrice zero, quindi non si verificano mai; le transizioni da uno stato all'altro possono verificarsi solo se è disponibile uno stato finale.

Le risposte pubblicate finora ripetono l'errore comune secondo cui le equazioni di Maxwell non si applicano all'atomo di idrogeno.Potrebbero non funzionare per l'atomo di Bohr, ma certamente spiegano tutto ciò che l'atomo di idrogeno fa in termini di emissione e assorbimento di radiazioni.Nell'equazione di Schroedinger c'è una densità di carica e per le autofunzioni dell'atomo di idrogeno quella densità di carica è stazionaria.È quindi coerente con le equazioni di Maxwell che l'atomo non si irradia.Tuttavia, quando l'atomo è in una sovrapposizione di due o più eignenstate, c'è in generale una densità di carica variabile nel tempo.E così l'atomo emette o assorbe radiazioni.Inoltre, la velocità con cui emette o assorbe la radiazione è data esattamente applicando l'equazione di Maxwell alla distribuzione di carica variabile nel tempo.L'atomo si comporta esattamente come farebbe una minuscola antenna radio.Vedi il mio post sul blog " Non ci sono sparatutto per i fotoni".