Supponiamo di iniziare considerando le trasformazioni galileiane, ovvero trasformazioni tra osservatori che si muovono a velocità diverse dove le velocità sono ben al di sotto della velocità della luce. Diversi osservatori non saranno d'accordo sulla velocità degli oggetti, ma ci sono alcune cose su cui saranno d'accordo. Nello specifico, concorderanno sulle dimensioni degli oggetti.
Supponiamo che io abbia un'asta di metallo che nel mio sistema di coordinate ha un'estremità nel punto $ (0,0,0) $ e l'altra estremità nel punto $ (dx, dy, dz) $. La lunghezza di questa canna può essere calcolata utilizzando il teorema di Pitagora:
$$ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 \ tag {1} $$
Ora potresti muoverti relativamente a me, quindi non saremo d'accordo sulla posizione e la velocità della canna, ma saremo entrambi d'accordo sulla lunghezza perché, beh, è un pezzo di metallo - non lo fa cambia dimensione solo perché ti stai muovendo rispetto a me. Quindi la lunghezza dell'asta, $ ds $, è un invariante cioè è qualcosa su cui tutti gli osservatori saranno d'accordo.
OK, passiamo alla Relatività Speciale. Quello che fa la Relatività Speciale è trattare lo spazio e il tempo insieme, quindi la distanza tra due punti deve tenere conto anche della differenza di tempo tra i punti. Quindi la nostra equazione (1) viene modificata per includere il tempo e diventa:
$$ ds ^ 2 = -c ^ 2dt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 \ tag {2} $$
Nota che la nostra nuova equazione per la lunghezza $ ds $ ora include il tempo, ma il tempo ha un segno meno. Moltiplichiamo anche il tempo per una costante con le dimensioni di una velocità per convertire il tempo in una lunghezza. Proprio come prima la quantità $ ds $ è invariante, cioè tutti gli osservatori concordano su di essa indipendentemente da come si muovono l'uno rispetto all'altro. Infatti diamo a questa lunghezza dello spaziotempo un nome speciale: la chiamiamo lunghezza corretta (o talvolta tempo corretto).
A questo punto probabilmente ti starai chiedendo di cosa diavolo sto divagando, ma si scopre che possiamo derivare tutte le cose strane in Relatività Speciale semplicemente dal requisito che $ ds $ sia un invariante. Se sei interessato, lo esamino in Come posso derivare la contrazione di Lorentz dall'intervallo invariante?.
In effetti l'equazione per $ ds $ è così importante nella Relatività Speciale che ha il suo nome. Si chiama metrica Minkowski. E possiamo usare questa metrica di Minkowski per mostrare che la velocità della luce deve essere la stessa per tutti gli osservatori. Lo faccio nella mia risposta al Secondo Postulato della Relatività Speciale.
Quindi il punto in cui siamo arrivati è che il fatto che la velocità della luce sia costante in SR è equivalente all'affermazione che la metrica di Minkowski determina una quantità invariante. Quello che fa la Relatività Generale è generalizzare la metrica di Minkowski, equazione (2). Supponiamo di riscrivere l'equazione (2) come:
$$ ds ^ 2 = \ sum _ {\ mu = 0} ^ 3 \ sum _ {\ nu = 0} ^ 3 \, g _ {\ mu \ nu} dx ^ \ mu dx ^ \ nu $$
dove stiamo usando la notazione $ dt = dx ^ 0 $, $ dx = dx ^ 1 $, $ dy = dx ^ 2 $ e $ dz = dx ^ 3 $ e $ g $ è la matrice:
$$ g = \ left (\ begin {matrix}
-c ^ 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {matrix} \ right) $$
Questa matrice $ g $ è chiamata tensore metrico. In particolare, la matrice che ho scritto sopra è il tensore metrico per lo spaziotempo piatto, ad esempio spazio-tempo di Minkowski.
Nella Relatività Generale questa matrice può avere valori diversi per le sue voci, e in effetti quegli elementi possono essere funzioni di posizione piuttosto che costanti. Ad esempio, lo spaziotempo attorno a un buco nero non caricato statico ha un tensore metrico chiamato metrica di Schwarzschild:
$$ g = \ left (\ begin {matrix}
-c ^ 2 (1- \ frac {r_s} {r}) & 0 & 0 & 0 \\
0 & \ frac {1} {1- \ frac {r_s} {r}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r ^ 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta
\ end {matrix} \ right) $$
(Lo menziono principalmente per la decorazione: capire come lavorare con la metrica di Schwarzschild richiede che tu faccia un corso su GR)
In GR la metrica $ g $ è correlata alla distribuzione di materia ed energia, ed è ottenuta risolvendo le equazioni di Einstein (che non è un compito per i deboli di cuore :-). La metrica Minkowski è la soluzione che otteniamo quando non è presente materia o energia $ {} ^ 1 $.
Il punto a cui sto arrivando è che esiste una sequenza semplice che prende uso dalla meccanica newtoniana di tutti i giorni alla Relatività Generale. La prima equazione che ho annotato, l'equazione (1), cioè il teorema di Pitagora, è anche una metrica: è la metrica per lo spazio 3D piatto. Estendendolo allo spaziotempo, l'equazione (2), ci porta alla Relatività Speciale, e estendendo l'equazione (2) a una forma più generale per il tensore metrico ci porta alla relatività generale. Quindi la Relatività Speciale è un sottoinsieme della Relatività Generale e la meccanica newtoniana è un sottoinsieme della Relatività Speciale.
Per concludere, torniamo alla questione della velocità della luce. La velocità della luce è costante in SR quindi è costante in GR? E la risposta è, beh, più o meno. Lo esaminerò in dettaglio in GR. L'articolo di Einstein del 1911: sull'influenza della gravitazione sulla propagazione della luce ma potresti trovare un po 'difficile. Quindi dirò semplicemente che in GR la velocità della luce è sempre localmente costante. Cioè, se misuro la velocità della luce nella mia posizione, otterrò sempre il risultato $ c $. E se misuri la velocità della luce nella tua posizione otterrai anche il risultato $ c $. Ma, se misuro la velocità della luce nella tua posizione e viceversa, in generale non otterremo il risultato $ c $.
$ {} ^ 1 $ in realtà ci sono molte soluzioni quando non è presente materia o energia.Queste sono le soluzioni per il vuoto.La metrica Minkowski è la soluzione con la più bassa energia ADM.