Domanda:
Le equazioni di Maxwell possono essere derivate dalla legge di Coulomb e dalla relatività speciale?
user1247
2011-01-22 23:33:05 UTC
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Come esercizio mi sono seduto e ho ricavato il campo magnetico prodotto dalle cariche in movimento per alcune situazioni artificiose. Ho iniziato con la Legge di Coulomb e la Relatività Speciale. Ad esempio, ho derivato il campo magnetico prodotto da una corrente $ I $ in un filo infinito. È un effetto relativistico; nel quadro di una carica di prova, la densità di elettroni aumenta o diminuisce rispetto alla densità di protoni nel filo a causa della contrazione relativistica della lunghezza, a seconda del movimento della carica di prova. L'effetto netto è un campo di Coulomb dipendente dal frame il cui effetto su una carica di prova è esattamente equivalente a quello di un campo magnetico secondo la legge di Biot-Savart.

La mia domanda è: Le equazioni di Maxwell possono essere derivate usando solo la legge di Coulomb e la relatività speciale?

Se è così, e il campo $ B $ è in tutti i casi un effetto puramente relativistico, le equazioni di Maxwell possono essere riscritte senza riferimento a un campo $ B $. Questo lascia ancora spazio ai monopoli magnetici?

Ho un vago ricordo di, quando ero al liceo, di aver trovato un libro che faceva scuola E&M assumendo che SR fosse corretto fin dall'inizio e facendo qualcosa del genere. Non ricordo il titolo, però (o se fosse buono), ma se vuoi vederlo risolto in dettaglio potresti provare a cercarlo?
@Jeremy - Il libro a cui stai pensando è probabilmente * Electricity and Magnetism * di E. Purcell (parte della serie Berkeley Physics). Un ottimo libro, comunque.
Sì! Credo che sia quello a cui stavo pensando.
Sì, ho usato questo libro al college. Libro molto buono. Ma non è andato "fino in fondo" e ha derivato le equazioni di Maxwell (se ricordo bene).
È inoltre necessario presumere che la carica sia una repulsione scalare e che le stesse cariche. Quindi la derivazione è contenuta nel libro EM di Purcell.
Sì, è possibile ed è svolto in grande dettaglio da Haskell in questo documento: http://richardhaskell.com/files/Special%20Relativity%20and%20Maxwells%20Equations.pdf Vedi anche la successiva discussione molto illuminante sui problemiquando si applicano le equazioni di Maxwell a cariche sorgente accelerate.
Tredici risposte:
#1
+39
Luboš Motl
2011-01-22 23:47:33 UTC
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Le equazioni di Maxwell derivano dalle leggi dell'elettricità combinate con i principi della relatività ristretta. Ma questo fatto non implica che il campo magnetico in un dato punto sia meno reale del campo elettrico. Al contrario, la relatività implica che questi due campi devono essere ugualmente reali.

Quando vengono imposti i principi della relatività speciale, il campo elettrico $ \ vec {E} $ deve essere incorporato in un oggetto che si trasforma in un modo ben definito sotto le trasformazioni di Lorentz - cioè quando la velocità dell'osservatore viene cambiata. Poiché non esiste una "forza elettrica scalare", e per altri motivi tecnici che non voglio spiegare, $ \ vec {E} $ non può far parte di un quadrivettore nello spaziotempo, $ V _ {\ mu } $.

Invece, devono essere i componenti $ F_ {0i} $ di un tensore antisimmetrico con due indici, $$ F _ {\ mu \ nu} = - F _ {\ nu \ mu} $ $ Tali oggetti, generalmente noti come tensori, sanno come comportarsi sotto le trasformazioni di Lorentz - quando lo spazio e il tempo vengono ruotati l'uno nell'altro come reso obbligatorio dalla relatività.

Gli indici $ \ mu, \ nu $ take valori $ 0,1,2,3 $ cioè $ t, x, y, z $. A causa dell'antisimmetria di cui sopra, ci sono 6 componenti inequivalenti del tensore: i valori di $ \ mu \ nu $ possono essere $$ 01,02,03; 23,31,12. $$ Le prime tre combinazioni corrispondono alle tre componenti del campo elettrico $ \ vec {E} $ mentre le ultime tre combinazioni portano le informazioni sul campo magnetico $ \ vec {B} $.

Quando avevo 10 anni pensavo anche che il campo magnetico avrebbe potuto essere solo un artefatto del campo elettrico ma non può essere così. Invece, i campi elettrico e magnetico in ogni punto sono completamente indipendenti l'uno dall'altro. Tuttavia, la simmetria di Lorentz può trasformarli l'uno nell'altro ed entrambi sono necessari affinché il loro amico possa trasformarsi in qualcosa in un diverso sistema inerziale, in modo che la simmetria sotto il cambiamento del sistema inerziale non venga persa.

Se inizi solo con il campo elettrico $ E_z $, il componente $ F_ {03} $ è diverso da zero. Tuttavia, quando aumenti il ​​sistema nella direzione $ x $, mischi la coordinata temporale $ 0 $ con la coordinata spaziale $ x $ $ 1 $. Di conseguenza, una parte del campo $ F_ {03} $ viene trasformata nel componente $ F_ {13} $ che viene interpretato come campo magnetico $ B_y $, fino a un segno.

In alternativa, uno può descrivere l'elettricità dal potenziale elettrico $ \ phi $. Tuttavia, la densità di energia dalla densità di carica $ \ rho = j_0 $ deve essere un tensore con due indici simili al tempo, $ T_ {00} $, quindi anche $ \ phi $ deve avere un indice simile al tempo. Deve essere $ \ phi = A_0 $ per qualche $ A $ a 4 vettori. Questo intero 4-vettore deve esistere per relatività, comprese le componenti spaziali $ \ vec {A} $, e un nuovo campo $ \ vec {B} $ può essere calcolato come il ricciolo di $ \ vec {A} $ mentre $ \ vec {E} = - \ nabla \ phi- \ partial \ vec {A} / \ partial t $.

A quanto pare volevi provare l'assenza dei monopoli magnetici dimostrare l'assenza del campo magnetico stesso. Bene, scusa per aver interrotto il tuo piano di ricerca: non può funzionare. I magneti sono dannatamente reali. E se sei interessato, l'esistenza di monopoli magnetici è inevitabile in qualsiasi teoria coerente della gravità quantistica. In particolare, due poli di un magnete a forma di manubrio possono collassare in una coppia di buchi neri che inevitabilmente possederanno le cariche magnetiche unipolari (opposte). I buchi neri più leggeri possibile (massa di Planck) con cariche unipolari magnetiche saranno "prove del concetto" particelle elementari pesanti con cariche magnetiche - tuttavia, a volte possono esistere anche particelle più leggere con le stesse cariche.

Quindi è vero che le equazioni di Maxwell possono essere riscritte senza riferimento a un campo B?
No. Deve sempre esserci un campo $ B $. Può essere calcolato da un altro campo, come il potenziale vettoriale $ A $, dove $ B = \ mbox {curl} A $, ma $ B $ deve esistere ed esiste. I suoi componenti devono essere e sono indipendenti dai componenti del campo elettrico. E la relatività implica che $ B $ * esista * piuttosto che * non * esista. La mia risposta precedente non era chiara o c'è una ragione più profonda per cui stai facendo di nuovo la stessa domanda?
La tua risposta precedente era solo poco chiara in quanto non affronta il motivo per cui sono in grado (in alcuni esempi artificiosi, è vero) di risolvere le equazioni del moto senza riferimento a un campo B. Tutto quello che devo fare è mostrare come si trasforma il campo E sotto i potenziamenti di Lorentz, e posso farlo senza introdurre un campo B. Non ho fatto correttamente quegli esempi o sono fortunate eccezioni perché sono artificiosi?
Gentile utente1247, sì, in effetti, la relatività ci costringe a scoprire come si trasforma $ E $ sotto i boost di Lorentz. E se fai bene i calcoli, e io l'ho fatto bene, scoprirai che $ E $ non può trasformarsi in se stesso. Deve trasformarsi in un altro campo, $ B $. Anche se inizi con $ E $ diverso da zero e $ B = 0 $, l'aumento di velocità di Lorentz $ v $ creerà un nuovo campo $ B = v \ volte E $, e non c'è modo di evitarlo. Potresti leggere la mia risposta prima di ripetere di nuovo il tuo malinteso? Grazie.
Ho letto attentamente la tua risposta e non stai ancora rispondendo alle mie domande. Quando faccio i miei esempi, da nessuna parte devo postulare un "nuovo campo". Comincio semplicemente con la legge di Coulomb e SR, e faccio i conti, e i calcoli mostrano che una particella sperimenta forze che possono essere descritte in modo efficace da un "nuovo campo". Questo è analogo alla forza di Coriolis. La gravità più un sistema di riferimento rotante implica un nuovo "campo di Coriolis"? Certo che no, ma può essere efficacemente descritto da uno.
Rispetto davvero la tua conoscenza della fisica Lubos, e ti ringrazio sinceramente per aver dedicato del tempo per rispondere a questa domanda. So che _puoi_ rispondere alla domanda, ma penso che non ti stia prendendo il tempo di cercare di leggere e capire la mia domanda abbastanza attentamente da farlo.
Scrivi: "da nessuna parte devo postulare un 'nuovo campo'". - Questo è esattamente il motivo per cui ti dico che non sei riuscito a leggere il mio testo perché il mio testo mostra che uno * deve * postulare un nuovo campo per la relatività da contenere. Questo è il vero punto, ed è proprio quello che hai chiesto. Semplicemente non ti piace la risposta, vero? Il campo magnetico non può essere "efficace" se il campo elettrico è reale. Deve essere esattamente ugualmente reale perché sono legati da una simmetria: sono parti di un tensore.
La forza di Coriolis * non * deriva dall'elettricità o dal magnetismo. Perché mischi questa roba qui? Nella relatività generale, tuttavia, si richiede che la gravità sia indistinguibile dall'accelerazione. Per fare ciò, si dimostra che deve esserci un nuovo campo che ricordi l'accelerazione locale. Potrebbe essere chiamato campo di Coriolis ma di solito è chiamato più in generale, il tensore metrico. Sì, anche il tensore metrico deriva da simmetrie e principi. Quindi ti sbagli anche sulla forza di Coriolis. Quei campi possono essere manifestazioni di stringhe, ma devono comunque essere reali e indipendenti.
La risposta di Lubos è molto buona e molto precisa. Mi iscrivo completamente. Sono solo un po 'perplesso dall'ultimo paragrafo della risposta, in cui afferma che l'esistenza di monopoli magnetici è inevitabile in qualsiasi teoria coerente della gravità quantistica. L'argomento addotto è che due poli di un magnete a forma di manubrio possono collassare in una coppia di buchi neri che "inevitabilmente possiedono le cariche magnetiche unipolari (opposte)". Se rompo un magnete, ovviamente non ottengo due monopoli. Ottengo due magneti. Cosa impedirebbe ai due buchi neri di fare esattamente lo stesso e di comportarsi come due magneti, senza
... qualche monopolo in giro? (questo è il resto del commento del dottor Rovelli, che è stato interrotto dal sistema)
Gentile @Carlo Rovelli, grazie per il tuo feedback. E sì, ovviamente, un magnete (dipolo) si rompe in due magneti (dipoli). Ma questo perché i dipoli magnetici sono trasportati dagli spin degli elettroni e si può rompere il magnete (dipolo) solo lungo le superfici lontane dagli elettroni, quindi si ottengono sempre due magneti (dipoli) e nessun monopolo. Tuttavia, i buchi neri non sono "fatti di elettroni", quindi la scomparsa delle loro cariche magnetiche unipolari non deve reggere, il che significa, secondo il principio di Gell-Mann, che generalmente non vale.
Vorrei aggiungere alcuni riferimenti. Guarda ad es. su http://arxiv.org/abs/hep-th/9404076 che fa riferimento al documento di Affleck-Manton che ha generalizzato l'effetto Schwinger ai campi magnetici. Proprio come il campo elettrico di Schwinger produrrà coppie elettrone-positrone, il campo magnetico produrrà coppie monopolo-antimonopolo. Le condizioni che consentono questa produzione sono inevitabili in QG dove i monopoli possono essere rappresentati da buchi neri a carica monopolare.
Mi rendo conto che finora i miei commenti avrebbero potuto suonare circolari. Ma la produzione di coppia di buchi neri può essere mostrata da un istante magnetico gravitazionale che porta ai due buchi neri caricati magneticamente che si allontanano l'uno dall'altro. Un tale istante soddisfa tutte le proprietà di quantizzazione e locali che si possono mai imporre in GR, quindi è fisico e implica che la probabilità del processo è diversa da zero. Qualsiasi regola aggiuntiva che vieti tali istantoni violerebbe la località. L'istanton continua analiticamente una soluzione Ernst del 1976. Si consiglia anche il documento Garfinkle Strominger 1991.
Lubos, sei a conoscenza di questo riferimento ai monopoli magnetici in un cristallo http://www.sciencedaily.com/releases/2009/09/090903163725.htm? Una domanda che mi pongo per non aver ancora visto i monopoli del big bang: la loro rarità potrebbe essere collegata allo stesso meccanismo che spiegherebbe il fatto che anche macroscopicamente non abbiamo uguaglianza tra particelle e antiparticelle?
@LubošMotl Fa la tua affermazione "E se sei interessato, l'esistenza di monopoli magnetici è inevitabile in qualsiasi teoria coerente della gravità quantistica."implica che i fisici che studiano la gravità quantistica credano che esista anche la gravità quantistica dei monopoli magnetici?Non l'avevo sentito come una condizione / conseguenza dell'esistenza della gravità quantistica.
Caro @Stan,, sono fiducioso che la maggior parte degli esperti con oltre 5.000 citazioni su documenti di gravità quantistica concorderanno con me sul fatto che i monopoli magnetici sono inevitabili nella gravità quantistica.È davvero perché potresti creare buchi neri con un flusso magnetico limitato: immagina che due punti finali di una grande barra magnetica collassino separatamente in buchi neri.Quindi questi oggetti esistono sotto forma di buchi neri e anche se e quando il buco nero evapora tutte le particelle con $ Q_m = 0 $, deve comunque essere lasciato qualcosa con $ Q_m \ neq 0 $.Le particelle elementari unipolari magnetiche possono essere identificate con i microstati BH più leggeri
Allora perché non esiste una controparte magnetica gravitazionale in GR o monopolo magnete gravitazionale?
Le cariche nell'elettromagnetismo e nella gravità trasportano diversi giri - rappresentazioni sotto il gruppo di Lorentz.Sono le quantità conservate, e capita che siano l'elettrico Q come generatore scalare di un U (1) in elettricità, Q_m aggiuntivo come generatore dell'S-dual U (1) nel magnetismo.In gravità, le cariche conservate sono il vettore energia-momento con indice 1.L'elettromagnetismo e la gravità semplicemente non sono esattamente la stessa cosa o sono isomorfi: sono solo analoghi sotto molti aspetti.
L'argomento sulla coppia di monopoli dal collasso di un magnete è errato.Il magnete è costituito da materia normale ed elettroni.Ad un certo punto del collasso, il magnete si frammenterà e formerà due (o più) magneti più piccoli.Ad ogni punto del collasso, le equazioni di Maxwell classiche (con gravità) saranno soddisfatte e non ci saranno monopoli.La creazione di monopoli in questo processo implica una nuova fisica.Quindi il collasso gravitazionale di un magnete non è affatto utile per giustificare i monopoli.
Hai torto.In effetti, i monopoli sono una nuova fisica e la creazione di monopoli dimostra davvero la nuova fisica.Ma l'argomento è valido, quindi è una prova che la fisica oltre l'SM deve esistere.La tua affermazione che la materia si riorganizza sempre per contenere solo elettroni violerebbe la località.Il tuo problema è che credi ingiustificatamente che cose come i monopoli magnetici non esistano.Ma i buchi neri possono trasportare cariche magnetiche - non sono comunque descritte dal Modello Standard - e un collasso generico di magneti produrrà buchi neri caricati magneticamente solo per GR puro che è un'approssimazione OK.
Ma sembra che si possa definire il campo magnetico in termini di campo elettrico come $ B_i = u / c ^ 2 \ epsilon_ {ijk} \ alpha_j E_k $ dove $ u_i = u \ alpha_i $ è la velocità relativa al frame inche la fonte addebita non si muove.Pertanto, non sembra vero che si debba postulare un campo B aggiuntivo, che può essere definito in termini di campo E del frame di riposo e delle velocità relative.
Conoscevi i campi elettrici e magnetici quando avevi 10 anni?
Sì, @ApoorvPotnis, ma non era nemmeno niente di eccezionale.I campi elettrici e magnetici - la loro esistenza e le basi - vengono davvero insegnati a scuola nel mio paese a quell'età.Ci sono molte cose che sapevo molti anni prima dei miei compagni di classe ecc. Ma questo non è un esempio.Se lo desideri, posso trovare libri di testo per bambini di 10 anni che discutono di questi campi, ecc.
@LubošMotl Scrivi: "Devono invece essere le componenti F0i di un tensore antisimmetrico con due indici".Puoi spiegarci come segue?Sono partito dal presupposto che i componenti del campo elettrico debbano essere componenti di un tensore.So come si comportano questi componenti durante le rotazioni, è così che concludo che i componenti del campo elettrico devono essere componenti simili allo spazio.Ma qui mi sono bloccato: quali presupposti devo dimostrare che il tensore è di 2 ° rango e antisimmetrico?Uso la proprietà di come si trasformano le forze?
Penso che LubošMotl e @user1247 abbiano discusso sul fatto che il campo magnetico sia reale.Ma la vera domanda di user1247 è se il monopolo magnetico ha un posto nella relatività e la legge di Coulomb ha derivato le equazioni di Maxwell.Luboš Motl non ha risposto a questo nella prima parte della risposta.Ha risposto a questo nella parte successiva con una nuova fisica, che è oltre la domanda originale dell'utente1247.
#2
+28
Ted Bunn
2011-01-23 05:55:48 UTC
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La risposta di Lubos Motl è molto buona, ma penso che valga la pena dire una o due cose aggiuntive.

Puoi considerare il magnetismo semplicemente come un sottoprodotto dell'elettricità, nel seguente senso: se presumi che la legge di Coulomb sia corretta e che la relatività speciale sia corretta, e che la carica sia uno scalare di Lorentz (quindi quella carica e la densità di corrente formano un quadrivettore), quindi puoi derivare tutte le equazioni di Maxwell. (In realtà, probabilmente devi anche presumere che anche la teoria sia lineare, ora che ci penso.) Il libro di testo per studenti universitari di Purcell lo risolve in modo molto esplicito in un modo piacevole e piacevole, ed è anche nei libri di testo più avanzati .

Alcuni libri sorvolano sulla necessità di postulare che l'accusa sia uno scalare. Almeno un libro di testo - non ricordo quale - lo enfatizza e fa un caso convincente a cui vale la pena prestare attenzione. Un modo per vedere che non è una condizione banale da imporre è considerare l'analogia con la gravità, ovvero sostituire la massa con la carica e la gravità con il campo elettrico e provare a sostenere lo stesso argomento. (Assumi campi deboli in modo che tutto possa essere trattato come lineare, se lo desideri.) Ci sono effetti "gravitomagnetici", ma non sono correlati alla gravità regolare nello stesso modo in cui il campo magnetico è correlato al campo elettrico, ad es. , gli analoghi gravitazionali delle equazioni di Maxwell sembrano diversi dalle normali equazioni di Maxwell). Uno dei motivi sono le differenze di segno, ovviamente: le cariche simili si respingono in un caso e si attraggono nell'altro. Ma una ragione più grande è che la sorgente di gravità non è uno scalare: la sua densità non fa parte di un 4-vettore, ma piuttosto di un tensore di rango 2.

Ma a un livello più filosofico (o forse semantico), non salterei da questo fatto alla conclusione che il magnetismo è "semplicemente" un sottoprodotto dell'elettricità. Per lo meno, tale linguaggio non sembra essere utile per comprendere la teoria o per usarla! Ad esempio, capire come un'onda elettromagnetica può propagarsi da una galassia lontana al tuo occhio è molto più semplice e naturale se la guardi dal punto di vista "normale".

Grazie Ted. Quindi, se, come dici tu, puoi derivare tutte le equazioni di Maxwell come sottoprodotto dell'elettricità, sembra seguire banalmente che si possono scrivere le equazioni di Maxwell senza riferimento a un campo B. (Così come posso scrivere, come nell'esercizio che ho descritto, le forze dovute a una corrente _I_ senza riferimento a un campo B). Questa è la mia domanda che Lubos sembra rifiutarsi di voler rispondere. Capisco che questo non cambia la fisica e potrebbe non essere il modo più parsimonioso di esprimere l'elettromagnetismo - mi interessa solo se può ed è stato fatto.
Sì, si può fare. Con uno sforzo sufficiente, puoi andare oltre ed esprimere tutta l'elettricità e il magnetismo senza fare riferimento a un campo E o B - proprio come una legge di forza * molto * strana e complicata tra le cariche, in cui la forza su ciascuna carica dipende dalla proprietà dell'altra carica al tempo ritardato. Il libro di testo di Griffiths scrive esplicitamente la legge sulla forza in uno dei capitoli successivi. Ti arrendi molto facendo questo - la cosa più importante che mi viene in mente è che non ho idea di come potresti nemmeno provare a parlare della conservazione della quantità di energia in questa lingua.
@user1247 Tieni presente che la parsimonia è * estremamente * importante.C'è un numero infinito di teorie che spiegano altrettanto bene lo stesso fenomeno e fanno le stesse previsioni.Stiamo cercando di ridurre tutto ai fondamentali.Potresti sostituire tutti i campi quantistici con un solo campo piuttosto complicato che spieghi tutto esattamente allo stesso modo, ma nonostante la sostituzione di più campi con uno solo, sarebbe molto più complesso.E ci aspettiamo che le leggi fondamentali che governano l'universo siano le più semplici possibile (anzi, "complessità fondamentale" suona come un ossimoro: D).
#3
+13
asmaier
2011-07-17 01:10:25 UTC
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Non una risposta diretta alla tua domanda, ma comunque una derivazione sorprendente delle equazioni di Maxwell:

La dimostrazione di Feynman delle equazioni di Maxwell (FJ Dyson - Phys. Rev. A, 1989 ) mostra che è possibile derivare le equazioni di Maxwell dalla seconda legge del moto di Newton e dalle relazioni di commutazione (sotto limiti non relativistici).

Freddo! Una copia è disponibile qui: http://www.scribd.com/doc/168392117/Freeman-J-Dyson-Feynman%E2%80%99s-proof-of-the-Maxwell-equations-Am-J-Phys- 58-1990-209. Può essere illegale, a seconda delle leggi sul copyright e sul fair use in un determinato paese.
Hai letto i commenti che seguono?Non tutte le equazioni possono essere derivate da esse.Sebbene sia elegante, non è completo.
#4
+11
user8817
2012-06-14 16:17:30 UTC
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Sì, puoi farlo, ma devi anche usare un principio di sovrapposizione.

  1. Determina che la legge di Coulom, $$ \ mathbf F = \ frac {qQ \ mathbf r} {| \ mathbf r | ^ {3}}, $$ è un caso limite della forza relativistica, che agisce sulla carica q dal campo di una carica Q.
  2. Usare la trasformazione di Lorentz per la force e per il vettore del raggio, $$ \ mathbf F = \ mathbf F '+ \ gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf F' \ cdot \ mathbf v ')} {c ^ {2}} + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf F ')} {c ^ {2}}, $$$$ \ mathbf r' = \ mathbf r + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf r)} {c ^ {2}} - \ gamma \ mathbf ut = \ mathbf r + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf r)} {c ^ {2 }} (t = 0), $$ dove u è la velocità del sistema inerziale, v è la velocità di carica, si può presumere, che rispetto all'altro sistema inerziale con velocità relativa u la forza appare come $$ \ mathbf F = q \ mathbf E + \ frac {q} {c} [\ mathbf v \ times \ mathbf B], $$ dove $$ \ mathbf E = \ frac {\ gamma Q \ mathbf r} {(r ^ {2} + \ frac {\ gamma ^ {2}} {c ^ {2}} (\ mathbf r \ cdot \ mathbf u) ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}, \ quad \ mathbf B = \ frac {1} {c} [\ mathbf u \ times \ mathbf E]. $$ Certamente, il campo magnetico è un effetto cinematico relativistico, ma una procedura descritta sopra è la trasformazione cinematica relativistica della legge di Coulomb. Quindi alcune persone hanno commesso un errore dando una risposta negativa.
  3. Dopodiché, usando i teoremi primari dell'analisi vettoriale e della procedura di regolarizzazione, puoi "prendere" rot e div delle espressioni E e B sopra. Dopo di che puoi guadagnare le equazioni di Maxwell. È necessario utilizzare il principio di sovrapposizione, quando si passa da un campo di una carica alla distribuzione continua di più cariche.
+1 sia per la tua che per la risposta WIMP: Lubos e tutti gli altri hanno ovviamente ragione, ma ovviamente dipende da cosa intendi per derivare.Con i postulati dell'OP trattati come un sistema di assiomi formale: ovviamente non puoi;dal punto di vista di un fisico, dove presumi altre cose "ragionevoli" come la linearità, ovviamente puoi.
Nota che questa non è in realtà una prova delle equazioni di Maxwell.La relatività speciale si applica solo alle cariche che hanno (e hanno sempre avuto) velocità costante, tuttavia le equazioni di Maxwell possono descrivere più di questo.Ad esempio in 3. dimostrerai che l'applicazione di div a E porta a una delle equazioni di Maxwell.Tuttavia non è chiaro che questo funzioni ancora se le cariche sono state accelerate in qualsiasi momento e entrano in gioco i campi ritardati.Quindi questa è un'ulteriore supposizione della tua prova, che vale ancora per gli addebiti accelerati.
#5
+9
Godfrey Miller
2011-03-08 04:27:13 UTC
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So che Purcell e altri hanno usato la simmetria di Lorentz come dispositivo pedagogico per motivare l'introduzione di campi magnetici, ma non ricordo di aver mai visto una derivazione assiomatica delle equazioni di Maxwell. Potrebbe essere un esercizio interessante vedere con precisione quali presupposti oltre la simmetria di Lorentz e la legge di Coulomb sono necessari per ricostruire le equazioni di Maxwell.

I campi B non sono campi fittizi

Se conosci l'elettrico e campi magnetici in un frame inerziale, è possibile determinare i campi elettrici e magnetici in qualsiasi altro frame tramite la trasformazione di Lorentz. Se il campo magnetico svanisce in un dato frame inerziale, si potrebbe pensare che gli effetti magnetici in altri frame siano fittizi. Tuttavia, non è sempre possibile trovare una cornice in cui i campi magnetici svaniscono. Il modo più veloce per vederlo è notare che E ^ 2 - B ^ 2 c ^ 2 è una quantità invariante di Lorentz ( vedi Wikipedia). Se troviamo che B ^ 2> E ^ 2 / c ^ 2 in un dato punto dello spaziotempo in un dato frame inerziale, ne segue che B ^ 2> 0 in quel punto in tutti i frame inerziali. In effetti, potresti iniziare in una cornice in cui il campo elettrico svanisce ma il campo magnetico no; i campi elettrici osservati in altri frame potrebbero quindi essere considerati fittizi.

In generale, né il campo elettrico né il campo magnetico possono essere fatti svanire sotto una spinta di Lorentz. Per vederlo rapidamente, nota che il prodotto scalare del vettore del campo E con il vettore del campo B in un dato punto dello spaziotempo è una quantità invariante di Lorentz ( vedi Wikipedia). Se questo prodotto scalare è diverso da zero in un dato punto dello spaziotempo in un dato frame inerziale, i vettori del campo elettrico e magnetico saranno entrambi diversi da zero in quel punto spaziotemporale in tutti i frame inerziali.

Come ha sottolineato Einstein, puoi capire il movimento di una particella carica facendo riferimento al campo elettrico nel frame di riposo di quella particella. Tuttavia, se si hanno più particelle con velocità diverse, è necessario tenere traccia del campo elettrico nel frame di riposo istantaneo di ciascuna particella. Poiché i boost di Lorentz mescolano il campo E con il campo B, l'unico modo per tenere traccia del campo E nel resto del frame di ciascuna delle vostre particelle in termini di quantità locali in un frame inerziale è facendo riferimento al campo E e al B campo.

Località

Anche se è possibile, non mi è chiaro se sarebbe desiderabile usare la legge di Coulomb come assioma nella teoria elettromagnetica. Le equazioni di Maxwell spiegano il movimento delle particelle facendo riferimento ai gradi di libertà locali, i campi. La legge di Coulomb, d'altra parte, è una forma di azione a distanza ed è manifestamente non locale.

È certamente possibile riscrivere entrambi i campi E e B in termini di integrali sulla densità di carica e sulla densità di corrente (non posso postare un altro collegamento, quindi google "equazioni di Jefimenko"), e quindi utilizzare queste espressioni per interpretare le forze elettromagnetiche come una forma di azione ritardata a distanza. Tuttavia, per ottenere queste espressioni sono necessarie ipotesi sulle condizioni al contorno sui campi E e B. Possiamo sempre ottenere un'altra valida soluzione delle equazioni di Maxwell semplicemente cambiando le condizioni al contorno sui campi, il che dimostra che i campi hanno un'esistenza indipendente e non sono mere variabili contabili per semplificare un'interazione non locale più fondamentale.

Monopole

Come solitamente scritto, le equazioni di Maxwell non contengono termini corrispondenti alla carica magnetica, ma sarebbe coerente aggiungere tali termini. Infatti, Dirac ha dimostrato che la quantizzazione della carica elettrica potrebbe essere dovuta all'esistenza di monopoli magnetici (non posso postare un altro link, quindi google "condizione di quantizzazione dirac monopolo magnetico"). Le equazioni di Maxwell non ci dicono se esistono o potrebbero esistere monopoli magnetici, ma la quantizzazione della carica elettrica potrebbe essere la prova che i monopoli magnetici esistono da qualche parte nell'universo.

Nella mia risposta ho collegato un articolo di Hans de Vries dove ha fatto come dice user1247, e puoi verificare la sua validità. In motionmoutain cap 18 - Motion in GR, troviamo anche che GravitoElectric è un campo fondamentale e GravitoMagnetic è un effetto relativistico per lo stesso motivo. Il movimento lo induce. Per me è una forza e non un "campo" (non esiste un campo di Coriolis, ma una forza). Come può farlo la particella? "particelle multiple con velocità diverse, è necessario tenere traccia del campo elettrico nel frame di riposo istantaneo di ciascuna particella" e 'in anticipo'?
#6
+7
Art Brown
2012-06-14 20:58:57 UTC
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Non puoi. B non è solo un effetto collaterale relativistico di E . Jackson, Electrodynamics , Sezione 12.2 ha una bella discussione, in cui confuta le "prove" fornite in alcuni testi universitari.

"La confusione sorge principalmente perché le proprietà di trasformazione di Lorentz della forza sono tali che un termine di forza di tipo magnetico appare quando la forza in un frame inerziale è espressa in termini della forza in un altro frame. Si è tentati di dare a questo termine forza extra un'esistenza indipendente e quindi identificare il campo magnetico come un'entità separata. Ma un tale passo è ingiustificato senza presupposti aggiuntivi. "

Jackson continua esibendo un esplicito controesempio, basato su un potenziale scalare di Lorentz. Questo campo sembra elettrostatica (o anche gravitazione newtoniana!) Nel limite non relativistico. Ha anche "un'apparente forza di tipo magnetico. Ma non esiste un'entità indipendente B ". Quindi in questa "teoria" la B è davvero solo un effetto relativistico, ma questa teoria non si applica alla Natura.

12.2?Cinematica dei prodotti di decadimento di una particella instabile?O sto leggendo una _Elettrodinamica_ sbagliata di Jackson sbagliato?
@Ruslan, il mio riferimento è Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd ed.Il titolo della sezione 12.2 è "Sulla questione dell'ottenimento del campo magnetico, della forza magnetica e delle equazioni di Maxwell dalla legge di Coulomb e dalla relatività speciale".
Il titolo del capitolo 12 è "Dinamica delle particelle relativistiche e dei campi elettromagnetici".
Hmm, stavo provando la prima edizione.Ma questo non è presente anche in 3 °.E non sono riuscito a trovare il 2 °.Ad ogni modo, c'è un seguito [articolo] (http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/54/7/10.1119/1.14521) di Kobe, che afferma che l'assunto mancante per derivare le equazioni di Maxwell da quelle di Coulombla legge è che la carica è uno scalare conservato.Ad ogni modo, mi piacerebbe ancora leggere quel controesempio di Jackson che citi, quindi se hai qualche link alla seconda edizione scaricabile, ti sarei molto grato se lo pubblicassi.
Questa risposta è utile, ma è un riassunto impreciso di ciò che dice Jackson.Ho cercato il passaggio pertinente della 2a edizione.Non dice che tutte queste prove sono sbagliate, ma solo che è richiesta una certa attenzione nello spingere fuori alcuni presupposti nascosti.Fornisce diversi riferimenti ai trattamenti che, a suo avviso, spiegano correttamente le ipotesi: D.H.Frisch e L. Wilets, Am.J. Phys.24, 574 (1956).J. R. Tessman, Am.J. Phys.34, 1048 (1966).M. Schwartz, Principles of Electrodynamics, McGraw-Hill, New York (1972), cap.3.
@BenCrowell, dopo aver studiato il tuo commento, penso ancora di aver riassunto Jackson accuratamente ai fini di questa domanda.Certamente non disputo che ci siano alcuni buoni sviluppi là fuori;in particolare conosco e amo Schwartz, il mio testo universitario.Tuttavia, la domanda non richiedeva riferimenti a buoni trattamenti.Ora può darsi che mi manchino alcune implicazioni involontarie del mio testo: sentiti libero di migliorare come meglio credi.
#7
+5
JxB
2011-02-08 14:03:21 UTC
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Con la legge di Coulomb e la relatività speciale puoi derivare la legge di Ampere, che ti dà la magnetostatica. Ciò che manca all'elettrodinamica è la corrente di spostamento ($ \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial E} {\ partial t} $), che è una sorgente di campo magnetico derivante da un campo elettrico variabile nel tempo, e non il risultato del movimento della carica elettrica.

La relatività ha solo due postulati:

  1. Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
  2. Tutti gli osservatori inerziali misurano la stessa velocità per la luce nel vuoto.

La relatività, di per sé, non impone che i campi elettrici (o il potenziale elettrico per quella materia) debbano viaggiare alla velocità di luce. Per derivare le equazioni di Maxwell, è necessario un postulato aggiuntivo, fornito dall'equazione delle onde (per il potenziale elettrico) nella sezione 4 del riferimento nella risposta di Helder. Senza questo postulato aggiuntivo (che i cambiamenti nel potenziale elettrico si propagano alla velocità della luce), non è possibile derivare la corrente di spostamento dalla sola legge di Coulomb e dalla relatività.

ma la luce è un campo elettromagnetico e viceversa
@Helder Bene, se presumi che la relatività speciale derivi le equazioni di Maxwell nel modo discusso qui, ovviamente non puoi fare riferimento alla velocità della luce inizialmente perché ciò che la luce è non è definito finché non hai finito con la tua derivazione.Quello che * puoi * fare, tuttavia, e in effetti devi fare, è presumere che ci sia una velocità $ v $ che sembra essere la stessa in tutti i frame di riferimento.(Questo è fondamentalmente ciò che distingue la meccanica galileiana da SR.) Cioè, formulate SR usando questa velocità $ v $ (invece della velocità della luce $ c $) e derivate le equazioni di Maxwell come delineato in ...
... gli altri post qui.Ma a un certo punto * dovrai * supporre che $ v $ sia precisamente la velocità alla quale si propagano le perturbazioni del campo elettromagnetico.Quindi JxB ha assolutamente ragione.
#8
+4
Helder Velez
2011-01-26 17:05:51 UTC
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di Hans de Vries (*):

La derivazione più semplice e completa del magnetismo come effetto laterale relativistico dell'elettrostatica

Usa solo il campo elettrostatico e la non simultaneità per ottenere il campo magnetico. Lo spiega meglio di Purcell.

Il campo magnetico è un effetto collaterale del movimento nel campo elettrico.

(*) Hans de Vries ha un libro online molto interessante (non ancora finito) nel suo sito, e offre un'altra perla, non correlata a questo post, ma mi sento in dovere di condividere: La contrazione di Lorentz è un effetto reale e non solo "un effetto referenziale" come siamo tentati di credere.

@JxB Non posso commentare la tua risposta citando "Per derivare le equazioni di Maxwell, hai bisogno di un postulato aggiuntivo, e che è fornito dall'equazione delle onde (per il potenziale elettrico) nella sezione 4 del riferimento nella risposta di Helder. Senza questo postulato aggiuntivo ( che i cambiamenti nel potenziale elettrico si propagano alla velocità della luce), non puoi derivare la corrente di spostamento dalla sola legge di Coulomb e dalla relatività ".
@JxB continua il commento precedente (problemi con il tasto Invio rispetto a ShiftEnter, scusa) ** campo elettrico = luce ** Non è possibile dissociare il campo elettrico dalla luce. "A velocità c" qui http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_fieldelectr 28 volte qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_polarizatione esplora Radiation2D.exe da qui http://www-xfel.spring8.or.jp/ Non ho alcun dubbio che il campo elettrico e la gravità, si propaga alla velocità c.
@JxB citando "derivante da un campo elettrico variabile nel tempo, e non un risultato del movimento della carica elettrica". Il moto è un concetto relativo e un campo elettrico "variabile nel tempo" è sempre il risultato di cariche in movimento.
per tenere insieme i riferimenti: descrizione del metodo Radiation2D.exe: "NUOVO METODO MATEMATICO PER IL CAMPO DI RADIAZIONE DELLA CARICA IN MOVIMENTO" di T. Shintakeh http://accelconf.web.cern.ch/accelconf/e02/PAPERS/WEPRI038.pdf
#9
+3
WIMP
2011-01-23 17:11:46 UTC
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No, non puoi. Per diverse ragioni. Primo, se hai E, per ottenere il campo B, hai bisogno di ulteriori ipotesi sulla struttura della teoria, cioè più in dettaglio il tensore dell'intensità di campo, vedi sopra la risposta di Lubos. Ma oltre a questo, anche se avessi la soluzione per una carica puntuale, per ottenere le equazioni di Maxwell devi sapere qualcosa di più che avere una sola soluzione. Ad esempio che sono lineari, del secondo ordine e qual è il gruppo di simmetria. E se l'hai aggiunto, puoi comunque derivare le equazioni di Maxwell da queste ipotesi senza nemmeno iniziare con il campo di Coulomb.

Devo ammettere che sono necessarie alcune ipotesi aggiuntive.
+1 sia per la tua che per la risposta di PhysiXxx: Lubos e tutti gli altri hanno ovviamente ragione, ma ovviamente dipende da cosa intendi per derivare.Con i postulati dell'OP trattati come un sistema di assiomi formale: ovviamente non puoi;dal punto di vista di un fisico, dove presumi altre cose "ragionevoli" come la linearità, ovviamente puoi.
#10
+2
John Nygate
2014-08-12 14:20:41 UTC
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Sì. Vedi Principles of Electrodynamics di Melvin Schwartz. Deriva tutta l'elettrodinamica, comprese le equazioni di Maxwell, dalla legge di Coulomb e dalla relatività speciale.

Le risposte costituite solo da un collegamento o da una raccomandazione per la lettura esterna sono esplicitamente risposte negative.
Ce l'ha quasi fatta, ma a un punto in cui è difficile colmare il divario che ha scelto per Dio.A pagina 127, ha detto: "Apprezzando questo (il tensore antisimmetrico è economico), Dio ha scelto naturalmente il tensore antisimmetrico come Suo mezzo di espressione".Nota che amo questo libro.È molto conciso.L'ho studiato dopo quello di Griffith.
#11
+2
Andrew Steane
2018-11-20 19:01:48 UTC
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La risposta di Luboš Motl è di qualche aiuto, in quanto mostra come introdurre il tipo di intuizioni offerte dalla relatività, ma tuttavia si apre con la sua conclusione generale, e quella conclusione è sbagliata. È sbagliato in gran parte per i motivi brevemente indicati nella risposta di WIMP.

La domanda è importante ed è importante che la risposta sia corretta. La domanda è:

Le equazioni di Maxwell possono essere derivate usando solo la legge di Coulomb e la relatività speciale?

La risposta è: no, perché si possono inventare molte altre teorie di campo che rispettano la Relatività Speciale, in modo tale da riprodurre la Legge di Coulomb nel quadro inerziale di una data carica puntiforme.

Tuttavia, quello che si può dire, è che l'elettromagnetismo classico (cioè l'equazione di Maxwell e l'equazione della forza di Lorentz, o qualsiasi formulazione equivalente a questa, come una formulazione lagrangiana) è tra le teorie di campo più semplici che rispettano la Relatività Speciale e includono la legge di Coulomb. La definizione di "più semplice" qui è certamente imprecisa.

Il motivo principale per cui non puoi derivare Maxwell da "Coulomb + S.R." è che non sapresti se includere gli effetti di accelerazione nella relazione tra potenziali e cariche.

Ora "solleverò un po 'il coperchio" sulla fisica teorica qui. Un modo matematico molto buono (non l'unico) per garantire che qualsiasi pezzo di fisica rispetti la Relatività Speciale (SR) è limitarsi alle espressioni tensoriali in tutto ciò che proponi e scrivi. Qui 'tensoriale' include tensori di rango zero, cioè scalari, ma non solo qualsiasi vecchio scalare: sarebbero scalari Lorentz-invarianti. Include anche 4 vettori e tensori di secondo e di rango superiore. Quando prendi le derivate, usi l'operatore gradiente covariante $ \ partial_a $ , e poi hai un kit di strumenti per costruire equazioni differenziali che rispettano SR

Quindi la teoria dei campi "più semplice" potrebbe essere tale che le particelle possano avere una proprietà scalare invariante di Lorentz chiamata carica $ q $ , e la forza su una carica particella è indipendente dalla $ u ^ a $ a 4 velocità della particella. Il problema è che si scopre rapidamente che in una tale teoria la forza su una particella non può cambiare la velocità di una particella senza cambiare anche la sua massa. Esplorando ulteriormente, provi a consentire alla $ f ^ a $ di 4 forze di dipendere dalla 4 velocità attraverso una semplice equazione lineare che coinvolge un campo scalare $ \ phi $ , ad esempio $ f ^ a = q \ phi u ^ q $ (?). Ancora non va bene (la massa cambia di nuovo). Quindi sei portato a provare un tensore di secondo rango $ F ^ {ab} $ per il campo, perché è la cosa più semplice, diversa da uno scalare, che può prendi un $ u ^ a $ a 4 vettori come input e restituisci una forza a 4 vettori:

$ f ^ a = q F ^ {a \ mu} u_ \ mu $

Ora va bene: la forza preserva la massa fintanto che $ F ^ {ab} $ è antisimmetrica. Buona! Un tensore antisimmetrico è il tipo più semplice di tensore di secondo rango. Successivamente vogliamo un'equazione differenziale per questo campo: prova la cosa più semplice, che è prendere la divergenza, e sei sulla buona strada per le equazioni di Maxwell. Se ora introduciamo la legge di Coulomb (ed è qui che entra in gioco), allora hai la garanzia di ottenere due delle equazioni di Maxwell se limiti il ​​termine sorgente nella tua equazione differenziale a un solo termine proporzionale alla densità di carica e alla velocità 4 . La legge di Coulomb non ti dice di non aggiungere ulteriori termini che hanno a che fare con l'accelerazione 4

Con questo approccio non arriviamo inesorabilmente alle equazioni di Maxwell, ma si scopre che sono probabilmente le più semplici che includono la proprietà di conservazione della carica e che consentono una forza di conservazione della massa (in linguaggio tecnico, un puro forza).

Tra le altre teorie di campo che si incontrano ce n'è una che è molto simile a Maxwell ma include monopoli magnetici. Ciò sorge in modo molto naturale, nel trattamento teorico, ed è certamente una seria possibilità candidata per come funziona davvero il mondo fisico. È un po 'meno semplice in quanto si perde la bella proprietà di scrivere il tensore di campo come un 4 ricciolo di un campo a 4 vettori (il 4-potenziale), e la teoria non rispetta più la simmetria sotto inversione di spazio (parità). Vedere il libro di Jackson sull'elettromagnetismo per una discussione. Se in realtà ci sono monopoli magnetici, come suggeriscono molte versioni della teoria quantistica dei campi, allora il puzzle è il motivo per cui i monopoli elettrici sono molto più abbondanti dei monopoli magnetici.

Tuttavia, vorrei sottolineare che questa questione del monopolo magnetico è tutt'altro che l'unica ragione per cui le equazioni di Maxwell non sono completamente derivabili dalla legge di Coulomb e da S.R. Le altre ragioni includono che si può facilmente immaginare che le equazioni di campo implichino derivate di ordine superiore del moto della particella; S.R. da solo non può dirti che non lo fanno. Partendo da un approccio lagrangiano, si possono introdurre ulteriori vincoli, come l'invarianza che porta a leggi di conservazione, e quindi l'elettromagnetismo è abbastanza strettamente, ma ancora non completamente, vincolato. Fondamentalmente, ciò che S.R. posso dirti che un campo che fornisce una forza indipendente dalla velocità di un corpo non può essere l'intera storia della fisica. Un tale campo (come il campo elettrico) deve essere associato a ulteriori effetti che dipendono dalla velocità di un corpo.

#12
+1
Riad
2018-12-29 19:40:14 UTC
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Ci sono pochi articoli che dimostrano che l'equazione di conservazione / continuità per la carica elettrica è sufficiente per derivare l'intero insieme di equazioni di Maxwell. Vedi questo riferimento e le citazioni per esempio; https://pdfs.semanticscholar.org/3251/31eadb62c8fdfdaaad7b21a308992ff3a4d2.pdf '' Come ottenere la forma covariante delle equazioni di Maxwell dall'equazione di continuità ... Pertanto, un processo circolare sembra essere inevitabile nell'elettromagnetismo: ρ e J implicano E e B che, a loro volta, implicano nuovi ρ1 e J1, e così via. A causa di questa caratteristica circolare, non è chiaro se E e B (che soddisfano le equazioni di Maxwell) sono una conseguenza di ρ e J (che soddisfano l'equazione di continuità) o viceversa. Secondo l'arbitro sembra una questione di gusto dire quale sia una conseguenza dell'altra. In altre parole: dal commento dell'arbitro si potrebbe concludere che la connessione tra sorgenti e campi è un po 'come il problema dell'uovo e della gallina: chi è stato il primo?' '.

Anche a partire dalla legge di Coulomb per l'elettricità statica e tenendo conto del fatto che l'azione non può viaggiare più veloce della luce, l'uso dell'integrale ritardato produce l'insieme completo delle equazioni di Maxwell. https://en.wikipedia.org/wiki/Li%C3%A9nard%E2%80%93Wiechert_potential.

Quindi, il ritardo stesso dà origine a una forza normale al movimento (velocità), proporzionale ad esso, e decadente come il quadrato inverso della distanza, che è il campo magnetico per definizione. Dà anche origine a una forza a due componenti: un campo elettrico e uno magnetico proporzionali all'accelerazione, che decadono solo come l'inverso della distanza (non il quadrato inverso) e questa è la radiazione per definizione. Si può quindi dedurre che magnetismo e radiazione siano fenomeni emergenti causati dalla finitezza della velocità di propagazione delle forze in gioco.

Alcune risposte indicavano la connessione con il gravito-magnetismo e la relatività.Penso che ciò derivi dal fatto che la legge di gravitazione di Newton può essere trattata in modo simile alla legge di Coulomb, dando origine a un insieme di equazioni simili alle equazioni di Maxwell.Queste sono le equazioni gravito-magnetiche e sono infatti anche derivabili dalla relatività generale per campi deboli. https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelettromagnetismo

#13
+1
Carlos Beltran
2019-02-22 11:48:47 UTC
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Da quanto ho capito la tua idea, stai chiedendo se è possibile recuperare tutte le equazioni di Maxwell usando solo trasformazioni di Lorentz e usando l'esistenza del campo elettrico.La risposta è no.Un esempio euristico è questo: se hai un filo circolare unidimensionale con una corrente variabile $ I (t) $ , non c'è trasformazione di Lorentz per produrre il campo magnetico di questosistema partendo solo da un campo elettrico, perché la carica elettrica del filo circolare si muove in modo non inerziale.

Penso diversamente.Per ciascuno dei segmenti infinitesimi del filo, per un breve intervallo di tempo infinitesimale delta t, nel telaio inerziale co-mobile la cui velocità è la stessa degli elettroni nel filo in quel momento, possiamo parlare della trasformazione di Lorentz che porta a Maxwellequazioni.Anche il potenziale 4 dipende solo dalla corrente istantanea e non dai suoi derivati, quindi possiamo farlo.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 2.0 con cui è distribuito.
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