Se vuoi dimostrare qualcosa, devi iniziare con assiomi che si presume siano veri.Quali sceglieresti come assiomi in questo caso?

Le leggi di Newton sono in effetti gli assiomi, scelti (come altri hanno sottolineato) perché le loro previsioni concordano con l'esperienza.È indubbiamente possibile dimostrare le leggi di Newton partendo da un diverso insieme di assiomi, ma questo dà solo calci alla lattina lungo la strada.

In un certo senso, la seconda legge di Newton può essere "derivata" dal presupposto che l'evoluzione di un sistema sia determinata solo dalla sua posizione e velocità iniziali. Questo è l'argomento avanzato all'inizio di V.I. Metodi matematici della meccanica classica di Arnold. Inizia il capitolo 1 con i seguenti "fatti sperimentali":

1. Il nostro spazio è tridimensionale ed euclideo. Il tempo è unidimensionale.
2. Esiste un insieme di sistemi di coordinate (chiamati "inerziali") che possiedono le seguenti due proprietà: (a) Tutte le leggi della natura in tutti i momenti sono le stesse in tutti i sistemi di coordinate inerziali. (b) Tutti i sistemi di coordinate in moto rettilineo uniforme rispetto a uno inerziale sono essi stessi inerziali.
3. Lo stato iniziale di un sistema meccanico (la totalità delle posizioni e delle velocità dei suoi punti in un determinato momento) determina in modo univoco tutto il suo movimento.

Supponiamo che il nostro sistema sia determinato da $ N $ numeri reali, che possiamo assemblare in un vettore $ \ mathbf {x} $. Poiché il "fatto sperimentale" # 3 dice che tutte le proprietà del movimento sono determinate da posizioni e velocità, l'accelerazione di $ \ mathbf {x} $ (in particolare) è determinata da queste quantità. Possiamo quindi concludere che esiste una funzione $ \ mathbf {f}: \ mathbb {R} ^ N \ times \ mathbb {R} ^ N \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ N $ tale quello $$ \ ddot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, \ dot {\ mathbf {x}}, t). $$ Questo può essere visto come definire $ \ mathbf {F} $ per un dato sistema; se moltiplichiamo ogni componente di $ \ mathbf {f} $ per la "massa di ogni punto" (in un certo senso appropriato), otterremmo "la forza su ogni punto". Quindi il fatto che le posizioni e le velocità iniziali determinano il movimento implica l'esistenza dell'equazione di Newton per qualche funzione $ \ mathbf {F} $.

Nota che anche questa implicazione va nell'altro senso.Se assumiamo che questa funzione $ \ mathbf {f} $ esista, ci sono teoremi del campo delle equazioni differenziali ordinarie che garantiscono l'esistenza e l'unicità delle soluzioni $ \ mathbf {x} (t) $ a questa equazione.(In altre parole, non è necessario definire una funzione indipendente per $ \ dddot {\ mathbf {x}} $ o una derivata superiore per determinare il movimento; una funzione che determina la derivata seconda è sufficiente.) Pertanto, laIl "fatto sperimentale" che le posizioni e le velocità iniziali determinano completamente il movimento è del tutto equivalente all'affermazione della seconda legge di Newton.

Chiedere una prova di una legge è sciocco.Una legge è qualcosa che viene dato per spiegare un fenomeno.È valido finché qualcosa non lo contraddice ed è in grado di spiegare le cose correttamente.Per quanto riguarda le leggi di Newton, sono già contraddette da Einstein.Quindi non è valido poiché gli assiomi di base da esso utilizzati come la coerenza degli intervalli di tempo e la lunghezza in diversi sistemi di riferimento sono smentiti dalla teoria della relatività.Il fatto che utilizzi la geometria euclidea che è già smentita insieme ai suoi assiomi smentisce chiaramente le stesse leggi di Newton.Anche allora è bene e facile applicarlo a velocità trascurabili rispetto alla velocità della luce e quindi lo usiamo.Infine direi che qualsiasi legge scientifica non ha bisogno di una prova.Anche se sarà dimostrato, non diventerà un teorema?

La tua domanda più grande è probabilmente: "Qual è la relazione tra fisica e matematica?".Richard Feynman ha un eccellente discorso sulla relazione tra fisica e matematica.Puoi trovarlo qui: Richard Feynman - The Character of Physical Law - 2 -The Relation of Mathematics to Physics.Inizia la discussione su questo punto alle 22:55.

Parafrasando Feynman sembra un po 'un'eresia, ma il suo punto è che anche se ti avvicinassi alla fisica in modo assiomatico, ci sarebbero molte scelte che potresti fare su quale idea fosse l'assioma e quale il teorema.La geometria ha un problema simile.La cosa più pragmatica da fare quindi è disporre di una serie di principi utili per elaborare le cose e di quelli in cui si ha molta fiducia. Quella fiducia deriva dall'essere abbastanza semplici da avere chiare implicazioni e dall'aver controllato il maggior numero didi quelle diverse implicazioni come puoi.

Sono un'approssimazione della relatività generale, quindi sì, possono essere dimostrati utilizzando la relatività generale.

Si possono derivare le leggi della meccanica classica dalla meccanica quantistica.La meccanica classica può essere riformulata in termini di principio di minima azione.L'evoluzione temporale di un sistema è tale che una quantità chiamata azione è ridotta al minimo.Secondo la meccanica quantistica, il sistema si evolverà in modo probabilistico, la probabilità di trovare un certo esito è data da un certo integrale che coinvolge l'azione che è su tutti i percorsi possibili.Per un sistema nel regime in cui la meccanica classica dovrebbe essere una buona approssimazione, ciò che accade è che il contributo al percorso integrale del percorso sarà dominato da quei percorsi che sono al minimo o vicino all'azione.

ZFC è uno dei sistemi assiomatici di cui abbiamo bisogno per la matematica.

In fisica, tuttavia, dobbiamo assumere alcune condizioni esterne che sono impostate nell'universo (che possono cambiare in un altro universo).Non li chiamerei assiomi, ma piuttosto condizioni / vincoli che possono essere trovati solo sperimentalmente.

È come chiedere qual è il colore di una palla tenuta in una scatola, lo puoi scoprire solo osservandola, poiché è solo un'informazione.

La parte interessante è qual è il teorema / legge fondamentale che governa quale sarà la connessione tra le varie grandezze fisiche?Dov'è tutto questo codificato?In altre parole, perché $ V = I R $ e non $ V = kIR ^ 3 $ per qualche $ k $ costante.Fino a quando non otteniamo una migliore comprensione, questi devono essere trovati tramite esperimenti.

Ho sempre pensato che solo la terza legge fosse un assioma;ed è abbastanza intuitivo che tu possa esercitare una forza solo "spingendoti via da qualcos'altro".

Tutto il resto della fisica classica, comprese le altre due leggi e la conservazione dell'energia, segue quando si presume che il tempo e lo spazio siano gli stessi per tutti gli interessati (sì, questo può essere considerato come dare calci alla lattina lungo la strada...).

Una formulazione più astratta di questo principio fondamentale potrebbe essere: "Ogni interazione è - come suggerisce la parola - reciproca e avviene in un quadro di riferimento comune".

Ad essere onesti, non sono così sicuro del quadro di riferimento comune nella fisica relativistica;sebbene intuitivamente direi che questa frase fondamentale è ancora valida: il quadro di riferimento comune diventa solo più complicato.

tl; dr: No, ma fondamentalmente sono equivalenti alle leggi di conservazione dell'energia totale e della quantità di moto di un sistema.

La prima legge (l'oggetto ha una quantità di moto costante a meno che una forza non agisca su di esso) è, ai miei occhi, semplicemente un caso speciale della seconda legge (poiché l'accelerazione è per definizione il cambiamento di velocità e la seconda legge fornisce la sua connessione a forza), quindi niente da dimostrare se non per alcune riflessioni sulla connessione tra quantità di moto e velocità.

La seconda legge (il cambiamento della quantità di moto di un oggetto è proporzionale alla forza che agisce su di esso) è fondamentalmente una definizione di forza supponendo che tu sappia già cos'è "massa". Una definizione non è niente che puoi né hai bisogno di dimostrare.

La terza legge (actio = reactio) è la più interessante. Afferma che questa "forza" definita sopra, non solo deriva da un'interazione tra due (o più) oggetti (cioè $ \ vec F_i = \ sum_ {j \ neq i} \ vec F_ {ij} $), che è ancora solo una definizione, ma che funziona in entrambe le direzioni con segni opposti ($ \ vec F_ {ji} = - \ vec F_ {ij} $). Possiamo "dimostrarlo"?

Non esattamente. Ma mostriamo che è equivalente a qualcosa che (a me) sembra abbastanza intuitivo:

• Non assumere forze "esterne" (possono essere spiegate assumendo che gli oggetti che le causano possiedano una massa infinita).
• Se la forza è priva di vortici ($ \ vec \ nabla \ times \ vec F_i (\ vec x_i) = 0 $) e dipende solo dalla posizione dell'oggetto, può essere espressa come gradiente di un potenziale scalare $ V_i (\ vec x_i) $ tale che $ \ vec F_i (\ vec x_i) = - \ nabla V_i (\ vec x_i) $. Il terzo assioma equivale quindi a richiedere che i potenziali individuali dipendono solo dalle distanze tra gli oggetti, cioè $ V_ {ij} = V_k (\ vec x_i - \ vec x_j) $ (dove l'indice $ k $ serve semplicemente allo scopo di consentire diversi tipi di potenziale tra oggetti diversi, ad esempio elettrostatico o gravitazionale).
• Una dipendenza più complicata della forza implica potenziali più complicati, ma si riduce comunque alla stessa cosa: tutte le interazioni dipendono dalla distanza (e facoltativamente dalla velocità relativa ⁺ ).

Tramite il teorema di Noether, l'indipendenza di quelle forze dalle posizioni assolute nello spazio (e nel tempo) implica la conservazione della quantità di moto (ed energia) totale di tutti gli oggetti insieme.E questo mi sembra molto intuitivo.

⁺ Nota che la forza che agisce su un oggetto $ i $ può dipendere dalla sua posizione $ \ vec x_i (t) $ e dalla sua velocità $ \ vec v_i (t) = d / dt \\ vec x (t) $, ma non sulla sua accelerazione, dal momento che può essere risolta ridefinendo la forza.Discutere perché anche la forza non dovrebbe dipendere da derivate superiori di $ \ vec x_i (t) $ è più complicato ^* ma anche irrilevante.

^* Comincerei con la relatività e le metriche che dipendono solo da $ x $ e $ dx $, ma qui va troppo lontano ...

Sono stato incoraggiato a trasformare il mio commento in una risposta completa.

Ci sono stati vari articoli (molto avvicinabili ai principianti) che sviluppano una speciale relqtivity dai principi primi, inclusi rapporti che Galileo avrebbe potuto capirlo senza calcoli. Questo è elaborato in questa risposta.

Questi documenti mostrano che data la simmetria , ulteriormente sviluppata dall'idea di reciprocità (se A vede B muoversi alla velocità X di B vede A muoversi alla velocità −X) , si può determinare la forma generale che deve avere l'aggiunta di velocità. Ciò include il tempo e lo spazio fissi di Galileo come un caso speciale. Si dice comunemente che derivi la relatività speciale dai principi primi: quindi deriva anche le leggi di Newton come un caso speciale, o sono quelle assunte come input per il processo?

Il punto di partenza per assumere simmetrie ti darà la prima legge di Newton: un caso base che afferma che esistono sistemi di riferimento inerziali. Tuttavia, solo perché sai come si aggiungono le velocità non significa che ti è stato consegnato il concetto di forze e quantità di moto.

Quindi, puoi postulare la prima legge di Newton, oppure puoi postulare la simmetria spazio-temporale che ha un significato più preciso.

Per dimostrare le altre leggi di Newton hai bisogno di assiomi diversi per cominciare; non appaiono semplicemente dal nulla (oltre a mostrare che sono un possibile insieme coerente di regole all'interno delle simmetrie stabilite) .

Altre risposte qui fanno questo. Inizia con qualcosa che ora consideriamo più fondamentale. È necessario postulare l'idea che gli oggetti hanno una resistenza diversa al movimento, possono scambiare quantità di moto ecc. E la legge principale che la natura minimizza una certa quantità, e puoi derivare le formule specifiche per le leggi.

La logica è essenzialmente una tautologia: dice esattamente la stessa cosa due volte in modi diversi. Provare qualcosa è il processo per cui garantire un'affermazione (ciò che stai cercando di dimostrare) è equivalente alle affermazioni precedenti (la premessa o gli assiomi).

In questa luce, chiedere una dimostrazione matematica di una legge fisica fondamentale è un po 'inutile. Non possiamo MAI essere sicuri che una legge della fisica sia assolutamente corretta per sola matematica - tutto ciò che stiamo facendo è solo riformulare qualcos'altro (a volte aggiungendo un po 'di supposizioni extra) - possiamo solo aumentare la nostra fiducia in esso ripetendo esperimenti su di esso.

Inoltre, ci sono alcuni punti delicati,

Legge I di Newton: definisce cosa sono i frame inerziali - Non puoi prova una definizione , puoi solo affermare una definizione.

Legge di Newton II: è in parte una definizione, in parte una legge empirica.

Legge di Newton III: è una legge empirica.

Le leggi empiriche possono essere viste come una dichiarazione generale sulla nostra natura, qualcosa che può essere smentito solo da esperimenti. E dalla matematica, calcoliamo le loro conseguenze, o le deriviamo (riformulandole) da altre leggi date (ad esempio F = ma da Lagrange).

La prima legge di Newton afferma effettivamente che lo slancio è conservato.La seconda e la terza legge di Newton possono essere derivate dalla prima legge, per una delle due possibili definizioni di quantità di moto.La derivazione utilizza il Teorema del trasporto di Reynolds.

Le due possibili definizioni di quantità di moto possono essere derivate analiticamente, sulla base di un'ipotesi su cosa sia il moto relativo.La prima definizione ignora la velocità della luce.La seconda definizione è la definizione relativistica moderna.La seconda definizione è stata verificata sperimentalmente.