Nella forma più semplice il metodo del punto di sella viene utilizzato per approssimare gli integrali della forma
$$ I \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} dx \, e ^ {- f (x)}. $$
L'idea è che la funzione esponenziale negativa stia diminuendo così rapidamente - $ \; e ^ {- 10} $ è $ 10000 $ volte più piccolo di $ e ^ { -1} $ - che abbiamo solo bisogno di guardare il contributo da dove $ f (x) $ è al suo minimo. Supponiamo che $ f (x) $ sia al minimo a $ x_0 $ . Quindi potremmo approssimare $ f (x) $ i primi termini della sua espansione di Taylor.
$ $ f (x) \ approx f (x_0) + \ frac {1} {2} (x- x_0) ^ 2 f '' (x_0) + \ cdots. $$
Non esiste un termine lineare perché $ x_0 $ è un minimo. Questa potrebbe essere una terribile approssimazione di $ f (x) $ quando $ x $ è lontano da $ x_0 $ , ma se $ f (x) $ è significativamente più grande del suo valore minimo in questa regione, allora non ha molta importanza, poiché il contributo all'integrale sarà trascurabile in entrambi i casi. Ad ogni modo inserendolo nel nostro integrale
$$ I \ approx \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dx \, e ^ {- f ( x_0) - \ frac {1} {2} (x-x_0) ^ 2 f '' (x_0)} = e ^ {- f (x_0)} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, e ^ {- \ frac {1} {2} (x-x_0) ^ 2 f '' (x_0)}. $$
L'integrale gaussiano può essere valutato per darti
$$ I = e ^ {- f (x_0)} \ sqrt {\ frac {2 \ pi} {f '' (x_0)}}. $ $
Allora, da dove viene questo in fisica? Probabilmente il primo esempio è l'approssimazione di Stirling. Nella meccanica statistica contiamo sempre le configurazioni delle cose in modo da ottenere tutti i tipi di espressioni che coinvolgono $ N! $ dove $ N $ è un numero tremendamente enorme come $ 10 ^ {23} $ . Fare manipolazioni analitiche con i fattoriali non è divertente, quindi sarebbe bello se ci fosse un'espressione più trattabile. Bene, possiamo usare il fatto che:
$$ N! = \ int_0 ^ \ infty dx \, e ^ {- x} x ^ N = \ int_0 ^ \ infty dx \ exp (-x + N \ ln x). $$
Quindi ora puoi applicare l'approssimazione del punto di sella con $ f (x) = x -N \ ln x $ . Puoi calcolare tu stesso il risultato. Dovresti anche convincerti che in questo caso l'approssimazione diventa davvero sempre migliore come $ N \ rightarrow \ infty $ . (Inoltre è necessario modificare il limite inferiore dell'integrale da $ 0 $ a $ - \ infty $ . )
Ci sono molti altri esempi, ma non conosco il tuo background quindi è difficile dire quale sarà un riferimento utile. L'approssimazione WKB può essere pensata come un'approssimazione del punto di sella. Un esempio comune è negli integrali di percorso / funzione di partizione in cui vogliamo calcolare
$$ \ mathcal {Z} = \ int d \ phi_i \ exp (- \ beta F [\ phi_i]), $$
dove $ \ phi_i $ sono alcune variabili locali e $ F [\ cdot] $ è il funzionale energia libera. Facciamo lo stesso di prima ma ora con più variabili. Ancora una volta possiamo trovare l'insieme $ \ {\ phi_i ^ {(0)} \} $ che minimizza $ F $ e quindi espandere
$$ F [\ phi_i] = F [\ phi_i ^ {(0)}] + \ frac {1} {2} \ sum_ {ij} (\ phi_i - \ phi_i ^ {(0)}) (\ phi_j - \ phi_j ^ {(0)}) \ frac {\ partial ^ 2F} {\ partial \ phi_i \ partial \ phi_j}. $$
Questo ti dà il contributo dello stato fondamentale, moltiplicato per una teoria gaussiana (libera) che puoi gestire con i mezzi usuali. Seguendo le osservazioni precedenti, ci aspettiamo che questo sia valido nel limite $ \ beta \ rightarrow \ infty $ , sebbene il tuo chilometraggio possa variare.