Domanda:
Le equazioni di Maxwell determinano eccessivamente i campi elettrico e magnetico?
Warrick
2012-01-27 14:53:38 UTC
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Le equazioni di Maxwell specificano due equazioni vettoriali e due equazioni scalari (differenziali). Ciò implica 8 componenti nelle equazioni. Ma tra i campi vettoriali $ \ vec {E} = (E_x, E_y, E_z) $ e $ \ vec {B} = (B_x, B_y, B_z) $, ci sono solo 6 incognite. Quindi abbiamo 8 equazioni per 6 incognite. Perché non è un problema?

Per quanto ne so, la risposta è fondamentalmente perché le equazioni non sono effettivamente indipendenti ma non ho mai trovato una spiegazione chiara. Forse la direzione giusta è questo articolo su arXiv.

Mi scuso se questo è un repost. Ho trovato alcune discussioni su PhysicsForums ma nessuna domanda simile qui.

Sette risposte:
#1
+54
Luboš Motl
2012-01-27 15:13:06 UTC
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Non è un problema perché due delle otto equazioni sono vincoli e non sono del tutto indipendenti dalle restanti sei.

Le equazioni dei vincoli sono quelle scalari, $$ {\ rm div } \, \, \ vec D = \ rho, \ qquad {\ rm div} \, \, \ vec B = 0 $$ Immagina $ \ vec D = \ epsilon_0 \ vec E $ e $ \ vec B = \ mu_0 \ vec H $ ovunque per semplicità.

Se queste equazioni sono soddisfatte nello stato iniziale, saranno immediatamente soddisfatte in ogni momento. Questo perché le derivate temporali di queste equazioni non dinamiche ("non dinamiche" significa che non sono progettate per determinare le derivate temporali dei campi stessi; in realtà non contengono derivate temporali) possono essere calcolate dalle restanti 6 equazioni . Basta applicare $ {\ rm div} $ alle restanti 6 equazioni dei componenti, $$ {\ rm curl} \, \, \ vec E + \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} = 0, \ qquad { \ rm curl} \, \, \ vec H- \ frac {\ partial \ vec D} {\ partial t} = \ vec j. $$ Quando applichi $ {\ rm div} $, i termini curl scompaiono perché $ {\ rm div} \, \, {\ rm curl} \, \, \ vec V \ equiv 0 $ è un'identità e ottieni $$ \ frac {\ partial ({\ rm div} \, \, \ vec B)} {\ partial t} = 0, \ qquad \ frac {\ partial ({\ rm div} \, \, \ vec D )} {\ partial t} = - {\ rm div} \, \, \ vec j. $$ La prima equazione implica che $ {\ rm div} \, \, \ vec B $ rimanga zero se fosse zero nello stato iniziale. La seconda equazione può essere riscritta utilizzando l'equazione di continuità per $ \ vec j $, $$ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + {\ rm div} \, \, \ vec j = 0 $$ ( cioè supponiamo che questo valga per i sorgenti) per ottenere $$ \ frac {\ partial ({\ rm div} \, \, \ vec D- \ rho)} {\ partial t} = 0 $$ quindi $ {\ rm div} \, \, \ vec D- \ rho $ rimane sempre zero se è zero nello stato iniziale.

Vorrei menzionare che tra le equazioni di Maxwell a 6 + 2 componenti, 4 di esse, quelle che coinvolgono $ \ vec E, \ vec B $, possono essere risolte scrivendo $ \ vec E, \ vec B $ in termini di quattro componenti $ \ Phi, \ vec A $. In questa lingua, ci rimangono solo le restanti 4 equazioni di Maxwell. Tuttavia, solo 3 di loro sono realmente indipendenti alla volta, come mostrato sopra. Va bene anche perché i quattro componenti di $ \ Phi, \ vec A $ non sono del tutto determinati: uno di questi componenti (o una funzione) può essere modificato dall'invarianza di gauge $ U (1) $ a 1 parametro.

Ciò che Lubos sta dicendo è che le equazioni scalari possono essere considerate come conseguenze di equazioni vettoriali, conservazione delle cariche e condizioni iniziali. Ad esempio, $ div B = 0 $ è la conseguenza della conservazione della carica magnetica e della mancanza di cariche magnetiche al momento iniziale, poiché $ div B = const $ è la conseguenza di $ curl E = - \ frac {\ partial B} {\ partial t} $ e $ divB = 0 $ al momento iniziale.
Lubosh, $ \ vec {E}, \ vec {B} $ sono espressi tramite 6 * derivati ​​* di tempo e spazio di $ \ phi $ e $ \ vec {A} $; ecco perché c'è un'ambiguità nei potenziali.
Caro Vladimir, ho risposto in dettaglio alla tua domanda. Ancora. C'è un'ambiguità di 1 parametro nei 4 potenziali - l'invarianza di gauge U (1) - perché localmente nello spaziotempo, i 4 potenziali sono vincolati solo da 3 equazioni, curl H = $ j + \ partial D / \ partial t $. La quarta equazione con le correnti, $ {\ rm div} \, \, D = \ rho $, non è indipendente: la sua derivata temporale segue dalle tre precedenti. Le restanti 3 + 1 equazioni per $ B, E $ sono soddisfatte automaticamente se $ B, E $ sono espresse in termini di 4 potenziali, sono identità Bianchi.
Naturalmente, il modo in cui introduciamo i potenziali non è arbitrario, ma specifico per le equazioni di Maxwell. Qualsiasi specifica è un vincolo rispetto all'arbitrarietà. Ora dimmi, quante componenti di campo elettrico e magnetico indipendenti ci sono nell'elettromagneto-statica?
Caro @Vladimir, in un momento, ad es. nello stato iniziale, $ \ vec E, \ vec B $ in ogni punto sono indipendenti, quindi 6 componenti per punto, ma sono vincolati da $ {\ rm div} \, \, \ vec D = \ rho $ e $ {\ rm div} \, \, \ vec B = 0 $, rispettivamente. Quindi sono effettivamente quattro componenti indipendenti per punto. Di nuovo, i campi statici non sono lo stesso problema di quelli dinamici, il conteggio è diverso per punti generici lontani dallo stato iniziale.
@Lubosh: dici cose quasi corrette, ma guarda, $ \ rm div \ vec {D} = \ rho $ non è un vincolo ai componenti del vettore $ \ vec {D} $. Ad esempio, due polinomi $ P_1 = a + bx $ e $ P_2 = c + bx $ sono linearmente indipendenti, ma le loro derivate sono uguali. Un vincolo ai componenti appare come $ \ vec {a} \ vec {D} = 1 $ o giù di lì.
Lubos o Lubosh sono più appropriati per le "s con il cappello"?
Caro @Vladimir, $ {\ rm div} \, \ vec D = \ rho $ è un vincolo per $ \ vec D $, sicuramente in senso tecnico. Non è un vincolo puramente algebrico; se lo fosse, sarebbe risolvibile e si potrebbero cancellare immediatamente alcuni componenti di $ \ vec D $. Invece, contiene derivati ​​spaziali. Ma questa differenza consente solo al $ \ vec D $ complessivo nello spazio di muoversi per una costante: indipendentemente dallo spazio. In singoli punti della fetta iniziale, la presenza di derivate è irrilevante per il conteggio e c'è 1 vincolo per punto (tranne un punto nello spazio) proprio come se fosse uno algebrico
Caro @Nick, Lubos o Lubosh è sicuramente più facile da scrivere e non mi insulto. Molte persone, anche quelle al di fuori dell'Europa centrale e orientale dove š può essere digitato sulla tastiera, sono effettivamente in grado di scrivere il carattere in un secondo o giù di lì, facendo copia e incolla ecc., Quindi non è un enorme sacrificio se lo scrivono correttamente. Ma sì, š è pronunciato come sh.
@LubošMotl Grazie per una risposta chiara ed elaborata.Per quanto ho capito, questo approccio utilizza l'equazione di continuità per $ \ vec {j} $ come assioma aggiuntivo per l'equazione ** dinamica ** di Maxwell.Se ho ragione, puoi per favore spiegare perché un tale assioma aggiuntivo è valido da dare per scontato.Sono confuso sul fatto che sia un assioma aggiuntivo o solo una definizione.Senza usare l'equazione di continuità, come hai mostrato, avremmo $ \ partial_t (\ nabla \ cdot \ vec {D}) = - \ nabla \ cdot \ vec {j} $ ma non $ \ partial_t (\ nabla \ cdot\ vec {D} - \ rho) = 0 $.Grazie per il tuo tempo!
L'equazione di continuità per rho e j segue da tutte le equazioni di Maxwell, comprese quelle senza derivate temporali.Allo stesso modo, se provi a trovare E, B che risolvono le equazioni di Maxwell per rho, j che non obbediscono all'equazione di continuità, non ci saranno affatto soluzioni.Si potrebbero trovare soluzioni se rho, j violasse l'equazione di continuità e si ignorassero le equazioni di Maxwell indipendenti dal tempo.Ma questo sistema di equazioni, le ipotesi non sarebbero invarianti di Lorentz, quindi non è particolarmente interessante.
@Lubos Motl-Non fa l'equazione di continuità $ \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + {\ rm div} \ vec j = 0 $ ** segue ** dalla formula precedente $ \ frac {\ partial({\ rm div} \, \, \ vec D)} {\ partial t} = - {\ rm div} \ vec j $, quando mettiamo $ {\ rm div} \ vec D = \ rho $ in questoformula?Sento un po 'di circolarità qui. A cosa serve scrivere $ \ frac {\ partial ({\ rm div} \ vec D- \ rho)} {\ partial t} = 0 $ quando questo deriva da due formule uguali?Ci sono casi in cui $ {\ rm div} \ vec D- \ rho $ non è uguale a zero?
Sì, l'implicazione che hai descritto è valida, ma non c'è nulla di circolare al riguardo.In fisica, consideriamo solo le configurazioni in cui valgono tutte le equazioni di Maxwell, incluso div D = rho.Potresti rimuovere questa equazione, ma le altre tre equazioni di Maxwell implicherebbero comunque che (div D - rho) è indipendente dal tempo, ma per il resto qualsiasi funzione di x, y, z.Non sarebbe un sistema di equazioni terribilmente interessante consentire funzioni diverse da zero di x, y, ze la teoria non sarebbe invariante di Lorentz.
Il punto è che le equazioni di Maxwell non sono del tutto indipendenti l'una dall'altra: tre di esse possono essere differenziate e combinate per ricavare la derivata temporale della quarta.Ma è interessante solo il sistema in cui tutto questo apparentemente (solo contando le condizioni) "troppo completo" viene imposto.
#2
+24
Qmechanic
2012-02-05 23:43:51 UTC
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I) Generalizziamo per divertimento la domanda di OP a $ n $ dimensioni spazio-tempo, e controlliamo come funziona il conteggio delle eq. e gradi di libertà (d.o.f.) funzionano in questo contesto generale. Useremo la risposta di Lubos Motl come modello per questa parte. Inoltre useremo una notazione $ (-, +, \ ldots, +) $ relativistica speciale con $ c = 1 $, dove $ \ mu, \ nu \ in \ {0, \ ldots, n-1 \} $ denotano indici spaziotempo, mentre $ i, j \ in \ {1, \ ldots, n-1 \} $ denotano indici spaziali. Maxwell eq. sono i seguenti.

  1. Identità Bianchi prive di sorgenti: $$ {\ rm d} F ~ = ~ 0 \ qquad \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad \ qquad \ sum _ {\ rm cycl. ~ \ Mu, \ nu, \ lambda} d _ {\ lambda} F _ {\ mu \ nu} ~ = ~ 0, \ qquad \ qquadF ~: = ~ \ frac { 1} {2} F _ {\ mu \ nu} ~ {\ rm d} x ^ {\ mu} \ wedge {\ rm d} x ^ {\ nu}. $$ Qui $$ \ left (\ begin {array } {c} n \ cr 3 \ end {array} \ right) {\ rm ~ Bianchi ~ identities} ~ = ~ \ left (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 3 \ end {array} \ destra) {\ rm ~ vincoli} ~ + ~ \ sinistra (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 2 \ end {array} \ right) {\ rm ~ dynamic ~ eqs.} $$$$ ~ = ~ ({\ rm Nessuna ~ eq. monopolo ~ magnetico ~.}) ~ + ~ ({\ rm ~ legge di Faraday}). $$

  2. eq di Maxwell. con termini di origine: $$ d _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} ~ = ~ -j ^ {\ nu}. $$ Qui $$ n {\ rm ~ source ~ eqs.} ~ = ~ 1 { \ rm ~ vincolo} ~ + ~ (n-1) {\ rm ~ eq dinamiche.} $$$$ ~ = ~ ({\ rm ~ legge di Gauss}) ~ + ~ ({\ rm ~ legge di Ampere ~ con ~ displacement ~ term}). $$

Abbiamo usato la terminologia che un eq. dinamico contiene derivate del tempo, mentre un vincolo no. Quindi il numero di eq dinamiche. è

$$ \ left (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 2 \ end {array} \ right) ~ + ~ (n-1) ~ = ~ \ left (\ begin {array} {c} n \ cr 2 \ end {array} \ right), $$

che corrisponde esattamente

$$ {\ rm il ~ numero ~} \ sinistra (\ begin {array} {c} n \ cr 2 \ end {array} \ right) {\ rm ~ di ~} F _ {\ mu \ nu} {\ rm ~ campi} $$$$ ~ = ~ \ sinistra (\ begin {array} {c} n-1 \ cr 2 \ end {array} \ right) {~ \ rm campi ~ magnetici ~} F_ {ij} ~ + ~ (n-1) {\ rm ~ elettrico ~ fields ~} F_ {i0}. $$

Maxwell eqs. con i termini di origine implica l'equazione di continuità.

$$ d _ {\ nu} j ^ {\ nu} ~ = ~ -d _ {\ nu} d _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} ~ = ~ 0, \ qquad \ qquad F ^ {\ mu \ nu} ~ = ~ -F ^ {\ nu \ mu}, $$

quindi si deve richiedere che le sorgenti in background $ j ^ {\ nu} $ obbediscano all'eq di continuità.

Per coerenza, la derivata temporale di ciascuno dei vincoli dovrebbe svanire. Nel caso delle eq. Monopole non magnetiche, ciò segue dalla legge di Faraday. Nel caso della legge di Gauss, ciò deriva dalla legge di Ampere modificata e dall'equazione di continuità.

II) La sezione precedente (I) ha effettuato il conteggio in termini di $ \ left (\ begin {array } {c} n \ cr 2 \ end {array} \ right) $ intensità di campo $ F _ {\ mu \ nu} $. In termini di $ n $ potenziali di gauge $ A _ {\ mu} $, il conteggio procede come segue. Le identità Bianchi sono ora banalmente soddisfatte,

$$ F ~ = ~ {\ rm d} A \ qquad \ qquad A ~: = ~ A _ {\ mu} ~ {\ rm d} x ^ { \ mu}. $$

Ci sono ancora le eq di $ n $ Maxwell. con termini di origine

$$ (\ Box \ delta ^ {\ mu} _ {\ nu} -d ^ {\ mu} d _ {\ nu}) A ^ {\ nu} ~ = ~ - j ^ {\ mu}, \ qquad \ qquad \ Box ~: = ~ d _ {\ mu} d ^ {\ mu}. $$

Esiste un singolo indicatore d.o.f. a causa della simmetria di gauge $ A \ to A + {\ rm d} \ Lambda $ e $ F \ to F $. Se si corregge l'indicatore utilizzando la condizione indicatore di Lorenz

$$ d _ {\ mu} A ^ {\ mu} ~ = ~ 0, $ $

le eq di Maxwell. diventano $ n $ equazioni d'onda disaccoppiate

$$ \ Box A ^ {\ mu} (x) ~ = ~ -j ^ {\ mu} (x). $$

Con una trasformazione di Fourier spaziale, queste diventano ODE lineari disaccoppiate di secondo ordine con coefficienti costanti,

$$ (d ^ 2_t + \ vec { k} ^ 2) \ hat {A} ^ {\ mu} (t; \ vec {k}) ~ = ~ \ hat {j} ^ {\ mu} (t; \ vec {k}), $$

che, a partire da qualche tempo iniziale $ t_0 $, può essere risolto per tutte le volte $ t $, cfr. La domanda di OP. [Si dovrebbe verificare che la soluzione

$$ \ hat {A} ^ {\ mu} (t; \ vec {k}) ~ = ~ \ int {\ rm d} t ^ {\ prime } ~ G (tt ^ {\ prime}; \ vec {k}) ~ \ hat {j} ^ {\ mu} (t ^ {\ prime}; \ vec {k}), \ qquad \ qquad (d ^ 2_t + \ vec {k} ^ 2) G (tt ^ {\ prime}; \ vec {k}) ~ = ~ \ delta (tt ^ {\ prime}), $$

soddisfa Lorenz condizione del manometro. Ciò segue dall'equazione di continuità.]

III) È interessante derivare la soluzione completa $ \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) $ in $ k ^ {\ nu} $ - spazio di quantità di moto senza fissaggio di gauge. Le eq di Maxwell trasformate di Fourier. leggi

$$ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} ~ \ tilde {A} ^ {\ nu} (k) ~ = ~ \ tilde {j} ^ {\ mu} (k), \ qquad \ qquad M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} ~: = ~ k ^ 2 \ delta ^ {\ mu} _ {\ nu} -k ^ {\ mu} k _ {\ nu}. $$

Per procedere si deve analizzare la matrice $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} $ per fixed $ k ^ {\ lambda} $. Ci sono tre casi.

  1. Modalità costante $ k ^ {\ mu} = 0 $. Quindi la matrice $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = 0 $ svanisce in modo identico. Maxwell eq. sono possibili solo se $ \ tilde {j} ^ {\ mu} (k = 0) = 0 $ è zero. Il potenziale di gauge $ \ tilde {A} _ {\ mu} (k = 0) $ non è affatto limitato dalle eq. Di Maxwell, cioè esiste una soluzione completa di parametri $ n $.

  2. Massive case $ k ^ 2 \ neq 0 $. La matrice $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} $ è diagonalizzabile con autovalore $ k ^ 2 $ (con molteplicità $ n-1 $) e autovalore $ 0 $ (con molteplicità $ 1 $). Quest'ultimo corrisponde a una modalità gauge pura $ \ tilde {A} ^ {\ mu} ~ \ propto ~ k ^ {\ mu} $. La soluzione completa è una soluzione con parametro $ 1 $ nella forma $$ \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) ~ = ~ \ frac {\ tilde {j} ^ {\ mu} (k)} {k ^ 2} ~ + ~ ik ^ {\ mu} \ tilde {\ Lambda} (k). $$ A parte il termine sorgente, questo è puro indicatore.

  3. Custodia senza massa $ k ^ 2 = 0 $ e $ k ^ {\ mu} \ neq 0 $. La matrice $ M ^ {\ mu} {} _ {\ nu} $ non diagonalizzabile. Esiste solo un autovalore $ 0 $ (con molteplicità $ n-1 $) eq di Maxwell. sono possibili solo se la sorgente $ \ tilde {j} ^ {\ mu} (k) = \ tilde {f} (k) k ^ {\ mu} $ è proporzionale a $ k ^ {\ mu} $ con qualche fattore di proporzionalità $ \ tilde {f} (k) $. In quel caso le eq di Maxwell. diventa $$ -k _ {\ mu} \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) ~ = ~ \ tilde {f} (k). $$ Introduciamo un $ \ eta $ -duale vettore $ ^ 1 $ $$ k ^ {\ mu} _ {\ eta} ~: = ~ (-k ^ 0, \ vec {k}) \ qquad {\ rm per} \ qquadk ^ {\ mu} ~ = ~ (k ^ 0, \ vec {k}). $$ Nota che $$ k _ {\ mu} ~ k ^ {\ mu} _ {\ eta} ~ = ~ (k ^ 0) ^ 2 + \ vec {k} ^ 2 $$ è solo il quadrato della distanza euclidea in $ k ^ {\ mu} $ - spazio della quantità di moto. La soluzione completa è una soluzione con parametro $ (n-1) $ nella forma $$ \ tilde {A} ^ {\ mu} (k) ~ = ~ - \ frac {k ^ {\ mu} _ {\ eta }} {k _ {\ nu} ~ k ^ {\ nu} _ {\ eta}} \ tilde {f} (k) ~ + ~ ik ^ {\ mu} \ tilde {\ Lambda} (k) ~ + ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k). $$ Il termine proporzionale a $ k _ {\ mu} $ è puro gauge. Qui $ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k) $ denota $ n-2 $ modi trasversali, $$ k _ {\ mu} ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T } (k) ~ = ~ 0, \ qquad \ qquadk _ {\ mu} ^ {\ eta} ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k) ~ = ~ 0. $$ Le $ n-2 $ modalità trasversali $ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} $ sono le uniche d.o.f fisiche propaganti. (onde elettromagnetiche, campo fotonico).

-

$ ^ 1 $ Le polarizzazioni longitudinali e temporali sono nelle maiuscole e minuscole proporzionali a $ k ^ {\ mu} \ pm k ^ {\ mu} _ {\ eta} $, rispettivamente.

Perché i modi trasversali soddisfano $ k _ {\ mu} ^ {\ eta} ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k) ~ = ~ 0 $?Maxwell equs.richiedi $ k _ {\ mu} ~ \ tilde {A} ^ {\ mu} _ {T} (k) ~ = ~ 0 $.Da dove viene questo vincolo in più?
Può essere visto come parte della definizione di cosa significa trasversale.
1. Ma non esiste un vincolo effettivo che mi dica che devono essere trasversali?2. Inoltre: qual è l'argomento per $ k ^ 2 = 0 $ se non l'equs di Maxwell di Lorenz-gauge.$ \ Box A ^ \ mu = 0 $?
1. No, non c'è.2. Presumo che ti stia riferendo alla Sezione III: il caso senza massa $ k ^ 2 = 0 $ è una possibilità.C'è anche un enorme caso $ k ^ 2 \ neq 0 $.
#3
+2
Vladimir Kalitvianski
2012-01-27 20:51:16 UTC
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Le equazioni vengono scritte in qualsiasi momento $ t $ e non è necessario "provare" la loro validità in qualsiasi momento. Queste equazioni sono le leggi sperimentali e sono, ovviamente, coerenti in qualsiasi momento. I vincoli qui sono imposti non ai campi, ma alle cariche elettriche e magnetiche. Le cariche non hanno sorgenti / sink così le equazioni derivate come $ \ partial \ rho / \ partial t + \ rm div \ vec {j} = 0 $ dicono proprio questo e sono chiamate leggi di conservazione della carica. (Sono un fatto sperimentale.) Le leggi di conservazione della carica non determinano la dinamica della carica; per quest'ultimo esistono le equazioni "meccaniche". In caso di una carica elementare $ q $, la sua conservazione significa la sua indipendenza dal tempo: $ \ frac {dq} {dt} = 0 $ che di solito non è scritta come un'equazione aggiuntiva, ma usata come sua soluzione $ q = const $ nelle equazioni "meccaniche".

Quindi hai sei equazioni per i campi e due come leggi di conservazione per le cariche.

Non possiamo vedere le seguenti due viste come equivalenti: 1. Ci sono sei equazioni per i campi e ci sono due ulteriori vincoli sulle cariche, cioè le leggi di conservazione.2. Esistono sei equazioni dinamiche per l'evoluzione dei campi e le due ulteriori condizioni al contorno che devono essere soddisfatte nell'istante iniziale di tempo da tutti i campi elettromagnetici fisicamente reali.
#4
+2
Shaktyai
2012-07-18 01:52:18 UTC
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Le equazioni di Maxwell sono infatti ridondanti, se si lavora con le variabili normali le ridondanze vengono eliminate. Una discussione molto chiara si trova in:

Fotoni e atomi: introduzione all'elettrodinamica quantistica Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg

Perché questo è un miglioramento delle ottime risposte di Lubos e Qmechanic?
#5
+1
Quirino Sugon Jr
2012-02-02 16:10:24 UTC
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Le equazioni di Maxwell non determinano in modo eccessivo i campi elettrico e magnetico. Questo diventa più chiaro se riscriviamo le quattro equazioni di Maxwell in una usando l'algebra geometrica: $$ (c ^ {- 1} \ partial_t + \ vec \ nabla) (\ vec E + i \ zeta \ vec H) = \ zeta (\ rho c + \ vec j) $$, dove i prodotti vettoriali seguono l'identità Pauli $ \ vec a \ vec b = \ vec a \ cdot \ vec b + i \ vec a \ times \ vec b $. In linea di principio, possiamo invertire l'equazione di Maxwell per risolvere il campo elettromagnetico $ \ vec E + i \ zeta \ vec H $, applicando condizioni al contorno.

È possibile scrivere in TeX racchiudendo il texCode con segni di dollaro (in linea), o doppi dollari.
#6
+1
user27777
2013-08-03 03:57:45 UTC
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Ecco una domanda correlata che pongo sempre agli studenti. Nello spazio libero puoi convertire l'equazione di Maxwell in 2 equazioni vettoriali di Helmholtz, una per E e una per B. Allora come mai sono disaccoppiate? Sembrerebbe che potremmo calcolare E e B separatamente. L'indizio è che nello spazio libero, per avere campi diversi da zero è necessario specificare alcune condizioni al contorno. E le condizioni al contorno devono essere coerenti con le equazioni di Maxwell. Quindi la natura trasversale e accoppiata dei campi proviene dal BC e si propaga nello spazio libero.

Per inciso, per i fasci finiti i campi E e B non devono essere trasversali l'uno all'altro (cioè, ci sono longitudinali campi). Questo rende molto più difficile lavorare con travi finite che lavorare con onde piane non fisiche.

#7
+1
auxsvr
2014-04-04 03:58:53 UTC
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Questo è facile da vedere se si utilizzano le equazioni di Maxwell per arrivare alle equazioni delle onde disaccoppiate e disomogenee per i campi, $$ \ begin {split} \ Box \ vec {E} & = - \ mu_0 \ frac {\ parziale \ vec {J}} {\ partial t} - \ vec {\ nabla} \ frac {\ rho} {\ varepsilon_0}, \\\ Box \ vec {B} & = \ mu_0 \ vec {\ nabla} \ volte \ vec {J}, \ end {split} $$ con $ \ Box \ equiv \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} - \ nabla ^ 2 $ il dalembertiano. Questa derivazione richiede l'uso di tutte le equazioni di Maxwell e una soluzione esiste ed è definita in modo univoco se usiamo condizioni al contorno appropriate, quindi le equazioni di Maxwell non sono indipendenti.

Un suggerimento per la loro dipendenza l'una dall'altra è il Teorema di Helmholtz, a condizione che le fonti siano localizzate. Secondo il teorema, un campo è definito in modo univoco se sia la sua divergenza che il suo ricciolo sono noti, cioè il teorema definisce 3 funzioni da 4 equazioni dipendenti.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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