Nel caso di corrente alternata, la densità di corrente diminuisce in modo esponenziale con la distanza dalla superficie esterna del filo ("effetto pelle"), come spiegato da Martin Beckett. Questo può essere mostrato analiticamente dall'approssimazione quasi statica alle equazioni di Maxwell, come è fatto nel capitolo 5 di Jackson.
Il caso della corrente continua è più interessante. Innanzitutto, è necessario specificare il campo elettrico esterno $ {\ bf E} _0 $ che "spinge" la corrente. Questo di solito è considerato uniforme e parallelo al filo. Le correnti attraverso il filo tendono ad attrarsi a vicenda e quindi a raggrupparsi (noto come "effetto pizzico"). L'effetto pizzico DC è discusso in http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.1974305, http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119 /1.14075 e http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.17271. Si scopre che le equazioni di Maxwell non sono sufficienti per determinare in modo univoco la distribuzione della densità di corrente attraverso la sezione trasversale del filo; è inoltre necessario specificare un modello microscopico per i portatori di carica.
Ad un estremo, puoi trattare entrambi i portatori di carica positivi e negativi come completamente mobili e con rapporti di carica / massa uguali. Questa è una buona descrizione della conduzione della corrente attraverso il plasma e i pizzichi di plasma possono essere abbastanza forti da schiacciare il metallo.
All'altro estremo, puoi trattare le cariche positive come completamente stazionarie nel frame del laboratorio, a densità fissa, e "immuni" ai campi elettromagnetici, con la corrente dovuta interamente al movimento dei portatori di carica negativa mobili.Questo è un modello più realistico per un filo metallico, poiché le forze di scambio interatomiche e di Fermi tra gli atomi di rame sono molto, molto più forti di quelle indotte dai tipici campi applicati e dalle correnti di elettroni.Si scopre che nel frame del laboratorio, la densità di carica lineare totale del filo deve essere zero all'equilibrio (altrimenti scambierebbe gli elettroni con le sorgenti fisse e affonda nella batteria fino a neutralizzarsi), ma neltelaio di riposo degli elettroni in movimento, la densità di carica del volume di massa deve essere zero (altrimenti gli elettroni subirebbero una forza elettrica radiale che li attira verso o lontano dall'asse del filo).
Combinando questi requisiti, si ottiene la seguente immagine: definire $ R $ come il raggio del filo, $ \ rho_0 $ come la densità degli ioni positivi nel frame del laboratorio (in cui sono a riposo), $ \ beta = v / c $, dove $ v $ è la velocità di deriva dell'elettrone come si vede nel frame di laboratorio e $ \ gamma = 1 / \ sqrt {1- \ beta ^ 2} $. Nella cornice del laboratorio, la densità di carica del volume positivo in blocco è $ \ rho_0 $ e la densità di carica del volume negativo in blocco è $ - \ gamma ^ 2 \ rho_0 $, che è maggiore in grandezza. Quindi la densità di carica del volume netto all'ingrosso $ (1 - \ gamma ^ 2) \ rho_0 = - \ beta ^ 2 \ gamma ^ 2 \ rho_0 $ è negativa, e c'è un campo elettrico radialmente interno il cui la magnitudine aumenta linearmente con il raggio. (La generazione interna di questo campo elettrico radiale è talvolta chiamata "effetto Hall autoindotto".) Il campo elettrico bilancia l'attrazione radialmente interna tra gli elettroni dovuta al flusso di corrente. C'è una densità di carica superficiale positiva di compensazione $ \ sigma = (R / 2) \ beta ^ 2 \ gamma ^ 2 \ rho_0 $ attorno alla superficie del filo che bilancia la carica del volume di massa negativa, quindi il campo elettrico radiale svanisce all'esterno il cavo. Questa carica superficiale è a riposo nel frame del laboratorio, quindi non contribuisce alla corrente.
Nella struttura degli elettroni, non c'è densità di carica del volume di massa o campo elettrico radiale all'interno del filo. (C'è un campo magnetico dal movimento degli ioni positivi, ma gli elettroni non lo sentono poiché sono a riposo in questo frame.) La carica superficiale in questo frame è $ \ sigma '= (R / 2) \ beta ^ 2 \ gamma ^ 3 \ rho_0 $ e la densità lineare totale in questo frame è $ \ lambda '= 2 \ pi R \ sigma' = \ pi R ^ 2 \ beta ^ 2 \ gamma ^ 3 \ rho_0 $. In questo frame, c'è un campo elettrico radiale esterno al filo, che non ha effetto sugli elettoni, ma attrae o respinge le particelle cariche all'esterno del filo.
Ma in un filo di rame con correnti tipiche, gli elettroni sono estremamente non relativistici ($ \ beta \ ll 1 $), quindi la carica totale negativa netta e la carica superficiale positiva sono estremamente piccole.