Domanda:
Qual è il significato fisico della connessione e del tensore di curvatura?
Sklivvz
2011-01-02 20:30:51 UTC
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Per quanto riguarda la relatività generale:

  • Qual è il significato fisico del simbolo di Christoffel ($ \ Gamma ^ i _ {\ jk} $)?
  • Cosa sono i ( preferibilmente fisiche) differenze tra il tensore di curvatura di Riemann ($ R ^ i _ {\ jkl} $), il tensore di Ricci ($ R_ {ij} $) e lo scalare di Ricci ($ R $)? Ad esempio, perché le equazioni di Einstein includono il tensore di Ricci e lo scalare, ma non il tensore di Riemann?

Per essere chiari, per "significato fisico" intendo qualcosa del tipo: quale effetto fisico fanno questi componenti generano? Oppure fanno sì che le soluzioni GR si discostino da Newton a causa del fattore xxx ... o qualcosa di simile fisicamente intuitivo.

Quattro risposte:
#1
+54
Jerry Schirmer
2011-01-02 21:18:52 UTC
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Il modo più semplice per spiegare il simbolo di Christoffel è guardarli in uno spazio piatto. Normalmente, il laplaciano di uno scalare in tre dimensioni piatte è:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ parziale x ^ {2}} + \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial y ^ {2}} + \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial z ^ {2} } $$

Ma non è questo il caso se passo dal sistema di coordinate $ (x, y, z) $ alle coordinate cilindriche $ (r, \ theta, z) $. Ora, il laplacian diventa:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial r ^ {2}} + \ frac {1} {r ^ {2}} \ left (\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ theta ^ {2}} \ right) + \ frac {\ partial ^ {2 } \ phi} {\ partial z ^ {2}} - \ frac {1} {r} \ left (\ frac {\ partial \ phi} {\ partial r} \ right) $$

La cosa più importante da notare è l'ultimo termine sopra: ora non solo hai derivate secondarie di $ \ phi $, ma ora hai anche un termine che coinvolge una derivata prima di $ \ phi $. Questo è esattamente ciò che fa un simbolo Christoffel. In generale, l'operatore laplaciano è:

$$ \ nabla_ {a} \ nabla ^ {a} \ phi = g ^ {ab} \ partial_ {a} \ partial_ {b} \ phi - g ^ {ab} \ Gamma_ {ab} {} ^ {c} \ partial_ {c} \ phi $$

Nel caso di coordinate cilindriche, ciò che il termine extra fa è codificare il fatto che la coordinata il sistema non è omogeneo nell'operatore derivativo - le superfici alla costante $ r $ sono molto più grandi lontano dall'origine di quanto non siano vicine all'origine. Nel caso di uno spazio (tempo) curvo, ciò che fanno i simboli di Christoffel è spiegare le disomogeneità / curvatura / qualunque cosa dello spazio (tempo) stesso.

Per quanto riguarda i tensori di curvatura, sono contrazioni l'uno dell'altro. Il tensore di Riemann è semplicemente un anticommutatore di operatori derivati ​​- $ R_ {abc} {} ^ {d} \ omega_ {d} \ equiv \ nabla_ {a} \ nabla_ {b} \ omega_ {c} - \ nabla_ {b } \ nabla_ {a} \ omega_ {c} $. Misura come la traduzione parallela di un vettore / una forma differisce se si va nella direzione 1 e poi nella direzione 2 o nell'ordine opposto. Il tensore di Riemann è una cosa poco maneggevole con cui lavorare, tuttavia, avendo quattro indici. Risulta che è antisimmetrico sui primi due e sugli ultimi due indici, tuttavia, quindi c'è solo una singola contrazione (contrazione = moltiplicare per il tensore metrico e somma su tutti gli indici) che si può fare su di essa, $ g ^ {ab} R_ {acbd} = R_ {cd} $, e questo definisce il tensore di Ricci. Lo scalare di Ricci è solo un'ulteriore contrazione di questo, $ R = g ^ {ab} R_ {ab} $.

Ora, a causa della Relatività Speciale, Einstein sapeva già che la materia doveva essere rappresentata da un tensore a due indici che combinava le pressioni, le correnti e le densità della distribuzione della materia. Questa distribuzione della materia, se fisicamente significativa, dovrebbe anche soddisfare un'equazione di continuità: $ \ nabla_ {a} T ^ {ab} = 0 $, che sostanzialmente dice che la materia non viene né creata né distrutta nella distribuzione, e che il tasso di tempo di il cambiamento in una corrente è il gradiente di pressione. Quando Einstein scriveva le sue equazioni di campo, voleva che una quantità creata dal tensore metrico che soddisfacesse anche questo (chiamiamolo $ G ^ {ab} $) fosse uguale a $ T ^ {ab} $. Ma questo significa che $ \ nabla_ {a} G ^ {ab} = 0 $. Risulta che esiste solo una tale combinazione di termini che coinvolgono derivate prime e seconde del tensore metrico: $ R_ {ab} - \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} $, dove $ \ Lambda $ è una costante arbitraria. Quindi, questo è ciò che Einstein scelse per la sua equazione di campo.

Ora, $ R_ {ab} $ ha lo stesso numero di indici del tensore energia-stress. Quindi, un modo semplice per vedere cosa significa $ R_ {ab} $ è dire che ti dice la "parte della curvatura" che deriva dalla presenza della materia. Dove vengono lasciati i restanti componenti di $ R_ {abc} {} ^ {d} $ da cui $ R_ {ab} $ non dipende? Ebbene, il modo più semplice (non COMPLETAMENTE corretto, ma il più semplice) è chiamare queste parti della curvatura derivate dalla dinamica del campo gravitazionale stesso - uno spaziotempo vuoto contenente solo radiazione gravitazionale, per esempio, soddisferà $ R_ {ab } = 0 $ ma avrà anche $ R_ {abc} {} ^ {d} \ neq 0 $. Lo stesso vale per uno spaziotempo contenente solo un buco nero. Questi componenti extra di $ R_ {abc} {} ^ {d} $ forniscono le informazioni sulle dinamiche gravitazionali dello spaziotempo, indipendentemente dalla materia contenuta nello spaziotempo.

Questo si sta facendo lungo, quindi lascio questo punto.

#2
+13
Ron Maimon
2011-09-18 13:25:22 UTC
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La connessione ha un significato fisico: è il campo gravitazionale. La metrica è il potenziale gravitazionale.

Il fatto che i simboli di Christoffel non siano tensori non cambia il fatto che siano significativi. Possono essere fatti svanire in qualsiasi punto mediante una trasformazione di coordinate, ma in GR, questo sta solo dicendo che puoi far svanire il campo gravitazionale scegliendo una cornice di coordinate che cade liberamente. Questa è un'affermazione fisica sul campo gravitazionale.

La legge di trasformazione per i simboli di Christoffel è ben definita e un modo per pensare al concetto matematico della connessione astratta è identificare due diverse descrizioni di simboli quando differiscono solo per trasformazione di coordinate. La connessione astratta non ha un valore in un punto, ma ha valori di olonomia sui loop.

Non ci sono osservabili invarianti di gauge locali in una teoria generalmente covariante, quindi devi accontentarti di trasformare le cose in coordinate come il tensore metrico e la connessione.

"Non ci sono osservabili invarianti di gauge locali in una teoria generalmente covariante." Controesempio: lo scalare di Kretschmann.
@BenCrowell: Non è invariante di gauge, in quanto una trasformazione di gauge la cambia per la derivata dello scalare di Kretschmann. L'affermazione che ho fatto è corretta, ben nota e banale: sta dicendo che le trasformazioni di gauge in GR spostano i punti interni attorno alla varietà, quindi una funzione invariante di gauge è costante.
#3
+9
Marek
2011-01-03 00:49:20 UTC
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Nota che non esiste un significato fisico dei simboli di Christoffel in quanto non sono tensori. È sempre possibile scegliere coordinate locali in modo che tutto $ \ Gamma $ scompaia.

Ma il loro significato matematico è che formano uno pseudotensore. Tecnicamente, se abbiamo due derivate covarianti $ \ nabla_1 $ e $ \ nabla_2 $ allora la loro differenza $ \ Gamma: = \ nabla_1 - \ nabla_2 $ soddisfa alcune belle proprietà matematiche (vale a dire che è un operatore ultralocale) e quindi agisce su qualsiasi oggetto è solo locale e può essere rappresentato da un tensore.

Per $ \ nabla_1 $ di solito prendiamo la derivata covariante che ci interessa (ad esempio una derivata covariante metrica con torsione evanescente indotta da un tensore metrico $ g $). Per $ \ nabla_2 $ ci sono due scelte generali (e ampiamente utilizzate). Si può usare la derivata covariante delle coordinate $ \ partial $ (che aniila il vettore di coordinate $ {\ partial \ over \ partial x} $ e i campi covector $ {\ rm d} x $ e questo dà la solita espressione $ \ nabla = \ partial + \ Gamma_ {Christoffel} $. L'altra scelta (che generalizza la precedente) è una derivata covariante $ \ bar \ partial $ che annulla alcune tetrade $ e $ (nel caso precedente avevamo la tetrade $ {\ rm d} x $ che è molto specifico; per tetrade generale non è necessario che esistano coordinate associate). Questo porta al formalismo tetrade e si scrive $ \ nabla = \ bar \ partial + \ gamma $ dove $ \ gamma $ sono i coefficienti di rotazione di Ricci.

Quanto al tensore di Riemann, è ancora una volta una rappresentazione tensoriale di un operatore ultralocale, ovvero l'operatore di curvatura $ R (u, v) $. Questa è una scatola nera che prende due campi vettoriali (pensati come una direzione) e restituisce un operatore ultralocale che ti dice quanto lo spazio curva lungo quelle direzioni. Più precisamente, ti dice cosa succede con un vettore se lo trasporti parallelamente lungo il poligono infinitesimale $ 0 \ a u \ a u + v \ a v \ a [u, v] \ a 0 $; può essere pensato come un quadrato tranne per il fatto che i due campi non hanno bisogno di chiudersi e questo è misurato dal loro commutatore $ [u, v] $. Quindi puoi esprimerlo come $ R (e_a, e_b) e_c = {R_ {abc}} ^ d e_d $ e otterrai il solito tensore di Riemann.

Ora, a causa della (a) simmetria del tensore di Riemann, sono possibili due contrazioni inequivalenti. Uno di questi è la traccia $ {R_ {abc}} ^ c $ e questo può essere banalmente visto essere zero per il tensore di Riemann derivato dalla connessione di Levi-Civita (più in generale per connessioni che conservano elementi di volume). L'altra contrazione, $ {R_ {abc}} ^ a $ fornisce il tensore di Ricci. Questo sarà simmetrico per la connessione Levi-Civita (perché la traccia del tensore di Riemann è zero e perché la torsione svanisce).

Una vista utile (abbastanza matematica) del tensore di Ricci è come un "laplaciano della metrica ", $ R_ {ij} \ sim - {1 \ over 2} \ Delta g_ {ij} $ e per analogia ai flussi termici questo mette in relazione i flussi di Ricci che sono uno strumento di base utilizzato nello studio della congettura di Poincaré.

Ora, il significato geometrico del tensore di Ricci è che misura la deformazione dell'elemento volume in normali coordinate geodetiche. Queste sono coordinate che puoi ottenere intorno a qualsiasi punto se parametrizzi il vicinato mediante flussi geodetici. Quindi il tensore di Ricci misura come le geodetiche tendono a diventare più dense o più rade intorno a un punto in una data direzione. Pensa a come la sfera con curvatura positiva ha meno volume perché le sue geodetiche convergono (sono i grandi cerchi sulla sfera) rispetto a uno spazio iperbolico con curvatura negativa in cui le geodetiche divergono (ci sono infinite linee rette parallele a una data linea). In particolare, le varietà piatte di Ricci (che sono le soluzioni delle equazioni di Einstein del vuoto con costante cosmologica zero) si comportano in questo senso come il solito spazio euclideo. È necessario generalizzare questo alle varietà di Einstein (che sono soluzioni del vuoto con costante cosmologica diversa da zero) per ottenere analoghi della sfera e dello spazio iperbolico (vale a dire, deSitter e spazio anti-deSitter).

C'è molto altro da dire su questi argomenti, ma spero che questo ti sia utile almeno un po '.

questo è un punto molto importante e dovrebbe essere votato a favore! La connessione non ha alcun significato FISICO. Anche se non lo direi perché non è un tensore, ma piuttosto perché dipende solo dalle coordinate e non è invariante.
@Jeremy: Se siamo pedanti, allora nessun non scalare è invariante - le cose che portano indici cambiano certamente sotto un cambio di coordinate - sono varianti co , non invariante.
"nessun significato fisico" è sbagliato: sali a bordo di un ottovolante o di un giradischi e sperimenterai immediatamente il significato fisico.Anche seduto su una sedia sperimentate il significato fisico di $ \ Gamma ^ a_ {bc} $ --- o fate tutte quelle lezioni di meccanica al liceo con forze come $ m {\ bf g} $ e pressioni come $ mgh$ non hanno "significato fisico"?
#4
+2
ghostRepeater
2014-02-04 14:09:33 UTC
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Per quanto riguarda il "significato fisico" dei simboli di Christoffel, c'è un senso in cui non hanno un significato fisico, perché le informazioni che codificano non sono realmente informazioni sulla curvatura dello spazio ma sulla geometria delle coordinate sistema che stai usando per descrivere lo spazio.

Per quanto riguarda un'intuizione su di loro, codificano quanto cambiano i campi del vettore di base per cambiamenti infinitesimali nelle coordinate utilizzate. Questo è il motivo per cui in uno spazio piatto (cioè localmente) è sempre possibile renderli zero: trasformarli in un sistema di coordinate in cui i campi del vettore base non cambiano da punto a punto.

Per sapere come il curve dello spaziotempo, puoi osservare come cambia la funzione metrica da un punto all'altro. Per vedere questo, puoi osservare come i vettori di base cambiano da punto a punto (poiché la metrica è completamente determinata dai vettori di base). Queste sono le informazioni codificate dal simbolo Christoffel.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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