Domanda:
Come viene utilizzata l'approssimazione del punto di sella in fisica?
BeauGeste
2011-09-14 04:18:32 UTC
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Sto cercando di capire l'approssimazione del punto di sella e applicarla a un problema che ho ma i trattamenti che ho visto online sono tutti molto matematici e non mi danno una buona descrizione qualitativa del metodo e del motivo per cui viene utilizzato e per cosa è usato.

Quindi la mia domanda è: come viene utilizzata l'approssimazione del punto di sella in fisica? Cosa sta approssimando? Quando può essere utilizzato?

Post correlato su Math.SE: http://math.stackexchange.com/q/191082/11127
Attenzione terminologica: quando i fisici parlano di "approssimazione del punto di sella", si riferiscono quasi sempre (nella mia esperienza) a ciò che i matematici chiamano "[metodo di Laplace] (https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_method) ", che è diverso e molto più semplice concettualmente da ciò che i matematici chiamano" approssimazione del punto di sella ".
Tre risposte:
BebopButUnsteady
2011-09-14 05:29:14 UTC
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Nella forma più semplice il metodo del punto di sella viene utilizzato per approssimare gli integrali della forma

$$ I \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} dx \, e ^ {- f (x)}. $$

L'idea è che la funzione esponenziale negativa stia diminuendo così rapidamente - $ \; e ^ {- 10} $ è $ 10000 $ volte più piccolo di $ e ^ { -1} $ - che abbiamo solo bisogno di guardare il contributo da dove $ f (x) $ è al suo minimo. Supponiamo che $ f (x) $ sia al minimo a $ x_0 $ . Quindi potremmo approssimare $ f (x) $ i primi termini della sua espansione di Taylor.

$ $ f (x) \ approx f (x_0) + \ frac {1} {2} (x- x_0) ^ 2 f '' (x_0) + \ cdots. $$

Non esiste un termine lineare perché $ x_0 $ è un minimo. Questa potrebbe essere una terribile approssimazione di $ f (x) $ quando $ x $ è lontano da $ x_0 $ , ma se $ f (x) $ è significativamente più grande del suo valore minimo in questa regione, allora non ha molta importanza, poiché il contributo all'integrale sarà trascurabile in entrambi i casi. Ad ogni modo inserendolo nel nostro integrale

$$ I \ approx \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dx \, e ^ {- f ( x_0) - \ frac {1} {2} (x-x_0) ^ 2 f '' (x_0)} = e ^ {- f (x_0)} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, e ^ {- \ frac {1} {2} (x-x_0) ^ 2 f '' (x_0)}. $$

L'integrale gaussiano può essere valutato per darti

$$ I = e ^ {- f (x_0)} \ sqrt {\ frac {2 \ pi} {f '' (x_0)}}. $ $

Allora, da dove viene questo in fisica? Probabilmente il primo esempio è l'approssimazione di Stirling. Nella meccanica statistica contiamo sempre le configurazioni delle cose in modo da ottenere tutti i tipi di espressioni che coinvolgono $ N! $ dove $ N $ è un numero tremendamente enorme come $ 10 ^ {23} $ . Fare manipolazioni analitiche con i fattoriali non è divertente, quindi sarebbe bello se ci fosse un'espressione più trattabile. Bene, possiamo usare il fatto che:

$$ N! = \ int_0 ^ \ infty dx \, e ^ {- x} x ^ N = \ int_0 ^ \ infty dx \ exp (-x + N \ ln x). $$

Quindi ora puoi applicare l'approssimazione del punto di sella con $ f (x) = x -N \ ln x $ . Puoi calcolare tu stesso il risultato. Dovresti anche convincerti che in questo caso l'approssimazione diventa davvero sempre migliore come $ N \ rightarrow \ infty $ . (Inoltre è necessario modificare il limite inferiore dell'integrale da $ 0 $ a $ - \ infty $ . )

Ci sono molti altri esempi, ma non conosco il tuo background quindi è difficile dire quale sarà un riferimento utile. L'approssimazione WKB può essere pensata come un'approssimazione del punto di sella. Un esempio comune è negli integrali di percorso / funzione di partizione in cui vogliamo calcolare

$$ \ mathcal {Z} = \ int d \ phi_i \ exp (- \ beta F [\ phi_i]), $$

dove $ \ phi_i $ sono alcune variabili locali e $ F [\ cdot] $ è il funzionale energia libera. Facciamo lo stesso di prima ma ora con più variabili. Ancora una volta possiamo trovare l'insieme $ \ {\ phi_i ^ {(0)} \} $ che minimizza $ F $ e quindi espandere

$$ F [\ phi_i] = F [\ phi_i ^ {(0)}] + \ frac {1} {2} \ sum_ {ij} (\ phi_i - \ phi_i ^ {(0)}) (\ phi_j - \ phi_j ^ {(0)}) \ frac {\ partial ^ 2F} {\ partial \ phi_i \ partial \ phi_j}. $$

Questo ti dà il contributo dello stato fondamentale, moltiplicato per una teoria gaussiana (libera) che puoi gestire con i mezzi usuali. Seguendo le osservazioni precedenti, ci aspettiamo che questo sia valido nel limite $ \ beta \ rightarrow \ infty $ , sebbene il tuo chilometraggio possa variare.

Per un altro bell'esempio, vedere [la derivazione di Feynman dell'equazione di Schrodinger, (4.7)] (http://www.physics.utah.edu/~starykh/phys7640/Lectures/FeynmansDerivation.pdf).Come nota a margine terminologica, non ho mai sentito parlare di una "approssimazione del punto di sella" e sono approdato su questa pagina alla ricerca di qualcosa di molto diverso.
colin
2011-09-14 09:18:59 UTC
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BebopButUnsteady ha spiegato la matematica che c'è dietro e ti fornirò alcuni riferimenti che ho trovato utili e abbastanza simili che entrano nei dettagli matematici più tecnici sebbene siano ancora molto leggibili. Questi si occupano più concretamente dell'analisi complessa richiesta e di come scegliere correttamente il contorno corretto in modo da non ottenere divergenze e quant'altro. In realtà è un problema abbastanza tecnico su cui ho scoperto che i riferimenti più elementari tendono a sorvolare.

Uno dei miei preferiti è Metodi matematici avanzati di Bender e Orszag. Questo è uno dei riferimenti canonici per matematici e fisici applicati. Ho seguito un corso di specializzazione in teoria delle perturbazioni e trovo che il suo trattamento sia piuttosto buono. È uno degli standard per un corso sugli asintotici e evita di provare le cose in modo rigoroso e ti dà il giusto livello per poter calcolare con le tecniche. Una cosa che mi piace di questo libro è che gli esercizi sono superbi.

Un ottimo libro sull'analisi complessa avanzata è Espansione asintotica degli integrali di Bleistein e Handelsman, anche se sfortunatamente è fuori stampa per quanto ne so. Se hai intenzione di fare molto di più di questo tipo di matematica, ti consiglio vivamente di acquistarne una copia. Tuttavia è molto tecnico ma entra in tutti i dettagli essenziali sul metodo di discesa più ripida ed è molto completo.

Un nuovo libro che mi piace è Applied Asymptotic Analysis. Questo è un libro più recente e non è matematicamente tecnico come gli altri due, ma contiene belle immagini e molto testo che spiega cosa sta succedendo. Dato che non vuoi essere così interessato ai dettagli più tecnici, questo è probabilmente il riferimento consigliato. Il tratto sulle discese più ripide è molto chiacchierone. Non ho ancora completato tutti gli esercizi, quindi non posso commentarli.

Dato che hai chiesto dove potrebbe arrivare la discesa più ripida, il metodo delle discese più ripide è una generalizzazione di alcuni metodi più elementari (il metodo di Laplace per esempio) per coprire casi più generali. Quindi può emergere ogni volta che è necessario approssimare un integrale. Un esempio a cui posso pensare immediatamente è un problema standard nella teoria quantistica elementare dei campi. Sta valutando il propagatore di Klein-Gordon ed è trattato in Peskin e Schroeder. Tuttavia non elaborano esplicitamente i dettagli, ma utilizzano le idee. Uno dei miei colleghi, che lavora nella dinamica molecolare, ha scritto un articolo che richiedeva l'approssimazione di un integrale usando le discese più ripide. Quindi può presentarsi in una varietà di applicazioni.

+1 per il libro di Bender
Deb Chatterjee
2017-09-18 01:49:05 UTC
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I metodi del punto di sella sono usati nella teoria dell'antenna, Diffusione radar, propagazione delle onde radio in mezzi multistrato ecc. Per una comprensione approfondita dell'applicazione del punto di sella o dei metodi di discesa più ripida, è possibile rivedere i contenuti in LB Felsen e N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves.

Come ha affermato l'autore precedente, ho trovato molto utile anche il libro di Bender e Orszag.Anche i problemi sono molto interessanti.

Buona fortuna!



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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