Domanda:
Cosa c'è di sbagliato in questa derivazione che $ i \ hbar = 0 $?
ganzewoort
2011-08-30 10:20:32 UTC
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Siano $ \ hat {x} = x $ e $ \ hat {p} = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} $ rispettivamente gli operatori di posizione e quantità di moto e $ | \ psi_p \ rangle $ essere la funzione automatica di $ \ hat {p} $ e quindi $$ \ hat {p} | \ psi_p \ rangle = p | \ psi_p \ rangle, $$ dove $ p $ è l'autovalore di $ \ hat {p} $. Quindi, abbiamo $$ [\ hat {x}, \ hat {p}] = \ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} = i \ hbar. $$ Dal sopra l'equazione, indicando con $ \ langle \ cdot \ rangle $ un valore di aspettativa, otteniamo, da un lato $$ \ langle i \ hbar \ rangle = \ langle \ psi_p | i \ hbar | \ psi_p \ rangle = i \ hbar \ langle \ psi_p | \ psi_p \ rangle = i \ hbar $$ e, dall'altro $$ \ langle [\ hat {x}, \ hat {p}] \ rangle = \ langle \ psi_p | (\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x}) | \ psi_p \ rangle = \ langle \ psi_p | \ hat {x} | \ psi_p \ rangle p - p \ langle \ psi_p | \ hat {x} | \ psi_p \ rangle = 0 $$ Questo suggerisce che $ i \ hbar = 0 $. Che cosa è andato storto?

Per risolvere questo apparente paradosso, è necessario seguire il percorso dell'analisi funzionale, proprio nello stesso modo in cui si scopre la bellezza della GR nell'appropriata impostazione matematica
Tre risposte:
#1
+64
Ron Maimon
2011-08-30 12:24:03 UTC
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Entrambi gli operatori p e x come operatori non hanno autovettori in senso stretto. Hanno autovettori distribuzionali che sono definiti solo in uno spazio di funzioni più grande dello spazio delle funzioni d'onda normalizzabili al quadrato, e che dovrebbero essere considerati significativi solo se macchiati un po 'da una funzione di test regolare.

La normalizzazione per $ \ langle \ psi_p | \ psi_p \ rangle $ è infinito, perché l'onda p si estende su tutto lo spazio. Allo stesso modo, la normalizzazione della funzione d'onda della funzione delta, l'autovettore dell'operatore x, è infinita, perché il quadrato di una funzione delta ha un integrale infinito.

Puoi affermare il tuo paradosso usando $ | x \ rangle $ afferma anche:

$$ i \ hbar \ langle x | x \ rangle = \ langle x | (\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x}) | x \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x | \ hat { p} | x \ rangle x = 0 $$

poiché $ | x '\ rangle $ è definito solo quando è leggermente macchiato, è necessario utilizzare una variabile separata per le due occorrenze di x' . Quindi scrivi la matrice completa per questo caso:

$$ i \ hbar \ langle x | y \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle - \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle y = (xy) \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle $$

E ora x e y sono variabili separate che possono essere macchiate indipendentemente, come necessario. Gli elementi della matrice dell'operatore p sono la derivata di una funzione delta:

$$ \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle = -i \ hbar \ delta '(xy) $$

Quindi quello che ottieni è

$$ (xy) \ delta '(xy) $$

E stai prendendo $ x = y $ ingenuamente impostando primo fattore a zero senza notare che il fattore della funzione delta è orribilmente singolare, e il risultato è quindi mal definito senza una valutazione più attenta. Se moltiplichi per funzioni di test uniformi per x e y, per imbrattare un po 'la risposta:

$$ \ int f (x) g (y) (xy) \ delta' (xy) dx dy = \ int f (x) g (x) dx = \ int f (x) g (y) \ delta (xy) $$

Dove la prima identificazione deriva dall'integrazione per parti in x e dall'impostazione a zero di tutti i termini che svaniscono sotto la valutazione della funzione delta. Il risultato è che

$$ (xy) \ delta '(xy) = \ delta (xy) $$

E il risultato non è zero, è infatti coerente con la relazione di commutazione. Questa equazione della funzione delta appare, con spiegazione, nel primo capitolo matematico dei "Principi della meccanica quantistica" di Dirac.

È un peccato che le manipolazioni formali con le distribuzioni conducano a paradossi così facilmente. Per un paradosso correlato ma diverso, si consideri la traccia di $ \ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} $.

#2
+29
Misha
2011-08-31 10:39:02 UTC
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Poiché sembra che tu non sia completamente soddisfatto della risposta di Ron Maimon, la metterò in un modo un po 'diverso.

Il problema è che nella tua derivazione hai un'ambiguità nascosta. $$ \ langle {\ psi} _p \ vert \ hat {x} \ vert \ psi_p \ rangle = \ infty \; \; \; \; \; \Freccia destra \;\;\;\;\; \ langle [\ hat {x}, \ hat {p}] \ rangle = ... = (pp) \ langleψ_p | \ hat {x} | ψ_p \ rangle = 0 \ cdot \ infty = \ text {any number} $$ Il problema è con le funzioni. Le autofunzioni sia dell'operatore di quantità di moto che dell'operatore di coordinate non sono realmente funzioni. Non appartengono a funzioni integrabili spazio e quindi non è possibile lavorarci liberamente fingendo che lo siano. A volte puoi, ma se lo fai ad un certo punto ti ritrovi nei guai.

Se prendi qualche funzione "corretta" e fai i conti, non troverai problemi. Prendiamo ad es. $$ \ psi (x) = \ frac1 {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$ Quindi $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) x \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ right) \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ 2 e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} $$$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ right) x \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (x ^ 2- 1 \ right) e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} - i \ hbar $$ La differenza è quella che ti aspettavi.

Se prendi $ \ psi_a (x) = \ frac1 {a} \ psi (x / a) $ e noti che $ \ lim_ {a \ to0} \ psi_a (x) = \ delta ( x) = \ vert x \ rangle $ ti farai un'idea di come questo paradosso per $ \ vert x \ rangle $ possa essere risolto e verifichi che la soluzione sia un modo corretto di gestire $ 0 \ cdot \ infty $. Un trucco simile può essere usato per risolvere il tuo paradosso. Solo le funzioni che hanno $ \ psi_p $ come limite sono meno convenienti.

#3
+1
thone
2017-05-07 05:25:40 UTC
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Penso che il paradosso derivi dal fatto che $ \ hat {p} $ non è un operatore hermitiano nella rappresentazione $ x $ in senso stretto $ \ langle \ alpha | \ hat {p} |\ beta \ rangle \ neq \ langle \ beta | \ hat {p} | \ alpha \ rangle ^ * $ nella rappresentazione $ x $. Quindi seguiamo da vicino l'azione di $ \ hat {p} $, $ \ langle x | \ hat {p} | \ alpha \ rangle = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ langle x |\ alpha \ rangle $.

$$ \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x |\ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = x \ langle x |\ hat {p} | x \ rangle + i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ langle x | \ hat {x} | x \ rangle $$ $$ = x (-i \ hbar) \ frac {\ partial} {\ partial x} \ delta (0) + i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} x \ delta (0) = i \hbar $$



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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