Probabilmente sai già che in assenza di forze esterne, il centro di massa di qualsiasi insieme di particelle si muove a velocità costante.Questo è vero sia che siano attaccati insieme in un unico corpo o siano solo un mucchio di corpi separati con o senza interazioni tra di loro.Passiamo ora a un sistema di riferimento che si muove a quella velocità.In quel frame il CofM è fermo.

Ora supponiamo che le particelle siano effettivamente unite insieme per formare un corpo rigido.Vediamo che il corpo si muove in modo che: 1) il CofM rimanga fisso, 2) tutte le distanze tra le particelle siano fisse.(Dopo tutto, questa seconda condizione è ciò che si intende per $ corpo $ rigido).

Un movimento con queste due proprietà, (1) e (2), è esattamente ciò che si intende con la frase `` una rotazione attorno al CofM ''

Ecco un altro modo per vedere questo:

Puoi considerare un oggetto con qualsiasi forma come un unico punto in cui è concentrata tutta la massa dell'oggetto.Questo punto è chiamato il centro di massa.Secondo la seconda legge di Newton, poiché nessuna forza agisce sull'oggetto, il centro di massa deve muoversi in linea retta o essere fermo.Se il corpo ruota, l'unico modo in cui il centro di massa può obbedire a quella legge è se la rotazione è intorno al centro di massa.

Immagina due pietre legate insieme con un'asta priva di massa e lascia che una pietra ruoti attorno alla seconda che viene fissata.

In questo caso deve esserci una forza che acceleri la prima pietra perpendicolarmente alla sua velocità e la induca a ruotare attorno alla seconda.L'intero setup è gratuito, quindi non c'è nessuna forza contraria per equalizzare e questo setup viola le leggi di Newton.

Se vogliamo ruotare questo corpo di pietra-verga-pietra nel rispetto delle leggi di Newton dobbiamo aggiungere e un punto arbitrario ruoterà intorno.In questo caso entrambe le pietre ruotano attorno a questo punto, viene applicata una forza radiale ad entrambe e hanno direzione opposta.Le forze devono annullarsi completamente e si annullano solo se il punto arbitrario è posizionato esattamente nel centro di massa.

Il motivo per cui un corpo in rotazione libera ruota attorno al proprio centro di massa è che il momento di inerzia del tensore al centro di massa è minimo. Quando ruoti attorno a un punto che non è il centro di massa, devi applicare il teorema dell'asse parallelo.

$$ I '= I_ \ mathrm {CM} + m \ vec {r} _ \ mathrm {CM} ^ 2 $$

Il minimo di questa equazione è quando il raggio dal centro di massa all'asse di rotazione è zero. Pertanto, il centro di massa è il punto di rotazione che fornisce la minore resistenza alla rotazione.

Infatti, il centro di rotazione istantaneo non si sposta istantaneamente per trovarsi al centro di massa dell'oggetto una volta che le forze esterne smettono di agire sull'oggetto. Immagina di avere una ciotola e di farci cadere una palla in modo che il punto di contatto iniziale sia vicino al bordo. La palla tenderà verso il fondo della ciotola poiché è la posizione con il potenziale gravitazionale più basso. Tuttavia, prima che ci arrivi, oscilla un po 'prima di fermarsi. Il fondo della ciotola è un punto stabile.

Questo è analogo alla nostra rotazione. Il punto attorno al quale ruota l'oggetto è inizialmente spostato dal centro di massa. Tuttavia, con il passare del tempo, tende verso il centro di massa mentre cerca di trovare il percorso di minor resistenza. La rotazione attorno al centro di massa fornisce questa resistenza minima.

Non sono un fisico, ma ci proverò.

Un esempio semplificato della tua sfera rotante che potrebbe aiutarti con questo concetto sarebbe un disco composto da un'unica densità di materiale. Un esempio potrebbe essere il top di un bambino o un giroscopio che puoi far girare su una superficie piana. Ogni parte del disco ha una parte di bilanciamento corrispondente sul lato opposto del disco. Ogni coppia di parti in equilibrio del disco ha la stessa massa l'una dell'altra, ha moti opposti tra loro durante la rotazione e crea forze centripete di bilanciamento opposte che mantengono la rotazione del disco bilanciata attorno al centro di massa (che è anche il centro geometrico del disco) .

Se aggiungi più massa al disco ovunque ma al centro, il centro di massa del disco si sposta dal centro geometrico del disco verso la massa che hai appena aggiunto. L'oggetto ora ruoterà attorno a questo nuovo centro di massa. Questo perché tutta la massa sul lato lontano dalla nuova massa aggiunta deve creare una forza di bilanciamento opposta al lato ora più pesante del disco. La massa del disco tra il centro geometrico del disco e il nuovo centro di massa (spostato) si sposta in diventa la forza di bilanciamento opposta alla massa aggiunta.

L'immagine qui sotto può aiutarti a visualizzare questo:

Il punto verde a destra è il centro di massa originale e il centro del disco. Il cerchio blu è una massa aggiunta. Il punto verde a sinistra è il nuovo centro di massa. L'area tra le due linee rosse è la massa sul disco che bilancia la massa aggiunta durante la rotazione. L'aggiunta di più massa (blu) sposterà ulteriormente il centro di massa dal centro originale e sposterà la linea rossa sinistra (e il centro di massa) ulteriormente verso la massa aggiunta (sinistra). Se il disco originale era molto massiccio rispetto alla massa aggiunta, il centro di massa non si sposterà così lontano (cioè meno area tra le linee rosse necessaria per bilanciare la nuova massa e meno spostamento del centro di massa per bilanciare la massa aggiunta ).

Quindi, per concludere, ogni volta che aggiungi (o sottrai) la massa di un oggetto rotante, l'oggetto cambia la posizione del suo centro di rotazione in modo che le forze causate dalla rotazione rimangano in equilibrio.Il punto di rotazione è il centro di tutta la massa di quell'oggetto.

Pensavo che il movimento sulla COM sia il più stabile e la rotazione su altri punti degenera. Non credo sia giusto. È vero?

Andiamo con questo per un secondo. Non sono sicuro che il termine "degeneri" sia completamente qui, ma penso che tu sia sulla strada giusta. Considera una ruota perfettamente bilanciata su un'automobile. La sua rotazione non è libera ma piuttosto fissa nel suo centro che è anche il suo centro di massa (perché è equilibrato). Quando gira, non c'è forza sull'asse.

Ora considera cosa succede se fissiamo un peso al cerchio della ruota e lo rendiamo sbilanciato. Quando la ruota gira, ora applicherà forze all'asse. Se hai mai guidato un veicolo in una situazione del genere, la sentirai come una vibrazione alla maggior parte delle velocità mentre la ruota "salta" continuamente. Perché succede questo? È perché l'asse costringe la ruota a ruotare attorno a un punto che non è il suo centro di massa. In altre parole, solo la rotazione attorno al centro di massa è neutra; affinché un oggetto ruoti attorno a un altro punto, è necessaria un'altra forza per mantenerlo in posizione. Per definizione, un oggetto "libero" non è soggetto a tale forza.

Un modo per vederlo è prendere un frisbee e farlo girare attorno a un dito all'interno del bordo. Ruoterà attorno al tuo dito (che non è al centro della sua massa). I tuoi muscoli dovranno resistere costantemente al movimento per mantenerlo in posizione. Se rimuovi improvvisamente il dito, volerà via in linea retta e continuerà a ruotare attorno al suo centro di massa.

Poiché il momento di inerzia è minimo quando si ruota attorno al centro di massa, qualsiasi forza applicata al corpo "passerà" attraverso il "percorso" di resistenza minima.

Fondamentalmente è il punto per cui la somma di tutti gli impulsi è minima.

Anche l'acqua e la corrente elettrica fluiscono attraverso percorsi di minima resistenza. Volevo fare una risposta breve apposta, perché penso che la risposta alternativa sia solo un "mostra i calcoli" che non è molto intuitivo.

Infatti, un corpo solido non ruota attorno a un punto (COM), ma attorno ad un asse su cui è situato il COM.

Ad esempio in una sfera solida e uniforme (ogni oggetto con una distribuzione della massa non uniforme può essere trasformato continuamente in una sfera con la stessa massa distribuita uniformemente), gli unici punti che ruotano attorno alla COM si trovano nel piano dell'equatore perpendicolare all'asse di rotazione. Tutti gli altri punti ruotano attorno a un altro punto sull'asse di rotazione.

Se si lascia che la sfera ruoti da velocità angolare zero a velocità angolare x, senza impartire un momento lineare alla sfera, il momento lineare può essere conservato solo se tutti i momenti delle dm (masse infinitamente piccole se consideriamo la sfera come massa continua) si annulla, come avviene se la COM giace sull'asse di rotazione. Ovviamente, se si considerano diversi assi di rotazione, hanno in comune il punto COM.

Per due corpi separati delimitati da una forza attrattiva come la gravità, è possibile dire che i corpi ruotano attorno alla COM dei due corpi. Come due masse collegate da una fune, ma con la fune rimossa. In questo caso, la rotazione è anche attorno all'asse di rotazione (perpendicolare al piano di rotazione), ma anche attorno al punto COM.

Capisco che questo sia un fenomeno matematico o psicologico piuttosto che fisico.

Un oggetto può ruotare attorno a qualsiasi asse. Tuttavia, nel caso in cui l'asse non attraversi il centro di gravità, tipicamente scomporremmo questo movimento in un movimento del centro di gravità dell'oggetto, combinato con il movimento attorno al centro di gravità. Puoi sempre farlo. Basta chiedere "Come si è spostato il centro di gravità?" e sottrai quel movimento dal movimento di ogni pezzo. Per definizione, il movimento rimanente è una rotazione attorno al centro di gravità fisso.

Non dobbiamo interrompere il movimento in questo modo. Accade così che (nella meccanica newtoniana) sappiamo come trattare separatamente momento e momento angolare. Sarebbero possibili diverse scomposizioni. Ma quasi certamente sarebbero più complessi e meno intuitivi. Ad esempio, supponiamo che il momento angolare porti sempre a una "forza lineare" aggiuntiva, che era direzionale, e dipendeva dalla relazione tra la distribuzione di massa e l'asse. Sarebbe molto più difficile capire in cosa consistesse effettivamente. Siamo abituati a ruotare le cose intorno al loro centro di massa.

Quando risolvi i problemi di coppia newtoniani, di solito devi scegliere con giudizio un punto per risolvere le coppie intorno. La soluzione sarebbe la stessa, ma la tecnica è molto più semplice se si sceglie il punto giusto, per il quale si annullano quante più forze possibili. Il "centro di gravità" è solo l'euristica standard per il caso generale di questo problema.

Come saprai andando in bicicletta è possibile bilanciare a una velocità molto bassa senza cadere se riesci a mantenere il peso equamente bilanciato su entrambi i lati. Come con un'altalena. Si scopre che puoi sempre trovare un modo per bilanciare un corpo rigido indipendentemente da come tocca la superficie sottostante posizionando la massa esattamente nel modo giusto in modo che sia distribuita uniformemente.

Puoi vedere un video su come farlo qui: https://www.youtube.com/watch?v=OGRUf1PLJdY

Se ora riconosci che questo è vero indipendentemente da come il corpo rigido è orientato in primo luogo, devi solo considerare se tutte queste linee di divisione "dividono la massa in parti uguali" hanno qualcosa in comune oppure no. Risulta che passano tutti attraverso un unico punto comune (questo può essere dimostrato matematicamente) che probabilmente hai già indovinato ha chiamato il centro di massa.

Si può anche dimostrare matematicamente che un corpo rigido si comporta come un singolo punto con l'intera massa del corpo rigido. Ciò semplifica i calcoli newtoniani (come il movimento della Terra attorno al Sole).

Per rendere la coppia attorno al centro dell'asse di massa equamente distribuita in modo che il corpo possa ruotare.Poiché la rotazione stessa è definita come l'asse di rotazione e il centro di massa dovrebbe essere sulla stessa linea, altrimenti ruoterà attorno all'asse di rotazione.
L'altro motivo è che la rotazione può essere sostenuta.