Domanda:
Qual è la differenza tra dipendenza temporale implicita, esplicita e totale, ad es. $ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} $ e $ \ frac {d \ rho} {dt} $?
CuriousAutomotiveEngineer
2011-04-26 03:31:34 UTC
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Qual è la differenza tra dipendenza temporale implicita, esplicita e totale, ad es. $ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} $ e $ \ frac {d \ rho} {dt } $ ?

So che una è una derivata parziale e l'altra è una derivata totale. Ma fisicamente non riesco a distinguerli. Ho la minima idea che il mio dubbio potrebbe davvero essere comprendere la differenza tra dipendenza dal tempo implicita, esplicita e totale.

sarebbe utile avere un esempio di una formula o simile che coinvolge l'espressione che trovi confusa.
Esempio di @Bjorn Wesen: $$ \ frac {d \ langle A \ rangle} {dt} = \ frac {1} {i \ hbar} \ langle [A, H] \ rangle + \ langle \ frac {\ partial A} { \ partial t} \ rangle $$ (evoluzione temporale del valore atteso di un operatore). Ce ne sono di più, principalmente nel formalismo lagrangiano e hamiltoniano che non ricordo in questo momento.
La «dipendenza» non ha a. Successivamente, l'ordine delle due liste che hai dovrebbe corrispondere, non essere il contrario l'una dell'altra, cioè, elenchi la derivata parziale. $ \ partial A \ su \ partial t $ prima, poi il deriv totale. $ dA \ su dt $. La prima è la dipendenza esplicita, la seconda è la dipendenza implicita. Ma quando hai elencato gli aggettivi, li avevi in ​​ordine inverso, prima implicito, poi esplicito. Ogni volta che si hanno due elenchi in scrittura scientifica che devono essere uniti dalla parola «rispettivamente», gli elenchi devono avere esattamente lo stesso numero di elementi ed essere nello stesso ordine.
Tre risposte:
#1
+53
Kostya
2011-04-26 15:13:00 UTC
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Di solito lo spiego in questo modo: $$ \ rho = \ rho (t, x (t), p (t)) $$$$ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} = \ lim_ {\ Delta t \ to 0} \ frac {\ rho (t + \ Delta t, x (t), p (t)) - \ rho (t, x (t), p (t))} {\ Delta t } $$$$ \ frac {d \ rho} {dt} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ frac {\ rho (t + \ Delta t, x (t + \ Delta t), p (t + \ Delta t)) - \ rho (t, x (t), p (t))} {\ Delta t} $$

Punto di atterraggio, molto bello!
@Kostya Mi dispiace commentare un thread lontano da adesso!Ma mi chiedo davvero cosa sia $ \ frac {{d \ rho}} {{dx}} $ nel tuo esempio
@FaDA Questa è una domanda a parte.Fai una nuova domanda e molto probabilmente otterrai una buona risposta.
#2
+46
Mark Eichenlaub
2011-04-26 05:28:59 UTC
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Stai essenzialmente chiedendo informazioni sulla derivata materiale quando parli di una derivata totale rispetto al tempo.

Supponiamo che tu stia osservando la velocità dell'aria nella tua stanza. C'è una velocità diversa ovunque e cambia con il tempo, quindi

$$ v = v (x, y, z, t) $$

Quando prendi una derivata come

$$ \ frac {\ partial v} {\ partial t} $$

stai dicendo "Continuerò a campionare la velocità del vento esattamente nello stesso punto nella mia stanza, e scopri quanto velocemente cambia la velocità. "

Se, invece, prendi

$$ \ frac {\ textrm {d} v} {\ textrm {d} t} $$

stai ora dicendo: "continua a seguire un po 'd'aria in particolare e guarda quanto velocemente cambia la sua velocità (cioè trova la sua accelerazione)."

(nota : Marek ha fatto una bella precisazione sulla differenza tra questi due usi di $ t $ nei commenti a questa risposta.)

Sono correlati dalla regola della catena

$$ \ frac {\ textrm {d} v} {\ textrm {d} t} = \ frac {\ partial v} {\ partial t} + \ frac {\ partial v} {\ partial x} \ frac {\ textrm {d } x} {\ textrm {d} t} + \ frac {\ partial v} {\ partial y} \ frac {\ textrm {d} y} {\ textrm {d} t} + \ frac {\ partial v} {\ partial z} \ frac {\ textrm {d} z} {\ textrm {d} t} $$

Questo dice t ma se guardi una particella d'aria in particolare, la sua velocità cambia parzialmente perché l'intero campo di velocità sta cambiando. Ma anche se l'intero campo di velocità non cambiasse, la velocità della particella cambierebbe comunque perché si sposta in un nuovo punto e anche la velocità è diversa in quel punto.

Come altro esempio, diciamo qui è una formica che striscia su una collina. Ha un'altezza che è funzione della posizione bidimensionale

$$ h = h (x, y) $$

Se guardiamo $ \ partial h / \ partial x $, stiamo osservando la pendenza nella direzione x. Puoi trovarlo spostandoti un po 'nella direzione x mantenendo la stessa y, trovando la modifica in z e dividendo per quanto ti sei spostato.

D'altra parte, dato che stiamo seguendo la formica, potremmo voler sapere di quanto cambia la sua altezza quando si muove un po 'nella direzione x. Ma la formica sta viaggiando lungo il proprio percorso contorto, e quando si muove nella direzione x, finisce per cambiare anche la sua coordinata y.

La variazione totale dell'altezza della formica è la variazione di la sua altezza dovuta allo spostamento nella direzione x più il cambiamento dovuto allo spostamento nella direzione y. La distanza che la formica si muove nella direzione y a sua volta dipende dal movimento in direzione x. Quindi ora abbiamo

$$ \ frac {\ textrm {d} h} {\ textrm {d} x} = \ frac {\ partial h} {\ partial x} + \ frac {\ partial h} {\ partial y} \ frac {\ textrm {d} y} {\ textrm {d} x} $$

Sul lato destro dell'equazione, il primo termine corrisponde al cambiamento in altezza a causa del movimento nella direzione x. Il secondo termine è il cambiamento di altezza dovuto allo spostamento nella direzione y. La prima parte, $ \ partial h / \ partial y $ è il cambio di altezza dovuto al cambio di y, mentre la seconda parte, $ \ textrm {d} y / \ textrm {d} x $ descrive quanto y stesso effettivamente cambia quando cambi x e dipende dai particolari del movimento della formica.

Modifica Ora vedo che sei specificamente interessato all'equazione della meccanica quantistica

$$ \ frac {\ textrm {d}} {\ textrm {d} t} \ langle A \ rangle = - \ frac {\ imath} {\ hbar} \ langle [A, H] \ rangle + \ langle \ partial A / \ partial t \ rangle $$

Qui, $ \ langle \ partial A / \ partial t \ rangle $ è il valore atteso della derivata parziale dell'operatore $ A $ rispetto tempo. Ad esempio, se $ A $ è l'hamiltoniano di una particella in un campo elettrico dipendente dal tempo, tale operatore conterrebbe il tempo in modo esplicito. Iniziamo differenziando formalmente l'operatore stesso, quindi prendendo il valore di aspettativa.

D'altra parte $ \ langle A \ rangle $ è semplicemente una funzione del tempo a valore reale (se $ A $ è hermitiano) , quindi $ \ textrm {d} \ langle A \ rangle / \ textrm {d} t $ è la solita derivata di una funzione reale di una singola variabile.

Buona risposta ma vorrei sottolineare che il simbolo $ t $ ha anche un significato diverso a seconda di dove lo si usa. Sotto derivata parziale è solo una coordinata dello spazio-tempo. D'altra parte, sotto la derivata totale è un ** parametro ** della curva che * sembra * essere solo il tempo ma che si potrebbe sicuramente parametrizzare anche da altre variabili, come la lunghezza appropriata lungo la curva. Penso che la maggior parte della confusione degli studenti derivi dalla fusione di questi due significati.
@Marek Questo è un buon punto di chiarimento, grazie. Lascio una nota nella risposta.
#3
+11
Lagerbaer
2011-04-26 05:31:36 UTC
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Forse una risposta intuitiva è meglio dare in termini di fisica classica. Supponi di osservare il movimento di una particella classica. Le variabili rilevanti qui sono posizione e quantità di moto. Se risolvi il movimento del tuo sistema, ti vengono presentate le funzioni $ x (t) $ e $ p (t) $.

Ora, ci sono molte quantità derivate che puoi costruire da queste traiettorie. Ad esempio, momento angolare $ \ vec {L} = \ vec {x} \ times \ vec {p} $. Poiché $ x $ e $ p $ dipendono dal tempo, $ L $ dipende anche dal tempo, ma in questo caso lo fa solo perché $ x $ e $ p $ dipendono dal tempo. Hai fondamentalmente una funzione $ L = L (x, p) $ che poi diventa $ L (x (t), p (t)) $. Questo perché nella definizione di $ L $, il tempo non ha un ruolo. Pertanto, diciamo che questa quantità ha solo una dipendenza dal tempo implicita . In particolare, $ \ frac {\ partial L} {\ partial t} = 0 $.

Se, tuttavia, la tua quantità derivata $ f $ è definita per qualche motivo in modo tale che il tempo ricorra esplicitamente nel definizione, quindi $ \ frac {\ partial f} {\ partial t} \ not = 0 $. Ad esempio, potresti voler aggiungere un fattore di fase dipendente dal tempo alla tua quantità, ad esempio $ f = \ vec {x} \ cdot \ vec {p} \ cdot e ^ {i \ omega t} $. Quindi abbiamo $ f = f (x, p, t) = f (x (t), p (t), t) $, e ora $ \ frac {\ partial f} {\ partial t} $ non è zero.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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