Gli osservabili non si spostano se non possono essere diagonalizzati simultaneamente, cioè se non condividono una base di autovettori. Se guardi a questa condizione nel modo giusto, il principio di indeterminazione risultante diventa molto intuitivo.

Come esempio, considera lo spazio bidimensionale di Hilbert che descrive la polarizzazione di un fotone che si muove lungo l'asse $ z $. La sua polarizzazione è un vettore nel piano $ xy $.

Sia $ A $ l'operatore che determina se un fotone è polarizzato lungo l'asse $ x $ o l'asse $ y $, assegnando un valore di 0 alla prima opzione e 1 alla seconda. Puoi misurare $ A $ utilizzando un semplice filtro polarizzatore e i suoi elementi di matrice sono $$ A = \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}. $$

Ora sia $ B $ l'operatore che determina se un fotone è $ + $ polarizzato (cioè polarizzato sud-ovest / nord-est) o $ - $ polarizzato (polarizzato sud-est / nord-ovest), assegnando loro i valori 0 e 1, rispettivamente. Quindi $$ B = \ begin {pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \ end {pmatrix}. $$

Gli operatori $ A $ e $ B $ non si spostano, quindi non possono essere diagonalizzati contemporaneamente e quindi obbedire a un principio di indeterminazione. E puoi immediatamente capire perché dalla geometria: $ A $ e $ B $ scelgono diversi gruppi di direzioni. Se hai un valore definito di $ A $, devi essere polarizzato $ x $ o $ y $. Se avessi un valore definito di $ B $, dovresti essere $ + $ o $ - $ polarizzato. È impossibile essere entrambi contemporaneamente.

Oppure, se riformuli le cose in termini di direzioni della bussola, le domande "stai andando a nord o est" e "stai andando a nord-est o sud-est" non hanno simultaneamente risposte ben definite. Ciò non significa che le bussole siano errate o incomplete o che l'osservazione di una bussola "interferisca con l'orientamento". Sono solo direzioni diverse .

La posizione e lo slancio sono esattamente allo stesso modo.Un autostato di posizione è nettamente localizzato, mentre un autostato di quantità di moto ha estensione spaziale infinita.Pensando allo spazio di Hilbert come a uno spazio vettoriale, stanno semplicemente scegliendo direzioni diverse;nessun vettore è un autovettore di entrambi contemporaneamente.

Osservabili non pendolari significa che una cosiddetta misurazione è in grado di cambiare lo stato del sistema.

Ad esempio, quando ci sono due osservabili A e B che non riescono a spostarsi, c'è un autovettore di A che non è un autovettore di B.

Quando interagisci con A poi A poi B i due risultati dell'interazione A concordano sempre tra loro. Ciò significa che l'interazione A la lascia sempre in uno stato speciale, che fornisce uno specifico risultato definito per un'interazione A (lo stesso risultato specifico fornito dalla prima).

Ma quando quello stato non viene un autovettore di B (e qualche autovettore di uno non riesce a essere adeguato all'altro se non riescono a fare il pendolare) quindi interagendo con A e poi con B allora A può dare due risultati diversi per le interazioni A.

Questo dimostra , in definitiva, che l'interazione con B non è una rivelazione passiva di informazioni preesistenti, ma è un'interazione che può cambiare lo stato in questione.

Nello specifico può cambiare lo stato da uno che fornisce un determinato risultato per un'interazione con A in uno capace di dare un risultato diverso per un'interazione con A.

È possibile stabilire una connessione al fatto che lo stato fisico esatto di un sistema fisico arbitrario che occupa un volume finito, può essere specificato solo con una quantità finita di informazioni.Se consideri alcuni osservabili, gli autostati potrebbero essere degeneri, allora hai bisogno di un altro pendolarismo osservabile con il primo per sollevare quella degenerazione, se continui in questo modo alla fine ti ritroverai con un set completo di osservabili pendolari.Poiché è necessaria solo una quantità finita di informazioni per specificare lo stato del sistema, ciò significa che questo insieme sarà finito.È quindi garantito che puoi trovare osservabili che non appartengono a questo insieme.

Nel limite classico, tutte le osservabili commutano.In questo limite, il numero di stati fisici distinguibili per fase unitaria tende all'infinito.

La meccanica classica può essere espressa in forma analitica in termini di posizione e "quantità di moto coniugata", un termine della meccanica lagrangiana.Questa coppia ci fornisce le variabili P, Q della meccanica hamiltoniana;quando una qualsiasi coppia di questo tipo viene quantizzata, scoprirai che non commuta.Il commutatore quantistico "eredita" questo comportamento dalle classiche parentesi di Poisson.

Quindi questo fornisce un background fisico alla tua domanda;la lagrangiana deriva in definitiva dalle leggi del moto di Newton tramite il principio di minima azione, un principio variazionale.

Sì, c'è una ragione fondamentale per cui alcuni osservabili non effettuano spostamenti.Alcuni sono i generatori non pendolari di un gruppo.Ad esempio, i momenti angolari $ J_x, J_y, J_z $ sono osservabili.Sono anche i generatori di rotazioni nel gruppo di rotazione.Ruotando una matita con le dita, puoi verificare che $ Rot_xRot_y $ e $ Rot_yRot_x $ non restituiscano lo stesso orientamento della matita.Le rotazioni non commutano e considerando rotazioni piccole si deducono le relazioni di commutazione $ [J_k, J_l] = i \ epsilon_ {klm} J_m $.

Dici che

Questo porta al problema di non avere un valore definito di una certa quantità in alcuni stati.

ma che tipo di problema è questo? Non è un problema di disaccordo tra teoria ed esperimento. In effetti, come vedrò, è il contrario! Se gli osservabili si spostano, non possiamo costruire teorie che siano d'accordo con l'esperimento. Quindi il problema qui è che questa è una cosa psicologicamente o filosoficamente difficile da accettare, ma è così e se non ti piace devi trovare un altro universo in cui le regole sono più semplici...

Si può sostenere che le disuguaglianze di Bell e gli esperimenti GHZ dimostrino che non c'è davvero nulla dietro il non- osservabili pendolari. Una teoria costruita solo su osservabili pendolari semplicemente non può fornire la previsione corretta per l'esperimento GHZ, ma QM lo fa (anche molto facilmente). Quindi gli osservabili non pendolari sembrano essere una parte fondamentale del modo in cui funziona il nostro universo.

Qualunque cosa tu suggerisca sia "realmente" dietro la meccanica quantistica deve fare la stessa previsione della meccanica quantistica sui risultati un esperimento di Bell o GHZ, perché abbiamo fatto quegli esperimenti e trovato il risultato previsto da QM. Questo esclude che se c'è qualcosa dietro la meccanica quantistica, tutti i suoi osservabili si spostano.

L'universo sembra meccanico quantistico perché è meccanico quantistico.

(C'è una scappatoia in quanto sopra: potremmo consentire segnali più veloci della luce e quindi potrebbero esserci variabili nascoste. Ma questo è davvero fastidioso per i fisici in un certo senso che gli osservabili non pendolarinon lo è, perché se permettiamo comunicazioni più veloci della luce dobbiamo, secondo Einstein, permettere che le condizioni future influenzino ciò che accade nel presente. Ciò significa che non posso più fidarmi dei miei esperimenti perché qualcuno dal futuro potrebbeinterferire con loro. Gli osservabili non pendolari significa che dobbiamo accettare solo la previsione delle probabilità negli esperimenti, ma è molto meglio che buttare fuori tutti gli esperimenti perché il tuo rivale del futuro potrebbe sabotarli.)

Vorrei espandere un po 'una dichiarazione leggermente errata all'inizio del post originale che è stata evidenziata nei commenti:

OP: Se questi osservabili non si spostano non c'è una base simultanea di autovettori di ciascuno di essi. In tal caso, in generale se $ | \ phi \ rangle $ è il vettore autovettore di $ A $ non sarà di $ B $. (corsivo $ \ rightarrow $ dichiarazione errata)

Comment (WillO): Dici che se gli osservabili non si spostano, non possono avere autovettori in comune. Questo non è vero.

Per fornire l'esempio concreto più semplice, supponiamo che il nostro spazio di Hilbert sia a dimensione finita e $ A $ e $ B $ siano osservabili (matrici) non pendolari. Considera questi due operatori "espansi" su uno spazio di Hilbert "espanso" in modo simile:

$$ A '= \ begin {pmatrix} A & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}, \, \, B '= \ begin {pmatrix} B & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} $$

Chiaramente anche $ A '$ e $ B' $ non fanno i pendolari, ma condividono un autovettore $ v = (\, 0 \, \, 1 \,) ^ {\ text {T}} $ a causa di il blocco $ 1 $ in ciascuno dei loro angoli.

La morale della storia è che gli osservabili non pendolari implicano solo la prima frase dell'OP, non la seconda che ho scritto in corsivo (vedi sopra). Gli osservabili non pendolari implicano che non possono condividere un'intera autovettura comune.

Modifica

Mi sbagliavo sul fatto che l'affermazione fosse sottilmente errata (vedi i commenti di @ Kostya sotto).Il significato originariamente inteso dall'OP (che è anche il modo in cui l'ho inteso per la prima volta, e che so era in realtà il significato inteso dall'OP a causa dei loro commenti successivi) non era corretto, ma il modo in cui era formulato in realtà negava il problema risultanteuna dichiarazione tecnicamente corretta. In generale un autovettore di una matrice $ A $ non sarà un autovettore di un'altra matrice $ B $ quando $ [A, B] \ neq 0 $.Potrebbero esserci alcuni autovettori di $ A $ in comune con $ B $ (come ho inizialmente sottolineato), ma non tutti saranno in comune.